5.2【专题】将军饮马问题（6大常考模型） 课时同步训练 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 【专题】将军饮马问题（6大常考模型） 本专题用于总结与训练北师大2024新版第五章图形的轴对称所引出的将军饮马问题（最短路程）问题。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 将军饮马问题是初中数学中经典的几何最优化问题，其核心是通过轴对称变换将折线路径转化为直线最短问题。本专题中的将军饮马问题由一个初始模型展开，形成了六大常考模型：两定一动、一定两动、一定两动（垂线段最短）、两定两动、将军遛马问题和造桥选址问题。每个模型均附有基本模型的讲解、一道经典例题，以及二至三道难度梯次上升的变式题。 一、将军饮马问题的历史起源 将军饮马问题最早的记载可追溯至古希腊学者海伦（Heron）的著作。据传，一位罗马将军向海伦请教如何从军营A出发到河边饮马，再前往营地B的最短路径。海伦通过构造对称点将折线路径转化为直线问题，奠定了该问题的数学解法基础。这一解法体现了古希腊几何学的智慧，成为经典的最短路径模型。 中国唐代诗人李颀在《古从军行》中写道“黄昏饮马傍交河”，诗中描绘了将军从山脚出发到河边饮马再宿营的场景，隐含着对路径最短的思考。虽然未直接提出数学解法，但诗句与问题的实际情境高度契合。此外，传说中汉代韩信曾通过类似策略设计行军路线，利用几何对称性解决实际问题（如归还百姓财物）。 二、将军饮马问题的数学模型 已知直线l同侧的两定点A和B，在l上找一点P，使得路径最短. 【题型1】两定一动：两个定点、一个动点 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 【典例】如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处．（填图中的字母） 【变式1】如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ． 【变式2】如图是网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点是格点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点，是格点，在上取点，使得的值最小． 【变式3】在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【题型2】一定两动：一个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 【典例】【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【变式1】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【变式2】如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【变式3】如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【题型3】一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短） 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 【典例】如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式1】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【变式2】如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【变式3】如图，的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【题型4】两定两动：两个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有两定点，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则；作点N关于射线的对称点。由于为定点，所以线段为定值。因此，若使最短，只需令最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点，线段分别交射线于点。此时，四点共线，能够使得最短， 【典例】如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【题型5】将军遛马问题 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段。试确定线段在直线l上的位置，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则。过点作一条平行线，并在点的右侧在平行线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线l为点。此时最短，。 【题型6】造桥选址问题 【基本模型】已知有两条平行直线，在直线异侧有两定点A和B，有一条线段，且。试确定线段在直线上的位置，使得最短. 如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点的下侧在垂线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线为点。此时最短，。 【典例】如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【变式2】如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【变式3】河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置． （1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由． （2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 【专题】将军饮马问题（6大常考模型） 本专题用于总结与训练北师大2024新版第五章图形的轴对称所引出的将军饮马问题（最短路程）问题。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 将军饮马问题是初中数学中经典的几何最优化问题，其核心是通过轴对称变换将折线路径转化为直线最短问题。本专题中的将军饮马问题由一个初始模型展开，形成了六大常考模型：两定一动、一定两动、一定两动（垂线段最短）、两定两动、将军遛马问题和造桥选址问题。每个模型均附有基本模型的讲解、一道经典例题，以及二至三道难度梯次上升的变式题。 一、将军饮马问题的历史起源 将军饮马问题最早的记载可追溯至古希腊学者海伦（Heron）的著作。据传，一位罗马将军向海伦请教如何从军营A出发到河边饮马，再前往营地B的最短路径。海伦通过构造对称点将折线路径转化为直线问题，奠定了该问题的数学解法基础。这一解法体现了古希腊几何学的智慧，成为经典的最短路径模型。 中国唐代诗人李颀在《古从军行》中写道“黄昏饮马傍交河”，诗中描绘了将军从山脚出发到河边饮马再宿营的场景，隐含着对路径最短的思考。虽然未直接提出数学解法，但诗句与问题的实际情境高度契合。此外，传说中汉代韩信曾通过类似策略设计行军路线，利用几何对称性解决实际问题（如归还百姓财物）。 二、将军饮马问题的数学模型 已知直线l同侧的两定点A和B，在l上找一点P，使得路径最短. 【题型1】两定一动：两个定点、一个动点 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 【典例】如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处．（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 【变式1】如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ． 【答案】 左 /15度 【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． （Ⅰ）作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，即可得到点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时，根据轴对称的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，此时点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时， ∵点B和点D关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：左，． 【变式2】如图是网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点是格点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点，是格点，在上取点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短等知识； （1）取格点D，连接，则垂直平分，点D即为所求作的点； （2）作点M关于的对称点F，连接交于点E，则点E为所求作的点． 【详解】（1）解：如解图，点即为所求作； （2）解：如解图，点即为所求作（作法不唯一）．   【变式3】在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【答案】(1) (2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，由四边形内角和为即可得到； （2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①结论：是等边三角形． 理由：如图2中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2】一定两动：一个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 【典例】【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 【变式1】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 【变式2】如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小，根据对称可得，，，，，再求解即可，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小． 根据对称可得，，，，， 则，， ， 故答案为：． 【变式3】如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键． 作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 【详解】解：作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴, 故答案为：4． 【题型3】一定两动：一个定点、两个动点（垂线段最短） 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 【典例】如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长． 【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF=C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG=∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ∴BC=BC'， ∵AC=BC=10，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5， ∴CE+EF的最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键． 【变式1】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）． 【分析】教材呈现：证明即可得证； （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2】如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【分析】（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【详解】解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 【变式3】如图，的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为 故答案为： 【题型4】两定两动：两个定点、两个动点 【基本模型】已知在的内侧有两定点，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则；作点N关于射线的对称点。由于为定点，所以线段为定值。因此，若使最短，只需令最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点，线段分别交射线于点。此时，四点共线，能够使得最短， 【典例】如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 【变式1】如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【答案】 5 【分析】（1）由题易得，，因为，根据三线合一可知，根据中位线可知，进而即可得到答案． （2）要想的值最小，需要把这三条三段转化到一条线段上，进而分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，再根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：5． （2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为． 由题意和对称性可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题、三角形的外角的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型5】将军遛马问题 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段。试确定线段在直线l上的位置，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则。过点作一条平行线，并在点的右侧在平行线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线l为点。此时最短，。 【题型6】造桥选址问题 【基本模型】已知有两条平行直线，在直线异侧有两定点A和B，有一条线段，且。试确定线段在直线上的位置，使得最短. 如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点的下侧在垂线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线为点。此时最短，。 【典例】如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 【变式1】如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 【变式2】如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 【变式3】河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图1）．要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE=FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置． （1）分析桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD+DB)最短的理由． （2）利用前一问的做法，解决下面的问题：如图2所示A、B、C三地被两条河隔开，现要修两座与河岸垂直的桥，如何修使A到B到C的路程最短？请作出示意图． 【答案】（1）两点之间线段最短．（2）见解析． 【分析】（1）利用平移的性质以及两点之间线段最短解决问题即可． （2）根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”解决问题． 【详解】解：（1）利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知： AC+CD+DB=（ED+DB）+CD=EB+CD． 而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短． （2）示意图如图所示． 从A到B的路径AMNEFB最短． 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，利用平移的性质得出桥的位置，能运用两点之间线段最短的原理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$