第五章第03讲 简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线（2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第03讲 简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线 课程标准 学习目标 ①垂直平分线、角平分线的概念 ②垂直平分线、角平分线的性质 1. 理解线段的垂直平分线、角平分线的概念。 2. 掌握线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及逆定理。 3. 运用线段的垂直平分线、角平分线的性质定理进行求解。 知识点01 线段的垂直平分线（简称中垂线） 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 作法：作已知线段的垂直平分线. 【即学即练1】 1．（2025·青海西宁·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是 ． 【答案】16 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，以及垂直平分线的性质和三角形求周长．注意垂直平分线得线段相等和线段和的转化． 根据尺规作图得垂直平分线，再由垂直平分线的性质和三角形周长计算公式解答即可． 【详解】解：由尺规作图得垂直平分线， 所以，且， 又， 所以的周长为：． 故答案为：16． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 知识点02 角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【即学即练2】 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 5．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由作图可知平分，进而由角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若的面积是，求的长． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），解题的关键是利用角平分线性质得到，再通过三角形面积的关系列方程求解． 利用角平分线性质得出，将的面积拆分为与的面积和，即可求解． 【详解】解：为的平分线，， ， 的面积是，，， 的面积的面积的面积， ， ． 题型01 根据线段垂直平分线的性质求解 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为 ． 【答案】14 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∴的周长， ， ∴的周长， 故答案为：14． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 2．（24-25八年级下·广东河源·期中）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 3．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点E，交于点F，当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且时，最小， 过点B作于点E，交于点F，如图所示： ∴当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 题型02 线段垂直平分线的性质和判定 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形，其中，． (1)求证：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）直接根据证明即可； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明. 【详解】（1）证明：在和中 ∴（） （2）∵ ∴在的垂直平分线上 ∵ ∴在的垂直平分线上 ∴是垂直平分线 ∴ 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 题型03 线段垂直平分线的实际应用 例题：（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三个角平分线的交点 C．三条边上的高的交点 D．三条边上的中线的交点 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点， 故选：A 2．（2025·广西桂林·一模）如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据三角形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及等边三角形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、的垂直平分线与直线的交点，共3个． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等， ∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上； 故选：B． 题型04 作垂直平分线线（尺规作图） 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】作出线段的垂直平分线，与的交点就是所求点． 本题考查了线段的垂直平分线基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，结合，得到， 故点D为线段的垂直平分线与的交点就是所求点，如图， 则点D为所求作的点． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】见详解 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质， 先分别以A，B为圆心，以大于的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，根据线段垂直平分线的性质即可得出小水塘的位置到A、B两块田地的距离相等． 【详解】解：小水塘的位置如下图所示： 2．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交于E，于D即可； （2）由垂直平分得，从而即可求得的周长． 【详解】（1）解：如图所示，是边的垂直平分线． （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 又， ， 答：的周长是． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 题型05 根据角平分线的性质定理求解 例题：（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，由作图可得：为的平分线， ， ， ， 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 题型06 根据角平分线的性质定理证明 例题：（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17.5 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 3．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 【答案】说明理由见解析 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，，则由角平分线的定义得到，由三角形面积公式可得，，据此可证明结论． 【详解】证明：作， 是的角平分线， ， ， 又∵， ． 题型07 角平分线的性质实际应用 例题：（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线上的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等成为解题的关键． 直接根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，点，，表示三个车间，现要建一个仓库，使它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（   ） A．三边的中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三内高线的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵仓库到三个车间的距离相等， ∴仓库应该修建在的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，，，表示的是三条河流，现决定在这三条河流中间修建一个木材厂，使该木材厂到三条河流的距离相等，以便利用水路向外运木材，则这个木材厂应建在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，木材厂应建在，两内角平分线的交点处． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置应建在（   ） A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．，两边中线的交点处 D．，两内角的平分线的交点处 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直接根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴油库的位置应建在，两内角平分线的交点处． 故选：D． 题型08 作角平分线（尺规作图） 例题：（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 【变式训练】 1．（2025·广东湛江·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2） 解：设点到的距离为， ∵是的角平分线，， ∴， ∴的面积． 2．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图，是等腰直角三角形，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明过程见详解 【知识点】等腰三角形的定义、作角平分线(尺规作图)、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，尺规作角平分线的方法是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据题意，证明即可求解． 【详解】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下， ∴点即为所求点的位置； （2）解：如图所示， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 又， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）尺规作图，请保留作图痕迹： (1)作出的角平分线． (2)延长到点，使得． (3)在上方作，即是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是理解题意，数形结合． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）延长，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求； （3）根据作一个角等于已知角的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，即为所求． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行列式解答即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 故选：B 2．（2025·广东深圳·一模）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、作角平分线(尺规作图)、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质．通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴． 故选：B． 3．（2025·江苏苏州·一模）已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】作已知线段的垂直平分线、三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，平分，若，，则的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积．先根据角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到和的距离相等，然后根据三角形的面积公式得到． 【详解】解：∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴， ∴， 则 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断①；证明，即可判断②；证明即可判断③；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的中线，故②正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能证明，故③错误； 过点D作于点G，如图所示： ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 二、填空题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 【答案】25 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，垂直平分．若的周长为，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分，所以，因为的周长为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接，交于点．若的周长为21，，则的长为 ． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，判断出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知，， ∵的周长， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 根据．且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③正确，该选项符合题意； ， ， ， ， ， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到，两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【答案】点的位置见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线，角平分线的性质定理，掌握以上知识，正确作图是解题的关键． 连接作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两线交于点，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两线交于点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴点到，两个休息亭的距离相等， ∵点在角平分线上， ∴点到景观道，的距离相等， ∴点即为所求点的位置． 12．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 15．（2024七年级下·江西景德镇·专题练习）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立．理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可直接进行求解； （2）做辅助线如图，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 过点P点作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，是的角平分线，为上任意一点，于，于． (1)求证：； (2)如图2，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图3，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （）根据角平分线的定义可知，再证，由全等三角形的性质即可； （）由（）得：，利用等面积即可求出； （）同（）理可以求出，则． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由（）得：， 设点到的距离为， ∴， 则有， （3）解：如图，过交的延长线于，交的延长线于，过作于， 由（）得：， ∴， 则有，即， ∴． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【详解】证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：延长至，使，连接， ，，， ， ， ，， ∴是的垂直平分线， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线 课程标准 学习目标 ①垂直平分线、角平分线的概念 ②垂直平分线、角平分线的性质 1. 理解线段的垂直平分线、角平分线的概念。 2. 掌握线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及逆定理。 3. 运用线段的垂直平分线、角平分线的性质定理进行求解。 知识点01 线段的垂直平分线（简称中垂线） 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 作法：作已知线段的垂直平分线. 【即学即练1】 1．（2025·青海西宁·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是 ． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 知识点02 角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【即学即练2】 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 5．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，为的平分线，过点D分别作于点E，交的延长线于点F，若的面积是，求的长． 题型01 根据线段垂直平分线的性质求解 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 2．（24-25八年级下·广东河源·期中）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 3．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 题型02 线段垂直平分线的性质和判定 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形，其中，． (1)求证：； (2)证明：． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 题型03 线段垂直平分线的实际应用 例题：（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三个角平分线的交点 C．三条边上的高的交点 D．三条边上的中线的交点 2．（2025·广西桂林·一模）如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 题型04 作垂直平分线线（尺规作图） 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 2．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 题型05 根据角平分线的性质定理求解 例题：（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． ，由作图可得：为的平分线， ， ， ， 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 3．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 题型06 根据角平分线的性质定理证明 例题：（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 3．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 题型07 角平分线的性质实际应用 例题：（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，点，，表示三个车间，现要建一个仓库，使它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（   ） A．三边的中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三内高线的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，，，表示的是三条河流，现决定在这三条河流中间修建一个木材厂，使该木材厂到三条河流的距离相等，以便利用水路向外运木材，则这个木材厂应建在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 3．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置应建在（   ） A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．，两边中线的交点处 D．，两内角的平分线的交点处 题型08 作角平分线（尺规作图） 例题：（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【变式训练】 1．（2025·广东湛江·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 2．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图，是等腰直角三角形，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）尺规作图，请保留作图痕迹： (1)作出的角平分线． (2)延长到点，使得． (3)在上方作，即是的角平分线． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·一模）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·一模）已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，平分，若，，则的比为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 8．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，垂直平分．若的周长为，，则 ． 9．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接，交于点．若的周长为21，，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到，两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 12．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 15．（2024七年级下·江西景德镇·专题练习）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，是的角平分线，为上任意一点，于，于． (1)求证：； (2)如图2，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图3，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 18．（24-25八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$