专题31 线和角（导图+8个重点速记+7个考点精讲+33道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （通用版）

2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题31 线和角 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、直线、射线和线段。 4 二、相交与平行。 5 三、平行线。 6 四、垂直和垂线。 6 五、角的认识。 7 六、角的分类。 8 七、角的度量。 8 八、角的画法。 8 第三部分典例精讲 9 【考点一】直线、射线和线段的认识 9 【考点二】平行与垂直 10 【考点三】画平行线或垂线 12 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 15 【考点五】角的度量 17 【考点六】平角、周角的认识及特征 19 【考点七】角的度量和计算解决问题 21 第四部分真题专练 24 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、直线、射线和线段。 1、直线 （1）直线的定义。 直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。直线可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如图 （2）直线的性质。 a.经过一点，可以画无数条直线;经过两点，只能画一条直线，即两点确定一条直线。 b.两条直线相交，只有一个交点。 c.直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不可以度量长度。 2、射线。 （1）射线的定义。 在直线上某一点起朝向一边的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线用表示它的端点和射线上任意一点的两个大写字母表示，并把表示端点的字母写在前面，如下图， （2）射线的性质。 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不可以度量长度。 3、线段。 （1）线段的定义。 直线上任意两点之间的部分叫作线段。这两点叫作线段的端点。线段有长短，可以度量长度。线段可以用表示它的两个端点的大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如下图 （2）线段的性质. 在连接两点的所有连线中，线段最短(如下图)。简单地说，两点之间，线段最短。 4、直线、射线和线段的区别与联系。 二、相交与平行。 1、相交。 一般相交，如: 互相垂直(两条直线相交成直角)，如: 2、互相平行。 两条直线在同一平面内不相交，如: 三、平行线。 1、平行线的定义。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、平行线的性质。 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。 （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线间的距离。 两条直线互相平行时，从一条直线上的任意一点向另一条直线画垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度叫作这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。 4、平行线的画法 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺， （1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。 （2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺， （3）平移后，沿三角尺的直角边画出另一条直线。 四、垂直和垂线。 1、垂直和垂线的定义。 如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2、垂线的基本性质。 （1）经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 （2）从直线外一点到这条直线上的所有线段中，垂直线段最短。(如下图) 3、垂线的画法。 （1）过直线上一点画已知直线的垂线 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合。 c.从三角尺直角的顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的乖线。 （2）过直线外一点画已知直线的垂线。 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 c.沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。 五、角的认识。 1、角的定义。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 2、角的表示方法 角通常用符号“∠”表示。下图中的角可记作∠AOB(读作“角 AOB”)或∠BOA(读作“角 BOA”)。当以 O点为顶点的角只有一个时，也可记作∠O。还可以在角的顶部标注上数字或希腊字母，用弧线表示角的范围，下图中的角也可记作∠1。 六、角的分类。 角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 大于0°小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360° 七、角的度量。 1、度量角的工具是量角器。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。量角器为半圆形，被平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度，记作1° 2、用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 八、角的画法。 1、用量角器画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线与射线重合。然后根据所要画的角的度数在量角器上对应的刻度线的地方点一个点。最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 第三部分典例精讲 【考点一】直线、射线和线段的认识 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一条射线长25厘米 B．一个三角形三个内角的度数的比是1∶2∶2 C．一个角的两条边越长，这个角就越大 D．三根小棒的长度分别是5厘米、5厘米、10厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形 【答案】B 【分析】射线的长度是无限的；角的大小和开口有关，和两边的长度无关；三角形的内角和180度，有3个角，可以根据3个角的比分别求出3个角的角度；三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；据此解答。 【解答】A．射线没有长度，所以一条射线长25厘米说法错误； B．根据三角形内角和知识可知，一个三角形三个内角的度数的比是1∶2∶2，说法正确； C．角的大小与边的长短无关，与开口大小有关，所以一个角的两条边越长，这个角就越大说法错误； D．因为5＋5＝10（厘米） 不符合三角形两边之和大于第三边的特征，所以三根小棒的长度分别是5厘米、5厘米、10厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形说法错误。 故答案为：B 【点评】本题考查了射线的认识、三角形内角和以及按比例分配、角的认识、三角形三边的特征等知识，结合题意角的即可。 【典例二】图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【答案】1 8 6 【分析】直线：没有端点，两端都可以无限延长，不可度量长度。 射线：1个端点，一端可以无限延长，不可度量长度。 线段：2个端点，可以度量长度，是直线的一部分。 【解答】直线有1条； 以A、B、C、D为端点的射线各有2条，共有8条； 线段有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共有6条。 填空如下： 图中有（1）条直线，（8）条射线，（6）条线段。 【典例三】如图，图中共有（ ）条射线，（ ）条线段。 【答案】6 3 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。据此可知，一共有3个点，有6条射线。单独的线段有2条，由这两条线段组成的线段有1条，一共有3条线段。 【解答】图中共有6条射线，3条线段。 【点评】本题考查射线和线段的特征，射线有一个端点，线段有两个端点。 【典例四】在一条直线上有7个点，则共有（ ）条射线，有（ ）条线段。 【答案】14 21 【分析】当一条直线上有n个点时，有2n条射线，有条线段；据此解答。 【解答】在一条直线上有7个点，则共有7×2＝14条射线，有7×（7－1）÷2＝21条线段。 【点评】明确直线上点数和射线、线段条数的关系是解题的关键。 【考点二】平行与垂直 【典例一】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，那么其它三个角是（ ）角。 【答案】直 【分析】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，说明这两条直线互相垂直，则所成的角是直角。 【解答】根据分析可知其它三个角都是直角。 【点评】两直线相交有一个角是直角，说明这两条直线互相垂直。 【典例二】同一个平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）。 【答案】相交 平行 【分析】 在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交如图所示：或平行，据此解答即可。 【解答】同一个平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 【典例三】如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是（ ）平方厘米。 【答案】16 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，长方形是特殊的平行四边形，可知同底等高的平行四边形的面积相等，所以甲的面积＋乙的面积＝乙的面积＋丙的面积，据此解答。 【解答】观察图形可知，甲的面积＋乙的面积＝丙的面积＋乙的面积， 所以甲的面积＝丙的面积， 因为甲的面积是16平方厘米， 所以丙的面积是16平方厘米。 【点评】本题考查了等（或同）底等高的平行四边形的面积相等的知识点。 【典例四】同一平面内有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有（ ）个不同的数值。 【答案】9 【分析】要分情况讨论。根据5条直线最多平行的数量讨论，有5、4、3、2、0这五种平行的情况。 【解答】（1）5条直线都平行，则n＝0； （2）4条直线平行，n＝4； （3）3条直线平行，n＝7、5、6； （4）2条直线平行，n＝4、6、7、8、9； （5）没有直线平行，n＝1、5、6、8、10； 则，1，4，5，6，7，8，9或10，共有9个不同数值。 【考点三】画平行线或垂线 【典例一】画一画。 （1）用数对表示A点的位置是 。 （2）连接AC，过D点作AC的平行线。 （3）把长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°。 （4）按1∶2画出长方形ABCD缩小后的图形。 【答案】（1）（1，5）； （2）（3）（4）图见详解 【分析】（1）根据数对的表示方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数进行解答即可； （2）用直尺作出线段AC，再根据平行线的画法进行作图即可； （3）分别画出A，C，D绕B点逆时针旋转90°的位置，然后按照顺序依次连接即可； （4）把原长方形的长和宽都缩小到原来的，原长方形的长和宽分别是4格和2格，缩小后的长方形的长和宽分别是2格和1格，据此作图。 【解答】（1）A在第一列，第五行，所以A的位置为（1，5）； （2）（3）（4）如图： 【点评】本题主要考查了数对与位置、作平行线、作旋转后的图形以及图形的放大与缩小，属于作图题的综合，需要学生熟练掌握这些作图方法。 【典例二】画一画，量一量。 （1）过A点画线段BC的垂线，垂足为D； （2）量一量A点到线段BC的距离是（    ）cm；（结果保留一位小数） （3）过A点画出BC的平行线； （4）以AD为直径画圆，并求出该圆的周长和面积。（结果用π表示） 【答案】（1）见详解； （2）1.4 （3）见详解； （4）画图：见详解； 1.4π厘米；0.49π平方厘米 【分析】（1）根据过直线外一点作垂线的步骤画图即可；把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线； （2）A点到线段BC的距离是1.4cm； （3）根据过直线外一点画已知直线的平行线的步骤画图即可；固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后，沿直角边画出另一条直线； （4）根据“C＝2πr”、“s＝πr²”求出圆的周长和面积即可。 【解答】如图： （2）A点到线段BC的距离是1.4cm； （4）周长为：1.4π厘米； 面积：（1.4÷2）²π＝0.49π平方厘米 【点评】本题综合性较强，熟练掌握过直线外一点画垂线和平行线的方法，以及圆的周长和面积公式是解答本题的关键。 【典例三】 （1）画出将圆A向上平移5格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（    ）。 （2）过B点作直线a的垂线。 （3）画出把三角形EPF绕P点顺时针旋转90°后的图形。 【答案】（1）图见详解，（2，7）；（2）（3）见详解 【分析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此先将点A向上平移5格，再以平移后的点A为圆心，以2为半径即可画出这个平移后的图形，再利用数对表示位置的方法表示平移后A点的位置； （2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线a画直线即可； （3）明确旋转中心以P点为旋转中心，确定旋转方向和角度，顺时针旋转90°，先描出旋转后的对应点再连线即可。 【解答】（1）画出将圆A向上平移5格后的图形①，平移后A点的位置用数对表示是（2，7）。 （1）（2）（3）作图如下： 【点评】本题考查了图形的平移、旋转及垂线的画法，关键是画图要准确。 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 【典例一】7时15分，钟面上分针与时针所组成的角是（ ）角。 【答案】钝 【分析】7时15分时，时针刚超过7，分针指着3，所以时针和分针之间超过4个大格不到5个大格，30°×4＝120°，所以时针和分针所组成的角是钝角。 【解答】（7－3）×30° ＝4×30° ＝120° 7时15分，钟面上分针与时针所组成的角大于120°，是钝角。 【典例二】如图，下面线段表示0°到360°，点A表示 角。 【答案】钝 【分析】观察发现把360°的周角平均分成4份，每一份是90°，A点表示的角大于90°，小于180°，钝角是大于90°小于180°的角，据此解答。 【解答】根据分析： 360°÷4＝90° 90°＜A＜180° 因此点A表示钝角。 【典例三】一个直角三角形，两个锐角的度数比是2∶3，这两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 【答案】36 54 【分析】直角三角形的两锐角和是90度，两个锐角的度数比是2∶3，即两个锐角共（2＋3）份，先求出一份对应的度数，再分别乘两个锐角的份数即可。 【解答】90÷（2＋3） ＝90÷5 ＝18（度） 18×2＝36（度） 18×3＝54（度） 即这两个锐角分别是36°和54°。 【典例四】在直角三角形中，一个锐角是45°，另一个锐角是（ ）°，这也是一个（ ）三角形。 【答案】45 等腰直角/等腰 【分析】由题意可知，已知是直角三角形，一个锐角是45°，根据三角形的内角和是180°，即可计算出另一个锐角的度数，然后比较两个锐角的大小，再根据等腰三角形的性质判断即可。 【解答】180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 所以另一个锐角是45°，两个锐角相等，这也是一个等腰直角三角形。 【考点五】角的度量 【典例一】现在是北京时间上午8点，再过（ ）分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【答案】 【分析】时针12小时走了360°，则平均每小时走30°，即60分钟走了30°，即每分钟走度，分针走一圈也就是60分钟走360°，即每分钟走度。 设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等，分针这时候走了6x度，则与“6”的夹角是（180－6x）°。当上午8点时，时针和“6”的夹角是60°，则时针x分钟后与“6”的夹角是（60＋0.5x）°。根据两个夹角相等得出方程，解方程即可。 【解答】解：设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等。 180－6x＝60＋0.5x 6x＋0.5x＝180－60 6.5x＝120 x＝120÷6.5 x＝ 则再过分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【点评】本题考查钟表问题，关键是明确时针和分针每分钟走的度数，再列方程解答。 【典例二】若现在是9点零5分，再过（ ）分钟，时针和分针第一次重合。 【答案】 【分析】可以将这个问题看成一个追及的问题。钟表盘上，一圈是360°，且分成了12个大格子，每个大格子是30°。分针走一圈是60分钟，也是是360°，每分钟转6°，时针走一圈是12小时，也就是720分钟，则时针每分钟旋转0.5°。9：05时，时针指着9到10之间，分针指着1，由于是分针去追时针，这时夹角是8个大格子＋时针移动的5分钟则为242.5°。追及的问题，分针追时针，分针走的度数减去时针的度数等于两个针一开始相差的度数。换句话说：追及的时间＝两个针一开始相差的度数÷速度差。 【解答】分针每分钟走的度数：360°÷60＝6° 时针每分钟走的度数：360°÷720＝0.5° 8×30°＋5×0.5° ＝240°＋2.5° ＝242.5° 242.5÷（6－0.5） ＝242.5÷5.5 ＝ 【点评】可以将钟表时针和分针问题，看成追及问题。注意：时针每分钟走6°，分针每分钟走0.5°。时针每小时走30°，分针小时走360°。 【典例三】图中AB＝AC，用含有字母的式子表示∠1＝（ ）°，如果n°＝110°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】 145 【分析】由题意可知：AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，且A为顶角，因此可根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可知∠1和∠C相等，用（180°－n°）÷2即可求出∠1的度数，把n°＝110°代入（180°－n°）÷2计算即可求出∠1的度数，最后用180°减去∠1的度数，即可求出∠2的度数。 【解答】因为AB＝AC 所以△ABC是等腰三角形， ∠1＝∠C 所以∠1 ＝（180°－n°）÷2 ＝° 如果n°＝110°， 那么∠1为（180°－110°）÷2 ＝70°÷2 ＝35° 180°－35°＝145° 用含有字母的式子表示∠1＝°，如果n°＝110°，那么∠2＝145°。 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识的应用，由已知条件判断出∠A为顶角是正确解答本题的关键。 【典例四】钟表上的9时整，时针和分针成（ ）角；6时整时针和分针成（ ）角。 【答案】90°或直 180°或平 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。9时整，时针和分针之间有3个大格，夹角是3×30°＝90°，是一个直角。6时整时针和分针之间有6个大格，夹角是6×30°＝180°，是一个平角。 【解答】3×30°＝90°，6×30°＝180° 则钟表上的9时整，时针和分针成90°或直角；6时整时针和分针成180°或平角。 【点评】本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，借助图形，更容易解决。 【考点六】平角、周角的认识及特征 【典例一】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【答案】38 【分析】三角形的内角和是180°；等边三角形的特征：等边三角形的三条边相等，三个内角相等。 从图中可知，∠1、∠2和等边三角形的一个内角组成平角，用平角的度数减去∠1的度数，再减去等边三角形的一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【解答】等边三角形的内角是：180°÷3＝60° ∠2＝180°－82°－60°＝38° 则∠2＝38°。 【典例二】在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（ ）度。 【答案】30 【分析】分析题目，分针转动一周是60分钟，也就是1个小时，时针转动1周是12小时，即时针12小时转动360°，据此用360°除以12即可解答。 【解答】360°÷12＝30° 在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是30度。 【典例三】如图，O是钟面中心，A、B、C均在圆上，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】60 30 【分析】根据图示可知，O是钟面中心，OA指向12，OB指向4，根据钟表上一个大格30°，∠1的两边OB和OC分别指向4和6，所以∠1＝30°×（6－4）；则∠AOB＝180°－∠1，因为OA＝OB，所以三角形AOB是个等腰三角形，所以∠2＝∠OBA＝（180°－∠AOB）÷2。 【解答】∠1为：30°×（6－4） ＝30°×2 ＝60° ∠AOB为：180°－60°＝120° ∠2为：（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 所以∠1等于60°，∠2等于30°。 【点评】本题考查了根据钟表来求角的度数知识，结合图示分析解答即可。 【典例四】如图，把三角形ABC的边BC延长到点D，可以推理说明。你能看懂下面的推理过程吗？在括号内写出推理的依据。 推理过程： 因为（平角的度数是） （ ） 所以 所以（ ） 【答案】三角形的内角和是180° 等量代换 【分析】（1）根据平角的含义，等于180°的角是平角，所以∠3和∠4组成平角； （2）三角形的三个内角的和是180度，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠3和∠4组成一个平角，所以∠3＋∠4＝180°，∠3没变，所以∠4＝∠1＋∠2，据此解答即可。 【解答】因为∠3＋∠4＝180（平角的度数是180°） ∠1＋∠2＋∠3＝180（三角形的内角和是180°） 所以∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4。 所以∠1＋∠2＝∠4（等量代换）。 【点评】解题关键是灵活运用三角形的内角和定理和平角的特征解答。 【考点七】角的度量和计算解决问题 【典例一】如图的角用量角器测量出是（    ）°，是（    ）角，以角的两边为相邻边画一个平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【答案】45；锐；见详解 【分析】（1）用量角器量角的度数方法：使量角器的中心和角的一条边的端点重合，0°刻度线和边重合；看角的另一条边对齐量角器角哪一个刻度，就是角的度数。小于90°的角是锐角，大于90°而小于180°的角是钝角，等于90°的角是直角。据此解答。 （2）平行四边形有两组对边平行且相等；分别作这个角的两边的平行线，与这个角的两边围成平行四边形；经过平行四边形一边上的一点向对边画垂线，该点与垂足之间的线段就是这个平行四边形的高。 【解答】用量角器测量出是45°，45°＜90°，这个角是锐角。 作图如下： （高的画法不唯一） 【点评】本题考查用量角器量角度，以及利用直尺、三角板作平行线和垂线的能力。 【典例二】下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 【答案】（1）65° （2）（3）见详解 【分析】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）平行四边形：对边平行且相等，根据平行四边形的特征，分别画出过A点和过C点，BC和AB的平行线，围起来的就是平行四边形。 （3）从C点向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。 【解答】（1）∠ABC的度数是65°。 （2）（3） 【点评】平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。 【典例三】把三角形的边延长到点（如下图）。 你同意文文的说法吗？请说明你的理由。 【答案】同意；理由见详解 【分析】根据三角形内角和等于180°，平角度数等于180°，进行分析。 【解答】∠A＋∠B＋∠ACB＝180° ∠1＋∠ACB＝180° 所以∠1＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB 两边同时减去∠ACB ∠1＝∠A＋∠B＝30°＋50°＝80° 所以文文的说法正确，同意文文的说法。 【点评】关键是掌握三角形内角和，知道平角度数。 【典例四】如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 【答案】（1）105 （2）∠3；∠5 （3）能；见详解 【分析】（1）∠1和∠4合起来是一个平角，即为180度，利用180度减去∠1的度数即可求出∠4的度数； （2）相邻的两个角可以组成180度，就说这两个角为邻补角，据此找出； （3）根据三角形的内角和定理和平角的原理推理解答。 【解答】（1）∠4＝180°－75°＝105°； （2）因为∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠4＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是∠3和∠6，一组是∠2和∠5。 （3）关系：三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和。 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠6＋∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－∠6，整理得∠1＋∠2＝∠6。 【点评】本题考查了三角形内角和的知识及平角的原理的应用。 第四部分真题专练 一、填空题 1．经过一点，可以画（ ）条直线，经过两点可以画（ ）条直线。 【答案】无数 1 【分析】 根据直线的性质，经过一点，可以画无数条直线，如图：，经过两点可以画1条直线，如图：，据此解答即可。 【解答】由分析可知，经过一点，可以画无数条直线，经过两点可以画1条直线。 2．图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【答案】1 8 6 【分析】根据线段、射线和直线的含义：线段有限长，有两个端点，所以任意两个点间的一段都可以看成一条线段，所以图中有AB、AC、AD、BC、BD、CD6条线段；射线有一个端点，无限长，所以图中的每一个点都可以看成射线的端点，从这个点向左或向右延伸，分别可以得到两条射线，图中共有4个点，所以共有4×2＝8（条）射线；直线无端点，无限长，所以图中只有1条直线。 【解答】图中有1条直线，8条射线，6条线段。 【点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点。 3．点A、B、C、D、E、F按此顺序排列在一条直线上，各线段长度如表。线段AD＝（ ）cm，线段BE＝（ ）cm。 AF AC BD CE DF 37cm 12cm 11cm 12cm 16cm 【答案】21 14 【分析】如图： AD＝AF－DF、BE＝BC＋CE，其中BC＝AC＋BD－AD，据此列式计算。 【解答】AD＝37－16＝21（cm） BC＝12＋11－21＝2（cm） BE＝2＋12＝14（cm） 【点评】本题凭想象会增加思维难度，可以画一画示意图。 4．同一平面内有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有（ ）个不同的数值。 【答案】9 【分析】要分情况讨论。根据5条直线最多平行的数量讨论，有5、4、3、2、0这五种平行的情况。 【解答】（1）5条直线都平行，则n＝0； （2）4条直线平行，n＝4； （3）3条直线平行，n＝7、5、6； （4）2条直线平行，n＝4、6、7、8、9； （5）没有直线平行，n＝1、5、6、8、10； 则，1，4，5，6，7，8，9或10，共有9个不同数值。 5．如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是（ ）平方厘米。 【答案】16 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，长方形是特殊的平行四边形，可知同底等高的平行四边形的面积相等，所以甲的面积＋乙的面积＝乙的面积＋丙的面积，据此解答。 【解答】观察图形可知，甲的面积＋乙的面积＝丙的面积＋乙的面积， 所以甲的面积＝丙的面积， 因为甲的面积是16平方厘米， 所以丙的面积是16平方厘米。 【点评】本题考查了等（或同）底等高的平行四边形的面积相等的知识点。 6．图中与线段垂直的线段是（ ）；与线段垂直的线段是（ ）。 【答案】 【分析】根据直角以及两直线垂直的定义：直角是等于90°的角；如果两条直线相交，且相交的角有一个直角，则这两条直线垂直；据此定义判断即可。 【解答】根据分析可得，∠AOC＝∠BOD＝90°，则线段OD与线段OB垂直，线段OC与线段OA垂直。 7．奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分成两类。其中，与图①同一类的有（ ）（填序号）。 【答案】②③⑤⑥ 【分析】在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，即相交或平行，在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。而垂直是相交的一种特殊情况。据此分析作答。 【解答】奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分成两类。其中，与图①同一类的有②③⑤⑥（填序号）。 8．新定义：在一个已知角的内部，从这个角的顶点作一条射线，连同已知角在内可以得到三个角。如果这三个角中有一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，我们把这条射线叫作这个已知角的双分线。如图，已知∠ABC＝36°，如果射线BD是∠ABC的双分线，那么的度数是（ ）。 【答案】18°、24°、12° 【分析】根据“这三个角中有一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍”可知：①∠ABC和∠DBC的度数比是2∶1，那么用36°除以2即可求出∠DBC的度数；②∠DBC与∠ABD的度数比是2∶1，那么36°对应2＋1＝3份，用36°除以3求出1份的度数，再乘2即可求出∠DBC的度数；③∠ABD与∠DBC的度数比是2∶1，那么36°对应2＋1＝3份，用36°除以3求出1份的度数，即可求出∠DBC的度数。 【解答】根据分析作图如下： ①     36°÷2＝18°   ②     36°÷（2＋1）×2 ＝36°÷3×2 ＝12°×2 ＝24° ③     36°÷（2＋1） ＝36°÷3 ＝12° 如果射线BD是∠ABC的双分线，那么∠DBC的度数是18°、24°、12°。 9．想一想，在括号里填“可能”“不可能”或“一定”。 锐角＋锐角（ ）得到锐角； 钝角－锐角（ ）得到直角； 平角－锐角（ ）得到钝角； 直角＋锐角（ ）得到平角。 【答案】可能 可能 一定 不可能 【分析】锐角是小于90°的角；直角是等于90°的角；钝角是大于90°且小于180°的角；平角是等于180°的角；“一定”表示事件肯定会发生，没有任何不确定性；“可能”表示事件有可能发生，但也有可能不发生；“不可能”表示事件绝对不会发生，据此举例判断。 【解答】30°＋40°＝70°，60°＋30°＝90°，60°＋70°＝130°； 锐角＋锐角可能是锐角、直角或钝角；所以锐角＋锐角可能得到锐角； 170°－20°＝150°，170°－80°＝90°，110°－70°＝40°； 钝角－锐角可能是锐角、直角或钝角；所以钝角－锐角可能得到直角； 180°－20°＝160°，180°－80°＝100°； 平角－锐角一定能得到钝角； 90°＋20°＝110°，90°＋89°＝179°； 直角＋锐角等于钝角，所以直角＋锐角不可能得到平角。 10．钟面上分针旋转一周，转过的角度是（ ）角，此时时针转过的角度是（ ）°。钟面上6时整，时针和分针组成的角是（ ）角。 【答案】周 30 平 【分析】将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1°，一个圆即360°。一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，平角＝180°。一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫周角，周角＝360°。 据此钟面上分针旋转一周，转过的角度就是周角，转过的角度就是360°。钟面上一共有12个大格，据此1大格＝360°÷12＝30°，此时时针转过1大格，即30°。钟面上6时整，时针和分针在同一条直线上，它们组成的角是平角。 【解答】根据分析可得： 360°÷12＝30° 钟面上分针旋转一周，转过的角度是周角，此时时针转过的角度是30 °。钟面上6时整，时针和分针组成的角是平角。 二、选择题 11．下面四种说法中正确的有（    ）种。 （1）0没有倒数。 （2）正比例图象上所有点所对应的两个数的积都相等。 （3）线段是直线的一部分。 （4）非0自然数中，不是质数，就是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先需要逐一分析每个说法是否正确，然后统计正确的个数，最后选出对应的选项。 【解答】（1）乘积是1的两个数互为倒数，即一个数a的倒数是，其中a≠0，因为0不能作为分母，所以0没有倒数。所以原说法正确。 （2）两种相关联的量的比值一定，是正比例，则正比例图像中所对应点的两个数的商一定。所以原说法正确。 （3）直线是无限延伸的，而线段是其中的有限部分。所以原说法正确。 （4）质数是指大于1的自然数，除了1和它本身没有其他因数；合数是指大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数。所以，1既不是质数也不是合数。因此在非0自然数中，除了质数和合数之外，还有1这个数，所以这个说法是错误的。所以原说法错误。 正确的有：（1）、（3），有2种。 故答案为：B 12．下面四种说法中错误的是（    ）。 A．0和1都没有倒数。 B．合数至少有三个因数。 C．线段是直线的一部分。 D．折线统计图能比较直观反映数据的增减变化情况。 【答案】A 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，则0没有倒数，1的倒数是它本身 合数的定义是除了1和它本身之外还有其他因数的数，也就是因数个数至少三个。比如4的因数有1、2、4，三个因数。 直线是无限延伸的，而线段有两个端点，是直线上两点之间的部分。 折线统计图通常用来显示数据随时间或其他因素的变化趋势。 【解答】A．1有倒数，是它本身，该说法错误。 B．合数定义为至少有三个因数的数，该说法正确。 C．线段是直线上两点间的部分，该说法正确。 D．折线统计图通常用来显示数据随时间或其他因素的变化趋势，比如温度变化、销售增长等，该说法正确。 故答案为：A 13．夜幕下的天津津湾广场灯火辉煌，可以把光源发出的光线看成（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 【答案】B 【分析】根据线段、射线和直线的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；据此即可解答。 【解答】由分析可知： 因为射线有一个端点，无限长；所以可以把光源发出的光线看成射线。 故答案为：B 14．下图中共有（    ）条线段。 A．8 B．10 C．5 D．4 【答案】B 【分析】含2个端点的线段有4条，含3个端点的线段有3条，含4个端点的线段有2条，含5个端点的线段有1条，依此计算出线段的总条数即可。 【解答】4＋3＋2＋1＝10（条），即图中共有10条线段。 故答案为：B 【点评】熟练掌握线段的特点是解答此题的关键。 15．已知一条直线和直线外的、两点，以、两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形。除此之外还能画出（    ）个符合条件的等腰三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】作AB的垂直平分线，与直线交点是C1，可做等腰三角形；以AB为半径，以A为圆心画圆，与直线有两个交点，分别是C2，C3，这两个点都是符合条件的C；同样，以AB为半径，以B为圆心画圆，与直线有两个交点，分别是C4，C5，这两个点都是符合条件的C。根据上述分析解答。 【解答】根据分析可知除已知的点C之外，还能画出4个符合条件的等腰三角形。 故答案为：D 【点评】本题结合圆、垂线的知识，考查等腰三角形的特征，解题关键是拿哪条边作为等腰三角形的腰。 16．下面叙述正确的是（    ）。 A．长分别为1cm、2cm和3cm的小棒可以围成三角形 B．1000支铅笔的质量接近1吨 C．如果，那么和成反比例 D．不相交的两条直线叫平行线 【答案】C 【分析】A．根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，据此判断即可； B．根据1吨＝1000千克，据此判断即可； C．两个相关联的量，若它们的乘积一定，则它们成反比例； D．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；据此判断即可。 【解答】A．因为1＋2＝3，不符合三角形的三边关系，所以不能围成三角形； B．若1000支铅笔的质量接近1吨，则每支铅笔的重量为1千克，不符合实际情况； C．因为，所以xy＝3×5＝15，它们的乘积一定，所以x和y成反比例； D．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，题干中并没有说明是在同一个平面内，所以原题干说法错误。 故答案为：C 【点评】本题主要考查反比例的判定，明确反比例的定义是解题的关键。 17．（    ）的长度可以是4厘米。 A．一条射线 B．一条线段 C．一条直线 D．一条垂线 【答案】B 【分析】线段2个端点，不能延伸，可以测量长度。射线1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度。直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。垂线属于直线。 【解答】线段的长度可以是4厘米。 故答案为：B 【点评】此题考查了直线、射线、线段的定义，要熟练掌握。 18．在比例尺是1∶20的图纸上画出一种机械配件平面图的角是40度。这个角实际是（    ）度。 A．2 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据：比例尺＝图上距离÷实际距离，是指长度尺寸按比例放大或缩小。 【解答】根据比例尺是1∶20的图纸，知道图上距离是1厘米，实际距离是20厘米， 是长度尺寸是按比例缩小，角的大小与边的长度无关，只与两边叉开的程度有关， 所以角的度数是不会变的。 故答案为：C 【点评】本题主要考查了比例尺的意义以及角的意义。 19．在下面四句话中，正确的一句是（    ）。 A．小于90度的角都是锐角，大于90度的角都是钝角 B．在比例中，两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数 C．一只热水瓶的容积是500毫升 D．在C＝πd中，C和π成正比例 【答案】B 【解答】A．大于90度的角还可能是平角和周角，则A错； B．例如：1∶4＝∶1，1和1互为倒数，4×＝1，即两个内项也互为倒数，B正确； C．热水瓶的容积不可能那么小，C错； D．π是恒定的，C不会和π成正比例，D错； 故答案为：B 20．从8：00到12：00，时针在钟面上形成的角是一个（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 D．平角 【答案】A 【分析】钟面共有12个大格，共360°，每个大格是360°÷12＝30°，从8：00到12：00共走了4个大格，然后根据锐角、直角、钝角和平角的定义解答即可。 【解答】30°×4＝120°，120°是钝角。 故答案为：A 【点评】本题考查角的度量，明确钟面上每个大格表示30°是解题的关键。 三、操作题 21．按要求作图。 （1）量出∠D的度数。 （2）过点A作梯形的高。 （3）找出图中一组平行线加粗。 【答案】见详解 【分析】（1）量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈； （2）在梯形中，从上底的A点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离是梯形的高； （3）在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。梯形的上底和下底互相平行。 【解答】作图如下： 22．过C点，分别画出OA的平行线和OB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过C点画OA的平行线，固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后，沿直角边画出另一条直线即可。 过C点画OB的垂线，先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【解答】如图： 四、解答题 23．从A地到B地有三条（如下图），走哪条路最近？ 【答案】中间 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，据此分析。 【解答】走中间那条路最近，因为中间那条路是条线段，两点之间的距离，线段最短。 24．现在小鸭要从岸边的点A到对岸的点B，你能帮它设计一条省力的路线吗？ 【答案】见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此解答。 【解答】答：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的垂线，这时小鸭子在岸上走的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。作图如下： 25．按要求画图，再回答问题。 （1）画出直线AB。   （2）画出直线BC。     （3）画好的图形中有哪几种角？ 【答案】（1）（2）画图见详解； （3）画好的图形中有锐角、钝角和平角 【分析】（1）画直线AB，用直尺连接A、B两点并向两端延长即可； （2）画直线BC，用直尺连接B、C两点并向两端延长即可； （3）直线AB和直线BC相交于B点，一共构成了4个角，其中锐角和钝角；分别以A、B、C为顶点，两条直线可以看作平角。所以画好的图形中有锐角、钝角和平角。 【解答】 画好的图形中有锐角、钝角和平角。 26．画图。 （1）过一点O，能画直线吗？能画几条？ （2）经过两点A、B，能不能画直线？能画几条？ 【答案】（1）能，无数条；（2）能，一条。 【分析】根据直线的性质：同一平面内，两点确定一条直线，过一点能画无数条直线；据此解答即可。 【解答】（1）根据直线的性质可知：过一点O，能画直线，且能画无数条。 （2）经过两点A、B，能画直线，且只能画一条。 【点评】本题主要考查的是直线的性质，解题关键在于熟知概念。 27．兰兰在泳池B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。 （1）画出妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线。 这样画的理由是______。 （2）画出妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。 这样画的理由是______。 【答案】（1）见详解；两点之间线段最短。   （2）见详解；从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 【分析】（1）妈妈从A点到B点的最短路线就是直接画线段AB。理由：因为在平面上两点之间，线段最短。   （2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线是从B点向泳池边界作垂线，直接到达池边。理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 【解答】（1）妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线如下： 理由：因为在平面上两点之间，线段最短。   （2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线如下： 理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 28．成语“立竿见影”指的是在阳光下竖起竹竿，立刻就看到了竹竿的影子，比喻行事能马上看到效果或付出能马上得到收获。古人在平常的的生活场景中得到了许多诸如此类的智慧，可见学习处处都在发生。 （1）这个成语蕴含了我们学到的（    ）的知识。 （2）同一地点、同一时刻，光照的角度不变，那么不同的事物都会在同一个角度下，形成自己的影子。请你结合下图长竹竿及其影子，简要画出短竹竿的影子。 【答案】（1）正比例； （2）见详解 【分析】（1）光线照到竹竿上，竹竿会挡住光的传播，所以在竹竿后面光照不到的地方形成了影子，据此解答。 （2）同一时间，同一地点，光照的角度不变，竹竿影子的方向是相同的。连接长竹竿顶端和其影子的顶端，这条线代表光线的方向。过短竹竿的顶端作一条与刚才连线平行的的直线，该直线与地面的交点和短竹竿底部的连线就是短竹竿的影子，据此作图。 【解答】（1）根据分析，成语“立竿见影”蕴含了我们学到的正比例的知识。 （2）根据分析，短竹竿影子（红色虚线）如下图所示。 29．如图，从A，B两村各挖一条水渠与河连通。要使水渠最短，应怎样挖？在图中画出来。若这幅图的比例尺是1∶100000，那么从A，B两村修的水渠实际长度各是多少？ 【答案】沿垂直线段挖；画图见详解；2500米；1200米 【分析】根据点到直线的距离垂直线段最短，分别从A，B两村向水渠做垂直线段，沿着垂直线段去挖，水渠最短。过直线外一点作作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 测量出垂直线段的长度，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。 【解答】 测量可知，A点到直线的图上距离2.5厘米，B点到直线的图上距离1.2厘米。 2.5÷＝2.5×100000＝250000（厘米）＝2500（米） 1.2÷＝1.2×100000＝120000（厘米）＝1200（米） 答：分别从A，B两村向水渠做垂直线段，沿着垂直线段去挖，水渠最短。从A，B两村修的水渠实际长度各是2500米、1200米。 30．如图所示，把△ABC的边CB延长到点D，请说明∠1＋∠2＝∠4。 。 【答案】说明：∠1、∠2与∠3的和是180°，∠3与∠4的和也是180°，那么∠1、∠2的和等于∠4。 【分析】根据三角形的内角和是180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠CBD是平角也是180°，∠3＋∠4＝180°，通过等量代换把∠3替换后，再应用等式性质证明∠1、∠2、∠4之间的关系，据此解答。 【解答】因为∠1、∠2、∠3是△ABC的三个内角 所以∠1＋∠2＋∠3＝180°（1） 因为∠CBD＝180° 所以∠3＋∠4＝180°（2） 由（2）变形得∠3＝180°－∠4（3） 把（3）代入（1）∠1＋∠2＋（180°－∠4）＝180° ∠1＋∠2＋180°－∠4＝180° ∠1＋∠2＋180°－∠4－180°＝180°－180° ∠1＋∠2－∠4＝0 ∠1＋∠2－∠4＋∠4＝0＋∠4 ∠1＋∠2＝∠4 说明：∠1、∠2与∠3的和是180°，∠3与∠4的和也是180°，那么∠1、∠2的和等于∠4。 31．（1）请在下边残破的量角器上标画出一个以O为顶点70°的角。 （2）聪聪说：在这个量角器上可以找到的最大角是160°。你认为他说的对吗？写出你的理由。 【答案】（1）见详解 （2）不对；最大可以找到140°的角 【分析】（1）画一个70°的角可根据以下步骤进行：先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，20°刻度线和射线重合；在量角器90°角刻度线的地方点一个点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个70°的角； （2）不同意，最大可以找到140°的角。 【解答】（1）如下图所示（画法不唯一）： （2）不同意，最大可以找到140°的角。 160°－20°＝140° 32．用量角器量出下面各角并回答问题。 ∠1＝      ∠3＝    ∠5＝ ∠2＝      ∠4＝    ∠6＝ 通过测量，你发现∠1和∠2有什么关系？∠3和∠4有什么关系？∠5和∠6有什么关系？ 【答案】见详解 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，最后根据测量出的结果得出结论，据此解答。 【解答】测量可知，∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝30°，∠4＝30°，∠5＝57°，∠6＝33°，∠5＋∠6＝57°＋33°＝90°。 综上所述，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＋∠6＝90°。 33．如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 【答案】（1）105 （2）∠3；∠5 （3）能；见详解 【分析】（1）∠1和∠4合起来是一个平角，即为180度，利用180度减去∠1的度数即可求出∠4的度数； （2）相邻的两个角可以组成180度，就说这两个角为邻补角，据此找出； （3）根据三角形的内角和定理和平角的原理推理解答。 【解答】（1）∠4＝180°－75°＝105°； （2）因为∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠4＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是∠3和∠6，一组是∠2和∠5。 （3）关系：三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和。 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠6＋∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－∠6，整理得∠1＋∠2＝∠6。 【点评】本题考查了三角形内角和的知识及平角的原理的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题31 线和角 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、直线、射线和线段。 4 二、相交与平行。 5 三、平行线。 6 四、垂直和垂线。 6 五、角的认识。 7 六、角的分类。 8 七、角的度量。 8 八、角的画法。 8 第三部分典例精讲 9 【考点一】直线、射线和线段的认识 9 【考点二】平行与垂直 10 【考点三】画平行线或垂线 11 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 12 【考点五】角的度量 13 【考点六】平角、周角的认识及特征 14 【考点七】角的度量和计算解决问题 16 第四部分真题专练 17 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、直线、射线和线段。 1、直线 （1）直线的定义。 直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。直线可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如图 （2）直线的性质。 a.经过一点，可以画无数条直线;经过两点，只能画一条直线，即两点确定一条直线。 b.两条直线相交，只有一个交点。 c.直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不可以度量长度。 2、射线。 （1）射线的定义。 在直线上某一点起朝向一边的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线用表示它的端点和射线上任意一点的两个大写字母表示，并把表示端点的字母写在前面，如下图， （2）射线的性质。 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不可以度量长度。 3、线段。 （1）线段的定义。 直线上任意两点之间的部分叫作线段。这两点叫作线段的端点。线段有长短，可以度量长度。线段可以用表示它的两个端点的大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如下图 （2）线段的性质. 在连接两点的所有连线中，线段最短(如下图)。简单地说，两点之间，线段最短。 4、直线、射线和线段的区别与联系。 二、相交与平行。 1、相交。 一般相交，如: 互相垂直(两条直线相交成直角)，如: 2、互相平行。 两条直线在同一平面内不相交，如: 三、平行线。 1、平行线的定义。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、平行线的性质。 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。 （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线间的距离。 两条直线互相平行时，从一条直线上的任意一点向另一条直线画垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度叫作这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。 4、平行线的画法 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺， （1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。 （2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺， （3）平移后，沿三角尺的直角边画出另一条直线。 四、垂直和垂线。 1、垂直和垂线的定义。 如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2、垂线的基本性质。 （1）经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 （2）从直线外一点到这条直线上的所有线段中，垂直线段最短。(如下图) 3、垂线的画法。 （1）过直线上一点画已知直线的垂线 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合。 c.从三角尺直角的顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的乖线。 （2）过直线外一点画已知直线的垂线。 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 c.沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。 五、角的认识。 1、角的定义。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 2、角的表示方法 角通常用符号“∠”表示。下图中的角可记作∠AOB(读作“角 AOB”)或∠BOA(读作“角 BOA”)。当以 O点为顶点的角只有一个时，也可记作∠O。还可以在角的顶部标注上数字或希腊字母，用弧线表示角的范围，下图中的角也可记作∠1。 六、角的分类。 角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 大于0°小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360° 七、角的度量。 1、度量角的工具是量角器。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。量角器为半圆形，被平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度，记作1° 2、用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 八、角的画法。 1、用量角器画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线与射线重合。然后根据所要画的角的度数在量角器上对应的刻度线的地方点一个点。最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 第三部分典例精讲 【考点一】直线、射线和线段的认识 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一条射线长25厘米 B．一个三角形三个内角的度数的比是1∶2∶2 C．一个角的两条边越长，这个角就越大 D．三根小棒的长度分别是5厘米、5厘米、10厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形 【典例二】图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【典例三】如图，图中共有（ ）条射线，（ ）条线段。 【典例四】在一条直线上有7个点，则共有（ ）条射线，有（ ）条线段。 【考点二】平行与垂直 【典例一】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，那么其它三个角是（ ）角。 【典例二】同一个平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）。 【典例三】如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是（ ）平方厘米。 【典例四】同一平面内有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有（ ）个不同的数值。 【考点三】画平行线或垂线 【典例一】画一画。 （1）用数对表示A点的位置是 。 （2）连接AC，过D点作AC的平行线。 （3）把长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°。 （4）按1∶2画出长方形ABCD缩小后的图形。 【典例二】画一画，量一量。 （1）过A点画线段BC的垂线，垂足为D； （2）量一量A点到线段BC的距离是（    ）cm；（结果保留一位小数） （3）过A点画出BC的平行线； （4）以AD为直径画圆，并求出该圆的周长和面积。（结果用π表示） 【典例三】 （1）画出将圆A向上平移5格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（    ）。 （2）过B点作直线a的垂线。 （3）画出把三角形EPF绕P点顺时针旋转90°后的图形。 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 【典例一】7时15分，钟面上分针与时针所组成的角是（ ）角。 【典例二】如图，下面线段表示0°到360°，点A表示 角。 【典例三】一个直角三角形，两个锐角的度数比是2∶3，这两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 【典例四】在直角三角形中，一个锐角是45°，另一个锐角是（ ）°，这也是一个（ ）三角形。 【考点五】角的度量 【典例一】现在是北京时间上午8点，再过（ ）分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【典例二】若现在是9点零5分，再过（ ）分钟，时针和分针第一次重合。 【典例三】图中AB＝AC，用含有字母的式子表示∠1＝（ ）°，如果n°＝110°，那么∠2＝（ ）°。 【典例四】钟表上的9时整，时针和分针成（ ）角；6时整时针和分针成（ ）角。 【考点六】平角、周角的认识及特征 【典例一】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【典例二】在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（ ）度。 【典例三】如图，O是钟面中心，A、B、C均在圆上，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【典例四】如图，把三角形ABC的边BC延长到点D，可以推理说明。你能看懂下面的推理过程吗？在括号内写出推理的依据。 推理过程： 因为（平角的度数是） （ ） 所以 所以（ ） 【考点七】角的度量和计算解决问题 【典例一】如图的角用量角器测量出是（    ）°，是（    ）角，以角的两边为相邻边画一个平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【典例二】下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 【典例三】把三角形的边延长到点（如下图）。 你同意文文的说法吗？请说明你的理由。 【典例四】如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 第四部分真题专练 一、填空题 1．经过一点，可以画（ ）条直线，经过两点可以画（ ）条直线。 2．图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 3．点A、B、C、D、E、F按此顺序排列在一条直线上，各线段长度如表。线段AD＝（ ）cm，线段BE＝（ ）cm。 AF AC BD CE DF 37cm 12cm 11cm 12cm 16cm 4．同一平面内有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有（ ）个不同的数值。 5．如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是（ ）平方厘米。 6．图中与线段垂直的线段是（ ）；与线段垂直的线段是（ ）。 7．奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分成两类。其中，与图①同一类的有（ ）（填序号）。 8．新定义：在一个已知角的内部，从这个角的顶点作一条射线，连同已知角在内可以得到三个角。如果这三个角中有一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，我们把这条射线叫作这个已知角的双分线。如图，已知∠ABC＝36°，如果射线BD是∠ABC的双分线，那么的度数是（ ）。 9．想一想，在括号里填“可能”“不可能”或“一定”。 锐角＋锐角（ ）得到锐角； 钝角－锐角（ ）得到直角； 平角－锐角（ ）得到钝角； 直角＋锐角（ ）得到平角。 10．钟面上分针旋转一周，转过的角度是（ ）角，此时时针转过的角度是（ ）°。钟面上6时整，时针和分针组成的角是（ ）角。 二、选择题 11．下面四种说法中正确的有（    ）种。 （1）0没有倒数。 （2）正比例图象上所有点所对应的两个数的积都相等。 （3）线段是直线的一部分。 （4）非0自然数中，不是质数，就是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．下面四种说法中错误的是（    ）。 A．0和1都没有倒数。 B．合数至少有三个因数。 C．线段是直线的一部分。 D．折线统计图能比较直观反映数据的增减变化情况。 13．夜幕下的天津津湾广场灯火辉煌，可以把光源发出的光线看成（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 14．下图中共有（    ）条线段。 A．8 B．10 C．5 D．4 15．已知一条直线和直线外的、两点，以、两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形。除此之外还能画出（    ）个符合条件的等腰三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 16．下面叙述正确的是（    ）。 A．长分别为1cm、2cm和3cm的小棒可以围成三角形 B．1000支铅笔的质量接近1吨 C．如果，那么和成反比例 D．不相交的两条直线叫平行线 17．（    ）的长度可以是4厘米。 A．一条射线 B．一条线段 C．一条直线 D．一条垂线 18．在比例尺是1∶20的图纸上画出一种机械配件平面图的角是40度。这个角实际是（    ）度。 A．2 B．20 C．40 D．80 19．在下面四句话中，正确的一句是（    ）。 A．小于90度的角都是锐角，大于90度的角都是钝角 B．在比例中，两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数 C．一只热水瓶的容积是500毫升 D．在C＝πd中，C和π成正比例 20．从8：00到12：00，时针在钟面上形成的角是一个（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 D．平角 三、操作题 21．按要求作图。 （1）量出∠D的度数。 （2）过点A作梯形的高。 （3）找出图中一组平行线加粗。 22．过C点，分别画出OA的平行线和OB的垂线。 四、解答题 23．从A地到B地有三条（如下图），走哪条路最近？ 24．现在小鸭要从岸边的点A到对岸的点B，你能帮它设计一条省力的路线吗？ 25．按要求画图，再回答问题。 （1）画出直线AB。   （2）画出直线BC。     （3）画好的图形中有哪几种角？ 26．画图。 （1）过一点O，能画直线吗？能画几条？ （2）经过两点A、B，能不能画直线？能画几条？ 27．兰兰在泳池B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。 （1）画出妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线。 这样画的理由是______。 （2）画出妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。 这样画的理由是______。 28．成语“立竿见影”指的是在阳光下竖起竹竿，立刻就看到了竹竿的影子，比喻行事能马上看到效果或付出能马上得到收获。古人在平常的的生活场景中得到了许多诸如此类的智慧，可见学习处处都在发生。 （1）这个成语蕴含了我们学到的（    ）的知识。 （2）同一地点、同一时刻，光照的角度不变，那么不同的事物都会在同一个角度下，形成自己的影子。请你结合下图长竹竿及其影子，简要画出短竹竿的影子。 29．如图，从A，B两村各挖一条水渠与河连通。要使水渠最短，应怎样挖？在图中画出来。若这幅图的比例尺是1∶100000，那么从A，B两村修的水渠实际长度各是多少？ 30．如图所示，把△ABC的边CB延长到点D，请说明∠1＋∠2＝∠4。 。 31．（1）请在下边残破的量角器上标画出一个以O为顶点70°的角。 （2）聪聪说：在这个量角器上可以找到的最大角是160°。你认为他说的对吗？写出你的理由。 32．用量角器量出下面各角并回答问题。 ∠1＝      ∠3＝    ∠5＝ ∠2＝      ∠4＝    ∠6＝ 通过测量，你发现∠1和∠2有什么关系？∠3和∠4有什么关系？∠5和∠6有什么关系？ 33．如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 31 线和角 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、直线、射线和线段。 .................................................. 4 二、相交与平行。 ........................................................ 5 三、平行线。 ............................................................ 6 四、垂直和垂线。 ........................................................ 6 五、角的认识。 .......................................................... 7 六、角的分类。 .......................................................... 8 七、角的度量。 .......................................................... 8 八、角的画法。 .......................................................... 8 第三部分典例精讲 ............................................................9 【考点一】直线、射线和线段的认识 ............................................9 【考点二】平行与垂直 .......................................................10 【考点三】画平行线或垂线 ...................................................11 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 .....................................12 【考点五】角的度量 .........................................................13 【考点六】平角、周角的认识及特征 ...........................................14 【考点七】角的度量和计算解决问题 ...........................................16 第四部分真题专练 ...........................................................17 4 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、直线、射线和线段。 1、直线 （1）直线的定义。 直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。直线可以用两个大写字母来表示，也可以用 一个小写字母来表示，如图 （2）直线的性质。 a.经过一点，可以画无数条直线;经过两点，只能画一条直线，即两点确定一条直线。 b.两条直线相交，只有一个交点。 5 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 c.直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不可以度量长度。 2、射线。 （1）射线的定义。 在直线上某一点起朝向一边的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线用表示它的端点和 射线上任意一点的两个大写字母表示，并把表示端点的字母写在前面，如下图， （2）射线的性质。 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不可以度量长度。 3、线段。 （1）线段的定义。 直线上任意两点之间的部分叫作线段。这两点叫作线段的端点。线段有长短，可以度量长度。 线段可以用表示它的两个端点的大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如下图 （2）线段的性质. 在连接两点的所有连线中，线段最短(如下图)。简单地说，两点之间，线段最短。 4、直线、射线和线段的区别与联系。 二、相交与平行。 1、相交。 6 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 一般相交，如: 互相垂直(两条直线相交成直角)，如: 2、互相平行。 两条直线在同一平面内不相交，如: 三、平行线。 1、平行线的定义。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、平行线的性质。 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。 （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线间的距离。 两条直线互相平行时，从一条直线上的任意一点向另一条直线画垂线，所得的平行线间的垂直 线段的长度叫作这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。 4、平行线的画法 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺， （1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。 （2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺， （3）平移后，沿三角尺的直角边画出另一条直线。 四、垂直和垂线。 1、垂直和垂线的定义。 如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂 线，它们的交点叫作垂足。 7 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2、垂线的基本性质。 （1）经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 （2）从直线外一点到这条直线上的所有线段中，垂直线段最短。(如下图) 3、垂线的画法。 （1）过直线上一点画已知直线的垂线 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合。 c.从三角尺直角的顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的 乖线。 （2）过直线外一点画已知直线的垂线。 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 c.沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。 五、角的认识。 1、角的定义。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 8 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2、角的表示方法 角通常用符号“∠”表示。下图中的角可记作∠AOB(读作“角 AOB”)或∠BOA(读作“角 BOA”)。 当以 O点为顶点的角只有一个时，也可记作∠O。还可以在角的顶部标注上数字或希腊字母， 用弧线表示角的范围，下图中的角也可记作∠1。 六、角的分类。 角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 大于 0° 小于 90° 等于 90° 大于 90°小 于180° 等于 180° 等于 360° 七、角的度量。 1、度量角的工具是量角器。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。量角器为半圆形，被平均分成 180 份，每一份所 对的角的大小是 1度，记作 1° 2、用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的 另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 八、角的画法。 1、用量角器画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0 刻度线与射线重 9 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 合。然后根据所要画的角的度数在量角器上对应的刻度线的地方点一个点。最后以画出的射线 的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 第三部分典例精讲 【考点一】直线、射线和线段的认识 【典例一】下面说法正确的是（ ）。 A．一条射线长 25 厘米 B．一个三角形三个内角的度数的比是 1∶2∶2 C．一个角的两条边越长，这个角就越大 D．三根小棒的长度分别是 5厘米、5厘米、10 厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形 【典例二】图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【典例三】如图，图中共有（ ）条射线，（ ）条线段。 10 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】在一条直线上有 7个点，则共有（ ）条射线，有（ ）条线段。 【考点二】平行与垂直 【典例一】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，那么其它三个角是（ ）角。 【典例二】同一个平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）。 【典例三】如图，两条平行线间，甲的面积是 16 平方厘米，乙的面积是 11 平方厘米，丙的面 积是（ ）平方厘米。 【典例四】同一平面内有 5条不同的直线，这 5条直线共形成 n个交点，则 n有（ ） 个不同的数值。 11 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点三】画平行线或垂线 【典例一】画一画。 （1）用数对表示 A点的位置是 。 （2）连接 AC，过 D点作 AC 的平行线。 （3）把长方形 ABCD 绕点 B逆时针旋转 90°。 （4）按 1∶2画出长方形 ABCD 缩小后的图形。 【典例二】画一画，量一量。 （1）过 A点画线段 BC 的垂线，垂足为 D； （2）量一量 A点到线段 BC 的距离是（ ）cm；（结果保留一位小数） （3）过 A点画出 BC 的平行线； （4）以 AD 为直径画圆，并求出该圆的周长和面积。（结果用π表示） 12 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】 （1）画出将圆 A向上平移 5格后的图形，平移后 A点的位置用数对表示是（ ）。 （2）过 B点作直线 a的垂线。 （3）画出把三角形 EPF 绕 P 点顺时针旋转 90°后的图形。 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 【典例一】7时 15 分，钟面上分针与时针所组成的角是（ ）角。 【典例二】如图，下面线段表示 0°到 360°，点 A表示 角。 13 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】一个直角三角形，两个锐角的度数比是 2∶3，这两个锐角分别是（ ）°和 （ ）°。 【典例四】在直角三角形中，一个锐角是 45°，另一个锐角是（ ）°，这也是一个（ ） 三角形。 【考点五】角的度量 【典例一】现在是北京时间上午 8点，再过（ ）分时，时针和分针在“6”的两侧离 “6”字的夹角相等。 【典例二】若现在是 9点零 5分，再过（ ）分钟，时针和分针第一次重合。 【典例三】图中 AB＝AC，用含有字母的式子表示∠1＝（ ）°，如果 n°＝110°，那 么∠2＝（ ）°。 14 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】钟表上的 9时整，时针和分针成（ ）角；6时整时针和分针成（ ） 角。 【考点六】平角、周角的认识及特征 【典例一】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【典例二】在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（ ）度。 15 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】如图，O是钟面中心，A、B、C均在圆上，则∠1＝（ ）°，∠2＝ （ ）°。 【典例四】如图，把三角形 ABC 的边 BC 延长到点 D，可以推理说明 1 2 4    。你能看懂下 面的推理过程吗？在括号内写出推理的依据。 推理过程： 因为 3 4 180    （平角的度数是180） 1 2 3 180    （ ） 所以 1 2 3 3 4      所以 1 2 4    （ ） 16 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点七】角的度量和计算解决问题 【典例一】如图的角用量角器测量出是（ ）°，是（ ）角，以角的两边为相邻边画一个 平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【典例二】下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC 的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过 C点画出平行四边形的一条高。 【典例三】把三角形 ABC 的 BC 边延长到点D（如下图）。 17 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 你同意文文的说法吗？请说明你的理由。 【典例四】如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两 组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得 出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能， 请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 第四部分真题专练 一、填空题 1．经过一点，可以画（ ）条直线，经过两点可以画（ ）条直线。 2．图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 18 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 3．点 A、B、C、D、E、F按此顺序排列在一条直线上，各线段长度如表。线段 AD＝（ ） cm，线段 BE＝（ ）cm。 AF AC BD CE DF 37cm 12cm 11cm 12cm 16cm 4．同一平面内有 5条不同的直线，这 5条直线共形成 n个交点，则 n有（ ）个不同 的数值。 5．如图，两条平行线间，甲的面积是 16 平方厘米，乙的面积是 11 平方厘米，丙的面积是 （ ）平方厘米。 6．图中与线段OB 垂直的线段是（ ）；与线段OA垂直的线段是（ ）。 7．奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分 成两类。其中，与图①同一类的有（ ）（填序号）。 8．新定义：在一个已知角的内部，从这个角的顶点作一条射线，连同已知角在内可以得到三 个角。如果这三个角中有一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，我们把这条射线叫作这 个已知角的双分线。如图，已知∠ABC＝36°，如果射线 BD 是∠ABC 的双分线，那么 DBC 的 度数是（ ）。 19 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 9．想一想，在括号里填“可能”“不可能”或“一定”。 锐角＋锐角（ ）得到锐角； 钝角－锐角（ ）得到直角； 平角－锐角（ ）得到钝角； 直角＋锐角（ ）得到平角。 10．钟面上分针旋转一周，转过的角度是（ ）角，此时时针转过的角度是（ ）°。 钟面上 6时整，时针和分针组成的角是（ ）角。 二、选择题 11．下面四种说法中正确的有（ ）种。 （1）0没有倒数。 （2）正比例图象上所有点所对应的两个数的积都相等。 （3）线段是直线的一部分。 （4）非 0自然数中，不是质数，就是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．下面四种说法中错误的是（ ）。 A．0和 1都没有倒数。 B．合数至少有三个因数。 C．线段是直线的一部分。 D．折线统计图能比较直观反映数据的增减变化情况。 13．夜幕下的天津津湾广场灯火辉煌，可以把光源发出的光线看成（ ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 14．下图中共有（ ）条线段。 A．8 B．10 C．5 D．4 15．已知一条直线和直线外的A、 B 两点，以A、 B 两点和直线上某一点作为三角形的三个顶 点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形 ABC 。除此之外还能画出（ ）个符合 20 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 条件的等腰三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 16．下面叙述正确的是（ ）。 A．长分别为 1cm、2cm 和 3cm 的小棒可以围成三角形 B．1000 支铅笔的质量接近 1吨 C．如果 3 y x 5  ，那么 x和 y成反比例 D．不相交的两条直线叫平行线 17．（ ）的长度可以是 4厘米。 A．一条射线 B．一条线段 C．一条直线 D．一条垂线 18．在比例尺是 1∶20 的图纸上画出一种机械配件平面图的角是 40 度。这个角实际是（ ） 度。 A．2 B．20 C．40 D．80 19．在下面四句话中，正确的一句是（ ）。 A．小于 90 度的角都是锐角，大于 90 度的角都是钝角 B．在比例中，两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数 C．一只热水瓶的容积是 500 毫升 D．在 C＝πd中，C和π成正比例 20．从 8：00 到 12：00，时针在钟面上形成的角是一个（ ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 D．平角 三、操作题 21．按要求作图。 （1）量出∠D的度数。 （2）过点 A作梯形的高。 （3）找出图中一组平行线加粗。 21 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 22．过 C点，分别画出 OA 的平行线和 OB 的垂线。 四、解答题 23．从 A地到 B地有三条（如下图），走哪条路最近？ 24．现在小鸭要从岸边的点 A到对岸的点 B，你能帮它设计一条省力的路线吗？ 22 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 25．按要求画图，再回答问题。 （1）画出直线 AB。 （2）画出直线 BC。 （3）画好的图形中有哪几种角？ 26．画图。 （1）过一点 O，能画直线吗？能画几条？ （2）经过两点 A、B，能不能画直线？能画几条？ 27．兰兰在泳池 B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。 （1）画出妈妈从 A点出发帮助兰兰的最短路线。 23 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 这样画的理由是______。 （2）画出妈妈到达 B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。 这样画的理由是______。 28．成语“立竿见影”指的是在阳光下竖起竹竿，立刻就看到了竹竿的影子，比喻行事能马上 看到效果或付出能马上得到收获。古人在平常的的生活场景中得到了许多诸如此类的智慧，可 见学习处处都在发生。 （1）这个成语蕴含了我们学到的（ ）的知识。 （2）同一地点、同一时刻，光照的角度不变，那么不同的事物都会在同一个角度下，形成自 己的影子。请你结合下图长竹竿及其影子，简要画出短竹竿的影子。 29．如图，从 A，B两村各挖一条水渠与河连通。要使水渠最短，应怎样挖？在图中画出来。 若这幅图的比例尺是 1∶100000，那么从 A，B两村修的水渠实际长度各是多少？ 24 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 30．如图所示，把△ABC 的边 CB 延长到点 D，请说明∠1＋∠2＝∠4。 。 31．（1）请在下边残破的量角器上标画出一个以 O为顶点 70°的角。 （2）聪聪说：在这个量角器上可以找到的最大角是 160°。你认为他说的对吗？写出你的理 由。 32．用量角器量出下面各角并回答问题。 ∠1＝ ∠3＝ ∠5＝ ∠2＝ ∠4＝ ∠6＝ 25 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 通过测量，你发现∠1和∠2有什么关系？∠3和∠4有什么关系？∠5和∠6有什么关系？ 33．如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两 组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得 出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能， 请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 1 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 31 线和角 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、直线、射线和线段。 .................................................. 4 二、相交与平行。 ........................................................ 5 三、平行线。 ............................................................ 6 四、垂直和垂线。 ........................................................ 6 五、角的认识。 .......................................................... 7 六、角的分类。 .......................................................... 8 七、角的度量。 .......................................................... 8 八、角的画法。 .......................................................... 8 第三部分典例精讲 ............................................................9 【考点一】直线、射线和线段的认识 ............................................9 【考点二】平行与垂直 .......................................................10 【考点三】画平行线或垂线 ...................................................12 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 .....................................15 【考点五】角的度量 .........................................................17 【考点六】平角、周角的认识及特征 ...........................................19 【考点七】角的度量和计算解决问题 ...........................................21 第四部分真题专练 ...........................................................24 4 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、直线、射线和线段。 1、直线 （1）直线的定义。 直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。直线可以用两个大写字母来表示，也可以用 一个小写字母来表示，如图 （2）直线的性质。 a.经过一点，可以画无数条直线;经过两点，只能画一条直线，即两点确定一条直线。 b.两条直线相交，只有一个交点。 5 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 c.直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不可以度量长度。 2、射线。 （1）射线的定义。 在直线上某一点起朝向一边的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线用表示它的端点和 射线上任意一点的两个大写字母表示，并把表示端点的字母写在前面，如下图， （2）射线的性质。 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不可以度量长度。 3、线段。 （1）线段的定义。 直线上任意两点之间的部分叫作线段。这两点叫作线段的端点。线段有长短，可以度量长度。 线段可以用表示它的两个端点的大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如下图 （2）线段的性质. 在连接两点的所有连线中，线段最短(如下图)。简单地说，两点之间，线段最短。 4、直线、射线和线段的区别与联系。 二、相交与平行。 1、相交。 6 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 一般相交，如: 互相垂直(两条直线相交成直角)，如: 2、互相平行。 两条直线在同一平面内不相交，如: 三、平行线。 1、平行线的定义。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、平行线的性质。 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。 （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线间的距离。 两条直线互相平行时，从一条直线上的任意一点向另一条直线画垂线，所得的平行线间的垂直 线段的长度叫作这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。 4、平行线的画法 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺， （1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。 （2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺， （3）平移后，沿三角尺的直角边画出另一条直线。 四、垂直和垂线。 1、垂直和垂线的定义。 如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂 线，它们的交点叫作垂足。 7 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2、垂线的基本性质。 （1）经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 （2）从直线外一点到这条直线上的所有线段中，垂直线段最短。(如下图) 3、垂线的画法。 （1）过直线上一点画已知直线的垂线 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合。 c.从三角尺直角的顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的 乖线。 （2）过直线外一点画已知直线的垂线。 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 c.沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。 五、角的认识。 1、角的定义。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 8 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2、角的表示方法 角通常用符号“∠”表示。下图中的角可记作∠AOB(读作“角 AOB”)或∠BOA(读作“角 BOA”)。 当以 O点为顶点的角只有一个时，也可记作∠O。还可以在角的顶部标注上数字或希腊字母， 用弧线表示角的范围，下图中的角也可记作∠1。 六、角的分类。 角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 大于 0° 小于 90° 等于 90° 大于 90°小 于180° 等于 180° 等于 360° 七、角的度量。 1、度量角的工具是量角器。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。量角器为半圆形，被平均分成 180 份，每一份所 对的角的大小是 1度，记作 1° 2、用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的 另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 八、角的画法。 1、用量角器画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0 刻度线与射线重 9 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 合。然后根据所要画的角的度数在量角器上对应的刻度线的地方点一个点。最后以画出的射线 的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 第三部分典例精讲 【考点一】直线、射线和线段的认识 【典例一】下面说法正确的是（ ）。 A．一条射线长 25 厘米 B．一个三角形三个内角的度数的比是 1∶2∶2 C．一个角的两条边越长，这个角就越大 D．三根小棒的长度分别是 5厘米、5厘米、10 厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形 【答案】B 【分析】射线的长度是无限的；角的大小和开口有关，和两边的长度无关；三角形的内角和 180 度，有 3个角，可以根据 3个角的比分别求出 3个角的角度；三角形任意两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边；据此解答。 【解答】A．射线没有长度，所以一条射线长 25 厘米说法错误； B．根据三角形内角和知识可知，一个三角形三个内角的度数的比是 1∶2∶2，说法正确； C．角的大小与边的长短无关，与开口大小有关，所以一个角的两条边越长，这个角就越大说 法错误； D．因为 5＋5＝10（厘米） 不符合三角形两边之和大于第三边的特征，所以三根小棒的长度分别是 5厘米、5厘米、10 厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形说法错误。 故答案为：B 【点评】本题考查了射线的认识、三角形内角和以及按比例分配、角的认识、三角形三边的特 征等知识，结合题意角的即可。 【典例二】图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 10 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】1 8 6 【分析】直线：没有端点，两端都可以无限延长，不可度量长度。 射线：1个端点，一端可以无限延长，不可度量长度。 线段：2个端点，可以度量长度，是直线的一部分。 【解答】直线有 1条； 以 A、B、C、D为端点的射线各有 2条，共有 8条； 线段有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共有 6条。 填空如下： 图中有（1）条直线，（8）条射线，（6）条线段。 【典例三】如图，图中共有（ ）条射线，（ ）条线段。 【答案】6 3 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的一端无限延长，得 到一条射线，射线有一个端点。据此可知，一共有 3个点，有 6条射线。单独的线段有 2条， 由这两条线段组成的线段有 1条，一共有 3条线段。 【解答】图中共有 6条射线，3条线段。 【点评】本题考查射线和线段的特征，射线有一个端点，线段有两个端点。 【典例四】在一条直线上有 7个点，则共有（ ）条射线，有（ ）条线段。 【答案】14 21 【分析】当一条直线上有 n个点时，有 2n 条射线，有  n n 1 2  条线段；据此解答。 【解答】在一条直线上有 7个点，则共有 7×2＝14 条射线，有 7×（7－1）÷2＝21 条线段。 【点评】明确直线上点数和射线、线段条数的关系是解题的关键。 【考点二】平行与垂直 【典例一】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，那么其它三个角是（ ）角。 【答案】直 【分析】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，说明这两条直线互相垂直，则所成 的角是直角。 11 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】根据分析可知其它三个角都是直角。 【点评】两直线相交有一个角是直角，说明这两条直线互相垂直。 【典例二】同一个平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）。 【答案】相交 平行 【分析】 在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交如图所示： 或平行 ， 据此解答即可。 【解答】同一个平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 【典例三】如图，两条平行线间，甲的面积是 16 平方厘米，乙的面积是 11 平方厘米，丙的面 积是（ ）平方厘米。 【答案】16 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝ 长×宽，长方形是特殊的平行四边形，可知同底等高的平行四边形的面积相等，所以甲的面积 ＋乙的面积＝乙的面积＋丙的面积，据此解答。 【解答】观察图形可知，甲的面积＋乙的面积＝丙的面积＋乙的面积， 所以甲的面积＝丙的面积， 因为甲的面积是 16 平方厘米， 所以丙的面积是 16 平方厘米。 【点评】本题考查了等（或同）底等高的平行四边形的面积相等的知识点。 【典例四】同一平面内有 5条不同的直线，这 5条直线共形成 n个交点，则 n有（ ） 个不同的数值。 【答案】9 【分析】要分情况讨论。根据 5条直线最多平行的数量讨论，有 5、4、3、2、0这五种平行的 情况。 【解答】（1）5条直线都平行，则 n＝0； 12 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）4条直线平行，n＝4； （3）3条直线平行，n＝7、5、6； （4）2条直线平行，n＝4、6、7、8、9； （5）没有直线平行，n＝1、5、6、8、10； 则 0n  ，1，4，5，6，7，8，9或 10，共有 9个不同数值。 【考点三】画平行线或垂线 【典例一】画一画。 （1）用数对表示 A点的位置是 。 （2）连接 AC，过 D点作 AC 的平行线。 （3）把长方形 ABCD 绕点 B逆时针旋转 90°。 （4）按 1∶2画出长方形 ABCD 缩小后的图形。 【答案】（1）（1，5）； 13 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）（3）（4）图见详解 【分析】（1）根据数对的表示方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数进行解答即 可； （2）用直尺作出线段 AC，再根据平行线的画法进行作图即可； （3）分别画出 A，C，D绕 B点逆时针旋转 90°的位置，然后按照顺序依次连接即可； （4）把原长方形的长和宽都缩小到原来的 1 2 ，原长方形的长和宽分别是 4格和 2格，缩小后 的长方形的长和宽分别是 2格和 1格，据此作图。 【解答】（1）A在第一列，第五行，所以 A的位置为（1，5）； （2）（3）（4）如图： 【点评】本题主要考查了数对与位置、作平行线、作旋转后的图形以及图形的放大与缩小，属 于作图题的综合，需要学生熟练掌握这些作图方法。 【典例二】画一画，量一量。 （1）过 A点画线段 BC 的垂线，垂足为 D； （2）量一量 A点到线段 BC 的距离是（ ）cm；（结果保留一位小数） （3）过 A点画出 BC 的平行线； （4）以 AD 为直径画圆，并求出该圆的周长和面积。（结果用π表示） 【答案】（1）见详解； （2）1.4 （3）见详解； 14 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （4）画图：见详解； 1.4π厘米；0.49π平方厘米 【分析】（1）根据过直线外一点作垂线的步骤画图即可；把三角尺的一条直角边与已知直线 重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直 角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线； （2）A点到线段 BC 的距离是 1.4cm； （3）根据过直线外一点画已知直线的平行线的步骤画图即可；固定三角尺，沿一条直角边先 画一条直线；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平 移后，沿直角边画出另一条直线； （4）根据“C＝2πr”、“s＝πr²”求出圆的周长和面积即可。 【解答】如图： （2）A点到线段 BC 的距离是 1.4cm； （4）周长为：1.4π厘米； 面积：（1.4÷2）²π＝0.49π平方厘米 【点评】本题综合性较强，熟练掌握过直线外一点画垂线和平行线的方法，以及圆的周长和面 积公式是解答本题的关键。 【典例三】 （1）画出将圆 A向上平移 5格后的图形，平移后 A点的位置用数对表示是（ ）。 （2）过 B点作直线 a的垂线。 15 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （3）画出把三角形 EPF 绕 P 点顺时针旋转 90°后的图形。 【答案】（1）图见详解，（2，7）；（2）（3）见详解 【分析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此先将点 A向上平移 5格，再以平 移后的点 A为圆心，以 2为半径即可画出这个平移后的图形，再利用数对表示位置的方法表示 平移后 A点的位置； （2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条 直角边和 B点重合，过 B沿直角边向已知直线 a画直线即可； （3）明确旋转中心以 P点为旋转中心，确定旋转方向和角度，顺时针旋转 90°，先描出旋转 后的对应点再连线即可。 【解答】（1）画出将圆 A向上平移 5格后的图形①，平移后 A点的位置用数对表示是（2，7）。 （1）（2）（3）作图如下： 【点评】本题考查了图形的平移、旋转及垂线的画法，关键是画图要准确。 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 【典例一】7时 15 分，钟面上分针与时针所组成的角是（ ）角。 【答案】钝 【分析】7时 15 分时，时针刚超过 7，分针指着 3，所以时针和分针之间超过 4个大格不到 5 个大格，30°×4＝120°，所以时针和分针所组成的角是钝角。 【解答】（7－3）×30° ＝4×30° ＝120° 7 时 15 分，钟面上分针与时针所组成的角大于 120°，是钝角。 16 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】如图，下面线段表示 0°到 360°，点 A表示 角。 【答案】钝 【分析】观察发现把 360°的周角平均分成 4份，每一份是 90°，A点表示的角大于 90°，小 于 180°，钝角是大于 90°小于 180°的角，据此解答。 【解答】根据分析： 360°÷4＝90° 90°＜A＜180° 因此点 A表示钝角。 【典例三】一个直角三角形，两个锐角的度数比是 2∶3，这两个锐角分别是（ ）°和 （ ）°。 【答案】36 54 【分析】直角三角形的两锐角和是 90 度，两个锐角的度数比是 2∶3，即两个锐角共（2＋3） 份，先求出一份对应的度数，再分别乘两个锐角的份数即可。 【解答】90÷（2＋3） ＝90÷5 ＝18（度） 18×2＝36（度） 18×3＝54（度） 即这两个锐角分别是 36°和 54°。 【典例四】在直角三角形中，一个锐角是 45°，另一个锐角是（ ）°，这也是一个（ ） 三角形。 【答案】45 等腰直角/等腰 【分析】由题意可知，已知是直角三角形，一个锐角是 45°，根据三角形的内角和是 180°， 即可计算出另一个锐角的度数，然后比较两个锐角的大小，再根据等腰三角形的性质判断即可。 【解答】180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 17 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 所以另一个锐角是 45°，两个锐角相等，这也是一个等腰直角三角形。 【考点五】角的度量 【典例一】现在是北京时间上午 8点，再过（ ）分时，时针和分针在“6”的两侧离 “6”字的夹角相等。 【答案】 240 13 【分析】时针 12 小时走了 360°，则平均每小时走 30°，即 60 分钟走了 30°，即每分钟走 30 60 0.5  度，分针走一圈也就是 60 分钟走 360°，即每分钟走360 60 6  度。 设再过 x分时时针和分针在 6的两侧离 6字的夹角相等，分针这时候走了 6x 度，则与“6”的 夹角是（180－6x）°。当上午 8点时，时针和“6”的夹角是 60°，则时针 x分钟后与“6” 的夹角是（60＋0.5x）°。根据两个夹角相等得出方程，解方程即可。 【解答】解：设再过 x分时时针和分针在 6的两侧离 6字的夹角相等。 180－6x＝60＋0.5x 6x＋0.5x＝180－60 6.5x＝120 x＝120÷6.5 x＝ 240 13 则再过 240 13 分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【点评】本题考查钟表问题，关键是明确时针和分针每分钟走的度数，再列方程解答。 【典例二】若现在是 9点零 5分，再过（ ）分钟，时针和分针第一次重合。 【答案】 485 11 【分析】可以将这个问题看成一个追及的问题。钟表盘上，一圈是 360°，且分成了 12 个大 格子，每个大格子是 30°。分针走一圈是 60 分钟，也是是 360°，每分钟转 6°，时针走一 圈是 12 小时，也就是 720 分钟，则时针每分钟旋转 0.5°。9：05 时，时针指着 9到 10 之间， 分针指着 1，由于是分针去追时针，这时夹角是 8个大格子＋时针移动的 5分钟则为 242.5°。 追及的问题，分针追时针，分针走的度数减去时针的度数等于两个针一开始相差的度数。换句 话说：追及的时间＝两个针一开始相差的度数÷速度差。 【解答】分针每分钟走的度数：360°÷60＝6° 18 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 时针每分钟走的度数：360°÷720＝0.5° 8×30°＋5×0.5° ＝240°＋2.5° ＝242.5° 242.5÷（6－0.5） ＝242.5÷5.5 ＝ 485 11 【点评】可以将钟表时针和分针问题，看成追及问题。注意：时针每分钟走 6°，分针每分钟 走 0.5°。时针每小时走 30°，分针小时走 360°。 【典例三】图中 AB＝AC，用含有字母的式子表示∠1＝（ ）°，如果 n°＝110°，那 么∠2＝（ ）°。 【答案】 180 2 －n 145 【分析】由题意可知：AB＝AC，所以△ABC 是等腰三角形，且 A为顶角，因此可根据等腰三角 形的性质及三角形内角和定理，可知∠1和∠C相等，用（180°－n°）÷2即可求出∠1 的度 数，把 n°＝110°代入（180°－n°）÷2计算即可求出∠1的度数，最后用 180°减去∠1 的度数，即可求出∠2的度数。 【解答】因为 AB＝AC 所以△ABC 是等腰三角形， ∠1＝∠C 所以∠1 ＝（180°－n°）÷2 ＝ 180 2 －n ° 如果 n°＝110°， 那么∠1为（180°－110°）÷2 19 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝70°÷2 ＝35° 180°－35°＝145° 用含有字母的式子表示∠1＝ 180 2 －n °，如果 n°＝110°，那么∠2＝145°。 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识的应用，由已知条件判 断出∠A为顶角是正确解答本题的关键。 【典例四】钟表上的 9时整，时针和分针成（ ）角；6时整时针和分针成（ ） 角。 【答案】90°或直 180°或平 【分析】时钟上 12 个数字把钟面平均分成 12 个大格，每个大格是 30°。9时整，时针和分针 之间有 3个大格，夹角是 3×30°＝90°，是一个直角。6时整时针和分针之间有 6个大格， 夹角是 6×30°＝180°，是一个平角。 【解答】3×30°＝90°，6×30°＝180° 则钟表上的 9时整，时针和分针成 90°或直角；6时整时针和分针成 180°或平角。 【点评】本题是一个钟表问题，钟表 12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 30°，借助图 形，更容易解决。 【考点六】平角、周角的认识及特征 【典例一】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【答案】38 【分析】三角形的内角和是 180°；等边三角形的特征：等边三角形的三条边相等，三个内角 相等。 从图中可知，∠1、∠2和等边三角形的一个内角组成平角，用平角的度数减去∠1的度数，再 减去等边三角形的一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【解答】等边三角形的内角是：180°÷3＝60° ∠2＝180°－82°－60°＝38° 20 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 则∠2＝38°。 【典例二】在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（ ）度。 【答案】30 【分析】分析题目，分针转动一周是 60 分钟，也就是 1个小时，时针转动 1周是 12 小时，即 时针 12 小时转动 360°，据此用 360°除以 12 即可解答。 【解答】360°÷12＝30° 在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是 30 度。 【典例三】如图，O是钟面中心，A、B、C均在圆上，则∠1＝（ ）°，∠2＝ （ ）°。 【答案】60 30 【分析】根据图示可知，O是钟面中心，OA 指向 12，OB 指向 4，根据钟表上一个大格 30°， ∠1的两边 OB 和 OC 分别指向 4和 6，所以∠1＝30°×（6－4）；则∠AOB＝180°－∠1，因 为 OA＝OB，所以三角形 AOB 是个等腰三角形，所以∠2＝∠OBA＝（180°－∠AOB）÷2。 【解答】∠1为：30°×（6－4） ＝30°×2 ＝60° ∠AOB 为：180°－60°＝120° ∠2为：（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 所以∠1等于 60°，∠2等于 30°。 【点评】本题考查了根据钟表来求角的度数知识，结合图示分析解答即可。 【典例四】如图，把三角形 ABC 的边 BC 延长到点 D，可以推理说明 1 2 4    。你能看懂下 21 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 面的推理过程吗？在括号内写出推理的依据。 推理过程： 因为 3 4 180    （平角的度数是180） 1 2 3 180    （ ） 所以 1 2 3 3 4      所以 1 2 4    （ ） 【答案】三角形的内角和是 180° 等量代换 【分析】（1）根据平角的含义，等于 180°的角是平角，所以∠3和∠4组成平角； （2）三角形的三个内角的和是 180 度，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠3和∠4组成一 个平角，所以∠3＋∠4＝180°，∠3没变，所以∠4＝∠1＋∠2，据此解答即可。 【解答】因为∠3＋∠4＝180（平角的度数是 180°） ∠1＋∠2＋∠3＝180（三角形的内角和是 180°） 所以∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4。 所以∠1＋∠2＝∠4（等量代换）。 【点评】解题关键是灵活运用三角形的内角和定理和平角的特征解答。 【考点七】角的度量和计算解决问题 【典例一】如图的角用量角器测量出是（ ）°，是（ ）角，以角的两边为相邻边画一个 平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【答案】45；锐；见详解 【分析】（1）用量角器量角的度数方法：使量角器的中心和角的一条边的端点重合，0°刻度 线和边重合；看角的另一条边对齐量角器角哪一个刻度，就是角的度数。小于 90°的角是锐 22 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 角，大于 90°而小于 180°的角是钝角，等于 90°的角是直角。据此解答。 （2）平行四边形有两组对边平行且相等；分别作这个角的两边的平行线，与这个角的两边围 成平行四边形；经过平行四边形一边上的一点向对边画垂线，该点与垂足之间的线段就是这个 平行四边形的高。 【解答】用量角器测量出是 45°，45°＜90°，这个角是锐角。 作图如下： （高的画法不唯一） 【点评】本题考查用量角器量角度，以及利用直尺、三角板作平行线和垂线的能力。 【典例二】下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC 的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过 C点画出平行四边形的一条高。 【答案】（1）65° （2）（3）见详解 【分析】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条 边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）平行四边形：对边平行且相等，根据平行四边形的特征，分别画出过 A点和过 C点，BC 和 AB 的平行线，围起来的就是平行四边形。 （3）从 C点向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。 【解答】（1）∠ABC 的度数是 65°。 23 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）（3） 【点评】平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形 一般用图形名称加四个顶点依次命名。 【典例三】把三角形 ABC 的 BC 边延长到点D（如下图）。 你同意文文的说法吗？请说明你的理由。 【答案】同意；理由见详解 【分析】根据三角形内角和等于 180°，平角度数等于 180°，进行分析。 【解答】∠A＋∠B＋∠ACB＝180° ∠1＋∠ACB＝180° 所以∠1＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB 两边同时减去∠ACB ∠1＝∠A＋∠B＝30°＋50°＝80° 所以文文的说法正确，同意文文的说法。 【点评】关键是掌握三角形内角和，知道平角度数。 【典例四】如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两 组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得 24 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能， 请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 【答案】（1）105 （2）∠3；∠5 （3）能；见详解 【分析】（1）∠1和∠4合起来是一个平角，即为 180 度，利用 180 度减去∠1的度数即可求 出∠4的度数； （2）相邻的两个角可以组成 180 度，就说这两个角为邻补角，据此找出； （3）根据三角形的内角和定理和平角的原理推理解答。 【解答】（1）∠4＝180°－75°＝105°； （2）因为∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠4＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以∠1和∠4互为邻补 角，图中还有两组互为邻补角：一组是∠3和∠6，一组是∠2和∠5。 （3）关系：三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和。 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠6＋∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－ ∠6，整理得∠1＋∠2＝∠6。 【点评】本题考查了三角形内角和的知识及平角的原理的应用。 第四部分真题专练 一、填空题 1．经过一点，可以画（ ）条直线，经过两点可以画（ ）条直线。 【答案】无数 1 【分析】 根据直线的性质，经过一点，可以画无数条直线，如图： ，经过两点可以画 1条直线， 如图： ，据此解答即可。 【解答】由分析可知，经过一点，可以画无数条直线，经过两点可以画 1条直线。 25 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2．图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【答案】1 8 6 【分析】根据线段、射线和直线的含义：线段有限长，有两个端点，所以任意两个点间的一段 都可以看成一条线段，所以图中有 AB、AC、AD、BC、BD、CD6 条线段；射线有一个端点，无限 长，所以图中的每一个点都可以看成射线的端点，从这个点向左或向右延伸，分别可以得到两 条射线，图中共有 4个点，所以共有 4×2＝8（条）射线；直线无端点，无限长，所以图中只 有 1条直线。 【解答】图中有 1条直线，8条射线，6条线段。 【点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点。 3．点 A、B、C、D、E、F按此顺序排列在一条直线上，各线段长度如表。线段 AD＝（ ） cm，线段 BE＝（ ）cm。 AF AC BD CE DF 37cm 12cm 11cm 12cm 16cm 【答案】21 14 【分析】如图： AD＝AF－DF、BE＝BC＋CE，其中 BC＝AC＋BD－AD，据此列式计算。 【解答】AD＝37－16＝21（cm） BC＝12＋11－21＝2（cm） BE＝2＋12＝14（cm） 【点评】本题凭想象会增加思维难度，可以画一画示意图。 4．同一平面内有 5条不同的直线，这 5条直线共形成 n个交点，则 n有（ ）个不同 的数值。 【答案】9 【分析】要分情况讨论。根据 5条直线最多平行的数量讨论，有 5、4、3、2、0这五种平行的 26 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 情况。 【解答】（1）5条直线都平行，则 n＝0； （2）4条直线平行，n＝4； （3）3条直线平行，n＝7、5、6； （4）2条直线平行，n＝4、6、7、8、9； （5）没有直线平行，n＝1、5、6、8、10； 则 0n  ，1，4，5，6，7，8，9或 10，共有 9个不同数值。 5．如图，两条平行线间，甲的面积是 16 平方厘米，乙的面积是 11 平方厘米，丙的面积是 （ ）平方厘米。 【答案】16 【分析】两条平行线之间的距离处处相等，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝ 长×宽，长方形是特殊的平行四边形，可知同底等高的平行四边形的面积相等，所以甲的面积 ＋乙的面积＝乙的面积＋丙的面积，据此解答。 【解答】观察图形可知，甲的面积＋乙的面积＝丙的面积＋乙的面积， 27 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 所以甲的面积＝丙的面积， 因为甲的面积是 16 平方厘米， 所以丙的面积是 16 平方厘米。 【点评】本题考查了等（或同）底等高的平行四边形的面积相等的知识点。 6．图中与线段OB 垂直的线段是（ ）；与线段OA垂直的线段是（ ）。 【答案】OD OC 【分析】根据直角以及两直线垂直的定义：直角是等于 90°的角；如果两条直线相交，且相 交的角有一个直角，则这两条直线垂直；据此定义判断即可。 【解答】根据分析可得，∠AOC＝∠BOD＝90°，则线段 OD 与线段 OB 垂直，线段 OC 与线段 OA 垂直。 7．奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分 成两类。其中，与图①同一类的有（ ）（填序号）。 【答案】②③⑤⑥ 【分析】在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，即相交或平行，在同一平面 内，永不相交的两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一 条直线是另一条直线的垂线。而垂直是相交的一种特殊情况。据此分析作答。 【解答】奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些 图分成两类。其中，与图①同一类的有②③⑤⑥（填序号）。 8．新定义：在一个已知角的内部，从这个角的顶点作一条射线，连同已知角在内可以得到三 个角。如果这三个角中有一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，我们把这条射线叫作这 个已知角的双分线。如图，已知∠ABC＝36°，如果射线 BD 是∠ABC 的双分线，那么 DBC 的 度数是（ ）。 28 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】18°、24°、12° 【分析】根据“这三个角中有一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍”可知：①∠ABC 和 ∠DBC 的度数比是 2∶1，那么用 36°除以 2即可求出∠DBC 的度数；②∠DBC 与∠ABD 的度数 比是 2∶1，那么 36°对应 2＋1＝3份，用 36°除以 3求出 1份的度数，再乘 2即可求出∠DBC 的度数；③∠ABD 与∠DBC 的度数比是 2∶1，那么 36°对应 2＋1＝3份，用 36°除以 3求出 1 份的度数，即可求出∠DBC 的度数。 【解答】根据分析作图如下： ① 36°÷2＝18° ② 36°÷（2＋1）×2 ＝36°÷3×2 ＝12°×2 ＝24° ③ 36°÷（2＋1） ＝36°÷3 ＝12° 如果射线 BD 是∠ABC 的双分线，那么∠DBC 的度数是 18°、24°、12°。 9．想一想，在括号里填“可能”“不可能”或“一定”。 29 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 锐角＋锐角（ ）得到锐角； 钝角－锐角（ ）得到直角； 平角－锐角（ ）得到钝角； 直角＋锐角（ ）得到平角。 【答案】可能 可能 一定 不可能 【分析】锐角是小于 90°的角；直角是等于 90°的角；钝角是大于 90°且小于 180°的角； 平角是等于 180°的角；“一定”表示事件肯定会发生，没有任何不确定性；“可能”表示事 件有可能发生，但也有可能不发生；“不可能”表示事件绝对不会发生，据此举例判断。 【解答】30°＋40°＝70°，60°＋30°＝90°，60°＋70°＝130°； 锐角＋锐角可能是锐角、直角或钝角；所以锐角＋锐角可能得到锐角； 170°－20°＝150°，170°－80°＝90°，110°－70°＝40°； 钝角－锐角可能是锐角、直角或钝角；所以钝角－锐角可能得到直角； 180°－20°＝160°，180°－80°＝100°； 平角－锐角一定能得到钝角； 90°＋20°＝110°，90°＋89°＝179°； 直角＋锐角等于钝角，所以直角＋锐角不可能得到平角。 10．钟面上分针旋转一周，转过的角度是（ ）角，此时时针转过的角度是（ ）°。 钟面上 6时整，时针和分针组成的角是（ ）角。 【答案】周 30 平 【分析】将圆平均分成 360 份，将其中 1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是 1°， 一个圆即 360°。一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，平角＝180°。一条射 线绕它的端点旋转一周，形成的角叫周角，周角＝360°。 据此钟面上分针旋转一周，转过的角度就是周角，转过的角度就是 360°。钟面上一共有 12 个大格，据此 1大格＝360°÷12＝30°，此时时针转过 1大格，即 30°。钟面上 6时整，时 针和分针在同一条直线上，它们组成的角是平角。 【解答】根据分析可得： 360°÷12＝30° 钟面上分针旋转一周，转过的角度是周角，此时时针转过的角度是 30 °。钟面上 6时整，时 针和分针组成的角是平角。 30 / 43 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 二、选择题 11．下面四种说法中正确的有（ ）种。 （1）0没有倒数。 （2）正比例图象上所有点所对应的两个数的积都相等。 （3）线段是直线的一部分。 （4）非 0自然数中，不是质数，就是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先需要逐一分析每个说法是否正确，然后统计正确的个数，最后选出对应的选项。 【解答】（1）乘积是 1的两个数互为倒数，即一个数 a的倒数是 1 a ，其中 a≠0，因为 0 不能 作为分母，所以 0没有倒数。所以原说法正确。 （2）两种相关联的量的比值一定，是正比例，则正比例图像中所对应点的两个数的商一定。 所以原说法正确。 （3）直线是无限延伸的，而线段是其中的有限部分。所以原说法正确。 （4）质数是指大于 1的自然数，除了 1和它本身没有其他因数；合数是指大于 1的自然数， 除了 1和它本身还有其他因数。所以，1既不是质数也不是合数。因此在非 0自然数中，除了 质数和合数之外，还有 1这个数，所以这个说法是错误的。所以原说法错误。 正确的有：（1）、（3），有 2种。 故答案为：B 12．下面四种说法中错误的是（ ）。 A．0和 1都没有倒数。 B．合数至少有三个因数。 C．线段是直线的一部分。 D．折线统计图能比较直观反映数据的增减变化情况。 【答案】A 【分析】乘积是 1的两个数互为倒数，则 0没有倒数，1的倒数是它本身 合数的定义是除了 1和它本身之外还有其他因数的数，也就是因数个数至少三个。比如 4 的因 数有 1、2、4，三个因数。 直线是无限延伸的，而线段有两个端点，是直线上两点之间的部分。