专题32 三角形（导图+6个重点速记+11个考点精讲+33道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测（通用版）

1 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 32 三角形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、三角形的定义及各部分名称。 .......................................... 4 二、三角形的底和高。 .................................................... 4 三、三角形的特征。 ...................................................... 4 四、三角形的分类。 ...................................................... 4 五、三角形的周长。 ...................................................... 5 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 .................................. 6 第三部分典例精讲 ............................................................6 【考点一】三角形的概念和表示方法 ............................................6 【考点二】三角形的稳定性及应用 ..............................................8 【考点三】三角形三边关系 ....................................................9 【考点四】三角形的分类 .....................................................10 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ...............................12 【考点六】三角形的内角和 ...................................................13 【考点七】多边形的内角和 ...................................................15 【考点八】三角形的周长 .....................................................17 【考点九】三角形的面积 .....................................................18 【考点十】三角形的高及画法 .................................................19 【考点十一】画三角形 .......................................................21 第四部分真题专练 ...........................................................23 4 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、三角形的定义及各部分名称。 1、在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形。 围成三角形的三条线段叫作三角形的三条边;每两条边的交点叫作三角形的顶点;相邻两条边 所组成的角叫作三角形的角。 二、三角形的底和高。 1、从三角形任意一个顶点到它的对边或对边的延长线作一条垂线，这个顶点到垂足之间的线 段叫作三角形的高，这个顶点所对的边叫作三角形的底。任意一个三角形都有三条高。 三、三角形的特征。 1、三角形的内角和等于 180°。 2、三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、三角形具有稳定性。 四、三角形的分类。 1、按角分。 5 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于 90°。 直角三角形：可记作 Rt△．其中一个角必须等于 90°。 钝角三角形：有一个角大于 90°。 判定法二： 锐角三角形：最大角小于 90°。 直角三角形：最大角等于 90°。 钝角三角形：最大角大于 90°。 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2、按边分。 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 3、等边三角形和等腰三角形。 （1）等腰三角形的定义和性质。 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． （2）等边三角形定义。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等 腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等 边三角形： a、三边长度相等。 b、三个内角度数均为 60 度。 c、一个内角为 60 度的等腰三角形。 五、三角形的周长。 1、三角形 3条边的长度和叫作三角形的周长，用含有字母的式子表示为 C=a+b+c。 6 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 1、用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。 观察发现：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，每个三角形的面积是 平行四边形面积的一半。因此三角形的面积=底 x高÷2，用含有字母的式子表示为 S=ah÷2。 第三部分典例精讲 【考点一】三角形的概念和表示方法 【典例一】下面图形（ ）是三角形。（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】三角形是由 3条线段首尾依次连接而成的封闭图形；据此找出三角形即可。 【解答】 是三角形； 没有首尾依次连接，不是三角形； 有一段曲线不是线段，不是三角形； 7 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 不是封闭图形，不是三角形； 是三角形。 下面图形①⑤是三角形。 【典例二】下面图形中各有多少个三角形？ （ ） 个 （ ）个 （ ）个 【答案】8 5 20 【分析】第一个图形中，单独的三角形有 4个，两个三角形组成的三角形有 4个，则一共有（4 ＋4）个三角形；第二个图形中单独的三角形有 4个，四个三角形组成的大三角形有 1个，则 一共有（4＋1）个三角形；第三个图形中，单独的小三角形有 4个，两个三角形组成的三角形 有 3个，三个三角形组成的有 2个，四个三角形组成 1个大三角形，一个三角形和另一个图形 组成的三角形有 4个，两个三角形和两个其他图形组成的三角形有 3个，三个三角形和三个其 他图形组成的三角形有 2个，大三角形有 1个，一共有（4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1）个三角形。 【解答】4＋4＝8（个） 4＋1＝5（个） 4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1＝20（个） 【典例三】数一数图中共有（ ）个三角形。 8 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】27 【分析】观察图形可知，先数单个三角形的个数有 16 个，再数四个图形合成的三角形，共有 7个，再数九个图形合成的三角形，共有 3个，还有 1个由所有三角形合成的大三角形，最后 把这此个数加起来，据此解答即可。 【解答】16 7 3 1 27    （个） 图中共有 27 个三角形。 【点评】先数单个的，再数由几个图形合成的，还要注意按一定顺序找，从上往下数，还可以 正着看，倒着看。 【典例四】用 12 根相同的小棒摆三角形，最多可以摆（ ）个，摆正方形最多可以摆 （ ）个。 【答案】4 3 【分析】三角形每边最少需要 1根小棒，一个三角形需要 3根小棒，那么最多可摆（12÷3） 个三角形； 正方形有 4条边，一个正方形最少需要 4根小棒，那么最多可摆（12÷4）个正方形。 【解答】12÷3＝4（个） 12÷4＝3（个） 所以，用 12 根相同的小棒摆三角形，最多可以摆 4个，摆正方形最多可以摆 3个。 【点评】本题中摆三角形和正方形时，关键是要掌握三角形和正方形的特点。 【考点二】三角形的稳定性及应用 【典例一】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有（ ）的特 征。 【答案】稳定性 【分析】三角形具有稳定性，三角形有着稳固、坚定、耐压的特点，例：埃及金字塔、钢轨、 9 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状 建造，据此填空。 【解答】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有稳定性的特征。 【典例二】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大 量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生 活中（ ）也运用了这一特性。 【答案】三角形的稳定性 摄像机的三脚架 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性即可解答。 【解答】运用了三角形的稳定性原理，生活中摄像机的三脚架也运用了这一特性。（答案不唯 一） 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性以及在生活中的运用。 【考点三】三角形三边关系 【典例一】小红参加了一个风筝制作挑战活动，她决定制作一个三角形的风筝，并已经测量了 两条边的长度，分别是 1.5 米和 2米。为了确保风筝的稳定性，她需要计算出第三条边的长度 范围，即必须小于（ ）米且大于（ ）米。 【答案】3.5 0.5 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此可求出第三边 的范围，由此可解此题。 【解答】2＋1.5＝3.5（米） 2－1.5＝0.5（米） 综上可知，第三条边的长度必须小于 3.5 米且大于 0.5 米。 【典例二】三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长 5cm 和 11cm，那么 还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 10 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】7 15 【分析】根据三角形的特征，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长 取整厘米数进行解答。 【解答】5＋11＝16（厘米） 11－5＝6（厘米） 所以另一根小棒的长度要大于 6厘米，小于 16 厘米，最短 7厘米，最长 15 厘米。 【典例三】一个三角形的两条边长分别是 4厘米和 7厘米，第三条边最长是（ ）厘米， 最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 【答案】10 4 【分析】三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，因此先分 别计算出已知的两边长度之和、长度之差即可，然后用得到的长度之和减 1厘米，长度之差加 1厘米，据此即可解答。 【解答】4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 3厘米＜第三边的长度＜11 厘米 3＋1＝4（厘米） 11－1＝10（厘米） 所以第三条边最长是 10 厘米，最短是 4厘米。 【考点四】三角形的分类 【典例一】一个三角形的三条边长度和为 42cm，三条边长度之比是 2∶3∶2，这个三角形最长 边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 【答案】18 等腰 【分析】已知三角形的三条边长度和为 42cm，三条边长度之比是 2∶3∶2，那么最长的边占三 条边长度和的 3 2 3 2  ，根据求一个数的几分之几是多少，用三条边的长度和乘 3 2 3 2  ，求出 这个三角形的最长边；再根据三角形按边的分类，确定这个三角形的类型。 【解答】42× 3 2 3 2  ＝42× 3 7 ＝18（cm） 11 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 因为三条边长度之比是 2∶3∶2可知，这个三角形有两条边相等，所以它是等腰三角形。 填空如下： 这个三角形最长边是（18）cm。按边分类，它是（等腰）三角形。 【典例二】在直角三角形中，如果一个锐角是 28°，那么另一个锐角是（ ）°；如 果一个锐角的度数是另一个锐角的 2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【答案】62 30 【分析】三角形的内角和为 180°。在直角三角形中，直角的度数为 90°。180°－90°＝90°， 那么另外两个锐角的度数之和为 90°。由题意得，直角三角形的一个锐角是 28°，那么直接 用 90°减去 28°即可算出另一个锐角的度数；如果一个锐角的度数是另一个锐角的 2倍，那 么这两个锐角的度数之和就是较小的那个锐角的度数的 3倍，那么直接用 90°除以 3即可算 出较小的锐角的度数。 【解答】90°－28°＝62° 90°÷（1＋2）＝90°÷3＝30° 在直角三角形中，如果一个锐角是 28°，那么另一个锐角是 62°；如果一个锐角的度数是另 一个锐角的 2倍，那么较小的锐角是 30°。 【典例三】红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是 4∶1∶1，按角分，它是 （ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 【答案】钝角 等腰 【分析】已知三角形的内角和是 180°，三个角的度数比是 4∶1∶1，则这个三角形中最大的 内角占三角形内角和的 4 1 1 4  ，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个 最大内角，然后根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 由三个角的度数比是 4∶1∶1，说明另外两个底角相等，根据等腰三角形的特征“等腰三角形 的两条腰相等，两个底角相等”，据此可知这是一个等腰三角形。 【解答】最大的内角是： 180°× 4 1 1 4  ＝180°× 4 6 ＝120° 90°＜120°＜180°，这是一个钝角三角形。 12 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 由三个角的度数比是 4∶1∶1，说明另外两个底角相等，则这是一个等腰三角形。 填空如下： 按角分，它是（钝角）三角形；按边分，它又是（等腰）三角形。 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例一】一个等腰三角形的周长是 54 厘米，两条边的比是 2∶5，它的底边长（ ） 厘米。 【答案】9 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。 根据“等腰三角形的两条腰相等”，假设这个等腰三角形三条边长的比是 2∶5∶2，因为 2＋2 ＜5，不符合三角形的三边关系，所以这种假设不成立。 假设这个等腰三角形三条边长的比是 2∶5∶5，因为 2＋5＞5，符合三角形的三边关系，所以 这种假设成立。 确定这个等腰三角形三条边长的比是 2∶5∶5，则它的底边长占周长的 2 2 5 5  ，根据求一个数 的几分之几是多少，用周长乘 2 2 5 5  ，求出它的底边长。 【解答】情况一：假设等腰三角形的三条边的比是 2∶5∶2； 2＋2＝4，4＜5，不符合三角形的三边关系，假设不成立。 情况二：假设等腰三角形的三条边的比是 2∶5∶5； 2＋5＝7，7＞5，符合三角形的三边关系，假设成立； 54× 2 2 5 5  ＝54× 1 6 ＝9（厘米） 它的底边长是 9厘米。 【典例二】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【答案】38 13 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】三角形的内角和是 180°；等边三角形的特征：等边三角形的三条边相等，三个内角 相等。 从图中可知，∠1、∠2和等边三角形的一个内角组成平角，用平角的度数减去∠1的度数，再 减去等边三角形的一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【解答】等边三角形的内角是：180°÷3＝60° ∠2＝180°－82°－60°＝38° 则∠2＝38°。 【典例三】一个等腰三角形的一个底角是 65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另 一个等腰一角形中有两条边分别是 4cm 和 8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】50° 20 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形内角和是 180°，一个底角是 65°，则另一个底 角也是 65°，用 180°减去两个底角的和，即可求出顶角的度数。根据三角形三边之间关系： 两边之和大于第三边；4＋4＝8cm，8＝8，所以等腰三角形的两条腰是 8cm，根据三角形周长 求出，用三边之和就是三角形周长，据此解答。 【解答】180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 一个等腰三角形的一个底角是 65°，这个等腰三角形的顶角是 50°；另一个等腰一角形中有 两条边分别是 4cm 和 8cm，这个等腰三角形的周长是 20cm。 【考点六】三角形的内角和 【典例一】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是 （ ）°。 14 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】360 【分析】已知三角形的内角和是 180°，把剩下的图形分成两个三角形，根据三角形的内角和 是 180°，据此得出剩下图形的内角和。 【解答】如图： 180°×2＝360° 剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（360）°。 【典例二】在三角形 ABC 中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分， 这个三角形是（ ）三角形。 【答案】90 直角 【分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是 180°，把 180°平均分成（2＋3 ＋5）份，用除法即可求出 1份的度数，再乘 5求出∠C的度数。∠C是这个三角形的最大内角。 最大内角是钝角的是钝角三角形，最大内角是直角的是直角三角形，最大内角是锐角的是锐角 三角形。 【解答】180°÷（2＋3＋5） ＝180°÷10 ＝18° 18°×5＝90° 所以∠C＝90°，按角的大小分，这个三角形是直角三角形。 【典例三】一个三角形的三个内角度数的比是 1∶2∶3，其中最大的内角的度数是（ ）， 这是一个（ ）三角形。 【答案】90°/90 度 直角 【分析】分析题目，三角形的内角和是 180°，据此先用 180°除以总份数求出一份是多少度， 再乘 3求出最大的角是多少度；最后根据最大的角确定三角形的类型，最大的角是什么角，则 这个三角形就是什么三角形，据此解答。 【解答】180°÷（1＋2＋3） ＝180°÷6 15 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝30° 30°×3＝90° 90°是直角，所以这个三角形是直角三角形。 一个三角形的三个内角度数的比是 1∶2∶3，其中最大的内角的度数是 90°，这是一个直角三 角形。 【考点七】多边形的内角和 【典例一】如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是 （ ）。 【答案】60°/60 度 【分析】分析题目，根据这个四边形是轴对称图形可知：∠1＝∠3，再根据求连比的方法求出 ∠1∶∠2∶∠4，并结合∠1＝∠3写出∠1∶∠2∶∠3∶∠4，最后根据四边形的内角和是 360°， 用 360°乘∠4占四边形内角和的几分之几即可解答。 【解答】∠2∶∠4＝2∶1＝（2×2）∶（1×2）＝4∶2 ∠1∶∠2∶∠4＝3∶4∶2 因为图形是一个轴对称图形，所以∠1＝∠3，所以∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝3∶4∶3∶2。 ∠4＝360°× 2 3 4 3 2   ＝360°× 2 12＝60° 如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是 60°。 【典例二】如图，△ABC 中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 【答案】250 【分析】三角形的内角和是 180°，那么∠1＋∠3＝180°－∠2，代入∠2的角度，求出∠1 与∠3的和； 16 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 四边形的内角和是 360°，那么∠4＋∠5＝360°－（∠1＋∠3），代入∠1与∠3的和，据此 求出∠4与∠5的和。 【解答】∠1＋∠3 ＝180°－∠2 ＝180°－70° ＝110° ∠4＋∠5 ＝360°－（∠1＋∠3） ＝360°－110° ＝250° 则∠4＋∠5＝250°。 【典例三】如图，照这样的规律继续研究下去，十边形的内角和为（ ）°，n边形的 内角和为（ ）°。 图形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … 内角和 180° 360° 540° 720° 【答案】1440 180×（n－2） 【分析】四边形中共画出 l条线段，将其分成 2个三角形，这个四边形的内角和是 180°×2 ＝360°.五边形中共画出 2条线段，将其分成 3个三角形，这个五边形的内角和是 180°×3 ＝540°。六边形中共画出 3条线段，将其分成 4个三角形，这个六边形的内角和是 180°×4 ＝720°。 按上述方式，从边数为 n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多 能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是 180°， 这个多边形的内角和是 180×（n－2），据此解答。 【解答】180°×（10－2） ＝180°×8 ＝1440° 17 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 所以十边形的内角和为 1440°，n边形的内角和为（180×（n－2））°。 【考点八】三角形的周长 【典例一】一个等腰三角形的两条边分别是 1cm 和 8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 【答案】17 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；1＋8＝9cm； 9＞8；8－1＝7cm；7＜8，所以等腰三角形的腰是 8cm，底是 1cm；根据三角形周长的求法，三 边之和，据此求出三角形的周长。 【解答】8×2＋1 ＝16＋1 ＝17（cm） 一个等腰三角形的两条边分别是 1cm 和 8cm，这个三角形的周长是 17cm。 【典例二】一个等腰三角形相邻两边的长是 1 2 分米和 1 4分米，这个等腰三角形的周长是 （ ）分米。 【答案】 11 4 / 5 4 /1.25 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，来确定这个等腰三角形底边和腰的长，进而 求出它的周长是多少，据此解答。 【解答】因为 1 4＋ 1 4 ＝ 1 2 （分米） 所以这个等腰三角形的底是 1 4分米，腰是 1 2 分米。 1 2 ＋ 1 2 ＋ 1 4＝ 11 4（分米） 所以，这个等腰三角形的周长是 11 4分米。 【点评】此题解答是关键是确定等腰三角形的对边和腰的长度，再根据三角形的周长公式解答。 【典例三】A4 纸的秘密：一张 A4 纸，规格是 210×297（单位：mm），经过以下两次对折，可 以得到如下图形，则最后图中小阴影三角形的周长是（ ）mm。 【答案】297 18 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】观察或动手实践后可知，小阴影三角形是个等腰直角三角形，对折后，阴影部分是个 长方形，长方形的宽＝原长方形的长－原长方形的宽＝三角形的直角边，三角形的斜边＝原长 方形的宽－三角形的直角边，据此求出三角形三条边的和即可。 【解答】三角形的直角边：297－210＝87（mm） 三角形的斜边：210－87＝123（mm） 三角形的周长：87×2＋123 ＝174＋123 ＝297（mm） 最后图中小阴影三角形的周长是 297mm。 【点评】关键是具有一定的空间想象能力，也可以用一张 A4 纸实际折一折，即可发现各边之 间的关系。 【考点九】三角形的面积 【典例一】一个平行四边形，底长是 15cm，高是 8cm，这个平行四边形的面积是（ ） cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 【答案】120 60 【分析】根据平行四边形的面积公式 S＝ah，代入数据求出平行四边形的面积，再根据等底等 高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，求出三角形的面积。 【解答】15×8＝120（cm2） 120÷2＝60（cm2） 所以，这个平行四边形的面积是 120cm2，和它等底等高的三角形的面积是 60cm2。 【典例二】如图，把直角三角形放大到原来的 3倍，放大后直角三角形的周长是（ ） cm；若把直角三角形按照 1∶2的比缩小，缩小后三角形的面积为（ ）cm2。 【答案】720 600 【分析】把直角三角形放大到原来的 3倍，即将直角三角形的三条边均扩大到原来的 3倍，据 此算出放大后的直角三角形的三条边，再把三条边相加即可求出周长；把直角三角形按照 1∶ 19 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2 的比缩小，即将每条边长缩小为原来的一半，据此用原来的底和高分别除以 2即可求出缩小 后的底和高，再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可得出缩小后三角形的面积。 【解答】60×3＋80×3＋100×3 ＝180＋240＋300 ＝720（cm） （60÷2）×（80÷2）÷2 ＝30×40÷2 ＝1200÷2 ＝600（cm2） 把直角三角形放大到原来的 3倍，放大后直角三角形的周长是 720cm；若把直角三角形按照 1∶ 2的比缩小，缩小后三角形的面积为 600cm2。 【典例三】如下图，一个梯形的上底比下底短 3分米，高 6分米。把它分成两个三角形，这两 个三角形的面积相差（ ）平方分米。 【答案】9 【分析】根据 2 三角形的面积＝底 高 ，求两个三角形的面积的差，用下底×高÷2－上底×高 ÷2，根据乘法分配律的逆运算  a b a c a b c      ，把算式转化为（下底－上底）×高÷2， 已知上底比下底短 3分米，高 6分米，代入数据计算即可。 【解答】3 6 2  18 2  9 （平方分米） 如图，一个梯形的上底比下底短 3分米，高 6分米。把它分成两个三角形，这两个三角形的面 积相差 9平方分米。 【考点十】三角形的高及画法 【典例一】画出下面各图形底边上的高。 20 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做 三角形的高。据此从底所对的顶点向底作垂直线段即可。 从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般 用虚线表示，并画上垂足符号。据此从底的对边上的任意一点向底作垂直线段。 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。高一般用虚线表示，并画上垂足 符号。据此从梯形的另一条底上的任意一点向它的对边作垂直线段。 【解答】 【典例二】画出以下图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】三角形高的画法：由三角形底边的对应顶点处，向底边做垂线，顶点和垂足之间的线 段就是三角形的高；画高时，注意高和底边所成的直角标上直角符号； 平行四边形高的画法：在底边对应的边上找一个点，过这个点向底边做垂线，和底边的夹角必 须是直角，这个点和垂足之间的线段就是底边上的高。 【解答】如图： 21 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点十一】画三角形 【典例一】画一画（每个方格是边长是 1厘米的正方形）。 （1）画一个直角三角形，直角的顶点在 A点，面积为 10 平方厘米。 （2）画一个直径为 6厘米的圆，圆心在 B点。 【答案】（1）见详解； （2）见详解 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2可知：要画出一个面积是 10 平方厘米的三角形， 则这个三角形的底×高＝10×2，据此根据直角三角形的两条直角边可以分别看作它的底和高 以点 A为一个顶点画出三角形即可； （2）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，先根据 r＝d÷2求出要画出圆的半径，再以此 画圆即可。 【解答】（1）10×2＝20 20＝5×4 可以画一个底是 5厘米高是 4厘米的直角三角形。 （2）6÷2＝3（厘米） （1）（2）作图如下： 22 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （第一小问画法不唯一） 【典例二】如图。 （1）以 AB 为三角形一边，画出高为 3厘米的三角形 ABC。 （2）点 C用数对表示为（ ）。 （3）画出三角形绕 B点按顺时针方向旋转 90 度后的图形。 【答案】（1）（3）图见详解（三角形画法不唯一） （2）（5，7） 【分析】（1）把 AB 边作为三角形的底边，因为线段 AB 位于第 4行，所以与线段 AB 距离为 3 厘米的点都位于第 7行上，据此取 C点，再画出三角形 ABC 即可； （2）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此表示出点 C的位置即可； （3）根据旋转的意义，找出图中三角形 3个关键点，再画出按顺时针方向绕 B点旋转 90 度后 的三角形即可。 【解答】（1）作图如下： 23 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （画法不唯一） （2）点 C用数对表示为（5，7）。 （3）作图如下： 第四部分真题专练 一、填空题 1．一个梯形的下底是 18cm，如果下底缩短 8cm，就成为一个平行四边形，面积减少 28cm2，原 梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】7 98 【分析】分析可知，减少的部分是一个三角形，三角形的面积是 28cm2，底是 8cm，用三角形 的面积乘 2除以底，就求出三角形的高，这个高也是梯形的高； 梯形的下底是 18cm，上底是 18－8，根据：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可得到答 案。 【解答】28×2÷8 ＝56÷8 ＝7（cm） （18－8＋18）×7÷2 24 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝28×7÷2 ＝14×7 ＝98（cm2） 原梯形的高是 7cm，面积是 98cm2。 2．如图是由 5个 1平方厘米的正方形组成，图中涂色部分的面积是 平方厘米，占全 部的 %。 【答案】2 40 【分析】面积是 1平方厘米的正方形边长是 1厘米，涂色部分是 3个三角形，根据三角形面积 ＝底×高÷2，求出涂色部分的面积，涂色部分的面积÷整个图形的面积＝涂色部分占全部的 百分之几，据此解答。 【解答】1×1÷2×2＋2×1÷2 ＝ 1 2 ×2＋1 ＝1＋1 ＝2（平方厘米） 2÷5×100% ＝0.4×100% ＝40% 图中涂色部分的面积是 2平方厘米，占全部的 40%。 3．笑笑参加手工社团需要把 20 厘米的吸管剪成三段并围成一个三角形（吸管刚好用完，边的 长度取整厘米数），这个三角形三条边长可以是（ ）cm、（ ）cm 和（ ） cm。 【答案】5 6 9 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【解答】因为 5＋6＋9＝20，5＋6＞9，且9 5 6  ，所以可以剪成，5厘米、6厘米、9厘米三 段。 笑笑参加手工社团需要把 20 厘米的吸管剪成三段并围成一个三角形（吸管刚好用完，边的长 度取整厘米数），这个三角形三条边长可以是 5cm、6cm 和 9cm。（答案不唯一） 25 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 4．一个等腰三角形的一个底角是 65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰 一角形中有两条边分别是 4cm 和 8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】50° 20 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形内角和是 180°，一个底角是 65°，则另一个底 角也是 65°，用 180°减去两个底角的和，即可求出顶角的度数。根据三角形三边之间关系： 两边之和大于第三边；4＋4＝8cm，8＝8，所以等腰三角形的两条腰是 8cm，根据三角形周长 求出，用三边之和就是三角形周长，据此解答。 【解答】180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 一个等腰三角形的一个底角是 65°，这个等腰三角形的顶角是 50°；另一个等腰一角形中有 两条边分别是 4cm 和 8cm，这个等腰三角形的周长是 20cm。 5．一个三角形的三边长度和是 35 厘米，三条边长度之比是 2∶3∶2，这个三角形最长的边是 （ ）厘米。按边分类，它是（ ）三角形。 【答案】15 等腰 【分析】根据比的意义，可把三条边的长度分别看作 2份、3份、2份，有 2个 2份，所以有 2条边长度相同，3份的最长，这个三角形是等腰三角形；三条边的总长度一共有（2＋3＋2） 份，根据分数和比的关系，分别可知每条边占总长度的几分之几；再根据分数乘法的意义，用 总长度乘最长边占的分率，即可求出最长的边的长度。 【解答】2＋3＋2＝7 3＞2 35× 3 7 ＝15（厘米） 这个三角形的最长边是 15 厘米，按边分是等腰三角形。 6．一个三角形三个内角的度数比是 1∶5∶3，这是一个（ ）三角形，其中最大的内 角是（ ）度。 【答案】钝角 100 26 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】三角形的内角和是 180 度，三个内角的度数比是 1∶5∶3，最大角所占的份数是 5， 则最大角的度数＝180÷（1＋5＋3）×5＝100 度，最大角大于 90 度小于 180 度是钝角，据此 解答即可。 【解答】180÷（1＋5＋3）×5 ＝180÷9×5 ＝20×5 ＝100（度） 因此，一个三角形三个内角的度数比是 1∶5∶3，这是一个钝角三角形，其中最大的内角是 100 度。 7．图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以 四边形的四个顶点为圆心画了 4个半径是 3cm 的扇形，再给这 4个扇形涂上阴影，如图，画完 后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地 嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这 4个扇形剪下来正好可以拼成一个（ ），因 为（ ），所以阴影部分的面积（ ）cm2。 【答案】圆 四边形的内角和是 360° 28.26 【分析】通过观察图形可知，4个扇形的圆心角度数和等于四边形的内角和，根据多边形的内 角和＝180°×（n－2），据此求出四边形的内角和，也就是 4个扇形圆心角的度数是 360°， 所以 4个扇形正好拼成一个圆，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。据此解 答。 【解答】180°×（n－2） ＝180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 这 4个扇形剪下来正好可以拼成一个圆，因为四边形的内角和是 360°， 27 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 【点评】此题考查的目的是理解掌握多边形的内角和公式及应用，圆的面积公式及应用；关键 是能够由多边形的内角和联想到圆形的特征。 8．一根 24cm 的铁丝，围成正三角形，边长为（ ）cm；围成长宽比为 2∶1的长方形， 长为（ ）cm；围成正方形，该正方形的面积为（ ）cm2。 【答案】8 8 36 【分析】（1）用 24cm 长的铁丝围成正三角形，即围成等边三角形，铁丝的长度等于三角形的 周长，用铁丝的长度除以 3，即可求出正三角形的边长； （2）用 24cm 长的铁丝围成长方形，铁丝的长度等于长方形的周长，用长方形的周长除以 2， 求出长方形的长、宽之和，再根据长宽比为 2∶1，一共（2＋1）份，用长、宽之和除以份数 和，求出一份数，再用一份数乘长的份数，即可求出长； （3）用 24cm 长的铁丝围成正方形，铁丝的长度等于正方形的周长，先用正方形的周长除以 4， 求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出该正方形的面积。 【解答】（1）三角形的边长：24÷3＝8（cm） （2）长、宽之和：24÷2＝12（cm） 一份数：12÷（2＋1） ＝12÷3 ＝4（cm） 长方形的长：4×2＝8（cm） （3）正方形的边长：24÷4＝6（cm） 正方形的面积：6×6＝36（cm2） 【点评】（1）明白正三角形就是等边三角形，利用三条边的长度相等求出边长； （2）考查掌握按比例分配的解题方法，明确要分配的总量是多少，以及按照什么比例进行分 配，求出一份数是解题的关键； （3）考查正方形的周长、面积公式的灵活运用。 9．把一张长 20 cm，宽15 cm的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是 2250 cm ， 那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ） 2cm ；如果 2 36  o，那么 1 （ ）°。 28 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】25 72 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：∠1＝∠3，∠1＋∠3＋∠2＝180°，已知∠2＝36°，用 180°减去∠2，再除以 2即可求出∠1的度数。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可虚线三角形和折起部分（白色三角形）的面积 是相等的。已知阴影部分的面积是 250cm2，用长方形的面积减去阴影部分的面积，再除以 2， 即可求出折起部分（白色三角形）的面积。 【解答】（20×15－250）÷2 ＝（300－250）÷2 ＝50÷2 ＝25（cm2） （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 折起部分（白色三角形）的面积是 25cm2，∠1＝72°。 10．如图，平行四边形的面积是 20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（ ）， 涂色部分的面积是（ ）cm2。 29 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】5∶2∶3 4 【分析】观察图形可知，平行四边形底是（2＋3）cm，根据平行四边形面积公式：面积＝底× 高；高＝面积÷底，代入数据，求出平行四边形的高；甲、乙、丙三个三角形的高等于平行四 边形的高，甲的底等于平行四边形的底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据， 求出甲、乙、丙三个三角形面积，再根据比的意义，用甲的面积∶乙的面积∶丙的面积，求出 三个三角形面积比；涂色部分等于乙三角形面积，据此解答。 【解答】高：20÷（2＋3） ＝20÷5 ＝4（cm） 甲：（2＋3）×4÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 乙：2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 丙：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 10∶4∶6 ＝（10÷2）∶（4÷2）∶（6÷2） ＝5∶2∶3 涂色面积是 4cm2。 如图，平行四边形的面积是 20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是 5∶2∶3，涂色部 分的面积是 4cm2。 二、选择题 30 / 46 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 11．一个三角形的一条边长 4cm，另一条边长 7cm，第三条边可能长（ ）。 A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】分析题目，三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于 第三边，所以这个三角形的第三条边必须大于（7－4）cm 且小于（7＋4）cm，据此解答。 【解答】7－4＝3（cm） 7＋4＝11（cm） 这个三角形的第三条边必须大于 3cm 且小于 11cm，所以第三条边可能是 4cm。 故答案为：A 12．下面每个选项都有两根小棒，把其中一根小棒沿着“•”用剪刀剪成两段，与另一根小棒 围成一个三角形。下面选项（ ）的剪法能围成三角形。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；据此判断。 【解答】 A． ，两边之和小于第三边，不能围成三角形； B． ，两边之和大于第三边，能围成三角形； C． ，把最短的边与上面的边相加，即 ，可以看出，两边 之和小于第三边，不能围成三角形； D． ，两边之和等于于第三边，不能围成三角形。 故答案为：B 13．一个三角形，三个角的度数比是 1∶2∶3，按角分（ ）。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题32 三角形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、三角形的定义及各部分名称。 4 二、三角形的底和高。 4 三、三角形的特征。 4 四、三角形的分类。 4 五、三角形的周长。 5 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 6 第三部分典例精讲 6 【考点一】三角形的概念和表示方法 6 【考点二】三角形的稳定性及应用 7 【考点三】三角形三边关系 8 【考点四】三角形的分类 9 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 9 【考点六】三角形的内角和 10 【考点七】多边形的内角和 11 【考点八】三角形的周长 12 【考点九】三角形的面积 13 【考点十】三角形的高及画法 14 【考点十一】画三角形 14 第四部分真题专练 15 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、三角形的定义及各部分名称。 1、在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形。围成三角形的三条线段叫作三角形的三条边;每两条边的交点叫作三角形的顶点;相邻两条边所组成的角叫作三角形的角。 二、三角形的底和高。 1、从三角形任意一个顶点到它的对边或对边的延长线作一条垂线，这个顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，这个顶点所对的边叫作三角形的底。任意一个三角形都有三条高。 三、三角形的特征。 1、三角形的内角和等于 180°。 2、三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、三角形具有稳定性。 四、三角形的分类。 1、按角分。 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于90°。 直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°。 钝角三角形：有一个角大于90°。 判定法二： 锐角三角形：最大角小于90°。 直角三角形：最大角等于90°。 钝角三角形：最大角大于90°。 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2、按边分。 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 3、等边三角形和等腰三角形。 （1）等腰三角形的定义和性质。 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． （2）等边三角形定义。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形： a、三边长度相等。 b、三个内角度数均为60度。 c、一个内角为60度的等腰三角形。 五、三角形的周长。 1、三角形3条边的长度和叫作三角形的周长，用含有字母的式子表示为C=a+b+c。 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 1、用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。 观察发现：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。因此三角形的面积=底x高÷2，用含有字母的式子表示为 S=ah÷2。 第三部分典例精讲 【考点一】三角形的概念和表示方法 【典例一】下面图形（ ）是三角形。（填序号） 【典例二】下面图形中各有多少个三角形？ （ ）个              （ ）个            （ ）个 【典例三】数一数图中共有（ ）个三角形。 【典例四】用12根相同的小棒摆三角形，最多可以摆（ ）个，摆正方形最多可以摆（ ）个。 【考点二】三角形的稳定性及应用 【典例一】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有（ ）的特征。 【典例二】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生活中（ ）也运用了这一特性。 【考点三】三角形三边关系 【典例一】小红参加了一个风筝制作挑战活动，她决定制作一个三角形的风筝，并已经测量了两条边的长度，分别是1.5米和2米。为了确保风筝的稳定性，她需要计算出第三条边的长度范围，即必须小于（ ）米且大于（ ）米。 【典例二】三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 【典例三】一个三角形的两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是（ ）厘米，最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 【考点四】三角形的分类 【典例一】一个三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 【典例二】在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【典例三】红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是4∶1∶1，按角分，它是（ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例一】一个等腰三角形的周长是54厘米，两条边的比是2∶5，它的底边长（ ）厘米。 【典例二】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【典例三】一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【考点六】三角形的内角和 【典例一】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（ ）°。 【典例二】在三角形ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分，这个三角形是（ ）三角形。 【典例三】一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是（ ），这是一个（ ）三角形。 【考点七】多边形的内角和 【典例一】如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是（ ）。 【典例二】如图，△ABC中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 【典例三】如图，照这样的规律继续研究下去，十边形的内角和为（ ）°，n边形的内角和为（ ）°。 图形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … 内角和 180° 360° 540° 720° 【考点八】三角形的周长 【典例一】一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 【典例二】一个等腰三角形相邻两边的长是分米和分米，这个等腰三角形的周长是（ ）分米。 【典例三】A4纸的秘密：一张A4纸，规格是210×297（单位：mm），经过以下两次对折，可以得到如下图形，则最后图中小阴影三角形的周长是（ ）mm。    【考点九】三角形的面积 【典例一】一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是（ ）cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 【典例二】如图，把直角三角形放大到原来的3倍，放大后直角三角形的周长是（ ）cm；若把直角三角形按照1∶2的比缩小，缩小后三角形的面积为（ ）cm2。 【典例三】如下图，一个梯形的上底比下底短3分米，高6分米。把它分成两个三角形，这两个三角形的面积相差（ ）平方分米。 【考点十】三角形的高及画法 【典例一】画出下面各图形底边上的高。 【典例二】画出以下图形指定底边上的高。 【考点十一】画三角形 【典例一】画一画（每个方格是边长是1厘米的正方形）。 （1）画一个直角三角形，直角的顶点在A点，面积为10平方厘米。 （2）画一个直径为6厘米的圆，圆心在B点。 【典例二】如图。 （1）以AB为三角形一边，画出高为3厘米的三角形ABC。 （2）点C用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形绕B点按顺时针方向旋转90度后的图形。 第四部分真题专练 一、填空题 1．一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 2．如图是由5个1平方厘米的正方形组成，图中涂色部分的面积是 平方厘米，占全部的 %。 3．笑笑参加手工社团需要把20厘米的吸管剪成三段并围成一个三角形（吸管刚好用完，边的长度取整厘米数），这个三角形三条边长可以是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm。 4．一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 5．一个三角形的三边长度和是35厘米，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长的边是（ ）厘米。按边分类，它是（ ）三角形。 6．一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶3，这是一个（ ）三角形，其中最大的内角是（ ）度。 7．图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以四边形的四个顶点为圆心画了4个半径是3cm的扇形，再给这4个扇形涂上阴影，如图，画完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这4个扇形剪下来正好可以拼成一个（ ），因为（ ），所以阴影部分的面积（ ）cm2。 8．一根24cm的铁丝，围成正三角形，边长为（ ）cm；围成长宽比为2∶1的长方形，长为（ ）cm；围成正方形，该正方形的面积为（ ）cm2。 9．把一张长，宽的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是，那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ）；如果，那么（ ）°。 10．如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（ ），涂色部分的面积是（ ）cm2。 二、选择题 11．一个三角形的一条边长4cm，另一条边长7cm，第三条边可能长（    ）。 A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 12．下面每个选项都有两根小棒，把其中一根小棒沿着“•”用剪刀剪成两段，与另一根小棒围成一个三角形。下面选项（    ）的剪法能围成三角形。 A． B． C． D． 13．一个三角形，三个角的度数比是1∶2∶3，按角分（    ）。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 14．如图，淘气沿着等边三角形的道路散步，AB＝40米。下列说法正确的是（    ）。 A．从点A向东偏北30°方向走40米到点C。 B．从点A向西走40米到点B。 C．从点B向西偏北60°方向走40米到点C。 D．从点B向北偏西60°方向走40米到点C。 15．用一根长84cm的铁丝按3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定是（    ）cm2。 A．588cm2 B．294cm2 C．980cm2 16．下列小棒可以拼成三角形是（    ）。 A． B． C． D． 17．把一个体积为6.28立方厘米的圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半。如果原来圆锥的高是6厘米，那么表面积增加了（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12 C．12.56 D．18 18．如图中每个小方格完全相同，涂色部分的面积是整个图形面积的（    ）。 A． B． C． D． 19．把一个大三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（    ）。 A．60° B．90° C．180° D．360° 20．把一根长20厘米的铁丝剪成3段后围成一个三角形，第一剪的位置距离铁丝的一端不能是（    ）厘米。 A．2 B．6 C．10 D．16 三、计算题 21．ABCD为直角梯形，AD＝6，DC＝10，三角形BEC的面积为6，求ABCD的面积。 22．下图中空白四边形是正方形，求图中阴影部分的面积。（提示：你能把两个阴影三角形合成一个三角形吗？） 四、操作题 23．（1）在如图方格图（每个方格的边长表示1厘米）中画一个直角三角形，其中两个锐角的顶点A、B分别在（5，7）和（1，3）的位置上，那么直角顶点C的位置可以是 。 （2）将这个三角形向右平移5格后的图形A1B1C1画出来。 （3）画出三角形ABC按1∶2的比例缩小后的图形。 （4）三角形ABC的面积是 平方厘米。 五、解答题 24．下图，阴影部分的面积与正方形面积的比是5∶12，正方形的边长是6厘米，DE的长是多少厘米？ 25．用75厘米长的铁丝围成一个直角三角形，三条边长度的比是5∶12∶13。这个三角形的面积是多少平方厘米？ 26．如图，刘奶奶把一块梯形菜地分成两部分，分别用来种土豆和茄子，已知种茄子的面积是180平方米，那么种土豆的面积是多少平方米？ 27．探索与发现。奇思说：“我已经探索过三角形的内角和是180度，那么其他多边形的内角是多少度呢？” ①观察图，画一画，你能算出四边形、五边形、六边形的内角和吗？ ②如果多边形的边数是n，那么它的内角和是多少度？ ③如果一个多边形的内角和是1800度，那么它是几边形？ 28．如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 29．将一根铁丝剪成三段围成一个三角形（每段长取整厘米数）。小思第一次从C点剪开，得到两段铁丝AC、CB，分别长7厘米5厘米（如图）。第二次应该选哪段铁丝再剪（AC；CB）（圈出正确的答案）。最后剪成的三段铁丝分别长（    ）cm、（    ）cm和（    ）cm。 30．亮亮用一根铁丝围成了一个三角形。第一条边用了这根铁丝的，第二条边用了这根铁丝的。亮亮围成了一个什么样的三角形？写出你的思考过程。 31．一艘轮船在大海中以每小时16千米的速度向正东方向航行，10时发现北偏东30°方向24千米处有一座灯塔，11时30分这座灯塔在轮船的什么位置？（请描述出准确位置） 32．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是2∶3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 33．想象与操作。按要求完成下面各题。 （1）请根据，，三个点的位置，面出三角形；    （2）画出三角形绕B点顺时针旋转90°后的图形； （3）画出三角形按2∶1扩大后的图形，再求出放大后的三角形的面积是（    ）； （4）方格纸中有一点，a为自然数，小明认真分析后说：“三角形与三角形的面积一定相等。”你同意他的说法吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 32 三角形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、三角形的定义及各部分名称。 .......................................... 4 二、三角形的底和高。 .................................................... 4 三、三角形的特征。 ...................................................... 4 四、三角形的分类。 ...................................................... 4 五、三角形的周长。 ...................................................... 5 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 .................................. 6 第三部分典例精讲 ............................................................6 【考点一】三角形的概念和表示方法 ............................................6 【考点二】三角形的稳定性及应用 ..............................................7 【考点三】三角形三边关系 ....................................................8 【考点四】三角形的分类 ......................................................9 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ................................9 【考点六】三角形的内角和 ...................................................10 【考点七】多边形的内角和 ...................................................11 【考点八】三角形的周长 .....................................................12 【考点九】三角形的面积 .....................................................13 【考点十】三角形的高及画法 .................................................14 【考点十一】画三角形 .......................................................14 第四部分真题专练 ...........................................................15 4 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、三角形的定义及各部分名称。 1、在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形。 围成三角形的三条线段叫作三角形的三条边;每两条边的交点叫作三角形的顶点;相邻两条边 所组成的角叫作三角形的角。 二、三角形的底和高。 1、从三角形任意一个顶点到它的对边或对边的延长线作一条垂线，这个顶点到垂足之间的线 段叫作三角形的高，这个顶点所对的边叫作三角形的底。任意一个三角形都有三条高。 三、三角形的特征。 1、三角形的内角和等于 180°。 2、三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、三角形具有稳定性。 四、三角形的分类。 1、按角分。 5 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于 90°。 直角三角形：可记作 Rt△．其中一个角必须等于 90°。 钝角三角形：有一个角大于 90°。 判定法二： 锐角三角形：最大角小于 90°。 直角三角形：最大角等于 90°。 钝角三角形：最大角大于 90°。 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2、按边分。 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 3、等边三角形和等腰三角形。 （1）等腰三角形的定义和性质。 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． （2）等边三角形定义。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等 腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等 边三角形： a、三边长度相等。 b、三个内角度数均为 60 度。 c、一个内角为 60 度的等腰三角形。 五、三角形的周长。 1、三角形 3条边的长度和叫作三角形的周长，用含有字母的式子表示为 C=a+b+c。 6 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 1、用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。 观察发现：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，每个三角形的面积是 平行四边形面积的一半。因此三角形的面积=底 x高÷2，用含有字母的式子表示为 S=ah÷2。 第三部分典例精讲 【考点一】三角形的概念和表示方法 【典例一】下面图形（ ）是三角形。（填序号） 【典例二】下面图形中各有多少个三角形？ （ ） 个 （ ）个 （ ）个 7 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】数一数图中共有（ ）个三角形。 【典例四】用 12 根相同的小棒摆三角形，最多可以摆（ ）个，摆正方形最多可以摆 （ ）个。 【考点二】三角形的稳定性及应用 【典例一】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有（ ）的特 征。 【典例二】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大 量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生 活中（ ）也运用了这一特性。 8 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点三】三角形三边关系 【典例一】小红参加了一个风筝制作挑战活动，她决定制作一个三角形的风筝，并已经测量了 两条边的长度，分别是 1.5 米和 2米。为了确保风筝的稳定性，她需要计算出第三条边的长度 范围，即必须小于（ ）米且大于（ ）米。 【典例二】三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长 5cm 和 11cm，那么 还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 【典例三】一个三角形的两条边长分别是 4厘米和 7厘米，第三条边最长是（ ）厘米， 最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 9 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点四】三角形的分类 【典例一】一个三角形的三条边长度和为 42cm，三条边长度之比是 2∶3∶2，这个三角形最长 边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 【典例二】在直角三角形中，如果一个锐角是 28°，那么另一个锐角是（ ）°；如 果一个锐角的度数是另一个锐角的 2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【典例三】红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是 4∶1∶1，按角分，它是 （ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例一】一个等腰三角形的周长是 54 厘米，两条边的比是 2∶5，它的底边长（ ） 厘米。 【典例二】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 10 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】一个等腰三角形的一个底角是 65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另 一个等腰一角形中有两条边分别是 4cm 和 8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【考点六】三角形的内角和 【典例一】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是 （ ）°。 【典例二】在三角形 ABC 中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分， 这个三角形是（ ）三角形。 11 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】一个三角形的三个内角度数的比是 1∶2∶3，其中最大的内角的度数是（ ）， 这是一个（ ）三角形。 【考点七】多边形的内角和 【典例一】如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是 （ ）。 【典例二】如图，△ABC 中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 【典例三】如图，照这样的规律继续研究下去，十边形的内角和为（ ）°，n边形的 内角和为（ ）°。 12 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 图形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … 内角和 180° 360° 540° 720° 【考点八】三角形的周长 【典例一】一个等腰三角形的两条边分别是 1cm 和 8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 【典例二】一个等腰三角形相邻两边的长是 1 2 分米和 1 4分米，这个等腰三角形的周长是 （ ）分米。 【典例三】A4 纸的秘密：一张 A4 纸，规格是 210×297（单位：mm），经过以下两次对折，可 以得到如下图形，则最后图中小阴影三角形的周长是（ ）mm。 13 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点九】三角形的面积 【典例一】一个平行四边形，底长是 15cm，高是 8cm，这个平行四边形的面积是（ ） cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 【典例二】如图，把直角三角形放大到原来的 3倍，放大后直角三角形的周长是（ ） cm；若把直角三角形按照 1∶2的比缩小，缩小后三角形的面积为（ ）cm2。 【典例三】如下图，一个梯形的上底比下底短 3分米，高 6分米。把它分成两个三角形，这两 个三角形的面积相差（ ）平方分米。 14 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点十】三角形的高及画法 【典例一】画出下面各图形底边上的高。 【典例二】画出以下图形指定底边上的高。 【考点十一】画三角形 【典例一】画一画（每个方格是边长是 1厘米的正方形）。 （1）画一个直角三角形，直角的顶点在 A点，面积为 10 平方厘米。 （2）画一个直径为 6厘米的圆，圆心在 B点。 15 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】如图。 （1）以 AB 为三角形一边，画出高为 3厘米的三角形 ABC。 （2）点 C用数对表示为（ ）。 （3）画出三角形绕 B点按顺时针方向旋转 90 度后的图形。 第四部分真题专练 一、填空题 1．一个梯形的下底是 18cm，如果下底缩短 8cm，就成为一个平行四边形，面积减少 28cm2，原 梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 16 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2．如图是由 5个 1平方厘米的正方形组成，图中涂色部分的面积是 平方厘米，占全 部的 %。 3．笑笑参加手工社团需要把 20 厘米的吸管剪成三段并围成一个三角形（吸管刚好用完，边的 长度取整厘米数），这个三角形三条边长可以是（ ）cm、（ ）cm 和（ ） cm。 4．一个等腰三角形的一个底角是 65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰 一角形中有两条边分别是 4cm 和 8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 5．一个三角形的三边长度和是 35 厘米，三条边长度之比是 2∶3∶2，这个三角形最长的边是 （ ）厘米。按边分类，它是（ ）三角形。 6．一个三角形三个内角的度数比是 1∶5∶3，这是一个（ ）三角形，其中最大的内 角是（ ）度。 7．图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以 四边形的四个顶点为圆心画了 4个半径是 3cm 的扇形，再给这 4个扇形涂上阴影，如图，画完 后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地 嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这 4个扇形剪下来正好可以拼成一个（ ），因 为（ ），所以阴影部分的面积（ ）cm2。 8．一根 24cm 的铁丝，围成正三角形，边长为（ ）cm；围成长宽比为 2∶1的长方形， 长为（ ）cm；围成正方形，该正方形的面积为（ ）cm2。 9．把一张长 20 cm，宽15 cm的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是 2250 cm ， 那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ） 2cm ；如果 2 36  o，那么 1 （ ）°。 17 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 10．如图，平行四边形的面积是 20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（ ）， 涂色部分的面积是（ ）cm2。 二、选择题 11．一个三角形的一条边长 4cm，另一条边长 7cm，第三条边可能长（ ）。 A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 12．下面每个选项都有两根小棒，把其中一根小棒沿着“•”用剪刀剪成两段，与另一根小棒 围成一个三角形。下面选项（ ）的剪法能围成三角形。 A． B． C． D． 13．一个三角形，三个角的度数比是 1∶2∶3，按角分（ ）。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 14．如图，淘气沿着等边三角形的道路散步，AB＝40 米。下列说法正确的是（ ）。 A．从点 A向东偏北 30°方向走 40 米到点 C。 B．从点 A向西走 40 米到点 B。 C．从点 B向西偏北 60°方向走 40 米到点 C。 18 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 D．从点 B向北偏西 60°方向走 40 米到点 C。 15．用一根长 84cm 的铁丝按 3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定 是（ ）cm2。 A．588cm2 B．294cm2 C．980cm2 16．下列小棒可以拼成三角形是（ ）。 A． B． C． D． 17．把一个体积为 6.28 立方厘米的圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半。如果原来圆锥的 高是 6厘米，那么表面积增加了（ ）平方厘米。 A．6.28 B．12 C．12.56 D．18 18．如图中每个小方格完全相同，涂色部分的面积是整个图形面积的（ ）。 A． 1 3 B． 1 2 C． 1 4 D． 1 5 19．把一个大三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）。 A．60° B．90° C．180° D．360° 20．把一根长 20 厘米的铁丝剪成 3段后围成一个三角形，第一剪的位置距离铁丝的一端不能 是（ ）厘米。 A．2 B．6 C．10 D．16 三、计算题 21．ABCD 为直角梯形，AD＝6，DC＝10，三角形 BEC 的面积为 6，求 ABCD 的面积。 19 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 22．下图中空白四边形是正方形，求图中阴影部分的面积。（提示：你能把两个阴影三角形合 成一个三角形吗？） 四、操作题 23．（1）在如图方格图（每个方格的边长表示 1厘米）中画一个直角三角形，其中两个锐角 的顶点 A、B分别在（5，7）和（1，3）的位置上，那么直角顶点 C的位置可以是 。 （2）将这个三角形向右平移 5格后的图形 A1B1C1画出来。 （3）画出三角形 ABC 按 1∶2 的比例缩小后的图形。 （4）三角形 ABC 的面积是 平方厘米。 20 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 五、解答题 24．下图，阴影部分的面积与正方形面积的比是 5∶12，正方形的边长是 6厘米，DE 的长是多 少厘米？ 25．用 75 厘米长的铁丝围成一个直角三角形，三条边长度的比是 5∶12∶13。这个三角形的 面积是多少平方厘米？ 26．如图，刘奶奶把一块梯形菜地分成两部分，分别用来种土豆和茄子，已知种茄子的面积是 180 平方米，那么种土豆的面积是多少平方米？ 27．探索与发现。奇思说：“我已经探索过三角形的内角和是 180 度，那么其他多边形的内角 21 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 是多少度呢？” ①观察图，画一画，你能算出四边形、五边形、六边形的内角和吗？ ②如果多边形的边数是 n，那么它的内角和是多少度？ ③如果一个多边形的内角和是 1800 度，那么它是几边形？ 28．如图，四边形 ABCD被分成四个三角形，四边形 ABCD的面积是 42 平方厘米，其中两个小 三角形的面积分别是 3平方厘米和 4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘 米？ 29．将一根铁丝剪成三段围成一个三角形（每段长取整厘米数）。小思第一次从 C点剪开，得 到两段铁丝 AC、CB，分别长 7厘米 5厘米（如图）。第二次应该选哪段铁丝再剪（AC；CB） （圈出正确的答案）。最后剪成的三段铁丝分别长（ ）cm、（ ）cm 和（ ）cm。 22 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 30．亮亮用一根铁丝围成了一个三角形。第一条边用了这根铁丝的 1 4，第二条边用了这根铁丝 的 3 8。亮亮围成了一个什么样的三角形？写出你的思考过程。 31．一艘轮船在大海中以每小时 16 千米的速度向正东方向航行，10 时发现北偏东 30°方向 24 千米处有一座灯塔，11 时 30 分这座灯塔在轮船的什么位置？（请描述出准确位置） 32．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10 平方厘米和 12 平方厘米，已知梯形上、 下底的比是 2∶3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 33．想象与操作。按要求完成下面各题。 （1）请根据  1,5A ，  1,3B ，  4,3C 三个点的位置，面出三角形 ABC ； 23 / 23 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）画出三角形 ABC 绕 B点顺时针旋转 90°后的图形； （3）画出三角形 ABC 按 2∶1扩大后的图形，再求出放大后的三角形的面积是（ ）； （4）方格纸中有一点  ,5P a ，a为自然数，小明认真分析后说：“三角形 PBC 与三角形 ABC 的 面积一定相等。”你同意他的说法吗？为什么？ 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题32 三角形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、三角形的定义及各部分名称。 4 二、三角形的底和高。 4 三、三角形的特征。 4 四、三角形的分类。 4 五、三角形的周长。 5 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 6 第三部分典例精讲 6 【考点一】三角形的概念和表示方法 6 【考点二】三角形的稳定性及应用 8 【考点三】三角形三边关系 9 【考点四】三角形的分类 10 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 12 【考点六】三角形的内角和 13 【考点七】多边形的内角和 15 【考点八】三角形的周长 17 【考点九】三角形的面积 18 【考点十】三角形的高及画法 19 【考点十一】画三角形 21 第四部分真题专练 23 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、三角形的定义及各部分名称。 1、在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形。围成三角形的三条线段叫作三角形的三条边;每两条边的交点叫作三角形的顶点;相邻两条边所组成的角叫作三角形的角。 二、三角形的底和高。 1、从三角形任意一个顶点到它的对边或对边的延长线作一条垂线，这个顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，这个顶点所对的边叫作三角形的底。任意一个三角形都有三条高。 三、三角形的特征。 1、三角形的内角和等于 180°。 2、三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、三角形具有稳定性。 四、三角形的分类。 1、按角分。 判定法一： 锐角三角形：三个角都小于90°。 直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°。 钝角三角形：有一个角大于90°。 判定法二： 锐角三角形：最大角小于90°。 直角三角形：最大角等于90°。 钝角三角形：最大角大于90°。 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2、按边分。 不等边三角形； 等腰三角形； 等边三角形． 3、等边三角形和等腰三角形。 （1）等腰三角形的定义和性质。 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形． 判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）． （2）等边三角形定义。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形． 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形： a、三边长度相等。 b、三个内角度数均为60度。 c、一个内角为60度的等腰三角形。 五、三角形的周长。 1、三角形3条边的长度和叫作三角形的周长，用含有字母的式子表示为C=a+b+c。 六、三角形的面积计算公式及其推导过程。 1、用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。 观察发现：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。因此三角形的面积=底x高÷2，用含有字母的式子表示为 S=ah÷2。 第三部分典例精讲 【考点一】三角形的概念和表示方法 【典例一】下面图形（ ）是三角形。（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】三角形是由3条线段首尾依次连接而成的封闭图形；据此找出三角形即可。 【解答】 是三角形； 没有首尾依次连接，不是三角形； 有一段曲线不是线段，不是三角形； 不是封闭图形，不是三角形； 是三角形。 下面图形①⑤是三角形。 【典例二】下面图形中各有多少个三角形？ （ ）个              （ ）个            （ ）个 【答案】8 5 20 【分析】第一个图形中，单独的三角形有4个，两个三角形组成的三角形有4个，则一共有（4＋4）个三角形；第二个图形中单独的三角形有4个，四个三角形组成的大三角形有1个，则一共有（4＋1）个三角形；第三个图形中，单独的小三角形有4个，两个三角形组成的三角形有3个，三个三角形组成的有2个，四个三角形组成1个大三角形，一个三角形和另一个图形组成的三角形有4个，两个三角形和两个其他图形组成的三角形有3个，三个三角形和三个其他图形组成的三角形有2个，大三角形有1个，一共有（4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1）个三角形。 【解答】4＋4＝8（个） 4＋1＝5（个） 4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1＝20（个） 【典例三】数一数图中共有（ ）个三角形。 【答案】27 【分析】观察图形可知，先数单个三角形的个数有16个，再数四个图形合成的三角形，共有7个，再数九个图形合成的三角形，共有3个，还有1个由所有三角形合成的大三角形，最后把这此个数加起来，据此解答即可。 【解答】（个） 图中共有27个三角形。 【点评】先数单个的，再数由几个图形合成的，还要注意按一定顺序找，从上往下数，还可以正着看，倒着看。 【典例四】用12根相同的小棒摆三角形，最多可以摆（ ）个，摆正方形最多可以摆（ ）个。 【答案】4 3 【分析】三角形每边最少需要1根小棒，一个三角形需要3根小棒，那么最多可摆（12÷3）个三角形； 正方形有4条边，一个正方形最少需要4根小棒，那么最多可摆（12÷4）个正方形。 【解答】12÷3＝4（个） 12÷4＝3（个） 所以，用12根相同的小棒摆三角形，最多可以摆4个，摆正方形最多可以摆3个。 【点评】本题中摆三角形和正方形时，关键是要掌握三角形和正方形的特点。 【考点二】三角形的稳定性及应用 【典例一】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有（ ）的特征。 【答案】稳定性 【分析】三角形具有稳定性，三角形有着稳固、坚定、耐压的特点，例：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造，据此填空。 【解答】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有稳定性的特征。 【典例二】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生活中（ ）也运用了这一特性。 【答案】三角形的稳定性 摄像机的三脚架 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性即可解答。 【解答】运用了三角形的稳定性原理，生活中摄像机的三脚架也运用了这一特性。（答案不唯一） 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性以及在生活中的运用。 【考点三】三角形三边关系 【典例一】小红参加了一个风筝制作挑战活动，她决定制作一个三角形的风筝，并已经测量了两条边的长度，分别是1.5米和2米。为了确保风筝的稳定性，她需要计算出第三条边的长度范围，即必须小于（ ）米且大于（ ）米。 【答案】3.5 0.5 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此可求出第三边的范围，由此可解此题。 【解答】2＋1.5＝3.5（米） 2－1.5＝0.5（米） 综上可知，第三条边的长度必须小于3.5米且大于0.5米。 【典例二】三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 【答案】7 15 【分析】根据三角形的特征，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长取整厘米数进行解答。 【解答】5＋11＝16（厘米） 11－5＝6（厘米） 所以另一根小棒的长度要大于6厘米，小于16厘米，最短7厘米，最长15厘米。 【典例三】一个三角形的两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是（ ）厘米，最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 【答案】10 4 【分析】三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，因此先分别计算出已知的两边长度之和、长度之差即可，然后用得到的长度之和减1厘米，长度之差加1厘米，据此即可解答。 【解答】4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 3厘米＜第三边的长度＜11厘米 3＋1＝4（厘米） 11－1＝10（厘米） 所以第三条边最长是10厘米，最短是4厘米。 【考点四】三角形的分类 【典例一】一个三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 【答案】18 等腰 【分析】已知三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，那么最长的边占三条边长度和的，根据求一个数的几分之几是多少，用三条边的长度和乘，求出这个三角形的最长边；再根据三角形按边的分类，确定这个三角形的类型。 【解答】42× ＝42× ＝18（cm） 因为三条边长度之比是2∶3∶2可知，这个三角形有两条边相等，所以它是等腰三角形。 填空如下： 这个三角形最长边是（18）cm。按边分类，它是（等腰）三角形。 【典例二】在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【答案】62 30 【分析】三角形的内角和为180°。在直角三角形中，直角的度数为90°。180°－90°＝90°，那么另外两个锐角的度数之和为90°。由题意得，直角三角形的一个锐角是28°，那么直接用90°减去28°即可算出另一个锐角的度数；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么这两个锐角的度数之和就是较小的那个锐角的度数的3倍，那么直接用90°除以3即可算出较小的锐角的度数。 【解答】90°－28°＝62° 90°÷（1＋2）＝90°÷3＝30° 在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是62°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是30°。 【典例三】红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是4∶1∶1，按角分，它是（ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 【答案】钝角 等腰 【分析】已知三角形的内角和是180°，三个角的度数比是4∶1∶1，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角，然后根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 由三个角的度数比是4∶1∶1，说明另外两个底角相等，根据等腰三角形的特征“等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等”，据此可知这是一个等腰三角形。 【解答】最大的内角是： 180°× ＝180°× ＝120° 90°＜120°＜180°，这是一个钝角三角形。 由三个角的度数比是4∶1∶1，说明另外两个底角相等，则这是一个等腰三角形。 填空如下： 按角分，它是（钝角）三角形；按边分，它又是（等腰）三角形。 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例一】一个等腰三角形的周长是54厘米，两条边的比是2∶5，它的底边长（ ）厘米。 【答案】9 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。 根据“等腰三角形的两条腰相等”，假设这个等腰三角形三条边长的比是2∶5∶2，因为2＋2＜5，不符合三角形的三边关系，所以这种假设不成立。 假设这个等腰三角形三条边长的比是2∶5∶5，因为2＋5＞5，符合三角形的三边关系，所以这种假设成立。 确定这个等腰三角形三条边长的比是2∶5∶5，则它的底边长占周长的，根据求一个数的几分之几是多少，用周长乘，求出它的底边长。 【解答】情况一：假设等腰三角形的三条边的比是2∶5∶2； 2＋2＝4，4＜5，不符合三角形的三边关系，假设不成立。 情况二：假设等腰三角形的三条边的比是2∶5∶5； 2＋5＝7，7＞5，符合三角形的三边关系，假设成立； 54× ＝54× ＝9（厘米） 它的底边长是9厘米。 【典例二】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【答案】38 【分析】三角形的内角和是180°；等边三角形的特征：等边三角形的三条边相等，三个内角相等。 从图中可知，∠1、∠2和等边三角形的一个内角组成平角，用平角的度数减去∠1的度数，再减去等边三角形的一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【解答】等边三角形的内角是：180°÷3＝60° ∠2＝180°－82°－60°＝38° 则∠2＝38°。 【典例三】一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】50° 20 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形内角和是180°，一个底角是65°，则另一个底角也是65°，用180°减去两个底角的和，即可求出顶角的度数。根据三角形三边之间关系：两边之和大于第三边；4＋4＝8cm，8＝8，所以等腰三角形的两条腰是8cm，根据三角形周长求出，用三边之和就是三角形周长，据此解答。 【解答】180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是50°；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是20cm。 【考点六】三角形的内角和 【典例一】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（ ）°。 【答案】360 【分析】已知三角形的内角和是180°，把剩下的图形分成两个三角形，根据三角形的内角和是180°，据此得出剩下图形的内角和。 【解答】如图： 180°×2＝360° 剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（360）°。 【典例二】在三角形ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分，这个三角形是（ ）三角形。 【答案】90 直角 【分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（2＋3＋5）份，用除法即可求出1份的度数，再乘5求出∠C的度数。∠C是这个三角形的最大内角。最大内角是钝角的是钝角三角形，最大内角是直角的是直角三角形，最大内角是锐角的是锐角三角形。 【解答】180°÷（2＋3＋5） ＝180°÷10 ＝18° 18°×5＝90° 所以∠C＝90°，按角的大小分，这个三角形是直角三角形。 【典例三】一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是（ ），这是一个（ ）三角形。 【答案】90°/90度 直角 【分析】分析题目，三角形的内角和是180°，据此先用180°除以总份数求出一份是多少度，再乘3求出最大的角是多少度；最后根据最大的角确定三角形的类型，最大的角是什么角，则这个三角形就是什么三角形，据此解答。 【解答】180°÷（1＋2＋3） ＝180°÷6 ＝30° 30°×3＝90° 90°是直角，所以这个三角形是直角三角形。 一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是90°，这是一个直角三角形。 【考点七】多边形的内角和 【典例一】如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是（ ）。 【答案】60°/60度 【分析】分析题目，根据这个四边形是轴对称图形可知：∠1＝∠3，再根据求连比的方法求出∠1∶∠2∶∠4，并结合∠1＝∠3写出∠1∶∠2∶∠3∶∠4，最后根据四边形的内角和是360°，用360°乘∠4占四边形内角和的几分之几即可解答。 【解答】∠2∶∠4＝2∶1＝（2×2）∶（1×2）＝4∶2 ∠1∶∠2∶∠4＝3∶4∶2 因为图形是一个轴对称图形，所以∠1＝∠3，所以∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝3∶4∶3∶2。 ∠4＝360°×＝360°×＝60° 如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是60°。 【典例二】如图，△ABC中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 【答案】250 【分析】三角形的内角和是180°，那么∠1＋∠3＝180°－∠2，代入∠2的角度，求出∠1与∠3的和； 四边形的内角和是360°，那么∠4＋∠5＝360°－（∠1＋∠3），代入∠1与∠3的和，据此求出∠4与∠5的和。 【解答】∠1＋∠3 ＝180°－∠2 ＝180°－70° ＝110° ∠4＋∠5 ＝360°－（∠1＋∠3） ＝360°－110° ＝250° 则∠4＋∠5＝250°。 【典例三】如图，照这样的规律继续研究下去，十边形的内角和为（ ）°，n边形的内角和为（ ）°。 图形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … 内角和 180° 360° 540° 720° 【答案】1440 180×（n－2） 【分析】四边形中共画出l条线段，将其分成2个三角形，这个四边形的内角和是180°×2＝360°.五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形，这个五边形的内角和是180°×3＝540°。六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形，这个六边形的内角和是180°×4＝720°。 按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，这个多边形的内角和是180×（n－2），据此解答。 【解答】180°×（10－2） ＝180°×8 ＝1440° 所以十边形的内角和为1440°，n边形的内角和为（180×（n－2））°。 【考点八】三角形的周长 【典例一】一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 【答案】17 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；1＋8＝9cm；9＞8；8－1＝7cm；7＜8，所以等腰三角形的腰是8cm，底是1cm；根据三角形周长的求法，三边之和，据此求出三角形的周长。 【解答】8×2＋1 ＝16＋1 ＝17（cm） 一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是17cm。 【典例二】一个等腰三角形相邻两边的长是分米和分米，这个等腰三角形的周长是（ ）分米。 【答案】//1.25 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，来确定这个等腰三角形底边和腰的长，进而求出它的周长是多少，据此解答。 【解答】因为＋＝（分米） 所以这个等腰三角形的底是分米，腰是分米。 ＋＋＝（分米） 所以，这个等腰三角形的周长是分米。 【点评】此题解答是关键是确定等腰三角形的对边和腰的长度，再根据三角形的周长公式解答。 【典例三】A4纸的秘密：一张A4纸，规格是210×297（单位：mm），经过以下两次对折，可以得到如下图形，则最后图中小阴影三角形的周长是（ ）mm。    【答案】297 【分析】观察或动手实践后可知，小阴影三角形是个等腰直角三角形，对折后，阴影部分是个长方形，长方形的宽＝原长方形的长－原长方形的宽＝三角形的直角边，三角形的斜边＝原长方形的宽－三角形的直角边，据此求出三角形三条边的和即可。 【解答】三角形的直角边：297－210＝87（mm） 三角形的斜边：210－87＝123（mm） 三角形的周长：87×2＋123 ＝174＋123 ＝297（mm） 最后图中小阴影三角形的周长是297mm。 【点评】关键是具有一定的空间想象能力，也可以用一张A4纸实际折一折，即可发现各边之间的关系。 【考点九】三角形的面积 【典例一】一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是（ ）cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 【答案】120 60 【分析】根据平行四边形的面积公式S＝ah，代入数据求出平行四边形的面积，再根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，求出三角形的面积。 【解答】15×8＝120（cm2） 120÷2＝60（cm2） 所以，这个平行四边形的面积是120cm2，和它等底等高的三角形的面积是60cm2。 【典例二】如图，把直角三角形放大到原来的3倍，放大后直角三角形的周长是（ ）cm；若把直角三角形按照1∶2的比缩小，缩小后三角形的面积为（ ）cm2。 【答案】720 600 【分析】把直角三角形放大到原来的3倍，即将直角三角形的三条边均扩大到原来的3倍，据此算出放大后的直角三角形的三条边，再把三条边相加即可求出周长；把直角三角形按照1∶2的比缩小，即将每条边长缩小为原来的一半，据此用原来的底和高分别除以2即可求出缩小后的底和高，再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可得出缩小后三角形的面积。 【解答】60×3＋80×3＋100×3 ＝180＋240＋300 ＝720（cm） （60÷2）×（80÷2）÷2 ＝30×40÷2 ＝1200÷2 ＝600（cm2） 把直角三角形放大到原来的3倍，放大后直角三角形的周长是720cm；若把直角三角形按照1∶2的比缩小，缩小后三角形的面积为600cm2。 【典例三】如下图，一个梯形的上底比下底短3分米，高6分米。把它分成两个三角形，这两个三角形的面积相差（ ）平方分米。 【答案】9 【分析】根据，求两个三角形的面积的差，用下底×高÷2－上底×高÷2，根据乘法分配律的逆运算，把算式转化为（下底－上底）×高÷2，已知上底比下底短3分米，高6分米，代入数据计算即可。 【解答】 （平方分米） 如图，一个梯形的上底比下底短3分米，高6分米。把它分成两个三角形，这两个三角形的面积相差9平方分米。 【考点十】三角形的高及画法 【典例一】画出下面各图形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。据此从底所对的顶点向底作垂直线段即可。 从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号。据此从底的对边上的任意一点向底作垂直线段。 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。据此从梯形的另一条底上的任意一点向它的对边作垂直线段。 【解答】 【典例二】画出以下图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】三角形高的画法：由三角形底边的对应顶点处，向底边做垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高；画高时，注意高和底边所成的直角标上直角符号； 平行四边形高的画法：在底边对应的边上找一个点，过这个点向底边做垂线，和底边的夹角必须是直角，这个点和垂足之间的线段就是底边上的高。 【解答】如图： 【考点十一】画三角形 【典例一】画一画（每个方格是边长是1厘米的正方形）。 （1）画一个直角三角形，直角的顶点在A点，面积为10平方厘米。 （2）画一个直径为6厘米的圆，圆心在B点。 【答案】（1）见详解； （2）见详解 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2可知：要画出一个面积是10平方厘米的三角形，则这个三角形的底×高＝10×2，据此根据直角三角形的两条直角边可以分别看作它的底和高以点A为一个顶点画出三角形即可； （2）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，先根据r＝d÷2求出要画出圆的半径，再以此画圆即可。 【解答】（1）10×2＝20 20＝5×4 可以画一个底是5厘米高是4厘米的直角三角形。 （2）6÷2＝3（厘米） （1）（2）作图如下： （第一小问画法不唯一） 【典例二】如图。 （1）以AB为三角形一边，画出高为3厘米的三角形ABC。 （2）点C用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形绕B点按顺时针方向旋转90度后的图形。 【答案】（1）（3）图见详解（三角形画法不唯一） （2）（5，7） 【分析】（1）把AB边作为三角形的底边，因为线段AB位于第4行，所以与线段AB距离为3厘米的点都位于第7行上，据此取C点，再画出三角形ABC即可； （2）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此表示出点C的位置即可； （3）根据旋转的意义，找出图中三角形3个关键点，再画出按顺时针方向绕B点旋转90度后的三角形即可。 【解答】（1）作图如下： （画法不唯一） （2）点C用数对表示为（5，7）。 （3）作图如下： 第四部分真题专练 一、填空题 1．一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】7 98 【分析】分析可知，减少的部分是一个三角形，三角形的面积是28cm2，底是8cm，用三角形的面积乘2除以底，就求出三角形的高，这个高也是梯形的高； 梯形的下底是18cm，上底是18－8，根据：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可得到答案。 【解答】28×2÷8 ＝56÷8 ＝7（cm） （18－8＋18）×7÷2 ＝28×7÷2 ＝14×7 ＝98（cm2） 原梯形的高是7cm，面积是98cm2。 2．如图是由5个1平方厘米的正方形组成，图中涂色部分的面积是 平方厘米，占全部的 %。 【答案】2 40 【分析】面积是1平方厘米的正方形边长是1厘米，涂色部分是3个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，求出涂色部分的面积，涂色部分的面积÷整个图形的面积＝涂色部分占全部的百分之几，据此解答。 【解答】1×1÷2×2＋2×1÷2 ＝×2＋1 ＝1＋1 ＝2（平方厘米） 2÷5×100% ＝0.4×100% ＝40% 图中涂色部分的面积是2平方厘米，占全部的40%。 3．笑笑参加手工社团需要把20厘米的吸管剪成三段并围成一个三角形（吸管刚好用完，边的长度取整厘米数），这个三角形三条边长可以是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm。 【答案】5 6 9 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【解答】因为5＋6＋9＝20，5＋6＞9，且，所以可以剪成，5厘米、6厘米、9厘米三段。 笑笑参加手工社团需要把20厘米的吸管剪成三段并围成一个三角形（吸管刚好用完，边的长度取整厘米数），这个三角形三条边长可以是 5cm、6cm和9cm。（答案不唯一） 4．一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】50° 20 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形内角和是180°，一个底角是65°，则另一个底角也是65°，用180°减去两个底角的和，即可求出顶角的度数。根据三角形三边之间关系：两边之和大于第三边；4＋4＝8cm，8＝8，所以等腰三角形的两条腰是8cm，根据三角形周长求出，用三边之和就是三角形周长，据此解答。 【解答】180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是50°；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是20cm。 5．一个三角形的三边长度和是35厘米，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长的边是（ ）厘米。按边分类，它是（ ）三角形。 【答案】15 等腰 【分析】根据比的意义，可把三条边的长度分别看作2份、3份、2份，有2个2份，所以有2条边长度相同，3份的最长，这个三角形是等腰三角形；三条边的总长度一共有（2＋3＋2）份，根据分数和比的关系，分别可知每条边占总长度的几分之几；再根据分数乘法的意义，用总长度乘最长边占的分率，即可求出最长的边的长度。 【解答】2＋3＋2＝7 3＞2 35×＝15（厘米） 这个三角形的最长边是15厘米，按边分是等腰三角形。 6．一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶3，这是一个（ ）三角形，其中最大的内角是（ ）度。 【答案】钝角 100 【分析】三角形的内角和是180度，三个内角的度数比是1∶5∶3，最大角所占的份数是5，则最大角的度数＝180÷（1＋5＋3）×5＝100度，最大角大于90度小于180度是钝角，据此解答即可。 【解答】180÷（1＋5＋3）×5 ＝180÷9×5 ＝20×5 ＝100（度） 因此，一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶3，这是一个钝角三角形，其中最大的内角是100度。 7．图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以四边形的四个顶点为圆心画了4个半径是3cm的扇形，再给这4个扇形涂上阴影，如图，画完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这4个扇形剪下来正好可以拼成一个（ ），因为（ ），所以阴影部分的面积（ ）cm2。 【答案】圆 四边形的内角和是360° 28.26 【分析】通过观察图形可知，4个扇形的圆心角度数和等于四边形的内角和，根据多边形的内角和＝180°×（n－2），据此求出四边形的内角和，也就是4个扇形圆心角的度数是360°，所以4个扇形正好拼成一个圆，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。据此解答。 【解答】180°×（n－2） ＝180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 这4个扇形剪下来正好可以拼成一个圆，因为四边形的内角和是360°， 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 【点评】此题考查的目的是理解掌握多边形的内角和公式及应用，圆的面积公式及应用；关键是能够由多边形的内角和联想到圆形的特征。 8．一根24cm的铁丝，围成正三角形，边长为（ ）cm；围成长宽比为2∶1的长方形，长为（ ）cm；围成正方形，该正方形的面积为（ ）cm2。 【答案】8 8 36 【分析】（1）用24cm长的铁丝围成正三角形，即围成等边三角形，铁丝的长度等于三角形的周长，用铁丝的长度除以3，即可求出正三角形的边长； （2）用24cm长的铁丝围成长方形，铁丝的长度等于长方形的周长，用长方形的周长除以2，求出长方形的长、宽之和，再根据长宽比为2∶1，一共（2＋1）份，用长、宽之和除以份数和，求出一份数，再用一份数乘长的份数，即可求出长； （3）用24cm长的铁丝围成正方形，铁丝的长度等于正方形的周长，先用正方形的周长除以4，求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出该正方形的面积。 【解答】（1）三角形的边长：24÷3＝8（cm） （2）长、宽之和：24÷2＝12（cm） 一份数：12÷（2＋1） ＝12÷3 ＝4（cm） 长方形的长：4×2＝8（cm） （3）正方形的边长：24÷4＝6（cm） 正方形的面积：6×6＝36（cm2） 【点评】（1）明白正三角形就是等边三角形，利用三条边的长度相等求出边长； （2）考查掌握按比例分配的解题方法，明确要分配的总量是多少，以及按照什么比例进行分配，求出一份数是解题的关键； （3）考查正方形的周长、面积公式的灵活运用。 9．把一张长，宽的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是，那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ）；如果，那么（ ）°。 【答案】25 72 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：∠1＝∠3，∠1＋∠3＋∠2＝180°，已知∠2＝36°，用180°减去∠2，再除以2即可求出∠1的度数。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可虚线三角形和折起部分（白色三角形）的面积是相等的。已知阴影部分的面积是250cm2，用长方形的面积减去阴影部分的面积，再除以2，即可求出折起部分（白色三角形）的面积。 【解答】（20×15－250）÷2 ＝（300－250）÷2 ＝50÷2 ＝25（cm2） （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 折起部分（白色三角形）的面积是25cm2，∠1＝72°。 10．如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（ ），涂色部分的面积是（ ）cm2。 【答案】5∶2∶3 4 【分析】观察图形可知，平行四边形底是（2＋3）cm，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；高＝面积÷底，代入数据，求出平行四边形的高；甲、乙、丙三个三角形的高等于平行四边形的高，甲的底等于平行四边形的底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出甲、乙、丙三个三角形面积，再根据比的意义，用甲的面积∶乙的面积∶丙的面积，求出三个三角形面积比；涂色部分等于乙三角形面积，据此解答。 【解答】高：20÷（2＋3） ＝20÷5 ＝4（cm） 甲：（2＋3）×4÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 乙：2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 丙：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 10∶4∶6 ＝（10÷2）∶（4÷2）∶（6÷2） ＝5∶2∶3 涂色面积是4cm2。 如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是5∶2∶3，涂色部分的面积是4cm2。 二、选择题 11．一个三角形的一条边长4cm，另一条边长7cm，第三条边可能长（    ）。 A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】分析题目，三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以这个三角形的第三条边必须大于（7－4）cm且小于（7＋4）cm，据此解答。 【解答】7－4＝3（cm） 7＋4＝11（cm） 这个三角形的第三条边必须大于3cm且小于11cm，所以第三条边可能是4cm。 故答案为：A 12．下面每个选项都有两根小棒，把其中一根小棒沿着“•”用剪刀剪成两段，与另一根小棒围成一个三角形。下面选项（    ）的剪法能围成三角形。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；据此判断。 【解答】 A．，两边之和小于第三边，不能围成三角形； B．，两边之和大于第三边，能围成三角形； C．，把最短的边与上面的边相加，即，可以看出，两边之和小于第三边，不能围成三角形； D．，两边之和等于于第三边，不能围成三角形。 故答案为：B 13．一个三角形，三个角的度数比是1∶2∶3，按角分（    ）。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】三角形的内角和是180°，因三个内角的度数比是1∶2∶3，最大角就占了三角形内角和的，根据分数乘法的意义，算出最大角，即可判断是什么三角形。 【解答】180× ＝180× ＝90° 一个角是直角的三角形是直角三角形。 故答案为：B 14．如图，淘气沿着等边三角形的道路散步，AB＝40米。下列说法正确的是（    ）。 A．从点A向东偏北30°方向走40米到点C。 B．从点A向西走40米到点B。 C．从点B向西偏北60°方向走40米到点C。 D．从点B向北偏西60°方向走40米到点C。 【答案】C 【分析】等边三角形的三条边长度相等，即AB＝BC＝AC＝40米；等边三角形的三个角相等，都是60°；据此把起点作为观测点，根据“上北下南，左西右东”确定行走的方向和距离；据此解答。 【解答】A．从点A向东偏北60°方向走40米到点C；原题说法错误。 B．从点A向东走40米到点B；原题说法错误。 C．从点B向西偏北60°方向走40米到点C；原题说法正确。 D．从点B向西偏北60°方向走40米到点C；原题说法错误。 故答案为：C 15．用一根长84cm的铁丝按3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定是（    ）cm2。 A．588cm2 B．294cm2 C．980cm2 【答案】B 【分析】根据比的意义，可知直角三角形的三条边分别占这根铁丝的长的、、，再根据直角三角形的特征，斜边最长可确定两条短边是直角边，即三角形的底和高，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，代入数据计算即可。 【解答】（cm） （cm） （cm2） 用一根长84cm的铁丝按3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定是294cm2。 故答案为：B 16．下列小棒可以拼成三角形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项分析，进行解答。 【解答】 A． 8＋5＝13；13＞10；8－5＝3；3＜10；能拼成三角形。 B． 3＋5＝8；8＝8；不能拼成三角形。 C． 3＋4＝7；7＜8，不能拼成三角形。 D． 3＋2＝5；5＜7，不能拼成三角形。 可以拼成三角形是。 故答案为：A 17．把一个体积为6.28立方厘米的圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半。如果原来圆锥的高是6厘米，那么表面积增加了（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12 C．12.56 D．18 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；底面积＝体积÷高÷，求出圆锥的底面积；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，据此求出圆锥底面的半径；直径＝半径×2，求出圆锥底面直径；根据题意，圆锥沿着高把它切成两半，增加两个底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高的三角形，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2，即可解答。 【解答】6.28÷3.14÷6÷ ＝2÷6÷ ＝÷ ＝×3 ＝1（平方厘米） 1×1＝1，圆锥的底面半径是1厘米。 1×2×6÷2×2 ＝2×6÷2×2 ＝12÷2×2 ＝6×2 ＝12（平方厘米） 把一个体积为6.28立方厘米的圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半。如果原来圆锥的高是6厘米，那么表面积增加了12平方厘米。 故答案为：B 18．如图中每个小方格完全相同，涂色部分的面积是整个图形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个小方格的边长是1，则涂色三角形底是2，高是4，整个图形的一个边长为4的大正方形。根据三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，分别求出涂色三角形和大正方形的面积。然后用涂色三角形的面积除以大正方形的面积，求出涂色部分的面积是整个图形面积的几分之几。 【解答】设每个小方格的边长是1。 三角形的面积： 大正方形的面积： 涂色部分面积是整个图形面积的。 故答案为：C 19．把一个大三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（    ）。 A．60° B．90° C．180° D．360° 【答案】C 【分析】任意三角形内角和为180度，按照这个作答即可。 【解答】根据分析：把一个大三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180度。 故答案为：C 20．把一根长20厘米的铁丝剪成3段后围成一个三角形，第一剪的位置距离铁丝的一端不能是（    ）厘米。 A．2 B．6 C．10 D．16 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系可知，三角形任意两边之和大于第三条边，所以第一剪的位置距离铁丝的一端小于铁丝长度的一半。据此解答。 【解答】20÷2＝10（厘米） 10＝10 则三条线段不能围成三角形。 第一剪的位置距离铁丝的一端不能是10厘米。 故答案为：C 三、计算题 21．ABCD为直角梯形，AD＝6，DC＝10，三角形BEC的面积为6，求ABCD的面积。 【答案】67.5 【分析】观察图形可知，梯形ABCD的面积是长10厘米，宽6厘米的长方形的面积、三角形BEC的面积与三角形BEF的面积之和；这里只要再求出三角形BEF的面积即可；根据高一定时，两个三角形的面积的比就是两个底边长度的比，求出CE与EF的比即可解答。 【解答】三角形DEC的面积为： 10×6÷2－6 ＝60÷2－6 ＝30－6 ＝24 所以CE的长度是：24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8 则EF的长度是：6－4.8＝1.2 则CE∶EF＝4.8∶1.2＝4∶1 即三角形BEC面积∶三角形BEF面积＝4∶1 则三角形BEF的面积是：6×1÷4 ＝6÷4 ＝1.5 ABCD的面积为：10×6＋6＋1.5 ＝60＋7.5＋1.5 ＝67.5 直角梯形ABCD的面积是67.5。 22．下图中空白四边形是正方形，求图中阴影部分的面积。（提示：你能把两个阴影三角形合成一个三角形吗？） 【答案】14cm2 【分析】如图，将两个阴影三角形合成一个三角形，因为正方形每个角都是90°，∠1＋∠2也是90°，合成的三角形是直角三角形，两直角边分别是4cm和7cm，可以看作三角形的底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【解答】4×7÷2＝14（cm2） 四、操作题 23．（1）在如图方格图（每个方格的边长表示1厘米）中画一个直角三角形，其中两个锐角的顶点A、B分别在（5，7）和（1，3）的位置上，那么直角顶点C的位置可以是 。 （2）将这个三角形向右平移5格后的图形A1B1C1画出来。 （3）画出三角形ABC按1∶2的比例缩小后的图形。 （4）三角形ABC的面积是 平方厘米。 【答案】（1）（5，3）；图见详解 （2）图见详解 （3）图见详解 （4）8 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此在图中标出顶点A（5，7）和顶点B（1，3）的位置； 连接AB，把AB作为直角三角形的斜边，根据直角三角形的特征，找出点C的位置，画出直角三角形ABC。 （2）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到平移后的三角形图形A1B1C1。 （3）把三角形ABC按1∶2缩小，即三角形ABC的每一条边缩小到原来的，则原三角形的底和高分别除以2，得出缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的图形。 （4）根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出三角形ABC的面积。 【解答】（1）直角顶点C的位置可以是（5，3）。 直角三角形ABC如下图。 （2）三角形ABC向右平移5格后的图形A1B1C1如下图。 （3）缩小后直角三角形的底和高是：4÷2＝2（厘米） 缩小后的直角三角形的底为2厘米、高为2厘米，如下图。 （答案不唯一） （4）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 三角形ABC的面积是8平方厘米。 五、解答题 24．下图，阴影部分的面积与正方形面积的比是5∶12，正方形的边长是6厘米，DE的长是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】用正方形的边长乘边长，求出正方形的面积。再根据阴影部分的面积与正方形面积的比，求出三角形的面积。最后用三角形面积乘2除以6，求出DE的长。 【解答】6×6＝36（平方厘米） 36×＝15（平方厘米） 15×2÷6＝5（厘米） 所以，DE的长是5厘米。 【点评】先根据比求出三角形的面积是解决本题的关键。 25．用75厘米长的铁丝围成一个直角三角形，三条边长度的比是5∶12∶13。这个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】187.5平方厘米 【分析】把75厘米平均分成（5＋12＋13）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法求出5份、12份的长度，即这个三角形两直角边的长度，然后根据三角形的面积计算公式“S＝ah÷2”即可解答。 【解答】75÷（5＋12＋13） ＝75÷30 ＝2.5（厘米） （2.5×5）×（2.5×12）÷2 ＝12.5×30÷2 ＝187.5（平方厘米） 答：这个三角形的面积是187.5平方厘米。 【点评】直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，关键是根据按比例分配问题求出这个直角三角形的两直角边。 26．如图，刘奶奶把一块梯形菜地分成两部分，分别用来种土豆和茄子，已知种茄子的面积是180平方米，那么种土豆的面积是多少平方米？ 【答案】60平方米 【分析】根据平行四边形的面积公式，用种茄子的面积÷平行四边形的边长，求出平行四边形的高（梯形的高），再将三角形的底和高带入三角形的面积公式即可。 【解答】180÷12×8÷2 ＝15×8÷2 ＝120÷2 ＝60（平方米） 答：种土豆的面积是60平方米。 【点评】本题考查平行四边形、三角形面积公式的应用，求出梯形的高是解题的关键。 27．探索与发现。奇思说：“我已经探索过三角形的内角和是180度，那么其他多边形的内角是多少度呢？” ①观察图，画一画，你能算出四边形、五边形、六边形的内角和吗？ ②如果多边形的边数是n，那么它的内角和是多少度？ ③如果一个多边形的内角和是1800度，那么它是几边形？ 【答案】①图见详解；360°；540°；720°； ②（n－2）×180°； ③十二边形 【分析】（1）把四边形、五边形、六边形分成几个三角形，计算其内角和即可。 （2）根据三、四、五、六边形的内角和，总结多边形内角和公式。 （3）根据多边形内角和定理计算即可。 【解答】①如图： 我能算出四边形、五边形、六边形的内角和。 2×180°＝360° 3×180°＝540° （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° ②如果多边形的边数是n，那么它的内角和是（n－2）×180°。 ③（n－2）×180°＝1800° 解：（n－2）×180°÷180°＝1800°÷180° n－2＝10 n－2＋2＝10＋2 n＝12 答：它是十二边形。 【点评】本题主要考查多边形内角和的推算。 28．如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。同理和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。先用四边形面积减去两个小三角形的面积得到和的面积和，再根据∶＝3∶4，那么和分别是把面积和平均分成3＋4＝7份中的3份和4份，求出一份的面积再乘最大的份数即可找出最大的三角形面积。 【解答】因为，并且和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。 因为和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。 因为＋＝42－3－4＝35（平方厘米） 所以（平方厘米） ＝35－15＝20（平方厘米） 因为3＜4＜15＜20，所以最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 【点评】本题考查对三角形高的认识、三角形面积的灵活计算及按比分配问题。 29．将一根铁丝剪成三段围成一个三角形（每段长取整厘米数）。小思第一次从C点剪开，得到两段铁丝AC、CB，分别长7厘米5厘米（如图）。第二次应该选哪段铁丝再剪（AC；CB）（圈出正确的答案）。最后剪成的三段铁丝分别长（    ）cm、（    ）cm和（    ）cm。 【答案】圈答案见详解；2；5；5（答案不唯一） 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，进行分析。 【解答】7－2＝5（cm），2＋5＞5 第二次应该选哪段铁丝再剪（圈出正确的答案）。最后剪成的三段铁丝分别长2cm、5cm和5cm。 【点评】关键是熟悉三角形特征。 30．亮亮用一根铁丝围成了一个三角形。第一条边用了这根铁丝的，第二条边用了这根铁丝的。亮亮围成了一个什么样的三角形？写出你的思考过程。 【答案】有两条边的长度都占全长的，它们相等，所以这个三角形是等腰三角形。 【分析】把这根铁丝的全长看成单位“1”，第一条边用了这根铁丝的，第二条边用了这根铁丝的，用1减去这两个边的长度，求出第三条边占全长的几分之几，从而判断这个三角形的类别。 【解答】1－－ ＝－ ＝ 有两条边的长度都占全长的，它们相等。 答：这个三角形是等腰三角形。 【点评】解决本题根据分数减法的意义以及三角形分类的方法进行求解。 31．一艘轮船在大海中以每小时16千米的速度向正东方向航行，10时发现北偏东30°方向24千米处有一座灯塔，11时30分这座灯塔在轮船的什么位置？（请描述出准确位置） 【答案】北偏西30°方向24千米处。 【分析】根据经过时间＝结束时间－开始时间，求出轮船航行的时间，再乘轮船的速度，即可求出轮船航行的路程。即起点到灯塔的距离。再根据图示里等腰三角形和等边三角形的特征，求出∠EBC的度数，即可表示出灯塔的位置。 【解答】如图： 11时30分―10时＝1时30分＝1.5（时） 1.5×16＝24（千米） 即从10时到11时30分，轮船航行了24千米，AB＝24千米， 10时，起点A和灯塔C距离也是24千米，得到AB＝AC， 所以∆ABC是等腰三角形。 又10时发现北偏东30°方向有一座灯塔即∠DAC＝30° ∠CAB＝90°－30°＝60° 所以∆ABC是一个等边三角形。 得∠ABC＝60°，BC＝AB＝24（千米） 于是∠EBC＝90°－60°＝30° 所以灯塔在轮船的北偏西30°方向24千米处。 答：11时30分这座灯塔在轮船的北偏西30°方向24千米处。 【点评】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。 32．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是2∶3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】23平方厘米 【分析】已知梯形上、下底的比是2∶3，根据比的意义，可假设上底为2厘米，下底为3厘米，又已知两个空白的三角形面积分别为10平方厘米和12平方厘米，根据三角形的面积×2÷底＝高，用10×2÷2即可求出上面空白三角形的高，也就是10厘米，用12×2÷3即可求出下面空白三角形的高，也就是8厘米；进而可知梯形的高是（10＋8）厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用（2＋3）×（10＋8）÷2即可求出梯形的面积；再用梯形的面积减去两个空白三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【解答】假设上底为2厘米，下底为3厘米， 10×2÷2＝10（厘米） 12×2÷3＝8（厘米） （2＋3）×（10＋8）÷2 ＝5×18÷2 ＝45（平方厘米） 45－10－12＝23（平方厘米） 答：阴影部分面积是23平方厘米。 【点评】本题主要考查了比的应用以及三角形、梯形面积公式的灵活应用，可用假设法解决问题。 33．想象与操作。按要求完成下面各题。 （1）请根据，，三个点的位置，面出三角形；    （2）画出三角形绕B点顺时针旋转90°后的图形； （3）画出三角形按2∶1扩大后的图形，再求出放大后的三角形的面积是（    ）； （4）方格纸中有一点，a为自然数，小明认真分析后说：“三角形与三角形的面积一定相等。”你同意他的说法吗？为什么？ 【答案】（1）（2）画图见详解； （3）画图见详解；12 （4）见详解 【分析】（1）根据数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此在图中找出A、B、C三个点的位置顺次连接即可得三角形； （2）根据旋转的特征，三角形绕B点顺时针旋转90°，点B位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数即可画出旋转后的图形； （3）根据图形扩大的意义，将三角形的底和高同时扩大到原来的2倍，再根据三角形面积公式：S＝底×高÷2，代入数据求出面积； （4）根据三角形的特征，等底等高的两个三角形的面积相同，分析P点位置，判断两个三角形是不是等底等高即可。 【解答】由分析可得： （1）（2）见下图； （3）画图见下：    放大后三角形面积： 4×6÷2 ＝24÷2 ＝12 （4）我同意他的说法；因为A（1，5），，不管a是几，两点都在同一行，B点和C点的位置相同，所以三角形ABC的底是3，高是2，三角形PBC的底是3，高是2，三角形PBC与三角形ABC是等底等高的两个三角形，等底等高的两个三角形的面积相同，所以三角形PBC与三角形ABC的面积一定相等。 【点评】此题考查的知识点有：作旋转一定度数后的图形、图形的放大，以上知识都需要熟练掌握并且灵活运用，尤其需要能结合知识准确画图，同时需要熟练掌握三角形面积的求法和公式。 学科网（北京）股份有限公司 $$