专题38 四大立体图形的表面积和体积（导图+2个重点速记+10个考点精讲+33道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测（通用版）

1 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 38 四大立体图形的表面积和体积 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、立体图形的表面积。 .................................................. 4 二、四大立体图形的体积。 ................................................ 4 第三部分典例精讲 ............................................................5 【考点一】长方体和正方体的表面积 ............................................5 【考点二】长方体和正方体的体积 ..............................................6 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 ........................................7 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 ........................................8 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 ........................................9 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 .............................................11 【考点七】圆柱和圆锥的体积 .................................................12 【考点八】圆柱的体积的应用 .................................................13 【考点九】圆柱的容积的应用 .................................................15 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 ...........................................16 第四部分真题专练 ...........................................................17 4 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、立体图形的表面积。 1、长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a 表示棱长） 3、圆柱的表面积=侧面积+2 个底面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽 就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面， 所以表面积=侧面积+2 个底面积 二、四大立体图形的体积。 1、长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 2、圆柱的体积。 5 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h 3、圆锥的体积。 圆锥体积= 3 1 ×底面积×高，用字母表示： V= 3 1 Sh= 3 1 πr2h，（S表示底面积，h表示高） 第三部分典例精讲 【考点一】长方体和正方体的表面积 【典例一】一个长方体木箱，底面周长是 3米，高 5分米，表面积是 258 平方分米。这个木箱 的底面积是（ ）平方分米。 【典例二】如图，木匠王师傅将三个棱长为 2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如 果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分 米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【典例三】把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是 350 平方厘米，每 个正方体表面积是 平方厘米。 6 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】至少用（ ）个棱长为 2cm 的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面 积是（ ）cm2。 【考点二】长方体和正方体的体积 【典例一】按要求计算。 （1）计算长方体的表面积。 （2）计算长方体的体积。 【典例二】分别计算下面各图形的表面积和体积。 【典例三】计算出下面图形的表面积和体积。 7 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】求下面各图形的表面积和体积。 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 【典例一】一种长方体工艺品盒的长是 3分米，宽是 2分米，高是 1分米。现将 3个这样的工 艺品盒包装在一起（仍为长方体），至少需要包装纸多少平方分米？ 【典例二】一间教室长 8米，宽 6米，高 3米，门窗面积共 15.6 平方米。要粉刷教室的四壁 和顶面，如果每平方米用涂料 0.25 千克，共需要涂料多少千克？ 8 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】2024 年 7 月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一 个灯笼框架要用去一根长 240 分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的 5个表面糊上 彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【典例四】如图，是一个棱长为 3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长 1分米，宽 3厘米的 长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 【典例一】一个长方体长 8分米，高 7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方 体，表面积就增加 160 平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 9 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】一个水池长 12 米，宽 8米，深 0.8 米。 （1）要在水池的四周和地面涂防水漆。如果每平方米防水漆的价格是 25 元，一共需要多少钱？ （2）在水池中注入 57.6 立方米的水之后水深多少米？ 【典例三】一块正方体的石料，棱长为 5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均 为 4分米、深 7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 【典例四】贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和 减少了 160 厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 【典例一】介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的 则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博 物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个 工艺品的长 15 厘米，宽 8厘米，高 12 厘米，把它装在一个从里面量长 18 厘米，宽 15 厘米， 10 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 容积为 2.43 立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 【典例二】一块长 23 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为 4 厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【典例三】用下图中的 5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌 子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 【典例四】用铁皮做一个长是 3米、宽是 0.6 米、高是 0.4 米的长方体水槽（无盖）。 （1）大约要用多少平方米的铁皮？（得数保留整数） 11 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）这个水槽最多能储水多少立方米？ 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 【典例一】一节圆柱形铁皮水管长 2米，底面直径是 10 厘米，做 5节这样的水管要用铁皮 （ ）平方分米。 【典例二】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加 1厘米，它的侧面积就增加 6.28 平方 厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ） 立方厘米。 【典例三】下面的方格纸表示一张长方形铁皮（每个小方格表示 1平方分米），剪下涂色部分 可以围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 12 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】如图，一个底面半径为 2厘米、高为 6厘米的圆柱，它的表面积是（ ）平方 厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是（ ）平 方厘米。 【考点七】圆柱和圆锥的体积 【典例一】求出下列图形的体积。（单位：厘米） （1） （2） 【典例二】计算下面图形的体积。 13 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】求圆柱体的表面积和体积。（单位：厘米） 【典例四】计算下面图形的体积。 【考点八】圆柱的体积的应用 【典例一】一个零件，上面是圆锥形，下面是圆柱形，它们的底面直径都是 4厘米，高都是 6 厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？ 【典例二】一个圆柱形粮囤，从里面量得它的数据如图所示，按每立方米稻谷重 600 千克算， 这个粮囤能装稻谷多少吨？ 14 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】乐乐报名参加体育节中的中国象棋比赛，他买了一副中国象棋，一共有 32 个棋子， 分红、黑两色，各 16 个。每个棋子的形状是底面直径 4厘米、高 2厘米的小圆柱体，这款木 材密度是 0.6 克/立方厘米。这副棋子一共有多重？（π取值为 3） 【典例四】小红在景区超市给妈妈买了一个茶杯（如图所示）。 （1）为防止烫伤，小红特地给茶杯中部贴上一圈花纹装饰带，装饰带宽 5厘米，这一圈装饰 带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯装满水后的体积是多少？ 15 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点九】圆柱的容积的应用 【典例一】一个圆柱形油桶，量得它的底面内直径是 8分米，高 10 分米。这个油桶的容积是 多少升？已知每升油重 0.82 千克，这个油桶里装了 3 5桶油，这些油重多少千克？（第二问得 数保留整数） 【典例二】一种饮料的包装是圆柱形易拉罐，底面直径是 6厘米，高 12 厘米，易拉罐的侧面 标有“净含量 350 毫升”字样，请通过计算说明这种饮料的厂商是否欺瞒了消费者？如果将一 满罐饮料倒入直径为 6厘米，深 9厘米的圆锥形高脚杯中，能倒满几杯？（易拉罐和高脚杯厚 度不计） 【典例三】农场在地下挖了一个圆柱形蓄水池，它的底面周长是 125.6 米，深 2米。 （1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能蓄水多少立方米？ 【典例四】妈妈有一个圆柱形的茶杯，如图。 （1）茶杯中部是一圈好看的装饰带，这条装饰带宽 5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽 16 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 略不计） （2）这只茶杯的容积是多少毫升？（茶杯厚度忽略不计） 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是 6.28 米，高是 1.5 米。把这堆稻谷运到一个圆柱 形粮囤，已知粮囤的底面直径是 1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【典例二】一个圆锥形小麦堆，底面周长是 12.56 米，高是 2.7 米。现在把这堆小麦放到一个 圆柱形粮囤中，恰好占粮囤容积的 80%。已知粮囤的底面周长是 9.42 米，求粮囤的高。 【典例三】一个盛满水的底面内半径为 20 厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是 10 厘米的 圆锥完全浸入水中，取出圆锥后，容器里的水面下降了 2厘米。 （1）圆锥的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥的高是多少厘米？ 【典例四】小强先在一个圆柱形玻璃容器中倒入一些水，如图一所示；再将一个底面半径 4 厘米圆锥形铁块浸入水中，如图二所示。 17 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （1）圆柱形容器中的水有多少毫升？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 第四部分真题专练 一、填空题 1．由 15 个棱长为1cm 的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为（ ） 2cm 。 2．用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是 （ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计） 3．红红把下图这块长方形橡皮泥捏成一个高是 8cm 的圆柱，捏成的圆柱的底面积是（ ） cm2，如果捏成与圆柱底面积相等的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm。 18 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 4．将一个棱长总和是 60 厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是 10 厘米，宽是 2厘米的长方 体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 5．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是 （ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 6．一个圆柱体，如果把它的高截短 3厘米后，表面积就比原来减少 56.52 平方厘米，这个圆 柱体的底面直径是（ ）厘米；如果把它切拼成一个近似的长方体后，表面积就比原来 增加 90 平方厘米，原来圆柱体的体积是（ ）立方厘米。 7．如图，将一个长 3厘米、宽 2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱 的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 8．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子漏入下面空的圆 柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约（ ）厘米高的沙 子。 9．如图，在一个内直径是 8cm 的瓶子里，水的高度是 6cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分 是圆柱形，高度是 14cm，这个瓶子的容积是（ ）毫升。 19 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 10．一根长 60cm 的圆柱形木料，截成 3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了 50cm2，这根 圆柱形木料原来的体积是（ ）cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，削去的体积是 （ ）cm3。 二、选择题 11．一种长方体饼干盒，长3cm、宽 2cm、高1cm 的（如图），买 3盒这样的饼干包装成一件礼 品，用最节约纸的方式包装，需要包装纸（ ）。（接口处不计） A． 238cm B． 242cm C． 254cm D． 258cm 12．一个长、宽、高分别是 8米、5米、4米的长方体油箱，若把它的高增加 1米，这个油箱 的表面积就增加（ ）平方米。 A．26 B．52 C．80 D．92 13．将一个正方体切成 8个相等的小正方体后，表面积增加 54 平方厘米，原来正方体的体积 是（ ）立方厘米。 A．18 B．27 C．36 D．64 14．将图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面 数据如图所示，水位上升最多的是（ ）。（单位：cm） 20 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 A． B． C． D． 15．将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（ ）。 A．2∶3 B．π∶1 C．157∶200 D．π∶4 16．有一根圆柱形的木料（如图）。如果截去 5厘米长的一段，木料的表面积减少（ ）平 方厘米。 A．175.84 B．125.6 C．226.08 D．150.72 17．太和殿又称“金銮殿”“至尊金殿”“金銮宝殿”，是中国现存规制最高的古代宫殿建筑， 是古代皇帝举行重大朝典之地。已知太和殿有 72 支顶梁柱，直径均为 1.06 米，高度均为 12.7 米，要计算太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是（ ）。 A．3.14×（1.06÷2）2×12.7×72 B．2×3.14×1.06×12.7×72 C．3.14×1.062×12.7×72 D．3.14×1.06×12.7×72 18．一个药瓶的容积是 26.4 立方厘米，瓶内装有一些药水（如下图所示）。瓶子正放时，瓶 内药水液面高 6厘米，瓶子倒放时，空余部分高 2厘米，则瓶内药水的体积是（ ）。 A．26.4 立方厘米 B．19.8 立方厘米 C．66 立方厘米 D．无法确定 19．一个圆柱形容器，从里面量得底面半径是 4分米，高是 6分米，里面盛满水，把水倒在棱 21 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 长是 8分米的正方体容器内，水深是（ ）分米。 A．3.14 B．4.71 C．6.28 D．7.85 20．如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加 12.56cm2。 原来这个物体的体积是（ ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 三、计算题 21．求下列图形的体积。 22．计算下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 22 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 四、解答题 23．一个长方体礼盒刚好能容纳 2个圆柱形茶叶罐。（如图） （1）一个圆柱形茶叶罐高为 20 厘米，底面直径为 8厘米，这个圆柱形茶叶罐的容积是多少立 方厘米？（厚度忽略不计） （2）做一个如图所示的长方体礼盒，至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） 24．长征二号 F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为 3.2 米。科技馆存放着按一定比例制作的 长征二号 F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型， 制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 25．张叔叔要制作一个棱长为 15 厘米的正方体无盖玻璃鱼缸。 （1）至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 23 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 26．某小学建一个长方体游泳池，长 80 米，宽 25 米，深 2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到 1.2 米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 27．小飞想用一个圆柱体容器测量一种玻璃球的体积，他做了以下实验： （1）给容器中注入一定量的水，接着将一个棱长 6cm 的正方体完全浸入水中，当把正方体从 水中取出后，水面下降了 4cm。 （2）将 9个同样的玻璃球浸入水中后，量得水面又上升了 5cm。请你根据这些信息计算玻璃 球的体积。 28．明明要做一个长方体无盖玻璃容器。如图所示，这是这个玻璃容器相邻的两个面，按这样 的规格可以制作出几种不同的玻璃容器。 （1）制作这个无盖玻璃容器最少要用多少平方分米的玻璃？（粘接处忽略不计） （2）如果向容器中注满水，需要水多少升？（粘接处忽略不计） 24 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 29．一个塑料薄膜盖的大棚长 25 米，横截面是一个半径为 2米的半圆形。 （1）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积是多少平方米？（包括两端） （2）大棚内的空间有多大？ 30．学校有一个圆柱形的水池，从里面量直径是 6米，深是 1.5 米。 （1）如果在水池内壁和底面抹上水泥，抹水泥工人费为每平方米 30 元，一共需要人工费多少 元？ （2）学校要往水池注入 1米深的水用来养鱼，求注入的水的体积。 31．“神舟”号飞船轨道舱外形为圆柱形，是飞船进入轨道后航天员工作、生活的场所。它的 尺寸：高 2.8 米，直径 2.2 米。 （1）“神舟”号飞船轨道舱的体积大约是多少立方米？（结果保留两位小数） （2）科技小组的同学们要按一定比例制作“神舟”号飞船轨道舱模型，如果轨道舱模型高是 1.4 米，模型直径应是多少？（用比例知识解决） 25 / 25 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 32．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦。经过几代人的 不懈奋斗。我国的航天事业取得了辉煌成就。长征五号系列（简称 CZ－5）运载火箭实现数字 工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。 （1）长征五号 B型火箭在太空绕地球转了 102 圈。已知绕地球 5圈大约需要 7.5 小时，那么 长征五号 B型火箭在太空大约运行了多长时间？（用比例解答） （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号 运载火箭整流罩的简约示意图，整流罩本身的厚度不计，该整流罩的容积是多少？ 33．一个圆柱体玻璃容器（如图），底面内直径为 12cm，高为 18cm。 （1）将 565.2mL 水倒入玻璃容器中，水深多少厘米？ （2）水与玻璃容器接触部分的面积是多少平方厘米？ （3）把一个底面半径为 5cm 的圆锥形零件完全浸入水中，水面上升了 2cm。这个圆锥形零件 的高是多少厘米？ 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题38 四大立体图形的表面积和体积 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、立体图形的表面积。 4 二、四大立体图形的体积。 4 第三部分典例精讲 5 【考点一】长方体和正方体的表面积 5 【考点二】长方体和正方体的体积 6 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 7 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 8 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 9 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 11 【考点七】圆柱和圆锥的体积 12 【考点八】圆柱的体积的应用 13 【考点九】圆柱的容积的应用 15 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 16 第四部分真题专练 17 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、立体图形的表面积。 1、长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a表示棱长） 3、圆柱的表面积=侧面积+2个底面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 二、四大立体图形的体积。 1、长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 2、圆柱的体积。 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h 3、圆锥的体积。 圆锥体积=×底面积×高，用字母表示： V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高） 第三部分典例精讲 【考点一】长方体和正方体的表面积 【典例一】一个长方体木箱，底面周长是3米，高5分米，表面积是258平方分米。这个木箱的底面积是（ ）平方分米。 【典例二】如图，木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【典例三】把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是350平方厘米，每个正方体表面积是 平方厘米。 【典例四】至少用（ ）个棱长为2cm的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面积是（ ）cm2。 【考点二】长方体和正方体的体积 【典例一】按要求计算。 （1）计算长方体的表面积。 （2）计算长方体的体积。 【典例二】分别计算下面各图形的表面积和体积。 【典例三】计算出下面图形的表面积和体积。 【典例四】求下面各图形的表面积和体积。     【考点三】长方体和正方体表面积的应用 【典例一】一种长方体工艺品盒的长是3分米，宽是2分米，高是1分米。现将3个这样的工艺品盒包装在一起（仍为长方体），至少需要包装纸多少平方分米？ 【典例二】一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积共15.6平方米。要粉刷教室的四壁和顶面，如果每平方米用涂料0.25千克，共需要涂料多少千克？ 【典例三】2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【典例四】如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 【典例一】一个长方体长8分米，高7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【典例二】一个水池长12米，宽8米，深0.8米。 （1）要在水池的四周和地面涂防水漆。如果每平方米防水漆的价格是25元，一共需要多少钱？ （2）在水池中注入57.6立方米的水之后水深多少米？ 【典例三】一块正方体的石料，棱长为5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均为4分米、深7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 【典例四】贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 【典例一】介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 【典例二】一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【典例三】用下图中的5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 【典例四】用铁皮做一个长是3米、宽是0.6米、高是0.4米的长方体水槽（无盖）。 （1）大约要用多少平方米的铁皮？（得数保留整数） （2）这个水槽最多能储水多少立方米？ 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 【典例一】一节圆柱形铁皮水管长2米，底面直径是10厘米，做5节这样的水管要用铁皮（ ）平方分米。 【典例二】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加1厘米，它的侧面积就增加6.28平方厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【典例三】下面的方格纸表示一张长方形铁皮（每个小方格表示1平方分米），剪下涂色部分可以围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 【典例四】如图，一个底面半径为2厘米、高为6厘米的圆柱，它的表面积是（ ）平方厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。 【考点七】圆柱和圆锥的体积 【典例一】求出下列图形的体积。（单位：厘米） （1）        （2） 【典例二】计算下面图形的体积。 【典例三】求圆柱体的表面积和体积。（单位：厘米） 【典例四】计算下面图形的体积。 【考点八】圆柱的体积的应用 【典例一】一个零件，上面是圆锥形，下面是圆柱形，它们的底面直径都是4厘米，高都是6厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？ 【典例二】一个圆柱形粮囤，从里面量得它的数据如图所示，按每立方米稻谷重600千克算，这个粮囤能装稻谷多少吨？ 【典例三】乐乐报名参加体育节中的中国象棋比赛，他买了一副中国象棋，一共有32个棋子，分红、黑两色，各16个。每个棋子的形状是底面直径4厘米、高2厘米的小圆柱体，这款木材密度是0.6克/立方厘米。这副棋子一共有多重？（π取值为3） 【典例四】小红在景区超市给妈妈买了一个茶杯（如图所示）。 （1）为防止烫伤，小红特地给茶杯中部贴上一圈花纹装饰带，装饰带宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯装满水后的体积是多少？ 【考点九】圆柱的容积的应用 【典例一】一个圆柱形油桶，量得它的底面内直径是8分米，高10分米。这个油桶的容积是多少升？已知每升油重0.82千克，这个油桶里装了桶油，这些油重多少千克？（第二问得数保留整数） 【典例二】一种饮料的包装是圆柱形易拉罐，底面直径是6厘米，高12厘米，易拉罐的侧面标有“净含量350毫升”字样，请通过计算说明这种饮料的厂商是否欺瞒了消费者？如果将一满罐饮料倒入直径为6厘米，深9厘米的圆锥形高脚杯中，能倒满几杯？（易拉罐和高脚杯厚度不计） 【典例三】农场在地下挖了一个圆柱形蓄水池，它的底面周长是125.6米，深2米。 （1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能蓄水多少立方米？ 【典例四】妈妈有一个圆柱形的茶杯，如图。 （1）茶杯中部是一圈好看的装饰带，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯的容积是多少毫升？（茶杯厚度忽略不计） 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是6.28米，高是1.5米。把这堆稻谷运到一个圆柱形粮囤，已知粮囤的底面直径是1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【典例二】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高是2.7米。现在把这堆小麦放到一个圆柱形粮囤中，恰好占粮囤容积的80%。已知粮囤的底面周长是9.42米，求粮囤的高。 【典例三】一个盛满水的底面内半径为20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的圆锥完全浸入水中，取出圆锥后，容器里的水面下降了2厘米。 （1）圆锥的体积是多少立方厘米？     （2）圆锥的高是多少厘米？ 【典例四】小强先在一个圆柱形玻璃容器中倒入一些水，如图一所示；再将一个底面半径4厘米圆锥形铁块浸入水中，如图二所示。 （1）圆柱形容器中的水有多少毫升？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 第四部分真题专练 一、填空题 1．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为（ ）。 2．用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计） 3．红红把下图这块长方形橡皮泥捏成一个高是8cm的圆柱，捏成的圆柱的底面积是（ ）cm2，如果捏成与圆柱底面积相等的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm。 4．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 5．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 6．一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米后，表面积就比原来减少56.52平方厘米，这个圆柱体的底面直径是（ ）厘米；如果把它切拼成一个近似的长方体后，表面积就比原来增加90平方厘米，原来圆柱体的体积是（ ）立方厘米。 7．如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 8．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子漏入下面空的圆柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约（ ）厘米高的沙子。 9．如图，在一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是6cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是14cm，这个瓶子的容积是（ ）毫升。 10．一根长60cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了50cm2，这根圆柱形木料原来的体积是（ ）cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，削去的体积是（ ）cm3。 二、选择题 11．一种长方体饼干盒，长、宽、高的（如图），买3盒这样的饼干包装成一件礼品，用最节约纸的方式包装，需要包装纸（    ）。（接口处不计） A． B． C． D． 12．一个长、宽、高分别是8米、5米、4米的长方体油箱，若把它的高增加1米，这个油箱的表面积就增加（    ）平方米。 A．26 B．52 C．80 D．92 13．将一个正方体切成8个相等的小正方体后，表面积增加54平方厘米，原来正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．18 B．27 C．36 D．64 14．将图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 15．将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（    ）。 A．2∶3 B．π∶1 C．157∶200 D．π∶4 16．有一根圆柱形的木料（如图）。如果截去5厘米长的一段，木料的表面积减少（    ）平方厘米。 A．175.84 B．125.6 C．226.08 D．150.72 17．太和殿又称“金銮殿”“至尊金殿”“金銮宝殿”，是中国现存规制最高的古代宫殿建筑，是古代皇帝举行重大朝典之地。已知太和殿有72支顶梁柱，直径均为1.06米，高度均为12.7米，要计算太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是（    ）。 A．3.14×（1.06÷2）2×12.7×72 B．2×3.14×1.06×12.7×72 C．3.14×1.062×12.7×72 D．3.14×1.06×12.7×72 18．一个药瓶的容积是26.4立方厘米，瓶内装有一些药水（如下图所示）。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶内药水的体积是（    ）。 A．26.4立方厘米 B．19.8立方厘米 C．66立方厘米 D．无法确定 19．一个圆柱形容器，从里面量得底面半径是4分米，高是6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器内，水深是（    ）分米。 A．3.14 B．4.71 C．6.28 D．7.85 20．如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2。原来这个物体的体积是（    ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 三、计算题 21．求下列图形的体积。 22．计算下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 四、解答题 23．一个长方体礼盒刚好能容纳2个圆柱形茶叶罐。（如图） （1）一个圆柱形茶叶罐高为20厘米，底面直径为8厘米，这个圆柱形茶叶罐的容积是多少立方厘米？（厚度忽略不计） （2）做一个如图所示的长方体礼盒，至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） 24．长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 25．张叔叔要制作一个棱长为15厘米的正方体无盖玻璃鱼缸。 （1）至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 26．某小学建一个长方体游泳池，长80米，宽25米，深2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到1.2米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 27．小飞想用一个圆柱体容器测量一种玻璃球的体积，他做了以下实验： （1）给容器中注入一定量的水，接着将一个棱长6cm的正方体完全浸入水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了4cm。 （2）将9个同样的玻璃球浸入水中后，量得水面又上升了5cm。请你根据这些信息计算玻璃球的体积。 28．明明要做一个长方体无盖玻璃容器。如图所示，这是这个玻璃容器相邻的两个面，按这样的规格可以制作出几种不同的玻璃容器。 （1）制作这个无盖玻璃容器最少要用多少平方分米的玻璃？（粘接处忽略不计） （2）如果向容器中注满水，需要水多少升？（粘接处忽略不计） 29．一个塑料薄膜盖的大棚长25米，横截面是一个半径为2米的半圆形。 （1）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积是多少平方米？（包括两端） （2）大棚内的空间有多大？ 30．学校有一个圆柱形的水池，从里面量直径是6米，深是1.5米。 （1）如果在水池内壁和底面抹上水泥，抹水泥工人费为每平方米30元，一共需要人工费多少元？ （2）学校要往水池注入1米深的水用来养鱼，求注入的水的体积。 31．“神舟”号飞船轨道舱外形为圆柱形，是飞船进入轨道后航天员工作、生活的场所。它的尺寸：高2.8米，直径2.2米。 （1）“神舟”号飞船轨道舱的体积大约是多少立方米？（结果保留两位小数） （2）科技小组的同学们要按一定比例制作“神舟”号飞船轨道舱模型，如果轨道舱模型高是1.4米，模型直径应是多少？（用比例知识解决） 32．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦。经过几代人的不懈奋斗。我国的航天事业取得了辉煌成就。长征五号系列（简称CZ－5）运载火箭实现数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。 （1）长征五号B型火箭在太空绕地球转了102圈。已知绕地球5圈大约需要7.5小时，那么长征五号B型火箭在太空大约运行了多长时间？（用比例解答） （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简约示意图，整流罩本身的厚度不计，该整流罩的容积是多少？ 33．一个圆柱体玻璃容器（如图），底面内直径为12cm，高为18cm。 （1）将565.2mL水倒入玻璃容器中，水深多少厘米？ （2）水与玻璃容器接触部分的面积是多少平方厘米？ （3）把一个底面半径为5cm的圆锥形零件完全浸入水中，水面上升了2cm。这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题38 四大立体图形的表面积和体积 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、立体图形的表面积。 4 二、四大立体图形的体积。 4 第三部分典例精讲 5 【考点一】长方体和正方体的表面积 5 【考点二】长方体和正方体的体积 7 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 10 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 12 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 14 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 17 【考点七】圆柱和圆锥的体积 20 【考点八】圆柱的体积的应用 22 【考点九】圆柱的容积的应用 25 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 28 第四部分真题专练 31 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、立体图形的表面积。 1、长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a表示棱长） 3、圆柱的表面积=侧面积+2个底面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 二、四大立体图形的体积。 1、长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 2、圆柱的体积。 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h 3、圆锥的体积。 圆锥体积=×底面积×高，用字母表示： V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高） 第三部分典例精讲 【考点一】长方体和正方体的表面积 【典例一】一个长方体木箱，底面周长是3米，高5分米，表面积是258平方分米。这个木箱的底面积是（ ）平方分米。 【答案】54 【分析】长方体表面积等于前后左后四个侧面面积之和加上上下两个底面面积。要想求这个长方形木箱的底面积，只需用表面积减去侧面积除以2；先求出侧面积，只需要根据S侧面积＝C底面周长×h计算，据此解答。 【解答】3米＝30分米 （258－30×5）÷2 ＝（258－150）÷2 ＝108÷2 ＝54（平方分米） 故这个木箱的底面积是54平方分米。 【典例二】如图，木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【答案】56 24 6.28 【分析】根据题干，粘成后长方体的体积就是这几个正方体的体积之和，而粘成后的表面积减少了2×2＝4个正方体的面，根据、正方体的表面积公式。最大的圆锥的底面直径等于小正方体的棱长，圆锥的高是小正方体棱长的3倍，根据半径＝直径÷2，圆锥的体积公式，代入数据计算即可得解。 【解答】 （平方分米） （立方分米） （立方分米） 木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是56平方分米，体积是24立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是6.28立方分米。 【典例三】把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是350平方厘米，每个正方体表面积是 平方厘米。 【答案】150 【分析】三个完全相等的正方体摆成一个长方体的方法是：一字排列，拼组后表面积减少了4个正方形面，那么拼组后的长方体的表面积就是6×3－4＝14个正方形面的面积，由此可以求出一个面的面积是：350÷14＝25平方厘米，正方体6个面是完全一样的正方形，用一个面的面积乘6即可解决问题。 【解答】6×3－4 ＝18－4 ＝14（个） 350÷14＝25（平方厘米） 25×6＝150（平方厘米） 所以每个正方体表面积是150平方厘米。 【典例四】至少用（ ）个棱长为2cm的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面积是（ ）cm2。 【答案】8 96 【分析】 分析题目，大正方体的棱长是小正方体棱长的整数倍，最小为2倍，所以至少需要（2×2×2）个小正方体才能拼成大正方体；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此先用小正方体的棱长乘2求出大正方体的棱长，再代入表面积公式计算即可。 【解答】2×2×2＝8（个） 2×2＝4（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 至少用8个棱长为2cm的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面积是96cm2。 【考点二】长方体和正方体的体积 【典例一】按要求计算。 （1）计算长方体的表面积。 （2）计算长方体的体积。 【答案】（1）360 （2）352 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，代入数据计算即可。 （2）由图可知，长方体的底面积是16，高是22cm，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。 【解答】（1）（12×6＋6×6＋12×6）×2 ＝（72＋36＋72）×2 ＝（108＋72）×2 ＝180×2 ＝360（） （2）16×22＝352（） 【典例二】分别计算下面各图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积406cm2；体积490cm3 （2）表面积1.5dm2；体积0.125dm3 【分析】（1）根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出长方体的表面积和体积。 （2）根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出正方体的表面积和体积。 【解答】（1）（14×5＋14×7＋5×7）×2 ＝（70＋98＋35）×2 ＝203×2 ＝406（cm2） 14×5×7 ＝70×7 ＝490（cm3） 长方体的表面积是406cm2，体积是490cm3。 （2）0.5×0.5×6 ＝0.25×6 ＝1.5（dm2） 0.5×0.5×0.5 ＝0.25×0.5 ＝0.125（dm3） 正方体的表面积是1.5dm2，体积是0.125dm3。 【典例三】计算出下面图形的表面积和体积。 【答案】长方体的表面积是220平方厘米；长方体的体积是200立方厘米；正方体的表面积是216平方厘米；正方体的体积是216立方厘米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（5×4＋5×10＋4×10）×2即可求出长方体的表面积；根据长方体的体积＝长×宽×高，用5×4×10即可求出长方体的体积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用6×6×6即可求出正方体的表面积；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体的体积。 【解答】（5×4＋5×10＋4×10）×2 ＝（20＋50＋40）×2 ＝110×2 ＝220（平方厘米） 长方体的表面积是220平方厘米； 5×4×10＝200（立方厘米） 长方体的体积是200立方厘米； 6×6×6＝216（平方厘米） 正方体的表面积是216平方厘米； 6×6×6＝216（立方厘米） 正方体的体积是216立方厘米。 【典例四】求下面各图形的表面积和体积。     【答案】正方体的表面积：96平方厘米；正方体的体积：64立方厘米；长方体的表面积：136平方米；长方体的体积：80立方米 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把棱长的值分别代入表面积、体积公式计算即可。 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把长方体长、宽、高的值分别代入表面积、体积公式计算即可。 【解答】正方体的表面积：4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 正方体的体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 长方体的表面积：（10×2＋10×4＋2×4）×2 ＝（20＋40＋8）×2 ＝68×2 ＝136（平方米） 长方体的体积：10×2×4 ＝20×4 ＝80（立方米） 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 【典例一】一种长方体工艺品盒的长是3分米，宽是2分米，高是1分米。现将3个这样的工艺品盒包装在一起（仍为长方体），至少需要包装纸多少平方分米？ 【答案】42平方分米 【分析】要使包装纸用量最少，需将长方体最大的面重合拼接，对于该长方体，3×2的面最大，把3个工艺品盒按此方式拼接，可得到新长方体的尺寸，长3分米，宽2分米，高1×3＝3分米；根据长方体表面积公式，将新长方体的长、宽、高代入公式，就能算出至少需要的包装纸面积。 【解答】1×3＝3（分米） （3×2＋3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝（15＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方分米） 答：至少需要包装纸42平方分米。 【典例二】一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积共15.6平方米。要粉刷教室的四壁和顶面，如果每平方米用涂料0.25千克，共需要涂料多少千克？ 【答案】29.1千克 【分析】分别计算顶面（长方形，面积为长乘宽）和四壁（前后、左右面分别计算，再求和）的面积，然后相加得到总面积；用总面积减去门窗面积，得到实际要粉刷的面积；根据每平方米涂料用量，用要粉刷的面积乘每平方米用量，得出共需涂料的千克数。 【解答】8×6＋8×3×2＋6×3×2－15.6 ＝48＋48＋36－15.6 ＝116.4（平方米） 116.4×0.25＝29.1（千克） 答：共需要涂料29.1千克。 【典例三】2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】2000平方分米 【分析】由题意可知，240分米是正方体的棱长总和，根据的逆运算，用240除以12可得棱长，再根据正方体表面积的特征，用棱长乘棱长乘5，即可得解。 【解答】（分米） （平方分米） 答：至少需要2000平方分米的彩纸。 【典例四】如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 【典例一】一个长方体长8分米，高7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】280立方分米 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：增加的表面积（160平方分米）＝底面积×4，用增加的面积÷4即可求出这个长方体的底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。 【解答】160÷4×7＝280（立方分米） 答：原来长方体的体积是280立方分米。 【典例二】一个水池长12米，宽8米，深0.8米。 （1）要在水池的四周和地面涂防水漆。如果每平方米防水漆的价格是25元，一共需要多少钱？ （2）在水池中注入57.6立方米的水之后水深多少米？ 【答案】（1）3200元；（2）0.6米 【分析】（1）由于游泳池无盖，所以抹水泥部分的面积等于这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式求出抹水泥的面积，然后根据单价×数量＝总价，求出一共需要多少元。 （2）根据长方体的体积公式V＝abh，将数据代入即可得出水深多少。 【解答】（1）8×12＋8×0.8×2＋12×0.8×2 ＝96＋6.4×2＋×2 ＝96＋12.8＋19.2 ＝108.8＋19.2 ＝128（平方米） 128×25＝3200（元） 答：一共需要3200元。 （2）57.6÷12÷8 ＝4.8÷8 ＝0.6（米） 答：水深0.6米。 【典例三】一块正方体的石料，棱长为5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均为4分米、深7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 【答案】能将这个土坑填满 【分析】正方体石料粉碎前后体积不变。可先求出正方体体积，再求出长方体土坑的容积。然后两者比较，如果正方体体积小于长方体容积则不能填满，反之则能填满。据此解答。 【解答】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 4×4×7 ＝16×7 ＝112（立方分米） 125＞112 答：能将这个土坑填满。 【典例四】贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1000立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即条棱长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm，即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条棱长的长度，再根据，代入数据，即可得解。 【解答】 （厘米） （立方厘米） 答：原来每个小正方体的体积是1000立方厘米。 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 【典例一】介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 【答案】能装得进去 【分析】由题意可知，要知道这个工艺品是否能装进长方体内，就要去对比这个工艺品和长方体的长、宽、高，已知长方体的容积是2.43立方分米，根据长方体的体积＝长×宽×高可变形为高＝长方体体积÷长÷宽，求出这个长方体的高，最后再比较长宽高：最长的棱长和最长的棱长相比，中等长度的棱长和中等长度的棱长相比，最短的棱长和最短的棱长相比，据此解答即可。 【解答】能装得进去； 理由如下： 2.43立方分米＝2430立方厘米 2430÷18÷15 ＝135÷15 ＝9（厘米） 18＞15，9＞8，15＞12 答：能装得进去。 【点评】能不能装的下，我们不能简单的比较体积大小，要根据实际情况来分析。 【典例二】一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【答案】720毫升 【分析】做成长方体盒子的长是（23－4×2）厘米，宽是（20－4×2）厘米，高是4厘米，根据长方体体积公式，再把体积单位转化为容积单位即可。 【解答】（23－4×2）×（20－4×2）×4 ＝15×12×4 ＝180×4 ＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 答：这个盒子的容积是720毫升。 【典例三】用下图中的5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 【答案】900平方厘米；9升 【分析】根据长方体的特征，它的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由题意可知，用图中的5块玻璃拼成一个水缸，由此确定把长45厘米、宽20厘米的作底面，用长45厘米，宽10厘米的两块作前、后面，长20厘米，宽10厘米的两块作左、右面；占地面积就是它的底面积，再根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，计算出它的容积是多少立方厘米，根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米，换算成容积单位即可。 【解答】45×20＝900（平方厘米） 45×20×10＝9000（立方厘米）＝9（升） 答：这只水缸放在桌子上占的面积是900平方厘米，能装水9升。 【典例四】用铁皮做一个长是3米、宽是0.6米、高是0.4米的长方体水槽（无盖）。 （1）大约要用多少平方米的铁皮？（得数保留整数） （2）这个水槽最多能储水多少立方米？ 【答案】（1）5平方米 （2）0.72立方米 【分析】（1）铁皮的面积＝下面＋前后左右面＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算，得数用进一法保留整数即可。 （2）根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】（1）3×0.6＋3×0.4×2＋0.6×0.4×2 ＝1.8＋2.4＋0.48 ≈5（平方米） 答：大约要用5平方米的铁皮。 （2）3×0.6×0.4＝0.72（立方米） 答：这个水槽最多能储水0.72立方米。 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 【典例一】一节圆柱形铁皮水管长2米，底面直径是10厘米，做5节这样的水管要用铁皮（ ）平方分米。 【答案】314 【分析】做水管需要多少铁皮，就是求圆柱的侧面积，根据，圆的周长公式，代入数据可求出一节水管需要的铁皮，再乘5即可得解，计算前把单位统一为分米。 【解答】2米＝20分米 10厘米＝1分米 （平方分米） 一节圆柱形铁皮水管长2米，底面直径是10厘米，做5节这样的水管要用铁皮314平方分米。 【典例二】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加1厘米，它的侧面积就增加6.28平方厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】6.28 3.14 19.7192 【分析】根据圆柱侧面积公式S＝Ch，高增加1厘米侧面积增加6.28平方厘米，增加的侧面积就是底面周长乘增加的高，所以用增加的侧面积除以增加的高就能得到底面周长； 已知底面周长，由圆的周长公式C＝2πr可推出半径r＝C÷π÷2，算出半径后，再代入圆的面积公式S＝πr2就能求出底面积； 已知底面周长和高相等，得到高的值后，根据圆柱体积公式V＝Sh ，把求出的底面积和高代入公式，即可算出原来圆柱的体积。 【解答】6.28÷1＝6.28（厘米） 所以圆柱的底面周长是6.28厘米； 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 所以圆柱的底面积是3.14平方厘米； 6.28×3.14＝19.7192（立方厘米） 所以圆柱的体积是19.7192立方厘米。 【典例三】下面的方格纸表示一张长方形铁皮（每个小方格表示1平方分米），剪下涂色部分可以围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 【答案】12.56 18.84 【分析】①圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱的高，已知长方形长6.28分米，宽2分米，根据可计算出圆柱的侧面积； ②已知底面周长是6.28分米，根据“C＝2πr”可计算出半径“r＝C÷π÷2”，然后根据圆的面积公式可计算出圆柱的底面积，最后根据计算出圆柱的表面积。 【解答】①6.28×2＝12.56（平方分米） 所以该圆柱的侧面积是12.56平方分米； ②6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 12.56＋3.14×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（平方分米） 所以该圆柱的表面积是18.84平方分米。 【典例四】如图，一个底面半径为2厘米、高为6厘米的圆柱，它的表面积是（ ）平方厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】100.48 75.36 【分析】①圆柱由两个底面和一个侧面组成，底面是圆，已知圆的半径是2厘米，根据圆的面积公式计算出底面积，侧面展开图不管是长方形还是平行四边形，侧面积公式都是，已知半径2厘米，高6厘米，代入公式计算出圆柱侧面积，最后根据圆柱表面积公式计算出该圆柱的表面积； ②圆柱侧面展开得到平行四边形，这个平行四边形的底相当于圆柱底面的周长，高相当于圆柱的高。根据“平行四边形面积＝底×高”可知平行四边形面积就是圆柱的侧面积，已知底面半径2厘米，高6厘米，代入圆柱侧面积公式即可计算出平行四边形面积。 【解答】2×3.14×2×6 ＝6.28×2×6 ＝12.56×6 ＝75.36（平方厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 75.36＋12.56×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方厘米） 所以该圆柱的表面积是100.48平方厘米； 2×3.14×2×6 ＝6.28×2×6 ＝12.56×6 ＝75.36（平方厘米） 所以平行四边形的面积是75.36平方厘米。 【考点七】圆柱和圆锥的体积 【典例一】求出下列图形的体积。（单位：厘米） （1）        （2） 【答案】（1）196.25立方厘米 （2）314立方厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积。 （2）根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积。 【解答】（1）3.14×（5÷2）2×10 ＝3.14×2.52×10 ＝3.14×6.25×10 ＝19.625×10 ＝196.25（立方厘米） 圆柱的体积是196.25立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×12× ＝3.14×52×12× ＝3.14×25×12× ＝78.5×12× ＝942× ＝314（立方厘米） 圆锥的体积是314立方厘米。 【典例二】计算下面图形的体积。 【答案】（1）1130.4；（2）1406.72 【分析】（1）圆柱的底面半径是6cm，高是10cm，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，代入数据计算即可； （2）圆锥的底面直径是16cm，则半径是16÷2＝8（cm），高是21cm，根据圆锥的体积＝××半径的平方×高，代入数据计算即可。 【解答】（1）3.14××10 ＝3.14×36×10 ＝113.04×10 ＝1130.4（） （2）×3.14××21 ＝×3.14××21 ＝×3.14×64×21 ＝×21×3.14×64 ＝7×3.14×64 ＝21.98×64 ＝1406.72（） 【典例三】求圆柱体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：376.8平方厘米；体积：452.16立方厘米 【分析】圆柱体的表面积＝侧面积＋两个底面的面积，圆柱的侧面积＝2×半径×高，圆柱的底面积＝×半径的平方，据此代入数据计算即可； 圆柱的体积＝×半径的平方×高，据此代入数据计算即可。 【解答】2×3.14×6×4＋3.14××2 ＝6.28×6×4＋3.14×36×2 ＝37.68×4＋113.04×2 ＝150.72＋226.08 ＝376.8（平方厘米） 3.14××4 ＝3.14×36×4 ＝113.04×4 ＝452.16（立方厘米） 【典例四】计算下面图形的体积。 【答案】56.52cm3 【分析】已知圆锥的底面直径和高都是6cm，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出它的体积。 【解答】×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（cm3） 圆锥的体积是56.52cm3。 【考点八】圆柱的体积的应用 【典例一】一个零件，上面是圆锥形，下面是圆柱形，它们的底面直径都是4厘米，高都是6厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【分析】计算组合图形的体积，由题可知，组合图形由圆柱和圆锥组成，底面直径都是4厘米，高都是6厘米，直接代入圆柱和圆锥的体积公式即可，圆柱体积公式，圆锥体积公式。 【解答】4÷2＝2（厘米） 3.14×22×6＋×3.14×22×6 ＝3.14×22×6×（1＋） ＝3.14×4×6× ＝100.48（立方厘米） 答：这个零件的体积是100.48立方厘米。 【典例二】一个圆柱形粮囤，从里面量得它的数据如图所示，按每立方米稻谷重600千克算，这个粮囤能装稻谷多少吨？ 【答案】22.608吨 【分析】根据圆柱的体积公式V＝计算出这个粮囤的体积，然后再乘600即可求出这个粮囤能装稻谷多少千克，最后根据1吨＝1000千克换算单位即可，据此解答。 【解答】3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方米） 37.68×600＝22608（千克） 22608千克＝22.608吨 答：这个粮囤能装稻谷22.608吨。 【典例三】乐乐报名参加体育节中的中国象棋比赛，他买了一副中国象棋，一共有32个棋子，分红、黑两色，各16个。每个棋子的形状是底面直径4厘米、高2厘米的小圆柱体，这款木材密度是0.6克/立方厘米。这副棋子一共有多重？（π取值为3） 【答案】460.8克 【分析】已知每个棋子的形状是底面直径4厘米、高2厘米的小圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出一个棋子的体积；再用一个棋子的体积乘32，求出这副棋子的总体积； 已知这款木材密度是0.6克/立方厘米，用这副棋子的总体积乘密度，即可求出这副棋子的重量。 【解答】3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（立方厘米） 24×32＝768（立方厘米） 768×0.6＝460.8（克） 答：这副棋子一共有460.8克重。 【典例四】小红在景区超市给妈妈买了一个茶杯（如图所示）。 （1）为防止烫伤，小红特地给茶杯中部贴上一圈花纹装饰带，装饰带宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯装满水后的体积是多少？ 【答案】（1）94.2平方厘米； （2）423.9立方厘米 【分析】（1）求这一圈装饰带的面积就是求圆柱的侧面积，由图可知，圆柱的底面直径是6厘米，高是5厘米，利用“”求出装饰带的面积； （2）由图可知，圆柱的底面直径是6厘米，高是15厘米，利用“”求出这只茶杯装满水后的体积，据此解答。 【解答】（1）3.14×6×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 答：这一圈装饰带至少有94.2平方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） 答：这只茶杯装满水后的体积是423.9立方厘米。 【考点九】圆柱的容积的应用 【典例一】一个圆柱形油桶，量得它的底面内直径是8分米，高10分米。这个油桶的容积是多少升？已知每升油重0.82千克，这个油桶里装了桶油，这些油重多少千克？（第二问得数保留整数） 【答案】502.4升；247千克 【分析】油桶的内直径是8分米，则半径是8÷2＝4分米，高是10分米，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，代入数据求出这个油桶的容积是多少立方分米，再把立方分米化为升；把这个油桶的容积看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，据此用乘法求出桶油是多少升，再乘每升油重即可解答。 【解答】8÷2＝4（分米） 3.14××10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方分米） 502.4立方分米＝502.4升 502.4××0.82 ＝301.44×0.82 ＝247.1808 ≈247（千克） 答：这个油桶的容积是502.4升，这些油重247千克。 【典例二】一种饮料的包装是圆柱形易拉罐，底面直径是6厘米，高12厘米，易拉罐的侧面标有“净含量350毫升”字样，请通过计算说明这种饮料的厂商是否欺瞒了消费者？如果将一满罐饮料倒入直径为6厘米，深9厘米的圆锥形高脚杯中，能倒满几杯？（易拉罐和高脚杯厚度不计） 【答案】欺瞒了；4杯 【分析】首先计算圆柱形易拉罐的容积：已知圆柱底面直径d＝6厘米，则半径r＝6÷2＝3厘米，高h＝12厘米。根据圆柱体积公式V＝π r²h，代入数据计算出圆柱形易拉罐的体积为339.12立方厘米，因为1立方厘米＝1毫升，所以339.12立方厘米＝339.12毫升。而饮料罐上标有“净含量350毫升”，339.12＜350，所以这种饮料的厂商欺瞒了消费者。然后计算能倒满几杯：先求出圆锥形高脚杯的体积，已知圆锥底面直径d＝6厘米，则半径r＝3厘米，高9厘米。根据圆锥体积公式求出圆锥形高脚杯的体积，用圆柱形易拉罐的容积除以圆锥形高脚杯的体积，可得出倒的杯数。 【解答】6÷2＝3（厘米） 3.14×3²×12 ＝3.14×9×12 ＝339.12（立方厘米） 339.12立方厘米＝339.12毫升 339.12＜350 3.14×3²×9× ＝3.14×9×9× ＝84.78（立方厘米） 339.12÷84.78＝4（杯） 答：所以这种饮料的厂商欺瞒了消费者，能倒满4杯。 【典例三】农场在地下挖了一个圆柱形蓄水池，它的底面周长是125.6米，深2米。 （1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能蓄水多少立方米？ 【答案】（1）1507.2平方米 （2）2512立方米 【分析】（1）抹水泥的面积＝底面积＋侧面积，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答； （2）根据圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 【解答】（1）125.6÷3.14÷2＝20（米） 3.14×202＋125.6×2 ＝3.14×400＋251.2 ＝1256＋251.2 ＝1507.2（平方米） 答：抹水泥的面积有1507.2平方米。 （2）3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝2512（立方米） 答：这个水池能蓄水2512立方米。 【典例四】妈妈有一个圆柱形的茶杯，如图。 （1）茶杯中部是一圈好看的装饰带，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯的容积是多少毫升？（茶杯厚度忽略不计） 【答案】（1）18.84厘米 （2）423.9毫升 【分析】（1）从图中可知，这条装饰带展开后是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是5厘米；根据圆的周长公式C＝πd，即可求出这条装饰带的长。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这只茶杯的容积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 【解答】（1）3.14×6＝18.84（厘米） 答：长至少是18.84厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝423.9（立方厘米） 423.9立方厘米＝423.9毫升 答：这只茶杯的容积是423.9毫升。 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是6.28米，高是1.5米。把这堆稻谷运到一个圆柱形粮囤，已知粮囤的底面直径是1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【答案】2米 【分析】根据底面周长6.28米，可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式的逆运算，即可求出稻谷堆的高度. 【解答】（米） （米） 答：稻谷在粮囤里的高度是2米。 【典例二】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高是2.7米。现在把这堆小麦放到一个圆柱形粮囤中，恰好占粮囤容积的80%。已知粮囤的底面周长是9.42米，求粮囤的高。 【答案】2米 【分析】已知圆锥形小麦堆的底面周长是12.56米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出小麦的体积； 把这堆小麦放到一个圆柱形粮囤中，恰好占粮囤容积的80%，把粮囤的容积看作单位“1”，单位“1”未知，用小麦的体积除以80%，求出粮囤的容积； 已知圆柱形粮囤的底面周长是9.42米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出粮囤的底面积； 根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，求出粮囤的高。 【解答】圆锥的底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（米） 圆锥的体积： ×3.14×22×2.7 ＝×3.14×4×2.7 ＝11.304（立方米） 粮囤的容积： 11.304÷80% ＝11.304÷0.8 ＝14.13（立方米） 粮囤的底面半径：9.42÷3.14÷2＝1.5（米） 粮囤的底面积： 3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方米） 粮囤的高：14.13÷7.065＝2（米） 答：粮囤的高是2米。 【典例三】一个盛满水的底面内半径为20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的圆锥完全浸入水中，取出圆锥后，容器里的水面下降了2厘米。 （1）圆锥的体积是多少立方厘米？     （2）圆锥的高是多少厘米？ 【答案】（1）2512立方厘米   （2）24厘米 【分析】（1）圆柱形容器里下降的水的体积就是圆锥的体积，圆柱形容器的底面半径是20厘米，水面下降2厘米，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，代入数据计算即可解答； （2）圆锥的体积＝××半径的平方×高，用圆锥的体积乘3，除以（×半径的平方）即可求出圆锥的高是多少厘米。 【解答】（1）3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝1256×2 ＝2512（立方厘米） 答：圆锥的体积是2512立方厘米。 （2）2512×3÷（3.14×102） ＝7536÷（3.14×100） ＝7536÷314 ＝24（厘米） 答：圆锥的高是24厘米。 【典例四】小强先在一个圆柱形玻璃容器中倒入一些水，如图一所示；再将一个底面半径4厘米圆锥形铁块浸入水中，如图二所示。 （1）圆柱形容器中的水有多少毫升？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）942毫升 （2）9.375厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可； （2）由题意可知，圆锥的体积等于上升的水的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即h＝3V÷πr2，据此代入数值进行计算即可。 【解答】（1）3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×52×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） ＝942（毫升） 答：圆柱形容器中的水有942毫升。 （2）3.14×（10÷2）2×（14－12） ＝3.14×52×2 ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 157×3÷（3.14×42） ＝471÷50.24 ＝9.375（厘米） 答：圆锥形铁块的高是9.375厘米。 第四部分真题专练 一、填空题 1．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为（ ）。 【答案】50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【解答】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 2．用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计） 【答案】224 1344 【分析】根据长方体的展开图知，这个长方体的长是16cm，高是6cm，宽是（20－6＝14）cm，根据长方体的底面积＝长×宽，体积（容积）＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。 【解答】20－6＝14（cm） 16×14＝224（cm2） 224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是224cm2，容积是1344cm3。 3．红红把下图这块长方形橡皮泥捏成一个高是8cm的圆柱，捏成的圆柱的底面积是（ ）cm2，如果捏成与圆柱底面积相等的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm。 【答案】9 24 【分析】长方形橡皮泥捏成圆柱体积不变，长方体的体积＝长×宽×高，圆柱的体积＝底面积×高，先求出橡皮泥的体积，圆柱的底面积＝体积÷高； 圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此列式计算。 【解答】6×3×4＝72（cm3） 72÷8＝9（cm2） 72×3÷9＝24（cm） 捏成的圆柱的底面积是9cm2；这个圆锥的高是24cm。 4．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【解答】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 5．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【答案】224 1344 【分析】观察长方体纸盒的展开图可知，这个无盖长方体的长是16cm、宽是（20－6）cm、高是6cm； 这个长方体纸盒的底面是一个长16cm、宽（20－6）cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出它的底面积； 根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出这个纸盒的容积。 【解答】宽：20－6＝14（cm） 底面积：16×14＝224（cm2） 容积：224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是（224）cm2，容积是（1344）cm3。 6．一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米后，表面积就比原来减少56.52平方厘米，这个圆柱体的底面直径是（ ）厘米；如果把它切拼成一个近似的长方体后，表面积就比原来增加90平方厘米，原来圆柱体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】6 423.9 【分析】根据题意可知，将圆柱的高截短3厘米后，表面积就比原来减少56.52平方厘米，减少的部分是圆柱侧面积的一部分，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，用56.52÷3.14÷2即可求出圆柱的底面直径，进而求出圆柱的底面半径；如果把它切拼成一个近似的长方体后，表面积就比原来增加90平方厘米，增加的面积相当于2个长方形，长方形的长为底面半径，宽为圆柱的高；用90÷2即可求出每个长方形的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高。然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出圆柱的体积。 【解答】底面直径：56.52÷3÷3.14 ＝18.84÷3.14 ＝6（厘米） 底面半径：6÷2＝3（厘米） 圆柱的高：90÷2÷3 ＝45÷3 ＝15（厘米） 3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝423.9（立方厘米） 这个圆柱的直径是6厘米；原来这个圆柱的体积是423.9立方厘米。 7．如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】62.8 37.68 【分析】依据题意结合图示可知，这个圆柱的底面半径是2厘米，高是3厘米，利用圆柱的表面积＝π×底面半径的平方×2＋π×底面半径×2×高，圆柱的体积＝π×底面半径的平方×高，结合题中数据计算即可。 【解答】3.14××2＋3.14×2×2×3 ＝3.14×4×2＋3.14×2×2×3 ＝3.14×4×2＋3.14×4×3 ＝25.12＋37.68 ＝62.8（平方厘米） 3.14××3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方厘米） 所以这个圆柱的表面积是62.8平方厘米，体积是37.68立方厘米。 8．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子漏入下面空的圆柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约（ ）厘米高的沙子。 【答案】4 【分析】先求出圆锥形沙漏里装的沙子体积，用公式：，当沙子漏到圆柱形玻璃瓶中时，圆柱形玻璃瓶里沙子的体积不变，用沙子的体积÷圆柱形玻璃瓶的底面积＝沙子的高度，据此列式解答。 【解答】  （厘米） 故在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约4厘米高的沙子。 9．如图，在一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是6cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是14cm，这个瓶子的容积是（ ）毫升。 【答案】1004.8 【分析】根据题图可知，空白部分的容积是固定的，可将右边空白部分的圆柱移到左图，替代不规则的空白部分，则求瓶子的容积转化为求底面直径是8cm，高为（6＋14）cm的圆柱形瓶子的容积，据此解答即可。 【解答】3.14×（8÷2）²×（6＋14） ＝50.24×20 ＝1004.8（毫升） 【点评】解答本题的关键是要明确瓶子倒置后无水部分的容积和正放时无水部分的容积是相等的，可以直接将这两部分对换过来，这样更好理解。 10．一根长60cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了50cm2，这根圆柱形木料原来的体积是（ ）cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，削去的体积是（ ）cm3。 【答案】750 500 【分析】根据题意可知，截成3根，增加了4个截面的面积，用增加面积÷4，求出一个截面的面积，也就是圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即求出圆柱形木料的体积；根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的，用圆柱形木料的体积×，求出削成圆锥形木料的体积，再用圆柱形木料的体积－削成圆锥木料的体积，即可解答。 【解答】50÷4×60 ＝12.5×60 ＝750（cm3） 750×＝250（cm3） 750－250＝500（cm3） 一根长60cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了50cm2，这根圆柱形木料原来的体积是750cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，削去的体积是500cm3。 二、选择题 11．一种长方体饼干盒，长、宽、高的（如图），买3盒这样的饼干包装成一件礼品，用最节约纸的方式包装，需要包装纸（    ）。（接口处不计） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体表面积的意义可知，把3盒这样的饼干包装成一件礼品，要使需要的包装纸最少，也就是把饼干盒的最大面重合摞起来，拼成一个长3cm，宽2cm，高cm的长方体，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】（cm） （cm2） 需要包装纸42cm2。 故答案为：B 12．一个长、宽、高分别是8米、5米、4米的长方体油箱，若把它的高增加1米，这个油箱的表面积就增加（    ）平方米。 A．26 B．52 C．80 D．92 【答案】A 【分析】将长方体的高增加，表面积增加的是前后左右4个面的面积，用长×增加的高×2＋宽×增加的高×2，即可求出增加的表面积。 【解答】8×1×2＋5×1×2 ＝16＋10 ＝26（平方米） 故答案为：A 【点评】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。 13．将一个正方体切成8个相等的小正方体后，表面积增加54平方厘米，原来正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．18 B．27 C．36 D．64 【答案】B 【分析】把一个大正方体切成8个相等的小正方体，需要切3次，每切一次都增加2个原来正方体的面，由此可知共增加了2×3＝6（个）原正方体的面； 用增加的表面积除以6，即可求出原来正方体一个面的面积，进而求出正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出原来正方体的体积。 【解答】增加的面：2×3＝6（个） 正方体一个面的面积： 54÷6＝9（平方厘米） 因为9＝3×3，所以正方体的棱长是3厘米。 正方体的体积： 3×3×3＝27（立方厘米） 原来正方体的体积是27立方厘米。 故答案为：B 【点评】抓住正方体切割的特点和增加的表面积求出一个切面的面积，进而求出正方体的棱长是解题的关键。 14．将图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上升的水的体积等于石块的体积，且上升的水的体积＝底面积×水面上升的高度。在体积一定时，当底面积越小，水位上升就越多；当底面积越大，水位上升就越少，所以先根据圆的面积公式：S＝πr2、长方形的面积公式：S＝ab、正方形的面积公式：S＝a2，分别计算出四个容器的底面积，再比较大小，底面积最小的容器，水位上升最多，据此解答。 【解答】A．3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） B．6×8＝48（cm2） C．8×8＝64（cm2） D．10×8＝80（cm2） 48＜50.24＜64＜80 因此水位上升最多的是。 故答案为：B 15．将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（    ）。 A．2∶3 B．π∶1 C．157∶200 D．π∶4 【答案】C 【分析】将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，那么它的底面的直径和高都是正方体的棱长，假设正方体的棱长为1，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱体积＝底面积×高，由此求出正方体和圆柱体的体积，写出削成的圆柱与原来正方体体积的比，化简即可。 【解答】假设正方体的棱长是1。 则正方体的体积：1×1×1＝1 1÷2＝0.5 圆柱的体积：3.14×0.52×1 ＝3.14×0.25×1 ＝0.785 0.785∶1＝785∶1000＝（785÷5）∶（1000÷5）＝157∶200 削成的圆柱与原来正方体体积的比是157∶200。 故答案为：C 16．有一根圆柱形的木料（如图）。如果截去5厘米长的一段，木料的表面积减少（    ）平方厘米。 A．175.84 B．125.6 C．226.08 D．150.72 【答案】B 【分析】减少的表面积等于底面直径为8厘米、高为5厘米的圆柱的侧面，根据侧面积＝底面周长×高解答即可。 【解答】3.14×8×5 ＝3.14×40 ＝125.6（平方厘米） 所以木料的表面积减少125.6平方厘米。 故答案为：B 17．太和殿又称“金銮殿”“至尊金殿”“金銮宝殿”，是中国现存规制最高的古代宫殿建筑，是古代皇帝举行重大朝典之地。已知太和殿有72支顶梁柱，直径均为1.06米，高度均为12.7米，要计算太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是（    ）。 A．3.14×（1.06÷2）2×12.7×72 B．2×3.14×1.06×12.7×72 C．3.14×1.062×12.7×72 D．3.14×1.06×12.7×72 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式，代入数据可计算1支顶梁柱的侧面积，再乘72，即可得解。 【解答】3.14×1.06×12.7×72 ＝3.3284×12.7×72 ＝42.27068×72 ＝3043.48896（平方米） 太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是3.14×1.06×12.7×72。 故答案为：D 18．一个药瓶的容积是26.4立方厘米，瓶内装有一些药水（如下图所示）。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶内药水的体积是（    ）。 A．26.4立方厘米 B．19.8立方厘米 C．66立方厘米 D．无法确定 【答案】B 【分析】由题意可知，无论药瓶是正放还是倒放，瓶内药水的体积和瓶内空余部分的体积不变，药瓶的容积＝正放时药水的体积＋倒放时空余部分的体积，它们合在一起是一个圆柱，圆柱的体积是26.4立方厘米，圆柱的高是（6＋2）厘米，根据“”求出圆柱的底面积，即正放时药瓶的底面积，正放时瓶内药水液面高6厘米，根据“”求出瓶内药水的体积，据此解答。 【解答】26.4÷（6＋2） ＝26.4÷8 ＝3.3（平方厘米） 3.3×6＝19.8（立方厘米） 所以，瓶内药水的体积是19.8立方厘米。 故答案为：B 19．一个圆柱形容器，从里面量得底面半径是4分米，高是6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器内，水深是（    ）分米。 A．3.14 B．4.71 C．6.28 D．7.85 【答案】B 【分析】根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此求出水的体积，把水倒在棱长是8分米的正方体容器后，水的体积不变，再用水的体积除以正方体的底面积即可。 【解答】3.14×42×6÷（8×8） ＝3.14×16×6÷64 ＝301.44÷64 ＝4.71（分米） 则水深是4.71分米。 故答案为：B 【点评】本题考查圆柱和正方体的容积，熟记公式是解题的关键。 20．如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2。原来这个物体的体积是（    ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 【答案】B 【分析】根据题意，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2；那么增加的表面积是圆柱的两个底面积；先用增加的表面积除以2，求出圆柱或圆锥的底面积； 原来这个物体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【解答】底面积：12.56÷2＝6.28（cm2） 6.28×3＋×6.28×（6－3） ＝6.28×3＋×6.28×3 ＝18.84＋6.28 ＝25.12（cm3） 原来这个物体的体积是25.12cm3。 故答案为：B 三、计算题 21．求下列图形的体积。 【答案】125.6cm3；125.6cm3 【分析】左图：用圆柱的体积加上圆锥的体积，求出组合体的体积； 右图：将大圆柱的体积减去小圆柱的体积，求出这个几何体的体积。 【解答】3.14×22×8＋×3.14×22×6 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm3） 3.14×（6÷2）2×8－3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×72－3.14×32 ＝3.14×（72－32） ＝3.14×40 ＝125.6（cm3） 所以，这两个几何体的体积都是125.6cm3。 22．计算下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】表面积：662.8平方分米；体积：937.2立方分米 【分析】通过观察图形可知，在这个正方体上挖掉一个圆柱，剩下图形的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积。剩下部分的体积等于正方体的体积减去圆柱的体积，根据正方体的表面积公式：S＝6，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，正方体的体积公式：V＝，圆柱的体积公式：V＝π，把数据代入公式解答。 【解答】表面积：10×10×6＋3.14×4×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（平方分米）   体积：10×10×10－3.14×（4÷2）2×5   ＝1000－3.14×4×5 ＝1000－62.8 ＝937.2（立方分米） 四、解答题 23．一个长方体礼盒刚好能容纳2个圆柱形茶叶罐。（如图） （1）一个圆柱形茶叶罐高为20厘米，底面直径为8厘米，这个圆柱形茶叶罐的容积是多少立方厘米？（厚度忽略不计） （2）做一个如图所示的长方体礼盒，至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） 【答案】（1）1004.8立方厘米 （2）1216平方厘米 【分析】（1）一个圆柱形茶叶罐高为20厘米，底面直径为8厘米，根据圆柱的体积（容积）公式：V＝π（d÷2）2h，把数据代入公式，求出一个圆柱形茶叶罐的容积。 （2）根据题意可知：这个箱子的长是圆柱底面直径的2倍，宽是圆柱底面直径，箱子的高度是20厘米，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，进行解答。 【解答】（1）3.14×（8÷2）2×20 ＝3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝50.24×20 ＝1004.8（立方厘米） 答：这个圆柱形茶叶罐的容积是1004.8立方厘米。 （2）8×2＝16（厘米） （16×8＋16×20＋8×20）×2 ＝（128＋320＋160）×2 ＝608×2 ＝1216（平方厘米） 答：至少需要1216平方厘米的包装材料。 24．长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 【答案】288平方分米 【分析】从题意可知：这个长方体的玻璃盒的长＝宽＝圆柱的底面直径＝4分米，高＝16分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算，即可求出需要玻璃的面积。 【解答】（4×4＋4×16＋4×16）×2 ＝（16＋64＋64）×2 ＝144×2 ＝288（平方分米） 答：制作这个玻璃盒至少要288平方分米的玻璃。 25．张叔叔要制作一个棱长为15厘米的正方体无盖玻璃鱼缸。 （1）至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】（1）1125平方厘米 （2）3.375升 【分析】（1）根据题意，要制作一个棱长为15厘米的正方体无盖玻璃鱼缸，求至少需要玻璃的面积，就是求正方体5个面的面积之和，根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算求解。 （2）求这个鱼缸最多可装水的体积，就是求正方体的容积；根据正方体的体积（容积）公式V＝a3，代入数据计算求解。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。 【解答】（1）15×15×5 ＝225×5 ＝1125（平方厘米） 答：至少需要玻璃1125平方厘米。 （2）15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 3375立方厘米＝3.375升 答：这个鱼缸最多可装水3.375升。 26．某小学建一个长方体游泳池，长80米，宽25米，深2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到1.2米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 【答案】（1）2420平方米；（2）2400立方米 【分析】（1）游泳池是无盖的，所以贴瓷砖的面积是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积即可。 （2）根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】（1）80×25＋80×2×2＋25×2×2 ＝2000＋320＋100 ＝2420（平方米） 答：贴瓷砖的面积有2420平方米。 （2）80×25×1.2＝2400（立方米） 答：需要注入2400立方米的水。 27．小飞想用一个圆柱体容器测量一种玻璃球的体积，他做了以下实验： （1）给容器中注入一定量的水，接着将一个棱长6cm的正方体完全浸入水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了4cm。 （2）将9个同样的玻璃球浸入水中后，量得水面又上升了5cm。请你根据这些信息计算玻璃球的体积。 【答案】30cm3 【分析】根据（1）的信息可知，水面下降部分的体积等于取出的正方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出水面下降部分的体积；因为水是圆柱形，根据圆柱的体积＝底面积×高可知，圆柱的底面积＝体积÷高，其中高是水面下降的高度； 根据（2）可知，水面上升部分的体积等于放入的9个玻璃球的体积之和；用圆柱形容器的底面积乘水面上升的高度，即可求出水面上升部分的体积，再除以9，求出一个玻璃球的体积。 【解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 216÷4＝54（cm2） 54×5＝270（cm3） 270÷9＝30（cm3） 答：玻璃球的体积是30cm3。 【点评】明确放入或取出物体的体积等于水面上升或下降部分的体积，灵活运用正方体、圆柱的体积公式是解题的关键。 28．明明要做一个长方体无盖玻璃容器。如图所示，这是这个玻璃容器相邻的两个面，按这样的规格可以制作出几种不同的玻璃容器。 （1）制作这个无盖玻璃容器最少要用多少平方分米的玻璃？（粘接处忽略不计） （2）如果向容器中注满水，需要水多少升？（粘接处忽略不计） 【答案】（1）160平方分米 （2）192升 【分析】（1）1．如图：可以制作成长是8分米，宽是6分米，高是4分米的长方体； 2．如图：可以制作成长是8分米，宽是4分米，高是6分米的长方体； 3．如图：可以制作成长是6分米，宽是4分米，高是8分米的长方体。 然后根据长方体的五个面的面积公式：S＝（ah＋bh）×2＋ab，据此求出制作这个无盖玻璃容器需要的玻璃面积，最后进行比较即可。 （2）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【解答】（1）1．（8×4＋6×4）×2＋8×6 ＝（32＋24）×2＋48 ＝56×2＋48 ＝112＋48 ＝160（平方分米） 2．（8×6＋4×6）×2＋8×4 ＝（48＋24）×2＋32 ＝72×2＋32 ＝144＋32 ＝176（平方分米） 3．（6×8＋4×8）×2＋6×4 ＝（48＋32）×2＋24 ＝80×2＋24 ＝160＋24 ＝184（平方分米） 答：制作这个无盖玻璃容器最少要用160平方分米的玻璃。 （2）6×4×8 ＝24×8 ＝192（立方分米） ＝192（升） 答：如果向容器中注满水，需要水192升。 【点评】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 29．一个塑料薄膜盖的大棚长25米，横截面是一个半径为2米的半圆形。 （1）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积是多少平方米？（包括两端） （2）大棚内的空间有多大？ 【答案】（1）169.56平方米 （2）157立方米 【分析】（1）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积，即它所在的圆柱的侧面积的一半，加上一个圆柱的底面积，由此利用圆柱的侧面积＝底面周长×高和圆柱的底面积＝πr2即可解答； （2）大棚所在的圆柱的体积的一半，就是这个大棚的空间，根据圆柱的体积＝πr2h解答即可。 【解答】（1）3.14×2×2×25÷2＋3.14×22 ＝6.28×2×25÷2＋3.14×4 ＝12.56×25÷2＋12.56 ＝314÷2＋12.56 ＝157＋12.56 ＝169.56（平方米） 答：覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积是169.56平方米。 （2）3.14×22×25÷2 ＝3.14×4×25÷2 ＝12.56×25÷2 ＝314÷2 ＝157（立方米） 答：大棚的空间大约是157立方米。 30．学校有一个圆柱形的水池，从里面量直径是6米，深是1.5米。 （1）如果在水池内壁和底面抹上水泥，抹水泥工人费为每平方米30元，一共需要人工费多少元？ （2）学校要往水池注入1米深的水用来养鱼，求注入的水的体积。 【答案】（1）1695.6元 （2）28.26立方米 【分析】（1）求人工费需要多少钱，需要先求抹水泥的面积，实际上是求圆柱的底面积与侧面积的和，依据圆的面积公式S＝πr2，圆柱侧面积公式S＝Ch，即可求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米的费用，求出一共需要的人工费。 （2）求需要的水的体积，实际上是求底面直径为6米，高为1米的圆柱的体积，利用圆柱的体积公式V＝πr2h，即可求注入的水的体积。 【解答】（1）3.14×（6÷2）2＋3.14×6×1.5 ＝3.14×32＋3.14×6×1.5 ＝3.14×9＋3.14×6×1.5 ＝28.26＋28.26 ＝56.52（平方米） 56.52×30＝1695.6（元） 答：一共需要人工费1695.6元。 （2）3.14×（6÷2）2×1 ＝3.14×32×1 ＝3.14×9×1 ＝28.26（立方米） 答：需要注水28.26立方米。 31．“神舟”号飞船轨道舱外形为圆柱形，是飞船进入轨道后航天员工作、生活的场所。它的尺寸：高2.8米，直径2.2米。 （1）“神舟”号飞船轨道舱的体积大约是多少立方米？（结果保留两位小数） （2）科技小组的同学们要按一定比例制作“神舟”号飞船轨道舱模型，如果轨道舱模型高是1.4米，模型直径应是多少？（用比例知识解决） 【答案】（1）10.64立方米 （2）1.1米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出飞船轨道舱的体积。 （2）根据题意可知，实际轨道舱的直径∶模型直径＝实际轨道舱的高∶轨道舱模型高，据此列出比例方程，并求解。 【解答】（1）2.2÷2＝1.1（米） 3.14×1.12×2.8 ＝3.14×1.21×2.8 ≈10.64（立方米） 答：“神舟”号飞船轨道舱的体积大约是10.64立方米。 （2）解：设模型直径应是米。 2.2∶＝2.8∶1.4 2.8＝2.2×1.4 2.8＝3.08 ＝3.08÷2.8 ＝1.1 答：模型直径应是1.1米。 32．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦。经过几代人的不懈奋斗。我国的航天事业取得了辉煌成就。长征五号系列（简称CZ－5）运载火箭实现数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。 （1）长征五号B型火箭在太空绕地球转了102圈。已知绕地球5圈大约需要7.5小时，那么长征五号B型火箭在太空大约运行了多长时间？（用比例解答） （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简约示意图，整流罩本身的厚度不计，该整流罩的容积是多少？ 【答案】（1）153小时 （2）150.72立方米 【分析】（1）根据题意可知，长征五号B型火箭绕地球的圈数∶转的时间＝长征五号B型火箭每小时转的圈数（一定），比值一定，那么长征五号B型火箭绕地球的圈数与转的时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 （2）观察图形可知，该整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【解答】（1）解：设长征五号B型火箭在太空大约运行了小时。 5∶7.5＝102∶ 5＝102×7.5 5＝765 ＝765÷5 ＝153 答：长征五号B型火箭在太空大约运行了153小时。 （2）底面半径：4÷2＝2（米） 3.14×22×10＋×3.14×22×（16－10） ＝3.14×4×10＋×3.14×4×6 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（立方米） 答：整流罩的容积是150.72立方米。 33．一个圆柱体玻璃容器（如图），底面内直径为12cm，高为18cm。 （1）将565.2mL水倒入玻璃容器中，水深多少厘米？ （2）水与玻璃容器接触部分的面积是多少平方厘米？ （3）把一个底面半径为5cm的圆锥形零件完全浸入水中，水面上升了2cm。这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 【答案】（1）5cm （2）301.44 （3）8.64cm 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：，即可求出水深多少厘米 （2）求出圆柱的底面积与水的侧面积，相加即可得出答案 （3）先求出上升的水的体积，再根据圆锥的体积公式：，即可算出答案 【解答】（1）565.2mL＝565.2 圆柱底面半径：12÷2＝6（cm） 565.2÷（3.14×） ＝565.2÷113.04 ＝5（cm） 答：水深5厘米。 （2）水的侧面积：3.14×12×5 ＝37.68×5 ＝188.4（） 圆柱的底面积：3.14×＝113.04（） 188.4＋113.04＝301.44（） 答：水与玻璃容器接触部分的面积是301.44平方厘米。 （3）上升的水的体积：113.04×2＝226.08（） 圆锥的高：3÷（3.14×）＝8.64（cm） 答：这个圆锥形零件的高是8.64厘米。 【点评】此题考查了圆柱、圆锥的体积公式以及圆柱的侧面积公式、底面积公式。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 38 四大立体图形的表面积和体积 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、立体图形的表面积。 .................................................. 4 二、四大立体图形的体积。 ................................................ 4 第三部分典例精讲 ............................................................5 【考点一】长方体和正方体的表面积 ............................................5 【考点二】长方体和正方体的体积 ..............................................7 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 .......................................10 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 .......................................12 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 .......................................14 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 .............................................17 【考点七】圆柱和圆锥的体积 .................................................20 【考点八】圆柱的体积的应用 .................................................22 【考点九】圆柱的容积的应用 .................................................25 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 ...........................................28 第四部分真题专练 ...........................................................31 4 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、立体图形的表面积。 1、长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a 表示棱长） 3、圆柱的表面积=侧面积+2 个底面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽 就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面， 所以表面积=侧面积+2 个底面积 二、四大立体图形的体积。 1、长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 2、圆柱的体积。 5 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h 3、圆锥的体积。 圆锥体积= 3 1 ×底面积×高，用字母表示： V= 3 1 Sh= 3 1 πr2h，（S表示底面积，h表示高） 第三部分典例精讲 【考点一】长方体和正方体的表面积 【典例一】一个长方体木箱，底面周长是 3米，高 5分米，表面积是 258 平方分米。这个木箱 的底面积是（ ）平方分米。 【答案】54 【分析】长方体表面积等于前后左后四个侧面面积之和加上上下两个底面面积。要想求这个长 方形木箱的底面积，只需用表面积减去侧面积除以 2；先求出侧面积，只需要根据 S 侧面积＝C 底 面周长×h计算，据此解答。 【解答】3米＝30 分米 （258－30×5）÷2 ＝（258－150）÷2 ＝108÷2 ＝54（平方分米） 故这个木箱的底面积是 54 平方分米。 【典例二】如图，木匠王师傅将三个棱长为 2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如 果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分 米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【答案】56 24 6.28 【分析】根据题干，粘成后长方体的体积就是这几个正方体的体积之和，而粘成后的表面积减 少了 2×2＝4个正方体的面，根据正方体的体积＝棱长 棱长 棱长  、正方体的表面积公式 26S a 。 最大的圆锥的底面直径等于小正方体的棱长，圆锥的高是小正方体棱长的 3倍，根据半径＝直 6 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 径÷2，圆锥的体积公式 2 1 π 3 V r h ，代入数据计算即可得解。 【解答】2 2 6 3 2 2 4      72 16  56 （平方分米） 2 2 2 3 24    （立方分米）  21 3.14 2 2 2 3 3      21 3.14 1 2 3 3      1 3.14 1 2 3 3      6.28 （立方分米） 木匠王师傅将三个棱长为 2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不 计，这个长方体的表面积是 56 平方分米，体积是 24 立方分米。王师傅把这个长方体加工成一 个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 6.28 立方分米。 【典例三】把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是 350 平方厘米，每 个正方体表面积是 平方厘米。 【答案】150 【分析】三个完全相等的正方体摆成一个长方体的方法是：一字排列，拼组后表面积减少了 4 个正方形面，那么拼组后的长方体的表面积就是 6×3－4＝14 个正方形面的面积，由此可以求 出一个面的面积是：350÷14＝25 平方厘米，正方体 6个面是完全一样的正方形，用一个面的 面积乘 6即可解决问题。 【解答】6×3－4 ＝18－4 ＝14（个） 350÷14＝25（平方厘米） 25×6＝150（平方厘米） 所以每个正方体表面积是 150 平方厘米。 【典例四】至少用（ ）个棱长为 2cm 的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面 积是（ ）cm2。 【答案】8 96 7 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】 分析题目，大正方体的棱长是小正方体棱长的整数倍，最小为 2倍，所以至少需要（2×2×2） 个小正方体才能拼成大正方体；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此先用小正方体的棱长 乘 2求出大正方体的棱长，再代入表面积公式计算即可。 【解答】2×2×2＝8（个） 2×2＝4（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 至少用 8个棱长为 2cm 的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面积是 96cm2。 【考点二】长方体和正方体的体积 【典例一】按要求计算。 （1）计算长方体的表面积。 （2）计算长方体的体积。 【答案】（1）360 2cm （2）352 3cm 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，代入数据计算即可。 （2）由图可知，长方体的底面积是 16 2cm ，高是 22cm，根据长方体的体积＝底面积×高，代 入数据计算即可。 【解答】（1）（12×6＋6×6＋12×6）×2 ＝（72＋36＋72）×2 ＝（108＋72）×2 ＝180×2 ＝360（ 2cm ） （2）16×22＝352（ 3cm ） 8 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】分别计算下面各图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积 406cm2；体积 490cm3 （2）表面积 1.5dm2；体积 0.125dm3 【分析】（1）根据长方体的表面积公式 S＝2（ab＋ah＋bh），长方体的体积公式 V＝abh，代 入数据计算求出长方体的表面积和体积。 （2）根据正方体的表面积公式 S＝6a2，正方体的体积公式 V＝a3，代入数据计算求出正方体的 表面积和体积。 【解答】（1）（14×5＋14×7＋5×7）×2 ＝（70＋98＋35）×2 ＝203×2 ＝406（cm2） 14×5×7 ＝70×7 ＝490（cm3） 长方体的表面积是 406cm2，体积是 490cm3。 （2）0.5×0.5×6 ＝0.25×6 ＝1.5（dm2） 0.5×0.5×0.5 ＝0.25×0.5 ＝0.125（dm3） 正方体的表面积是 1.5dm2，体积是 0.125dm3。 【典例三】计算出下面图形的表面积和体积。 9 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】长方体的表面积是 220 平方厘米；长方体的体积是 200 立方厘米；正方体的表面积是 216 平方厘米；正方体的体积是 216 立方厘米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（5×4＋5×10＋4×10） ×2即可求出长方体的表面积；根据长方体的体积＝长×宽×高，用 5×4×10 即可求出长方 体的体积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用 6×6×6即可求出正方体的表面积；根 据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用 6×6×6即可求出正方体的体积。 【解答】（5×4＋5×10＋4×10）×2 ＝（20＋50＋40）×2 ＝110×2 ＝220（平方厘米） 长方体的表面积是 220 平方厘米； 5×4×10＝200（立方厘米） 长方体的体积是 200 立方厘米； 6×6×6＝216（平方厘米） 正方体的表面积是 216 平方厘米； 6×6×6＝216（立方厘米） 正方体的体积是 216 立方厘米。 【典例四】求下面各图形的表面积和体积。 【答案】正方体的表面积：96 平方厘米；正方体的体积：64 立方厘米；长方体的表面积：136 平方米；长方体的体积：80 立方米 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把棱长的值 分别代入表面积、体积公式计算即可。 10 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把长方体 长、宽、高的值分别代入表面积、体积公式计算即可。 【解答】正方体的表面积：4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 正方体的体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 长方体的表面积：（10×2＋10×4＋2×4）×2 ＝（20＋40＋8）×2 ＝68×2 ＝136（平方米） 长方体的体积：10×2×4 ＝20×4 ＝80（立方米） 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 【典例一】一种长方体工艺品盒的长是 3分米，宽是 2分米，高是 1分米。现将 3个这样的工 艺品盒包装在一起（仍为长方体），至少需要包装纸多少平方分米？ 【答案】42 平方分米 【分析】要使包装纸用量最少，需将长方体最大的面重合拼接，对于该长方体，3×2的面最 大，把 3个工艺品盒按此方式拼接，可得到新长方体的尺寸，长 3分米，宽 2分米，高 1×3 ＝3分米；根据长方体表面积公式 2   长方体的表面积＝（长 宽＋长 高＋宽 高） ，将新长方体的 长、宽、高代入公式，就能算出至少需要的包装纸面积。 【解答】1×3＝3（分米） （3×2＋3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝（15＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方分米） 11 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 答：至少需要包装纸 42 平方分米。 【典例二】一间教室长 8米，宽 6米，高 3米，门窗面积共 15.6 平方米。要粉刷教室的四壁 和顶面，如果每平方米用涂料 0.25 千克，共需要涂料多少千克？ 【答案】29.1 千克 【分析】分别计算顶面（长方形，面积为长乘宽）和四壁（前后、左右面分别计算，再求和） 的面积，然后相加得到总面积；用总面积减去门窗面积，得到实际要粉刷的面积；根据每平方 米涂料用量，用要粉刷的面积乘每平方米用量，得出共需涂料的千克数。 【解答】8×6＋8×3×2＋6×3×2－15.6 ＝48＋48＋36－15.6 ＝116.4（平方米） 116.4×0.25＝29.1（千克） 答：共需要涂料 29.1 千克。 【典例三】2024 年 7 月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一 个灯笼框架要用去一根长 240 分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的 5个表面糊上 彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】2000 平方分米 【分析】由题意可知，240 分米是正方体的棱长总和，根据 12正方体的棱长总和＝棱长 的逆运 算，用 240 除以 12 可得棱长，再根据正方体表面积的特征，用棱长乘棱长乘 5，即可得解。 【解答】240 12 20  （分米） 20 20 5  400 5  2000 （平方分米） 答：至少需要 2000 平方分米的彩纸。 12 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】如图，是一个棱长为 3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长 1分米，宽 3厘米的 长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7 平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长 1分米，宽 3厘米的长方形的面积， 根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3 分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是 53.7 平方分米。 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 【典例一】一个长方体长 8分米，高 7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方 体，表面积就增加 160 平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】280 立方分米 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：增加的表面积（160 平方分米）＝底面积×4，用增加的面积÷4即可求出这个长 方体的底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。 【解答】160÷4×7＝280（立方分米） 答：原来长方体的体积是 280 立方分米。 13 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】一个水池长 12 米，宽 8米，深 0.8 米。 （1）要在水池的四周和地面涂防水漆。如果每平方米防水漆的价格是 25 元，一共需要多少钱？ （2）在水池中注入 57.6 立方米的水之后水深多少米？ 【答案】（1）3200 元；（2）0.6 米 【分析】（1）由于游泳池无盖，所以抹水泥部分的面积等于这个长方体的一个底面和 4个侧 面的总面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式求出抹水泥 的面积，然后根据单价×数量＝总价，求出一共需要多少元。 （2）根据长方体的体积公式 V＝abh，将数据代入即可得出水深多少。 【解答】（1）8×12＋8×0.8×2＋12×0.8×2 ＝96＋6.4×2＋×2 ＝96＋12.8＋19.2 ＝108.8＋19.2 ＝128（平方米） 128×25＝3200（元） 答：一共需要 3200 元。 （2）57.6÷12÷8 ＝4.8÷8 ＝0.6（米） 答：水深 0.6 米。 【典例三】一块正方体的石料，棱长为 5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均 为 4分米、深 7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 【答案】能将这个土坑填满 【分析】正方体石料粉碎前后体积不变。可先求出正方体体积，再求出长方体土坑的容积。然 后两者比较，如果正方体体积小于长方体容积则不能填满，反之则能填满。据此解答。 【解答】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 4×4×7 ＝16×7 14 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝112（立方分米） 125＞112 答：能将这个土坑填满。 【典例四】贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和 减少了 160 厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1000 立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了 4个面，即 4 4 条棱 长，已知拼成之后，梭长之和减少了 160cm，即 160cm 是 16 条棱长的和，用除法计算出每条 棱长的长度，再根据正方体的体积＝棱长 棱长 棱长  ，代入数据，即可得解。 【解答】  160 4 4  160 16  10 （厘米） 10 10 10  100 10  1000 （立方厘米） 答：原来每个小正方体的体积是 1000 立方厘米。 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 【典例一】介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的 则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博 物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个 工艺品的长 15 厘米，宽 8厘米，高 12 厘米，把它装在一个从里面量长 18 厘米，宽 15 厘米， 容积为 2.43 立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 【答案】能装得进去 【分析】由题意可知，要知道这个工艺品是否能装进长方体内，就要去对比这个工艺品和长方 体的长、宽、高，已知长方体的容积是 2.43 立方分米，根据长方体的体积＝长×宽×高可变 15 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 形为高＝长方体体积÷长÷宽，求出这个长方体的高，最后再比较长宽高：最长的棱长和最长 的棱长相比，中等长度的棱长和中等长度的棱长相比，最短的棱长和最短的棱长相比，据此解 答即可。 【解答】能装得进去； 理由如下： 2.43 立方分米＝2430 立方厘米 2430÷18÷15 ＝135÷15 ＝9（厘米） 18＞15，9＞8，15＞12 答：能装得进去。 【点评】能不能装的下，我们不能简单的比较体积大小，要根据实际情况来分析。 【典例二】一块长 23 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为 4 厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【答案】720 毫升 【分析】做成长方体盒子的长是（23－4×2）厘米，宽是（20－4×2）厘米，高是 4厘米，根 据长方体体积公式  长方体的体积＝长 宽 高，再把体积单位转化为容积单位即可。 【解答】（23－4×2）×（20－4×2）×4 ＝15×12×4 ＝180×4 ＝720（立方厘米） 720 立方厘米＝720 毫升 答：这个盒子的容积是 720 毫升。 【典例三】用下图中的 5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌 16 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 【答案】900 平方厘米；9升 【分析】根据长方体的特征，它的 6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）， 相对的面的面积相等．由题意可知，用图中的 5块玻璃拼成一个水缸，由此确定把长 45 厘米、 宽 20 厘米的作底面，用长 45 厘米，宽 10 厘米的两块作前、后面，长 20 厘米，宽 10 厘米的 两块作左、右面；占地面积就是它的底面积，再根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，计 算出它的容积是多少立方厘米，根据 1升＝1立方分米＝1000 立方厘米，换算成容积单位即可。 【解答】45×20＝900（平方厘米） 45×20×10＝9000（立方厘米）＝9（升） 答：这只水缸放在桌子上占的面积是 900 平方厘米，能装水 9升。 【典例四】用铁皮做一个长是 3米、宽是 0.6 米、高是 0.4 米的长方体水槽（无盖）。 （1）大约要用多少平方米的铁皮？（得数保留整数） （2）这个水槽最多能储水多少立方米？ 【答案】（1）5平方米 （2）0.72 立方米 【分析】（1）铁皮的面积＝下面＋前后左右面＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据 计算，得数用进一法保留整数即可。 （2）根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】（1）3×0.6＋3×0.4×2＋0.6×0.4×2 ＝1.8＋2.4＋0.48 ≈5（平方米） 答：大约要用 5平方米的铁皮。 （2）3×0.6×0.4＝0.72（立方米） 答：这个水槽最多能储水 0.72 立方米。 17 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 【典例一】一节圆柱形铁皮水管长 2米，底面直径是 10 厘米，做 5节这样的水管要用铁皮 （ ）平方分米。 【答案】314 【分析】做水管需要多少铁皮，就是求圆柱的侧面积，根据 圆柱的侧面积＝底面周长 高，圆的 周长公式 C πd，代入数据可求出一节水管需要的铁皮，再乘 5即可得解，计算前把单位统一 为分米。 【解答】2米＝20 分米 10 厘米＝1分米 3.14 1 20 5 314    （平方分米） 一节圆柱形铁皮水管长 2米，底面直径是 10 厘米，做 5节这样的水管要用铁皮 314 平方分米。 【典例二】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加 1厘米，它的侧面积就增加 6.28 平方 厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ） 立方厘米。 【答案】6.28 3.14 19.7192 【分析】根据圆柱侧面积公式 S＝Ch，高增加 1厘米侧面积增加 6.28 平方厘米，增加的侧面 积就是底面周长乘增加的高，所以用增加的侧面积除以增加的高就能得到底面周长； 已知底面周长，由圆的周长公式 C＝2πr可推出半径 r＝C÷π÷2，算出半径后，再代入圆的 面积公式 S＝πr2就能求出底面积； 已知底面周长和高相等，得到高的值后，根据圆柱体积公式 V＝Sh ，把求出的底面积和高代 入公式，即可算出原来圆柱的体积。 【解答】6.28÷1＝6.28（厘米） 所以圆柱的底面周长是 6.28 厘米； 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 18 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 所以圆柱的底面积是 3.14 平方厘米； 6.28×3.14＝19.7192（立方厘米） 所以圆柱的体积是 19.7192 立方厘米。 【典例三】下面的方格纸表示一张长方形铁皮（每个小方格表示 1平方分米），剪下涂色部分 可以围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 【答案】12.56 18.84 【分析】①圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱的高，已 知长方形长 6.28 分米，宽 2分米，根据 圆柱的侧面积＝底面周长 高可计算出圆柱的侧面积； ②已知底面周长是 6.28 分米，根据“C＝2πr”可计算出半径“r＝C÷π÷2”，然后根据圆 的面积公式 2πS r 可计算出圆柱的底面积，最后根据 2圆柱的表面积＝侧面积＋底面积 计算出圆 柱的表面积。 【解答】①6.28×2＝12.56（平方分米） 所以该圆柱的侧面积是 12.56 平方分米； ②6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 12.56＋3.14×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（平方分米） 所以该圆柱的表面积是 18.84 平方分米。 【典例四】如图，一个底面半径为 2厘米、高为 6厘米的圆柱，它的表面积是（ ）平方 19 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 厘米。将它的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是（ ）平 方厘米。 【答案】100.48 75.36 【分析】①圆柱由两个底面和一个侧面组成，底面是圆，已知圆的半径是 2厘米，根据圆的面 积公式 2πS r 计算出底面积，侧面展开图不管是长方形还是平行四边形，侧面积公式都是 2π侧 S rh ，已知半径 2厘米，高 6厘米，代入公式计算出圆柱侧面积，最后根据圆柱表面积公 式 2圆柱的表面积＝侧面积＋底面积 计算出该圆柱的表面积； ②圆柱侧面展开得到平行四边形，这个平行四边形的底相当于圆柱底面的周长，高相当于圆柱 的高。根据“平行四边形面积＝底×高”可知平行四边形面积就是圆柱的侧面积，已知底面半 径 2厘米，高 6厘米，代入圆柱侧面积公式 2π侧 S rh 即可计算出平行四边形面积。 【解答】2×3.14×2×6 ＝6.28×2×6 ＝12.56×6 ＝75.36（平方厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 75.36＋12.56×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方厘米） 所以该圆柱的表面积是 100.48 平方厘米； 2×3.14×2×6 ＝6.28×2×6 ＝12.56×6 ＝75.36（平方厘米） 所以平行四边形的面积是 75.36 平方厘米。 20 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点七】圆柱和圆锥的体积 【典例一】求出下列图形的体积。（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1）196.25 立方厘米 （2）314 立方厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积。 （2）根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高× 1 3，代入数据，求出圆锥的体积。 【解答】（1）3.14×（5÷2）2×10 ＝3.14×2.52×10 ＝3.14×6.25×10 ＝19.625×10 ＝196.25（立方厘米） 圆柱的体积是 196.25 立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×12× 1 3 ＝3.14×52×12× 1 3 ＝3.14×25×12× 1 3 ＝78.5×12× 1 3 ＝942× 1 3 ＝314（立方厘米） 圆锥的体积是 314 立方厘米。 【典例二】计算下面图形的体积。 21 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】（1）1130.4 3cm ；（2）1406.72 3cm 【分析】（1）圆柱的底面半径是 6cm，高是 10cm，根据圆柱的体积＝ π×半径的平方×高， 代入数据计算即可； （2）圆锥的底面直径是 16cm，则半径是 16÷2＝8（cm），高是 21cm，根据圆锥的体积＝ 1 3× π×半径的平方×高，代入数据计算即可。 【解答】（1）3.14× 26 ×10 ＝3.14×36×10 ＝113.04×10 ＝1130.4（ 3cm ） （2） 1 3×3.14× 2(16 2) ×21 ＝ 1 3×3.14× 28 ×21 ＝ 1 3×3.14×64×21 ＝ 1 3×21×3.14×64 ＝7×3.14×64 ＝21.98×64 ＝1406.72（ 3cm ） 【典例三】求圆柱体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：376.8 平方厘米；体积：452.16 立方厘米 【分析】圆柱体的表面积＝侧面积＋两个底面的面积，圆柱的侧面积＝2 π×半径×高，圆柱 的底面积＝ π×半径的平方，据此代入数据计算即可； 22 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 圆柱的体积＝ π×半径的平方×高，据此代入数据计算即可。 【解答】2×3.14×6×4＋3.14× 26 ×2 ＝6.28×6×4＋3.14×36×2 ＝37.68×4＋113.04×2 ＝150.72＋226.08 ＝376.8（平方厘米） 3.14× 26 ×4 ＝3.14×36×4 ＝113.04×4 ＝452.16（立方厘米） 【典例四】计算下面图形的体积。 【答案】56.52cm3 【分析】已知圆锥的底面直径和高都是 6cm，根据圆锥的体积公式 V＝ 1 3πr 2h，代入数据计算， 求出它的体积。 【解答】 1 3×3.14×（6÷2） 2×6 ＝ 1 3×3.14×3 2×6 ＝ 1 3×3.14×9×6 ＝56.52（cm3） 圆锥的体积是 56.52cm3。 【考点八】圆柱的体积的应用 【典例一】一个零件，上面是圆锥形，下面是圆柱形，它们的底面直径都是 4厘米，高都是 6 厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48 立方厘米 23 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】计算组合图形的体积，由题可知，组合图形由圆柱和圆锥组成，底面直径都是 4厘米， 高都是 6厘米，直接代入圆柱和圆锥的体积公式即可，圆柱体积公式 2πV r h ，圆锥体积公式 21 π 3 V r h 。 【解答】4÷2＝2（厘米） 3.14×22×6＋ 1 3×3.14×2 2×6 ＝3.14×22×6×（1＋ 1 3） ＝3.14×4×6× 4 3 ＝100.48（立方厘米） 答：这个零件的体积是 100.48 立方厘米。 【典例二】一个圆柱形粮囤，从里面量得它的数据如图所示，按每立方米稻谷重 600 千克算， 这个粮囤能装稻谷多少吨？ 【答案】22.608 吨 【分析】根据圆柱的体积公式 V＝ 2r h 计算出这个粮囤的体积，然后再乘 600 即可求出这个粮 囤能装稻谷多少千克，最后根据 1吨＝1000 千克换算单位即可，据此解答。 【解答】3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方米） 37.68×600＝22608（千克） 22608 千克＝22.608 吨 答：这个粮囤能装稻谷 22.608 吨。 【典例三】乐乐报名参加体育节中的中国象棋比赛，他买了一副中国象棋，一共有 32 个棋子， 分红、黑两色，各 16 个。每个棋子的形状是底面直径 4厘米、高 2厘米的小圆柱体，这款木 24 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 材密度是 0.6 克/立方厘米。这副棋子一共有多重？（π取值为 3） 【答案】460.8 克 【分析】已知每个棋子的形状是底面直径 4厘米、高 2厘米的小圆柱体，根据圆柱的体积公式 V＝πr2h，求出一个棋子的体积；再用一个棋子的体积乘 32，求出这副棋子的总体积； 已知这款木材密度是 0.6 克/立方厘米，用这副棋子的总体积乘密度，即可求出这副棋子的重 量。 【解答】3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（立方厘米） 24×32＝768（立方厘米） 768×0.6＝460.8（克） 答：这副棋子一共有 460.8 克重。 【典例四】小红在景区超市给妈妈买了一个茶杯（如图所示）。 （1）为防止烫伤，小红特地给茶杯中部贴上一圈花纹装饰带，装饰带宽 5厘米，这一圈装饰 带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯装满水后的体积是多少？ 【答案】（1）94.2 平方厘米； （2）423.9 立方厘米 【分析】（1）求这一圈装饰带的面积就是求圆柱的侧面积，由图可知，圆柱的底面直径是 6 厘米，高是 5厘米，利用“S dh圆柱的侧面积 ”求出装饰带的面积； （2）由图可知，圆柱的底面直径是 6厘米，高是 15 厘米，利用“ 2圆柱V r h ”求出这只茶杯 装满水后的体积，据此解答。 【解答】（1）3.14×6×5 25 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 答：这一圈装饰带至少有 94.2 平方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） 答：这只茶杯装满水后的体积是 423.9 立方厘米。 【考点九】圆柱的容积的应用 【典例一】一个圆柱形油桶，量得它的底面内直径是 8分米，高 10 分米。这个油桶的容积是 多少升？已知每升油重 0.82 千克，这个油桶里装了 3 5桶油，这些油重多少千克？（第二问得 数保留整数） 【答案】502.4 升；247 千克 【分析】油桶的内直径是 8分米，则半径是 8÷2＝4分米，高是 10 分米，根据圆柱的体积＝ π ×半径的平方×高，代入数据求出这个油桶的容积是多少立方分米，再把立方分米化为升；把 这个油桶的容积看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，据此用乘法求出 3 5 桶油是多少升，再乘每升油重即可解答。 【解答】8÷2＝4（分米） 3.14× 24 ×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方分米） 502.4 立方分米＝502.4 升 502.4× 3 5×0.82 ＝301.44×0.82 ＝247.1808 ≈247（千克） 26 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 答：这个油桶的容积是 502.4 升，这些油重 247 千克。 【典例二】一种饮料的包装是圆柱形易拉罐，底面直径是 6厘米，高 12 厘米，易拉罐的侧面 标有“净含量 350 毫升”字样，请通过计算说明这种饮料的厂商是否欺瞒了消费者？如果将一 满罐饮料倒入直径为 6厘米，深 9厘米的圆锥形高脚杯中，能倒满几杯？（易拉罐和高脚杯厚 度不计） 【答案】欺瞒了；4杯 【分析】首先计算圆柱形易拉罐的容积：已知圆柱底面直径 d＝6厘米，则半径 r＝6÷2＝3 厘米，高 h＝12 厘米。根据圆柱体积公式 V＝π r²h，代入数据计算出圆柱形易拉罐的体积为 339.12 立方厘米，因为 1立方厘米＝1毫升，所以 339.12 立方厘米＝339.12 毫升。而饮料罐 上标有“净含量 350 毫升”，339.12＜350，所以这种饮料的厂商欺瞒了消费者。然后计算能 倒满几杯：先求出圆锥形高脚杯的体积，已知圆锥底面直径 d＝6厘米，则半径 r＝3厘米，高 9厘米。根据圆锥体积公式求出圆锥形高脚杯的体积，用圆柱形易拉罐的容积除以圆锥形高脚 杯的体积，可得出倒的杯数。 【解答】6÷2＝3（厘米） 3.14×3²×12 ＝3.14×9×12 ＝339.12（立方厘米） 339.12 立方厘米＝339.12 毫升 339.12＜350 3.14×3²×9× 13 ＝3.14×9×9× 1 3 ＝84.78（立方厘米） 339.12÷84.78＝4（杯） 答：所以这种饮料的厂商欺瞒了消费者，能倒满 4杯。 【典例三】农场在地下挖了一个圆柱形蓄水池，它的底面周长是 125.6 米，深 2米。 （1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能蓄水多少立方米？ 【答案】（1）1507.2 平方米 27 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）2512 立方米 【分析】（1）抹水泥的面积＝底面积＋侧面积，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝ 圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答； （2）根据圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 【解答】（1）125.6÷3.14÷2＝20（米） 3.14×202＋125.6×2 ＝3.14×400＋251.2 ＝1256＋251.2 ＝1507.2（平方米） 答：抹水泥的面积有 1507.2 平方米。 （2）3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝2512（立方米） 答：这个水池能蓄水 2512 立方米。 【典例四】妈妈有一个圆柱形的茶杯，如图。 （1）茶杯中部是一圈好看的装饰带，这条装饰带宽 5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽 略不计） （2）这只茶杯的容积是多少毫升？（茶杯厚度忽略不计） 【答案】（1）18.84 厘米 （2）423.9 毫升 【分析】（1）从图中可知，这条装饰带展开后是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长， 长方形的宽是 5厘米；根据圆的周长公式 C＝πd，即可求出这条装饰带的长。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式 V＝πr2h，代入数据计算，求出这只茶杯的容积，并根据 进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 28 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】（1）3.14×6＝18.84（厘米） 答：长至少是 18.84 厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝423.9（立方厘米） 423.9 立方厘米＝423.9 毫升 答：这只茶杯的容积是 423.9 毫升。 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是 6.28 米，高是 1.5 米。把这堆稻谷运到一个圆柱 形粮囤，已知粮囤的底面直径是 1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【答案】2米 【分析】根据底面周长 6.28 米，可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式 2 1 π 3 V r h ，即 可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式 2πV r h 的逆运 算，即可求出稻谷堆的高度. 【解答】6.28 3.14 2 1   （米）  221 3.14 1 1.5 3.14 1 2 3           21 3.14 1 1.5 3.14 0.5 3           1.57 3.14 0.25   2 （米） 答：稻谷在粮囤里的高度是 2米。 【典例二】一个圆锥形小麦堆，底面周长是 12.56 米，高是 2.7 米。现在把这堆小麦放到一个 圆柱形粮囤中，恰好占粮囤容积的 80%。已知粮囤的底面周长是 9.42 米，求粮囤的高。 【答案】2米 【分析】已知圆锥形小麦堆的底面周长是 12.56 米，根据圆的周长公式 C＝2πr，可知 r＝C ÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆锥的体积公式 V＝ 1 3πr 2h，求出小麦的体积； 把这堆小麦放到一个圆柱形粮囤中，恰好占粮囤容积的 80%，把粮囤的容积看作单位“1”， 29 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 单位“1”未知，用小麦的体积除以 80%，求出粮囤的容积； 已知圆柱形粮囤的底面周长是 9.42 米，根据圆的周长公式 C＝2πr，可知 r＝C÷π÷2，由此 求出圆柱的底面半径；然后根据圆的面积公式 S＝πr2，求出粮囤的底面积； 根据圆柱的体积（容积）公式 V＝Sh 可知，圆柱的高 h＝V÷S，求出粮囤的高。 【解答】圆锥的底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（米） 圆锥的体积： 1 3×3.14×2 2×2.7 ＝ 1 3×3.14×4×2.7 ＝11.304（立方米） 粮囤的容积： 11.304÷80% ＝11.304÷0.8 ＝14.13（立方米） 粮囤的底面半径：9.42÷3.14÷2＝1.5（米） 粮囤的底面积： 3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方米） 粮囤的高：14.13÷7.065＝2（米） 答：粮囤的高是 2米。 【典例三】一个盛满水的底面内半径为 20 厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是 10 厘米的 圆锥完全浸入水中，取出圆锥后，容器里的水面下降了 2厘米。 （1）圆锥的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥的高是多少厘米？ 【答案】（1）2512 立方厘米 （2）24 厘米 【分析】（1）圆柱形容器里下降的水的体积就是圆锥的体积，圆柱形容器的底面半径是 20 厘米，水面下降 2厘米，根据圆柱的体积＝ π×半径的平方×高，代入数据计算即可解答； 30 / 54 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）圆锥的体积＝ 1 3× π×半径的平方×高，用圆锥的体积乘 3，除以（ π×半径的平方）即 可求出圆锥的高是多少厘米。 【解答】（1）3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝1256×2 ＝2512（立方厘米） 答：圆锥的体积是 2512 立方厘米。 （2）2512×3÷（3.14×102） ＝7536÷（3.14×100） ＝7536÷314 ＝24（厘米） 答：圆锥的高是 24 厘米。 【典例四】小强先在一个圆柱形玻璃容器中倒入一些水，如图一所示；再将一个底面半径 4 厘米圆锥形铁块浸入水中，如图二所示。 （1）圆柱形容器中的水有多少毫升？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）942 毫升 （2）9.375 厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可； （2）由题意可知，圆锥的体积等于上升的水的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝ 1 3πr 2h，即 h＝3V÷πr2，据此代入数值进行计算即可。 【解答】（1）3.14×（10÷2）2×12