专题33 长方形和正方形（导图+2个重点速记+6个考点精讲+32道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测（通用版）

2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题33 长方形和正方形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、长方形。 4 二、正方形。 4 第三部分典例精讲 5 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 5 【考点二】长方形及正方形的周长 6 【考点三】长方形的面积 7 【考点四】正方形的面积 8 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 9 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 9 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 10 第四部分真题专练 11 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、长方形。 1、长方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。 2、长方形的周长 长方形的周长=(长+宽)x2,用含有字母的式子表示为 C=2(a+b) 3、长方形的面积。 长方形的面积三长x宽,用含有字母的式子 表示为 S=ab。 二、正方形。 1、正方形的定义。 四条边都相等、四个角都是直角的四边形叫作正方形。 2、正方形的周长 正方形的周长=边长x4,用含有字母的式子表示为 C=4a。 ③正方形的面积 正方形的面积三边长x边长,用含有字母的式子表示为 S=a2 第三部分典例精讲 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 【典例一】一张长方形纸，长8厘米，宽6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长是（ ）厘米。 【典例二】把一个圆形纸片切分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，周长增加了8cm，则圆形纸片的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。（π取3.14） 【典例三】一个圆柱的侧面展开后，正好是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的底面半径是（ ）分米。 【典例四】把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出 张。 【考点二】长方形及正方形的周长 【典例一】把两个边长都是5厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【典例二】一个长方形长6cm，宽4cm，把它按3∶1放大，得到的新长方形周长是（ ）cm。 【典例三】把一个边长为10cm的正方形的边长按照1∶5缩小，缩小后的正方形的周长是（ ）cm。 【典例四】一个正方形的周长是24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【考点三】长方形的面积 【典例一】一个长方体长25厘米，宽16厘米，高9厘米，它的占地面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【典例二】全家福可以记录家庭成员的团圆幸福时刻。小芳将一张长6厘米，宽4厘米的全家福按照3∶1放大，放大后的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【典例四】如下图，把一张边长是12厘米的正方形纸剪成两个完全一样的长方形，每个长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【考点四】正方形的面积 【典例一】大正方体的棱长是5分米，小正方体的棱长是3分米。大、小正方体棱长的比是（ ），底面积的比是（ ），体积的比是（ ）。 【典例二】如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】2024年10月1日是我国建国75周年，为了庆祝建国75周年而布置展览场地，使用80块边长为4.5米的正方形地毯将一个区域铺满，那么这个区域的面积是（ ）平方米。 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 【典例一】张奶奶家有一块长40米，宽是30米的长方形菜地，请你在图方框中按照1∶1000的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。 【典例二】学校有一个长方形操场，长150米，宽90米，请你在下面用1∶3000的比例尺画出操场的平面图，并标出图上长、宽各画了几厘米。 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 【典例一】下面每个小方格表示1平方厘米。 （1）图中图案的面积是（    ）平方厘米。 （2）在下面方格中画一个周长为24厘米的正方形和一个周长为24厘米的长方形。 【典例二】下面每个小方格都是边长1厘米的正方形，请在下面图形中画出一个周长为20厘米的长方形，使长方形的长和宽的比是3∶2。 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 【典例一】在方格纸上画1个长方形、1个三角形和1个平行四边形，使它们的面积都是15平方厘米，并且有一边的长都是5厘米。 【典例二】在方格纸上分别画出面积为12平方厘米的长方形和面积为16平方厘米的正方形。 第四部分真题专练 一、填空题 1．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 2．把一张长，宽的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是，那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ）；如果，那么（ ）°。 3．周长为16厘米的正方形里面画一个最大的圆形，正方形的边长是 厘米，圆的面积是 平方厘米。 4．乐乐的书桌是一个标准的长方形，经测量，书桌的周长是32dm，长与宽的比是5∶3，书桌的面积是（ ）dm2。 5．A4纸张尺寸是由国际标准化组织的ISO216定义的，规格为210毫米×297毫米，一张A4纸的面积是（ ）平方厘米。 6．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比例放大，得到长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 7．如图，已知长方形与正方形组成的图形，其中正方形的边长是10厘米，那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 8．一个长方形的长比宽多。如果宽增加4厘米，就成为一个正方形。则原来长方形的面积是（ ）平方厘米。 9．如图，已知正方形的边长为24厘米。甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲、乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是（ ）厘米。 10．一块正方形木板，一边截去15，另一边截去10，剩下的木板的面积比原来的面积减少了1750，那么原来正方形木板的边长是（ ）。 二、选择题 11．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 12．奇奇家准备给新房装修，奇奇的卧室长4.8米，宽4.3米，他用竖式计算卧室的面积（如图），虚线框出的部分计算的是（    ）的面积。 A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 13．如图由一个正方形和平行四边形组成，正方形的面积是a平方厘米，平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A． B．a C． D．2a 14．一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（    ）平方厘米。（π取值3） A．400 B．300 C．100 D．0 15．草地音乐会预留了长100米，宽50米大小的长方形地作为观众席，音乐会的票全部卖完，而且场地挤满了歌迷。最有可能出席音乐会的人数是（    ）。 A．2000 B．5000 C．20000 D．100000 16．一块长方形地砖的长是0.4m，宽是0.2m，面积是（    ）。 A．8m2 B．0.8m2 C．0.08m2 D．0.008m2 17．将一个面积为16平方米的正方形，如果把它的边长增加1米，那么正方形的面积将增加（    ）平方米。 A．1 B．9 C．10 D．33 18．装修师傅根据实际需要，现将两块完全一样的长方形地砖切割成如图的样式，被切割部分都是边长为10厘米的正方形。图中两块地砖的周长和面积之间的关系是（    ）。 A．面积相等，周长不相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长相等，面积也相等 D．无法确定 19．如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（    ）。 A．16平方厘米 B．20平方厘米 C．80平方厘米 D．160平方厘米 20．下图中甲部分的周长与乙部分的周长（    ）。 A．相等 B．甲的周长大 C．乙的周长大 D．无法比较 三、计算题 21．求阴影部分的面积。（单位：cm） 22．计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 23．用两种方法求下面图形的面积。 四、操作题 24．如图，每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出把原来的长方形按2∶1放大后的图形。 （3）放大后的长方形面积与原来长方形面积的比是（    ）。 五、解答题 25．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 26．如图，一个正方形的边长增加它的后，得到的新正方形的周长是48厘米，原正方形的边长是多少厘米？ 27．妙想妈妈在一块长20米、宽15米的长方形地上种植鲜花。今年她进行了扩建，宽不变，长增加了。如果每平方米土地的鲜花卖200元，今年这块地种植的鲜花可以卖多少元？ 28．如图所示，先将正方形平均分成五等份（图1），然后在另一个方向上插入三条宽度相等的阴影长条（图2），这时所有的白色区域都是正方形，如果阴影部分覆盖的总面积是39平方厘米，那么大正方形的面积是多少平方厘米？（思路导航：比较图1的空白和图2的空白，你一定会有新的发现！） 29．一张长方形ABCD的纸折成如图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF面积是3.5平方厘米，三角形EDC的面积是10.5平方厘米，问长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 30．吴老师买了一套新房，客厅长6米，宽4米，高3米。请同学们帮吴老师算一算装修所需要的部分材料。 （1）客厅准备用边长5分米的方砖铺地面，需要多少块？ （2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等10平方米不粉刷，实际粉刷的面积是多少平方米？ 31．在一张比例尺为1∶500的图纸上，量得一块长方形土地的周长是50厘米，已知这块土地的宽是长的，这块地的实际面积是多少？ 32．下图是一条线段。 （1）以这条线段为半径画一个圆。 （2）以这条线段为边长画一个正方形。 （3）画出这个组合图形的对称轴。 （4）量出必要的数据（取整数厘米），算出这个组合图形的面积是（    ）cm2。 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题33 长方形和正方形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、长方形。 4 二、正方形。 4 第三部分典例精讲 5 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 5 【考点二】长方形及正方形的周长 7 【考点三】长方形的面积 8 【考点四】正方形的面积 10 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 12 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 13 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 15 第四部分真题专练 16 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、长方形。 1、长方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。 2、长方形的周长 长方形的周长=(长+宽)x2,用含有字母的式子表示为 C=2(a+b) 3、长方形的面积。 长方形的面积三长x宽,用含有字母的式子 表示为 S=ab。 二、正方形。 1、正方形的定义。 四条边都相等、四个角都是直角的四边形叫作正方形。 2、正方形的周长 正方形的周长=边长x4,用含有字母的式子表示为 C=4a。 ③正方形的面积 正方形的面积三边长x边长,用含有字母的式子表示为 S=a2 第三部分典例精讲 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 【典例一】一张长方形纸，长8厘米，宽6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】由题意可知，把长方形剪成最大的正方形，正方形的边长就是长方形的宽。据此解答。 【解答】一张长方形纸，长8厘米，宽6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长是6厘米。 【典例二】把一个圆形纸片切分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，周长增加了8cm，则圆形纸片的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。（π取3.14） 【答案】4 50.24 【分析】把一个圆形纸片剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加了2条宽的长度，即增加了2个半径的长度，用增加的周长除以2，即可求出圆的半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积。 【解答】圆的半径： 8÷2＝4（cm） 圆的面积： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 则圆形纸片的半径是4cm，面积是50.24cm2。 【典例三】一个圆柱的侧面展开后，正好是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的底面半径是（ ）分米。 【答案】1 【分析】根据题意，一个圆柱的侧面展开后，正好是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长与高都等于正方形的边长； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径。 【解答】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 这个圆柱的底面半径是1分米。 【典例四】把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出 张。 【答案】190 【分析】把长方形的纸剪成正方形且没有剩余，则正方形的边长为长方形长与宽的公因数，要使正方形的面积尽可能大，正方形的边长应是长方形的长与宽的最大公因数。计算时先将米化成厘米，再求出最大正方形的边长，最后分别求出长方形的长边有几个正方形的边长，宽有几个正方形的边长，再相乘即可得解。 【解答】1.71米＝171厘米 0.9米＝90厘米 171和90的最大公因数是： （张） 把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出190张。 【考点二】长方形及正方形的周长 【典例一】把两个边长都是5厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 50 【分析】拼成的长方形的周长应是两个正方形的周长减两个边长，面积则是两个边长之和乘一个边长。 【解答】4×5×2－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） （5＋5）×5 ＝10×5 ＝50（平方厘米） 这个长方形的周长是30厘米，面积是50平方厘米。 【典例二】一个长方形长6cm，宽4cm，把它按3∶1放大，得到的新长方形周长是（ ）cm。 【答案】60 【分析】把长方形按3∶1放大，即长方形的长与宽都扩大到原来的3倍，用乘法即可求出扩大后的长与宽，根据，代入数据计算即可。 【解答】 （cm） 一个长方形长6cm，宽4cm，把它按3∶1放大，得到的新长方形周长是60cm。 【典例三】把一个边长为10cm的正方形的边长按照1∶5缩小，缩小后的正方形的周长是（ ）cm。 【答案】8 【分析】按照1∶5缩小，即缩小后的边长为原来边长的，根据分数乘法的意义，用原正方形的边长乘求出缩小后正方形的边长，再根据正方形的周长＝边长×4解答。 【解答】10××4 ＝2×4 ＝8（cm） 所以缩小后的正方形的周长是8cm。 【典例四】一个正方形的周长是24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【答案】6 3 【分析】已知正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4的逆运算，可用周长除以4得到边长，在正方形中画一个最大的圆，则圆的直径等于正方形的边长，又根据半径等于直径除以2，计算即可得解。 【解答】（cm） （cm） 一个正方形的周长是24cm，则它的边长是6cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是3cm。 【考点三】长方形的面积 【典例一】一个长方体长25厘米，宽16厘米，高9厘米，它的占地面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】400 144 3600 【分析】长方体共有6个面，每个面都可能是底面，分别为前面、后面、左面、右面、上面和下面，其中前面和后面的面积相同，左面和右面的面积相同，上面和下面的面积相同，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算出前面、左面和上面的面积，再进行比较即可求出占地面积的最大值、最小值； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】25×16＝400（平方厘米） 25×9＝225（平方厘米） 16×9＝144（平方厘米） 400＞225＞144 25×16×9 ＝400×9 ＝3600（立方厘米） 所以它的占地面积最大是400平方厘米，最小是144平方厘米，体积是3600立方厘米。 【典例二】全家福可以记录家庭成员的团圆幸福时刻。小芳将一张长6厘米，宽4厘米的全家福按照3∶1放大，放大后的面积是（ ）平方厘米。 【答案】216 【分析】已知小芳将一张长6厘米，宽4厘米的全家福按照3∶1放大，放大后长和宽都扩大到原来的3倍，计算出扩大后的长和宽，根据“长方形面积＝长×宽”计算出扩大后的面积。 【解答】6×3＝18（厘米） 4×3＝12（厘米） 18×12＝216（平方厘米） 所以放大后的面积是216平方厘米。 【典例三】用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【答案】224 1344 【分析】观察长方体纸盒的展开图可知，这个无盖长方体的长是16cm、宽是（20－6）cm、高是6cm； 这个长方体纸盒的底面是一个长16cm、宽（20－6）cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出它的底面积； 根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出这个纸盒的容积。 【解答】宽：20－6＝14（cm） 底面积：16×14＝224（cm2） 容积：224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是（224）cm2，容积是（1344）cm3。 【典例四】如下图，把一张边长是12厘米的正方形纸剪成两个完全一样的长方形，每个长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】36 72 【分析】由题可知，原正方形的边长为12厘米，剪成两个完全一样的长方形后，每个长方形的宽为原正方形边长的一半，再根据长方形的周长公式为C＝（a＋b）×2，长方形的面积公式为S＝a×b，代入数据解答即可。 【解答】12÷2＝6（厘米） （12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 12×6＝72（平方厘米） 每个长方形的周长是36厘米，面积是72平方厘米。 【考点四】正方形的面积 【典例一】大正方体的棱长是5分米，小正方体的棱长是3分米。大、小正方体棱长的比是（ ），底面积的比是（ ），体积的比是（ ）。 【答案】5∶3 25∶9 125∶27 【分析】根据、，代入数据根据题意列比即可。 【解答】 大正方体的棱长是5分米，小正方体的棱长是3分米。大、小正方体棱长的比是5∶3，底面积的比是25∶9，体积的比是125∶27。 【典例二】如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】81 127.17 【分析】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即2r，高是圆的半径，即r，根据三角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方形的面积除以2即可求出r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【解答】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是81平方厘米，圆的面积是127.17平方厘米。 【点评】本题的关键是找到r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可求出圆的面积。 【典例三】2024年10月1日是我国建国75周年，为了庆祝建国75周年而布置展览场地，使用80块边长为4.5米的正方形地毯将一个区域铺满，那么这个区域的面积是（ ）平方米。 【答案】1620 【分析】根据“正方形的面积＝边长×边长”，把数据代入公式求出一块地毯的面积，然后再乘地毯的块数即可。 【解答】4.5×4.5×80 ＝20.25×80 ＝1620（平方米） 所以那么这个区域的面积是1620平方米。 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 【典例一】张奶奶家有一块长40米，宽是30米的长方形菜地，请你在图方框中按照1∶1000的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。 【答案】见详解 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，据此换算出长和宽的图上距离，利用画垂线或平行线的方法，画出这个长方形菜地。 【解答】40米＝4000厘米、30米＝3000厘米 4000×＝4（厘米）、3000×＝3（厘米） 【典例二】学校有一个长方形操场，长150米，宽90米，请你在下面用1∶3000的比例尺画出操场的平面图，并标出图上长、宽各画了几厘米。 【答案】见详解 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把长方形的实际长和宽都换算成以厘米为单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺求出图上的长方形的长和宽，最后根据长和宽画出长方形并标注长和宽即可。 【解答】150米＝15000厘米 90米＝9000厘米 15000×＝5（厘米） 9000×＝3（厘米） 画图如下： 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 【典例一】下面每个小方格表示1平方厘米。 （1）图中图案的面积是（    ）平方厘米。 （2）在下面方格中画一个周长为24厘米的正方形和一个周长为24厘米的长方形。 【答案】（1）10 （2）见详解 【分析】 （1）如图所示，将两个三角形根据箭头方向移动后，然后再数一数一共有多少个小方格，也就是有多少平方厘米。 （2）每个小方格表示1平方厘米，正方形的面积＝边长×边长，1×1＝1（厘米），小方格边长是1厘米；正方形的周长＝边长×4，则正方形的边长＝周长÷4，用24÷4计算出边长是几，也就是几个小方格边长的长度；长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝长方形周长÷2，24÷2＝12（厘米），12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，那么可以画长是11厘米、宽是1厘米，长是10厘米、宽是2厘米，长是9厘米、宽是3厘米，长是8厘米、宽是4厘米，或者长时7厘米、宽是5厘米的长方形；据此解答。 【解答】根据分析： （1）10×1＝10（平方厘米） 图中图案的面积是10平方厘米。 （2）1÷1＝1（厘米） 24÷4＝6（厘米） 24÷2＝12（厘米） 5＋7＝12（厘米） 如图： （长方形答案不唯一） 【典例二】下面每个小方格都是边长1厘米的正方形，请在下面图形中画出一个周长为20厘米的长方形，使长方形的长和宽的比是3∶2。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的周长公式，用20除以2可得长与宽的和，根据比的意义，用长与宽的和除以得到分份的长度，再分别乘3和2，即可得长和宽的长度，据此画图。 【解答】 （厘米） 长：（厘米） 宽：（厘米） 据此画图如下： 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 【典例一】在方格纸上画1个长方形、1个三角形和1个平行四边形，使它们的面积都是15平方厘米，并且有一边的长都是5厘米。 【答案】见详解 【分析】长方形的面积是15平方厘米，设长方形的长是5厘米，根据长方形的宽＝面积÷长，可得宽＝15÷5＝3（厘米）； 三角形的面积是15平方厘米，设三角形的底是5厘米，根据三角形的高＝面积×2÷底，可得高＝15×2÷5＝6（厘米）； 平行四边形的面积是15平方厘米，设平行四边形的底是5厘米，根据平行四边形的高＝面积÷底，可得高＝15÷5＝3（厘米）。 根据以上数据画图，即可解答。 【解答】如图所示： （画法不唯一） 【典例二】在方格纸上分别画出面积为12平方厘米的长方形和面积为16平方厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，据此画一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形；根据正方形的面积公式：S＝a2，据此画一个边长为4厘米的正方形即可。 【解答】如图所示： 【点评】本题考查长方形和正方形的面积，熟记公式是解题的关键。 第四部分真题专练 一、填空题 1．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【答案】224 1344 【分析】观察长方体纸盒的展开图可知，这个无盖长方体的长是16cm、宽是（20－6）cm、高是6cm； 这个长方体纸盒的底面是一个长16cm、宽（20－6）cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出它的底面积； 根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出这个纸盒的容积。 【解答】宽：20－6＝14（cm） 底面积：16×14＝224（cm2） 容积：224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是（224）cm2，容积是（1344）cm3。 2．把一张长，宽的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是，那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ）；如果，那么（ ）°。 【答案】25 72 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：∠1＝∠3，∠1＋∠3＋∠2＝180°，已知∠2＝36°，用180°减去∠2，再除以2即可求出∠1的度数。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可虚线三角形和折起部分（白色三角形）的面积是相等的。已知阴影部分的面积是250cm2，用长方形的面积减去阴影部分的面积，再除以2，即可求出折起部分（白色三角形）的面积。 【解答】（20×15－250）÷2 ＝（300－250）÷2 ＝50÷2 ＝25（cm2） （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 折起部分（白色三角形）的面积是25cm2，∠1＝72°。 3．周长为16厘米的正方形里面画一个最大的圆形，正方形的边长是 厘米，圆的面积是 平方厘米。 【答案】4 12.56 【分析】根据正方形的边长＝周长÷4，得出正方形的边长； 根据题意，在一个正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，再根据半径＝直径÷2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式进行解答。 【解答】正方形的边长是： 16÷4＝4（厘米） 圆的面积是： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 正方形的边长是4厘米，圆的面积是12.56平方厘米。 4．乐乐的书桌是一个标准的长方形，经测量，书桌的周长是32dm，长与宽的比是5∶3，书桌的面积是（ ）dm2。 【答案】60 【分析】已知长方形书桌的周长是32dm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知长、宽之和＝周长÷2； 已知长与宽的比是5∶3，即长占长、宽之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出长；再用长、宽之和减去长，求出宽； 最后根据长方形的面积＝长×宽，求出书桌的面积。 【解答】长、宽之和：32÷2＝16（dm） 长：16× ＝16× ＝10（dm） 宽：16－10＝6（dm） 面积：10×6＝60（dm2） 书桌的面积是60dm2。 5．A4纸张尺寸是由国际标准化组织的ISO216定义的，规格为210毫米×297毫米，一张A4纸的面积是（ ）平方厘米。 【答案】623.7 【分析】先用210毫米×297毫米计算出积，再进行单位换算；根据1平方厘米＝100平方毫米，把低级单位换算成高级单位，用除法除以它们之间的进率。 【解答】210×297＝62370（平方毫米） 62370÷100＝623.7（平方厘米） 所以62370平方毫米＝623.7平方厘米 因此一张A4纸的面积是623.7平方厘米。 6．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比例放大，得到长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 54 【分析】根据比的意义，长方形按3∶1的比例放大，则放大后的长是厘米，宽是厘米，根据，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】3×3＝9（厘米） 2×3＝6（厘米） （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 9×6＝54（平方厘米） 一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比例放大，得到长方形的周长是30厘米，面积是54平方厘米。 7．如图，已知长方形与正方形组成的图形，其中正方形的边长是10厘米，那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】100 【分析】由图可知，阴影部分的面积就是长方形的面积，长方形与长方形内三角形等底等高，则长方形的面积等于阴影三角形面积的2倍；而长方形内阴影三角形的面积等于正方形面积的一半，据此可知长方形的面积等于正方形的面积；根据正方形的面积＝边长×边长，解答即可。 【解答】10×10＝100（平方厘米） 因此，阴影部分的面积是100平方厘米。 8．一个长方形的长比宽多。如果宽增加4厘米，就成为一个正方形。则原来长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】60 【分析】要求原来长方形的面积，需要知道原来长方形的长和宽；已知一个长方形的长比宽多，如果宽增加则与长相等；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用4除以计算出原来长方形的宽，进而求出原来长方形的长；最后根据长方形面积＝长×宽，代入数值计算即可解答。 【解答】原来长方形的宽： （厘米） 原来长方形的长： （厘米） 原来长方形面积：10×6＝60（平方厘米） 因此原来长方形的面积是60平方厘米。 9．如图，已知正方形的边长为24厘米。甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲、乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是（ ）厘米。 【答案】5.6 【分析】甲乙第一次相遇运动时路程是正方形的周长，正方形周长＝边长×4，则第一次相遇的时间＝路程÷（速度和）是16秒。第二次相遇的路程也是正方形的周长，速度甲、乙的速度均增加1厘米/秒，则甲就是3厘米/秒，乙就是5厘米/秒，第二次相遇的时间＝路程÷时间和是12秒。同理第三次相遇的时间是9.6秒，第四次相遇的时间是8秒。甲一开始的顺时针，第二次是逆时针，第三次是顺时针，第四次是逆时针。两个顺时针的路程是70.4厘米，两个逆时针的路程是76厘米，则说明甲顺时针走了70.4厘米，又返回头将顺时针的路走了一遍后到达远点又多走了，5.6厘米，即甲在AB线段上，这时候的甲距离A点5.厘米，距离B点18.4厘米。 【解答】 ＝96÷6 ＝16（秒） ＝ ＝ ＝ ＝9.6（秒） ＝ ＝ ＝70.4（厘米） ＝ ＝36＋40 ＝76（厘米） 第四次相遇点在从A点逆时针移动5.6处厘米，距A点5.6厘米，距B点18.4厘米。 则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6厘米。 10．一块正方形木板，一边截去15，另一边截去10，剩下的木板的面积比原来的面积减少了1750，那么原来正方形木板的边长是（ ）。 【答案】76 【分析】设正方形的边长为cm，剩下的木板的面积比原来的面积减少了1750，正好就是两个被剪掉的长方形的面积和。则数量关系式为：以长为cm、宽为15的长方形＋以长为（x－15）cm、宽为10cm的长方形＝1750。列出方程求出正方形的边长。 【解答】根据题意画出如下的图： 设原正方形的边长为x。 则原来正方形木板的边长是76cm。 二、选择题 11．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的分类；四边形的分类进行逐项分析解答。 【解答】A．，三角形包括等腰三角形；等边三角形是特征的等腰三角形，这个关系正确； B．，四边形包括平行四边形和梯形，这个关系正确； C．，三角形分为锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形，这个关系正确； D．，长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形；这个关系不正确。 故答案为：D 【点评】利用三角形之间的关系，四边形之间的关系进行解答。 12．奇奇家准备给新房装修，奇奇的卧室长4.8米，宽4.3米，他用竖式计算卧室的面积（如图），虚线框出的部分计算的是（    ）的面积。 A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据小数乘法的计算方法可知，虚线框出的部分是由4.8×0.3得到的，0.3是②和④的宽，4.8是①和③或者是②和④的长，再根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，据此解答即可。 【解答】根据分析可知，奇奇家准备给新房装修，奇奇的卧室长4.8米，宽4.3米，他用竖式计算卧室的面积，虚线框出的部分计算的是②④的面积。 故答案为：B 13．如图由一个正方形和平行四边形组成，正方形的面积是a平方厘米，平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A． B．a C． D．2a 【答案】B 【分析】平行四边形面积＝底×高，正方形的面积＝边长×边长。观察题目中的图形，发现这个平行四边形的底和正方形的一条边是重合的，则平行四边形的底就等于正方形的边长；平行四边形的高和正方形的另一条边也是相等的（因为正方形的四条边都相等），则平行四边形的高也等于正方形的边长；所以平行四边形的面积等于正方形的面积。 【解答】平行四边形的面积等于正方形的面积，正方形的面积是a平方厘米，所以平行四边形的面积是a平方厘米。 故答案为：B 14．一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（    ）平方厘米。（π取值3） A．400 B．300 C．100 D．0 【答案】C 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：空白部分就是扫地机器人在长方形的四个角都覆盖不到，这四个空白部分（覆盖不到）面积之和＝正方形的面积－圆的面积。正方形的边长＝圆的直径＝20厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，代入数据计算分别求出面积，再相减即可。 【解答】20×20－（20÷2）2×3 ＝20×20－102×3 ＝20×20－100×3 ＝400－300 ＝100（平方厘米） 机器人在扫地时覆盖不到的面积约为100平方厘米。 故答案为：C 15．草地音乐会预留了长100米，宽50米大小的长方形地作为观众席，音乐会的票全部卖完，而且场地挤满了歌迷。最有可能出席音乐会的人数是（    ）。 A．2000 B．5000 C．20000 D．100000 【答案】C 【分析】先计算出音乐会的面积，再估算出每平方米可以站的人数是4人，用每平方米可以站的人数乘面积就是总人数。 【解答】100×50＝5000（平方米） 4×5000＝20000（人） 所以最有可能出席音乐会的人数是20000人。 故答案为：C 16．一块长方形地砖的长是0.4m，宽是0.2m，面积是（    ）。 A．8m2 B．0.8m2 C．0.08m2 D．0.008m2 【答案】C 【分析】已知长方形地砖的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，求出地砖的面积。 【解答】0.4×0.2＝0.08（m2） 面积是0.08m2。 故答案为：C 17．将一个面积为16平方米的正方形，如果把它的边长增加1米，那么正方形的面积将增加（    ）平方米。 A．1 B．9 C．10 D．33 【答案】B 【分析】根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；16＝4×4，所以正方形的边长是4米；边长增加1米，边长增加1米后正方形的边长为4＋1＝5米，代入正方形面积公式，求出边长增加1米后正方形的面积，再用边长增加1米后正方形的面积－原来正方形的面积，即可解答。 【解答】因为16＝4×4，所以正方形的边长是4米。 增加1米后正方形边长：4＋1＝5（米） 5×5－16 ＝25－16 ＝9（平方米） 将一个面积为16平方米的正方形，如果把它的边长增加1米，那么正方形的面积将增加9平方米。 故答案为：B 18．装修师傅根据实际需要，现将两块完全一样的长方形地砖切割成如图的样式，被切割部分都是边长为10厘米的正方形。图中两块地砖的周长和面积之间的关系是（    ）。 A．面积相等，周长不相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长相等，面积也相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】如下图，左图把正方形的一条边向上平移，补齐缺口，这样左图的周长等于长方形的周长加上2条10厘米的线段；右图把正方形的两条边分别向上、向左平移，补齐缺口，这样右图的周长等于长方形的周长； 左图、右图的面积都等于长方形的面积减去正方形的面积。 【解答】左边地砖的面积＝长方形的面积－正方形的面积 右边地砖的面积＝长方形的面积－正方形的面积 所以，两块地砖的面积相等。 左边地砖的周长＝长方形的周长＋2个10厘米 右边地砖的周长＝长方形的周长 所以，左边地砖的周长≠右边地砖的周长 综上所述，图中两块地砖的周长和面积之间的关系是面积相等，周长不相等。 故答案为：A 19．如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（    ）。 A．16平方厘米 B．20平方厘米 C．80平方厘米 D．160平方厘米 【答案】C 【分析】假设正方形的边长为x厘米，根据题意可知，一个宽为4厘米的长条，长为x厘米，一个宽为5厘米的长条，长为（x－4）厘米，已知两个长条的面积相等，根据长方形的面积公式，可列方程为：5×（x－4）＝4x，然后解出方程，进而求出长条的面积。 【解答】解：设原正方形边长为x厘米。 5×（x－4）＝4x 5x－20＝4x 5x－4x－20＝4x－4x x－20＝0 x－20＋20＝0＋20 x＝20 20×4＝80（平方厘米） 一个长条面积为80平方厘米。 故答案为：C 20．下图中甲部分的周长与乙部分的周长（    ）。 A．相等 B．甲的周长大 C．乙的周长大 D．无法比较 【答案】B 【分析】周长是围成图形的所有线段的长度和，由图意可知：围成甲的是两条边的长加半条边的长加公共曲线的长，围成乙的是一条边的长加半条边的长加公共曲线的长，据此比较解答即可。 【解答】由分析可知： 图中甲部分的周长与乙部分的周长相比，甲的周长大。 故答案为：B 【点评】本题考查了周长的认识知识，解答此题的主要依据是：平面图形周长的概念。 三、计算题 21．求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】4cm2 【分析】用两个同样的这大个三角形拼成一个长方形，如图所示： 所以，这个阴影部分的面积就等于这个阴影长方形的面积÷2，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入即可求解。 【解答】2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 所以，这个阴影部分的面积是4cm2。 22．计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】4550平方厘米 【分析】根据图中的信息可得，图形是一个长方形缺少了一个梯形，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用长方形的面积减去梯形的面积，即可求出剩余的面积，据此即可解答。 【解答】80×60－（30＋20）×10÷2 ＝4800－50×10÷2 ＝4800－500÷2 ＝4800－250 ＝4550（平方厘米） 故图形的面积为4550平方厘米。 【点评】此题考查组合图形的面积，熟练掌握梯形的面积公式，再根据总面积与需要求的面积之间的关系即可解题。 23．用两种方法求下面图形的面积。 【答案】75cm2 【分析】①将图形左右分割成一个梯形和一个长方形，分别求出这两个图形的面积，再相加； ②将图形上下分割成一个三角形和一个长方形，分别求出这两个图形的面积，再相加。 【解答】①（10＋5）×（12－6）÷2＋5×6 ＝15×6÷2＋30 ＝45＋30 ＝75（cm2） ②（10－5）×（12－6）÷2＋5×12 ＝5×6÷2＋60 ＝15＋60 ＝75（cm2） 四、操作题 24．如图，每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出把原来的长方形按2∶1放大后的图形。 （3）放大后的长方形面积与原来长方形面积的比是（    ）。 【答案】（1）（2）画图见详解 （3）4∶1 【分析】（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。 （2）按2∶1放大，即放大后的长方形的长是原来的2倍，宽也是原来的2倍，据此用原来的长、宽分别乘2求出放大后的长方形的长和宽，据此画图。 （3）根据长方形的面积＝长×宽，分别求出原来长方形、放大后长方形的面积，再进行比即可。 【解答】（1）如图： （2）3×2＝6（厘米），2×2＝4（厘米），如图： （3）6×4＝24（平方厘米） 3×2＝6（平方厘米） 24∶6＝（24÷6）∶（6÷6）＝4∶1 所以放大后的长方形面积与原来长方形面积的比是4∶1。 五、解答题 25．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 【答案】20厘米；12个 【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求80和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由此解答即可。 【解答】80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。 26．如图，一个正方形的边长增加它的后，得到的新正方形的周长是48厘米，原正方形的边长是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】设原正方形的边长为x厘米，则新正方形的边长是x（1＋）厘米，根据，列方程并求解即可。 【解答】解：设原正方形的边长为x厘米，现在正方形的边长为x（1＋）厘米。 x（1＋）×4＝48 x×4＝48 x＝48 x÷＝48÷ x＝48× x＝9 答：原来正方形的边长是9厘米。 27．妙想妈妈在一块长20米、宽15米的长方形地上种植鲜花。今年她进行了扩建，宽不变，长增加了。如果每平方米土地的鲜花卖200元，今年这块地种植的鲜花可以卖多少元？ 【答案】75000元 【分析】根据题意，宽不变，长增加了，那么长就是原来的（1＋），根据分数乘法的意义求出现在的长，然后再根据长方形面积的计算方法长方形的面积＝长×宽，求出这块长方形的面积，然后再乘每平方米土地的鲜花卖的钱数即可求解。 【解答】20×（1＋） ＝20× ＝25（米） 25×15×200 ＝375×200 ＝75000（元） 答：今年这块地种植的鲜花可以卖75000元。 28．如图所示，先将正方形平均分成五等份（图1），然后在另一个方向上插入三条宽度相等的阴影长条（图2），这时所有的白色区域都是正方形，如果阴影部分覆盖的总面积是39平方厘米，那么大正方形的面积是多少平方厘米？（思路导航：比较图1的空白和图2的空白，你一定会有新的发现！） 【答案】75平方厘米 【分析】通过观察图形可知，把这个正方形分成5等份，插入三条宽度相同的长条后，这时空白部分都是小正方形，由此可知，插入的三个长条的宽度和正好是原来大正方形边长的，把图2中插入的三条宽度相同的长条通过平移发现，阴影部分相当于（8＋5）个小正方形的面积，又知阴影部分的总面积是39平方厘米，根据除法的意义，用除法求出一个小正方形的面积，大正方形中空白部分是12个小正方形，然后用1个小正方形的面积乘大正方形分成的小正方形的个数即可。 【解答】 （平方厘米） 答：大正方形的面积是75平方厘米。 29．一张长方形ABCD的纸折成如图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF面积是3.5平方厘米，三角形EDC的面积是10.5平方厘米，问长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】42平方厘米 【分析】观察图形，分析题意可知，由S△EDC＝DC×DE；又因为点E恰好是AD边的中点，因为S△EDC＝10.5平方厘米，所以AD×DC＝10.5，即AD×DC＝42；又由长方形ABCD的面积＝DC×AD，从而得出长方形的面积。 【解答】因为点E恰好是AD边的中点，所以DE＝AD； 因为S△EDC＝DE×DC，所以S△EDC＝×AD×DC＝AD×DC； 因为S△EDC＝10.5cm2，所以AD×DC＝10.5平方厘米； 即AD×DC ＝10.5×4 ＝42（平方厘米） 因为长方形ABCD的面积＝AD×DC，所以S长方形ABCD＝42平方厘米。 答：长方形ABCD的面积是42平方厘米。 【点评】此题主要是根据条件找△EDC的边与长方形ABCD的边之间的关系。 30．吴老师买了一套新房，客厅长6米，宽4米，高3米。请同学们帮吴老师算一算装修所需要的部分材料。 （1）客厅准备用边长5分米的方砖铺地面，需要多少块？ （2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等10平方米不粉刷，实际粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】（1）96块；（2）74平方米 【分析】（1）先把5分米化为0.5分米，然后根据长方形的面积公式，用6×4即可求出客厅的底面积，再根据正方形的面积公式，用0.5×0.5即可求出一块方砖的面积，最后根据除法的意义，用6×4÷（0.5×0.5）即可求出需要方砖多少块； （2）根据题意可知，粉刷的面积等于上面、前面、后面、左面、右面的面积和减去门窗、电视墙等的面积，据此6×4＋6×3×2＋4×3×2－10用即可求出粉刷的面积。 【解答】（1）5分米＝0.5米 6×4÷（0.5×0.5） ＝24÷0.25 ＝96（块） 答：需要96块。 （2）6×4＋6×3×2＋4×3×2－10 ＝24＋36＋24－10 ＝84－10 ＝74（平方米） 答：实际粉刷的面积是74平方米。 【点评】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用。 31．在一张比例尺为1∶500的图纸上，量得一块长方形土地的周长是50厘米，已知这块土地的宽是长的，这块地的实际面积是多少？ 【答案】3750平方米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出这块土地的实际周长，并求出长与宽的和，再根据比的应用求出这块土地实际的长和宽，最后利用“长方形的面积＝长×宽”，求出这块地的实际面积。 【解答】实际周长：50÷＝25000（厘米） 25000厘米＝250米 长与宽的和：250÷2＝125（米） 长：125×＝75（米） 宽：125×＝50（米） 实际面积：75×50＝3750（平方米） 答：这块地的实际面积是3750平方米。 【点评】掌握图上距离和实际距离的换算方法以及按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 32．下图是一条线段。 （1）以这条线段为半径画一个圆。 （2）以这条线段为边长画一个正方形。 （3）画出这个组合图形的对称轴。 （4）量出必要的数据（取整数厘米），算出这个组合图形的面积是（    ）cm2。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 （4）3.355 【分析】（1）以这条线段的一个端点为圆心，以这条线段为半径，用圆规即可画出以这条线段为直径的圆； （2）根据正方形的特征，正方形四条边相等，四个角都是直角，即可以这条线段为边长画一个正方形； （3）这个组合图形有1条对称轴，即这条线段垂直平分线； （4）用刻度尺即可量出这条线段的长度，所画圆的半径是这条线段的长度，所画正方形的边长等于这条线段的长度，然后计算这个组合图形的面积即可。 【解答】（1）（2）（3）作图如下： （4）量出这个圆的半径是1cm，所以这个组合图形的面积是： 3.14×12＋（1×1－3.14×12÷4） ＝3.14＋（1－3.14÷4） ＝3.14＋（1－0.785） ＝3.14＋0.215 ＝3.355（cm2） 【点评】此题综合考查了画圆、圆面积的计算、画正方形，正方形面积的计算、确定轴对称图形对称轴的条数及位置等，根据题意分析解答即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 33 长方形和正方形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、长方形。 ............................................................ 4 二、正方形。 ............................................................ 4 第三部分典例精讲 ............................................................5 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 ........................................5 【考点二】长方形及正方形的周长 ..............................................7 【考点三】长方形的面积 ......................................................8 【考点四】正方形的面积 .....................................................10 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 .....................................12 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 .......................................13 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 .......................................15 第四部分真题专练 ...........................................................16 4 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、长方形。 1、长方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。 2、长方形的周长 长方形的周长=(长+宽)x2,用含有字母的式子表示为 C=2(a+b) 3、长方形的面积。 长方形的面积三长 x宽,用含有字母的式子 表示为 S=ab。 二、正方形。 1、正方形的定义。 四条边都相等、四个角都是直角的四边形叫作正方形。 5 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2、正方形的周长 正方形的周长=边长 x4,用含有字母的式子表示为 C=4a。 ③正方形的面积 正方形的面积三边长 x边长,用含有字母的式子表示为 S=a2 第三部分典例精讲 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 【典例一】一张长方形纸，长 8厘米，宽 6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长 是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】由题意可知，把长方形剪成最大的正方形，正方形的边长就是长方形的宽。据此解答。 【解答】一张长方形纸，长 8厘米，宽 6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长是 6厘米。 【典例二】把一个圆形纸片切分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，周长增加了 8cm，则 圆形纸片的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。（π取 3.14） 【答案】4 50.24 【分析】把一个圆形纸片剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽 等于圆的半径；拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加了 2条宽的长度，即增加了 2个半径 的长度，用增加的周长除以 2，即可求出圆的半径；然后根据圆的面积公式 S＝πr2，求出这 个圆的面积。 【解答】圆的半径： 8÷2＝4（cm） 圆的面积： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 则圆形纸片的半径是 4cm，面积是 50.24cm2。 6 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】一个圆柱的侧面展开后，正好是一个边长为 6.28 分米的正方形，这个圆柱的底面 半径是（ ）分米。 【答案】1 【分析】根据题意，一个圆柱的侧面展开后，正好是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长与 高都等于正方形的边长； 根据圆的周长公式 C＝2πr，可知 r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径。 【解答】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 这个圆柱的底面半径是 1分米。 【典例四】把一张长 1.71 米，宽 0.9 米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸 的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出 张。 【答案】190 【分析】把长方形的纸剪成正方形且没有剩余，则正方形的边长为长方形长与宽的公因数，要 使正方形的面积尽可能大，正方形的边长应是长方形的长与宽的最大公因数。计算时先将米化 成厘米，再求出最大正方形的边长，最后分别求出长方形的长边有几个正方形的边长，宽有几 个正方形的边长，再相乘即可得解。 【解答】1.71 米＝171 厘米 0.9 米＝90 厘米 171 和 90 的最大公因数是：3 3 9     171 9 90 9   19 10  190 （张） 把一张长 1.71 米，宽 0.9 米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可 能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出 190 张。 7 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】长方形及正方形的周长 【典例一】把两个边长都是 5厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ） 厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 50 【分析】拼成的长方形的周长应是两个正方形的周长减两个边长，面积则是两个边长之和乘一 个边长。 【解答】4×5×2－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） （5＋5）×5 ＝10×5 ＝50（平方厘米） 这个长方形的周长是 30 厘米，面积是 50 平方厘米。 【典例二】一个长方形长 6cm，宽 4cm，把它按 3∶1放大，得到的新长方形周长是（ ） cm。 【答案】60 【分析】把长方形按 3∶1放大，即长方形的长与宽都扩大到原来的 3倍，用乘法即可求出扩 大后的长与宽，根据 2长方形的周长＝（长＋宽） ，代入数据计算即可。 【解答】  6 3 4 3 2     18 12 2   30 2  60 （cm） 一个长方形长 6cm，宽 4cm，把它按 3∶1放大，得到的新长方形周长是 60cm。 【典例三】把一个边长为 10cm 的正方形的边长按照 1∶5缩小，缩小后的正方形的周长是 （ ）cm。 【答案】8 【分析】按照 1∶5缩小，即缩小后的边长为原来边长的 1 5，根据分数乘法的意义，用原正方 8 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 形的边长乘 1 5求出缩小后正方形的边长，再根据正方形的周长＝边长×4解答。 【解答】10× 1 5×4 ＝2×4 ＝8（cm） 所以缩小后的正方形的周长是 8cm。 【典例四】一个正方形的周长是 24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画 一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【答案】6 3 【分析】已知正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4的逆运算，可用周长除以 4得到边 长，在正方形中画一个最大的圆，则圆的直径等于正方形的边长，又根据半径等于直径除以 2， 计算即可得解。 【解答】24 4 6  （cm） 6 2 3  （cm） 一个正方形的周长是 24cm，则它的边长是 6cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半 径是 3cm。 【考点三】长方形的面积 【典例一】一个长方体长 25 厘米，宽 16 厘米，高 9厘米，它的占地面积最大是（ ） 平方厘米，最小是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】400 144 3600 【分析】长方体共有 6个面，每个面都可能是底面，分别为前面、后面、左面、右面、上面和 下面，其中前面和后面的面积相同，左面和右面的面积相同，上面和下面的面积相同，根据长 方形的面积＝长×宽，分别计算出前面、左面和上面的面积，再进行比较即可求出占地面积的 最大值、最小值； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】25×16＝400（平方厘米） 25×9＝225（平方厘米） 16×9＝144（平方厘米） 400＞225＞144 9 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 25×16×9 ＝400×9 ＝3600（立方厘米） 所以它的占地面积最大是 400 平方厘米，最小是 144 平方厘米，体积是 3600 立方厘米。 【典例二】全家福可以记录家庭成员的团圆幸福时刻。小芳将一张长 6厘米，宽 4厘米的全家 福按照 3∶1放大，放大后的面积是（ ）平方厘米。 【答案】216 【分析】已知小芳将一张长 6厘米，宽 4厘米的全家福按照 3∶1放大，放大后长和宽都扩大 到原来的 3倍，计算出扩大后的长和宽，根据“长方形面积＝长×宽”计算出扩大后的面积。 【解答】6×3＝18（厘米） 4×3＝12（厘米） 18×12＝216（平方厘米） 所以放大后的面积是 216 平方厘米。 【典例三】用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积 是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【答案】224 1344 【分析】观察长方体纸盒的展开图可知，这个无盖长方体的长是 16cm、宽是（20－6）cm、高 是 6cm； 这个长方体纸盒的底面是一个长 16cm、宽（20－6）cm 的长方形，根据长方形的面积＝长×宽， 求出它的底面积； 根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出这个纸盒的容积。 【解答】宽：20－6＝14（cm） 底面积：16×14＝224（cm2） 容积：224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是（224）cm2，容积是（1344）cm3。 10 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】如下图，把一张边长是 12 厘米的正方形纸剪成两个完全一样的长方形，每个长方 形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】36 72 【分析】由题可知，原正方形的边长为 12 厘米，剪成两个完全一样的长方形后，每个长方形 的宽为原正方形边长的一半，再根据长方形的周长公式为 C＝（a＋b）×2，长方形的面积公 式为 S＝a×b，代入数据解答即可。 【解答】12÷2＝6（厘米） （12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 12×6＝72（平方厘米） 每个长方形的周长是 36 厘米，面积是 72 平方厘米。 【考点四】正方形的面积 【典例一】大正方体的棱长是 5分米，小正方体的棱长是 3分米。大、小正方体棱长的比是 （ ），底面积的比是（ ），体积的比是（ ）。 【答案】5∶3 25∶9 125∶27 【分析】根据 正方形的面积＝边长 边长、正方体的体积＝棱长 棱长 棱长  ，代入数据根据题意列 比即可。 【解答】    5 5 3 3 25 9  ∶ ∶    5 5 5 3 3 3 125 27    ∶ ∶ 大正方体的棱长是 5分米，小正方体的棱长是 3分米。大、小正方体棱长的比是 5∶3，底面 积的比是 25∶9，体积的比是 125∶27。 【典例二】如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是 2厘米、3厘米、4 厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 11 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】81 127.17 【分析】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据 正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两 个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即 2r，高是圆的半径，即 r，根据三 角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方 形的面积除以 2即可求出 r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【解答】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是 81 平方厘米，圆的面积是 127.17 平方厘米。 【点评】本题的关键是找到 r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可 求出圆的面积。 【典例三】2024 年 10 月 1 日是我国建国 75 周年，为了庆祝建国 75 周年而布置展览场地，使 用 80 块边长为 4.5 米的正方形地毯将一个区域铺满，那么这个区域的面积是（ ）平 方米。 【答案】1620 【分析】根据“正方形的面积＝边长×边长”，把数据代入公式求出一块地毯的面积，然后再 乘地毯的块数即可。 【解答】4.5×4.5×80 ＝20.25×80 ＝1620（平方米） 12 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 所以那么这个区域的面积是 1620 平方米。 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 【典例一】张奶奶家有一块长 40 米，宽是 30 米的长方形菜地，请你在图方框中按照 1∶1000 的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。 【答案】见详解 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，据此换算出长和宽的图上距离，利用画垂线或平行线 的方法，画出这个长方形菜地。 【解答】40 米＝4000 厘米、30 米＝3000 厘米 4000× 1 1000 ＝4（厘米）、3000× 1 1000 ＝3（厘米） 【典例二】学校有一个长方形操场，长 150 米，宽 90 米，请你在下面用 1∶3000 的比例尺画 出操场的平面图，并标出图上长、宽各画了几厘米。 【答案】见详解 【分析】分析题目，先根据 1米＝100 厘米把长方形的实际长和宽都换算成以厘米为单位，再 根据图上距离＝实际距离×比例尺求出图上的长方形的长和宽，最后根据长和宽画出长方形并 标注长和宽即可。 【解答】150 米＝15000 厘米 13 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 90 米＝9000 厘米 15000× 1 3000 ＝5（厘米） 9000× 1 3000 ＝3（厘米） 画图如下： 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 【典例一】下面每个小方格表示 1平方厘米。 （1）图中图案的面积是（ ）平方厘米。 （2）在下面方格中画一个周长为 24 厘米的正方形和一个周长为 24 厘米的长方形。 【答案】（1）10 （2）见详解 【分析】 （1） 如图所示，将两个三角形根据箭头方向移动后， 然后再数一数一共有多少个小方格，也就是有多少平方厘米。 （2）每个小方格表示 1平方厘米，正方形的面积＝边长×边长，1×1＝1（厘米），小方格边 14 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 长是 1厘米；正方形的周长＝边长×4，则正方形的边长＝周长÷4，用 24÷4 计算出边长是几， 也就是几个小方格边长的长度；长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝长方形周长÷2， 24÷2＝12（厘米），12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，那么可以画长是 11 厘米、 宽是 1厘米，长是 10 厘米、宽是 2厘米，长是 9厘米、宽是 3厘米，长是 8厘米、宽是 4厘 米，或者长时 7厘米、宽是 5厘米的长方形；据此解答。 【解答】根据分析： （1）10×1＝10（平方厘米） 图中图案的面积是 10 平方厘米。 （2）1÷1＝1（厘米） 24÷4＝6（厘米） 24÷2＝12（厘米） 5＋7＝12（厘米） 如图： （长方形答案不唯一） 【典例二】下面每个小方格都是边长 1厘米的正方形，请在下面图形中画出一个周长为 20 厘 米的长方形，使长方形的长和宽的比是 3∶2。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的周长公式 2长方形的周长＝（长＋宽） ，用 20 除以 2可得长与宽的和，根 据比的意义，用长与宽的和除以  3 2 得到分份的长度，再分别乘 3和 2，即可得长和宽的长 度，据此画图。 15 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】  20 2 3 2   10 5  2 （厘米） 长：2 3 6  （厘米） 宽： 2 2 4  （厘米） 据此画图如下： 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 【典例一】在方格纸上画 1个长方形、1个三角形和 1个平行四边形，使它们的面积都是 15 平方厘米，并且有一边的长都是 5厘米。 【答案】见详解 【分析】长方形的面积是 15 平方厘米，设长方形的长是 5厘米，根据长方形的宽＝面积÷长， 可得宽＝15÷5＝3（厘米）； 三角形的面积是 15 平方厘米，设三角形的底是 5厘米，根据三角形的高＝面积×2÷底，可得 高＝15×2÷5＝6（厘米）； 平行四边形的面积是 15 平方厘米，设平行四边形的底是 5厘米，根据平行四边形的高＝面积 ÷底，可得高＝15÷5＝3（厘米）。 16 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 根据以上数据画图，即可解答。 【解答】如图所示： （画法不唯一） 【典例二】在方格纸上分别画出面积为 12 平方厘米的长方形和面积为 16 平方厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，据此画一个长为 4厘米，宽为 3厘米的长方形；根 据正方形的面积公式：S＝a2，据此画一个边长为 4厘米的正方形即可。 【解答】如图所示： 【点评】本题考查长方形和正方形的面积，熟记公式是解题的关键。 第四部分真题专练 一、填空题 1．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ） cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 17 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】224 1344 【分析】观察长方体纸盒的展开图可知，这个无盖长方体的长是 16cm、宽是（20－6）cm、高 是 6cm； 这个长方体纸盒的底面是一个长 16cm、宽（20－6）cm 的长方形，根据长方形的面积＝长×宽， 求出它的底面积； 根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出这个纸盒的容积。 【解答】宽：20－6＝14（cm） 底面积：16×14＝224（cm2） 容积：224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是（224）cm2，容积是（1344）cm3。 2．把一张长 20 cm，宽15 cm的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是 2250 cm ， 那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ） 2cm ；如果 2 36  o，那么 1 （ ）°。 【答案】25 72 【分析】根据题意作图如下： 18 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 从图中可知：∠1＝∠3，∠1＋∠3＋∠2＝180°，已知∠2＝36°，用 180°减去∠2，再除以 2 即可求出∠1的度数。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可虚线三角形和折起部分（白色三角形）的面积 是相等的。已知阴影部分的面积是 250cm2，用长方形的面积减去阴影部分的面积，再除以 2， 即可求出折起部分（白色三角形）的面积。 【解答】（20×15－250）÷2 ＝（300－250）÷2 ＝50÷2 ＝25（cm2） （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 折起部分（白色三角形）的面积是 25cm2，∠1＝72°。 3．周长为 16 厘米的正方形里面画一个最大的圆形，正方形的边长是 厘米，圆的面积 是 平方厘米。 【答案】4 12.56 【分析】根据正方形的边长＝周长÷4，得出正方形的边长； 根据题意，在一个正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，再根据半径＝ 直径÷2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式进行解答。 【解答】正方形的边长是： 16÷4＝4（厘米） 圆的面积是： 3.14×（4÷2）2 19 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 正方形的边长是 4厘米，圆的面积是 12.56 平方厘米。 4．乐乐的书桌是一个标准的长方形，经测量，书桌的周长是 32dm，长与宽的比是 5∶3，书桌 的面积是（ ）dm2。 【答案】60 【分析】已知长方形书桌的周长是 32dm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知长、宽之 和＝周长÷2； 已知长与宽的比是 5∶3，即长占长、宽之和的 5 5 3 ，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法 计算，求出长；再用长、宽之和减去长，求出宽； 最后根据长方形的面积＝长×宽，求出书桌的面积。 【解答】长、宽之和：32÷2＝16（dm） 长：16× 5 5 3 ＝16× 5 8 ＝10（dm） 宽：16－10＝6（dm） 面积：10×6＝60（dm2） 书桌的面积是 60dm2。 5．A4 纸张尺寸是由国际标准化组织的 ISO216 定义的，规格为 210 毫米×297 毫米，一张 A4 纸的面积是（ ）平方厘米。 【答案】623.7 【分析】先用 210 毫米×297 毫米计算出积，再进行单位换算；根据 1平方厘米＝100 平方毫米， 把低级单位换算成高级单位，用除法除以它们之间的进率。 【解答】210×297＝62370（平方毫米） 62370÷100＝623.7（平方厘米） 所以 62370 平方毫米＝623.7 平方厘米 因此一张 A4 纸的面积是 623.7 平方厘米。 20 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 6．一个长 3厘米，宽 2厘米的长方形，按 3∶1的比例放大，得到长方形的周长是（ ） 厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 54 【分析】根据比的意义，长方形按 3∶1的比例放大，则放大后的长是3 3 厘米，宽是2 3 厘米， 根据 2长方形的周长＝（长＋宽） ，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】3×3＝9（厘米） 2×3＝6（厘米） （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 9×6＝54（平方厘米） 一个长 3厘米，宽 2厘米的长方形，按 3∶1的比例放大，得到长方形的周长是 30 厘米，面积 是 54 平方厘米。 7．如图，已知长方形与正方形组成的图形，其中正方形的边长是 10 厘米，那么阴影部分的面 积是（ ）平方厘米。 【答案】100 【分析】由图可知，阴影部分的面积就是长方形的面积，长方形与长方形内三角形等底等高， 则长方形的面积等于阴影三角形面积的 2倍；而长方形内阴影三角形的面积等于正方形面积的 一半，据此可知长方形的面积等于正方形的面积；根据正方形的面积＝边长×边长，解答即可。 【解答】10×10＝100（平方厘米） 因此，阴影部分的面积是 100 平方厘米。 8．一个长方形的长比宽多 2 3 。如果宽增加 4厘米，就成为一个正方形。则原来长方形的面积是 （ ）平方厘米。 【答案】60 【分析】要求原来长方形的面积，需要知道原来长方形的长和宽；已知一个长方形的长比宽多 2 3 ， 21 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 如果宽增加 2 3 则与长相等；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用 4除以 2 3 计算出 原来长方形的宽，进而求出原来长方形的长；最后根据长方形面积＝长×宽，代入数值计算即 可解答。 【解答】原来长方形的宽： 24 3  34 2   6 （厘米） 原来长方形的长： 26 1 3       56 3   10 （厘米） 原来长方形面积：10×6＝60（平方厘米） 因此原来长方形的面积是 60 平方厘米。 9．如图，已知正方形 ABCD的边长为 24 厘米。甲、乙两动点同时从顶点 A出发，甲以 2厘米/ 秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以 4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移 动，每次相遇后甲、乙的速度均增加 1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近 顶点的距离是（ ）厘米。 【答案】5.6 【分析】甲乙第一次相遇运动时路程是正方形的周长，正方形周长＝边长×4，则第一次相遇的 时间＝路程÷（速度和）是 16 秒。第二次相遇的路程也是正方形的周长，速度甲、乙的速度均 增加 1厘米/秒，则甲就是 3厘米/秒，乙就是 5厘米/秒，第二次相遇的时间＝路程÷时间和是 12 秒。同理第三次相遇的时间是 9.6 秒，第四次相遇的时间是 8秒。甲一开始的顺时针，第二 次是逆时针，第三次是顺时针，第四次是逆时针。两个顺时针的路程是 70.4 厘米，两个逆时针 的路程是 76 厘米，则说明甲顺时针走了 70.4 厘米，又返回头将顺时针的路走了一遍后到达远 点又多走了，5.6 厘米，即甲在 AB 线段上，这时候的甲距离 A点 5.厘米，距离 B点 18.4 厘米。 22 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】 24 4 96( )  厘米  96 4 2  ＝96÷6 ＝16（秒）  96 4 1 2 1    ＝ 96 8 ＝12（秒） 96 (4 1 1 1 2 1 1 1)        ＝96 10 ＝9.6（秒） 2 16 (2 1 1) 9.6     ＝32 4 9.6  ＝32 38.8 ＝70.4（厘米） (2 1) 12 (2 1 1 1) 8       ＝3 12 5 8   ＝36＋40 ＝76（厘米） 76 70.4 5.6( )  厘米 24 5.6 18.4( )  厘米 5.6 18.4 第四次相遇点在从 A点逆时针移动 5.6 处厘米，距 A点 5.6 厘米，距 B点 18.4 厘米。 则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是 5.6 厘米。 10．一块正方形木板，一边截去 15 cm，另一边截去 10cm，剩下的木板的面积比原来的面积减 少了 1750 2cm ，那么原来正方形木板的边长是（ ） cm。 【答案】76 【分析】设正方形的边长为 x cm，剩下的木板的面积比原来的面积减少了 1750 2cm ，正好就是两 个被剪掉的长方形的面积和。则数量关系式为：以长为 x cm、宽为 15 的长方形＋以长为（x－ 23 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 15）cm、宽为 10cm 的长方形＝1750。列出方程求出正方形的边长。 【解答】根据题意画出如下的图： 设原正方形的边长为 xcm。 15 ( 15) 10 1750x x    15 10 15 10 1750x x    25 150 1750x   25 1750 150x   25 1900x  1900 25x   76x  则原来正方形木板的边长是 76cm。 二、选择题 11．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的分类；四边形的分类进行逐项分析解答。 【解答】A． ，三角形包括等腰三角形；等边三角形是特征的等腰三角 形，这个关系正确； 24 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 B． ，四边形包括平行四边形和梯形，这个关系正确； C． ，三角形分为锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形，这个关 系正确； D． ，长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形；这个关系 不正确。 故答案为：D 【点评】利用三角形之间的关系，四边形之间的关系进行解答。 12．奇奇家准备给新房装修，奇奇的卧室长 4.8 米，宽 4.3 米，他用竖式计算卧室的面积（如 图），虚线框出的部分计算的是（ ）的面积。 A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据小数乘法的计算方法可知，虚线框出的部分是由 4.8×0.3 得到的，0.3 是②和④ 的宽，4.8 是①和③或者是②和④的长，再根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，据此解答 即可。 【解答】根据分析可知，奇奇家准备给新房装修，奇奇的卧室长 4.8 米，宽 4.3 米，他用竖式 计算卧室的面积，虚线框出的部分计算的是②④的面积。 25 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 故答案为：B 13．如图由一个正方形和平行四边形组成，正方形的面积是 a平方厘米，平行四边形的面积是 （ ）平方厘米。 A． 1 2 a B．a C． 3 2 a D．2a 【答案】B 【分析】平行四边形面积＝底×高，正方形的面积＝边长×边长。观察题目中的图形，发现这 个平行四边形的底和正方形的一条边是重合的，则平行四边形的底就等于正方形的边长；平行 四边形的高和正方形的另一条边也是相等的（因为正方形的四条边都相等），则平行四边形的 高也等于正方形的边长；所以平行四边形的面积等于正方形的面积。 【解答】平行四边形的面积等于正方形的面积，正方形的面积是 a平方厘米，所以平行四边形 的面积是 a平方厘米。 故答案为：B 14．一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图， 这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（ ） 平方厘米。（π取值 3） A．400 B．300 C．100 D．0 【答案】C 26 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：空白部分就是扫地机器人在长方形的四个角都覆盖不到，这四个空白部分（覆盖 不到）面积之和＝正方形的面积－圆的面积。正方形的边长＝圆的直径＝20 厘米，根据正方形 的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，代入数据计算分别求出面积，再相减即可。 【解答】20×20－（20÷2）2×3 ＝20×20－102×3 ＝20×20－100×3 ＝400－300 ＝100（平方厘米） 机器人在扫地时覆盖不到的面积约为 100 平方厘米。 故答案为：C 15．草地音乐会预留了长 100 米，宽 50 米大小的长方形地作为观众席，音乐会的票全部卖完， 而且场地挤满了歌迷。最有可能出席音乐会的人数是（ ）。 A．2000 B．5000 C．20000 D．100000 【答案】C 【分析】先计算出音乐会的面积，再估算出每平方米可以站的人数是 4人，用每平方米可以站 的人数乘面积就是总人数。 【解答】100×50＝5000（平方米） 4×5000＝20000（人） 所以最有可能出席音乐会的人数是 20000 人。 故答案为：C 16．一块长方形地砖的长是 0.4m，宽是 0.2m，面积是（ ）。 A．8m2 B．0.8m2 C．0.08m2 D．0.008m2 【答案】C 27 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】已知长方形地砖的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，求出地砖的面积。 【解答】0.4×0.2＝0.08（m2） 面积是 0.08m2。 故答案为：C 17．将一个面积为 16平方米的正方形，如果把它的边长增加 1米，那么正方形的面积将增加（ ） 平方米。 A．1 B．9 C．10 D．33 【答案】B 【分析】根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；16＝4×4，所以正方形的边长是 4米；边 长增加 1米，边长增加 1米后正方形的边长为 4＋1＝5米，代入正方形面积公式，求出边长增 加 1米后正方形的面积，再用边长增加 1米后正方形的面积－原来正方形的面积，即可解答。 【解答】因为 16＝4×4，所以正方形的边长是 4米。 增加 1米后正方形边长：4＋1＝5（米） 5×5－16 ＝25－16 ＝9（平方米） 将一个面积为 16 平方米的正方形，如果把它的边长增加 1米，那么正方形的面积将增加 9 平方 米。 故答案为：B 18．装修师傅根据实际需要，现将两块完全一样的长方形地砖切割成如图的样式，被切割部分 都是边长为 10 厘米的正方形。图中两块地砖的周长和面积之间的关系是（ ）。 A．面积相等，周长不相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长相等，面积也相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】如下图，左图把正方形的一条边向上平移，补齐缺口，这样左图的周长等于长方形的 周长加上 2条 10 厘米的线段；右图把正方形的两条边分别向上、向左平移，补齐缺口，这样右 图的周长等于长方形的周长； 28 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 左图、右图的面积都等于长方形的面积减去正方形的面积。 【解答】左边地砖的面积＝长方形的面积－正方形的面积 右边地砖的面积＝长方形的面积－正方形的面积 所以，两块地砖的面积相等。 左边地砖的周长＝长方形的周长＋2个 10 厘米 右边地砖的周长＝长方形的周长 所以，左边地砖的周长≠右边地砖的周长 综上所述，图中两块地砖的周长和面积之间的关系是面积相等，周长不相等。 故答案为：A 19．如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为 4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去 一个宽为 5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（ ）。 A．16 平方厘米 B．20 平方厘米 C．80 平方厘米 D．160 平方厘米 【答案】C 【分析】假设正方形的边长为 x厘米，根据题意可知，一个宽为 4厘米的长条，长为 x厘米， 一个宽为 5厘米的长条，长为（x－4）厘米，已知两个长条的面积相等，根据长方形的面积公 式，可列方程为：5×（x－4）＝4x，然后解出方程，进而求出长条的面积。 【解答】解：设原正方形边长为 x厘米。 5×（x－4）＝4x 5x－20＝4x 5x－4x－20＝4x－4x 29 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 x－20＝0 x－20＋20＝0＋20 x＝20 20×4＝80（平方厘米） 一个长条面积为 80 平方厘米。 故答案为：C 20．下图中甲部分的周长与乙部分的周长（ ）。 A．相等 B．甲的周长大 C．乙的周长大 D．无法比较 【答案】B 【分析】周长是围成图形的所有线段的长度和，由图意可知：围成甲的是两条边的长加半条边 的长加公共曲线的长，围成乙的是一条边的长加半条边的长加公共曲线的长，据此比较解答即 可。 【解答】由分析可知： 图中甲部分的周长与乙部分的周长相比，甲的周长大。 故答案为：B 【点评】本题考查了周长的认识知识，解答此题的主要依据是：平面图形周长的概念。 三、计算题 21．求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】4cm2 【分析】用两个同样的这大个三角形拼成一个长方形，如图所示： 30 / 38 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 所以，这个阴影部分的面积就等于这个阴影长方形的面积÷2，根据长方形的面积＝长×宽，把 数据代入即可求解。 【解答】2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 所以，这个阴影部分的面积是 4cm2。 22．计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】4550 平方厘米 【分析】根据图中的信息可得，图形是一个长方形缺少了一个梯形，梯形的面积＝（上底＋下 底）×高÷2，用长方形的面积减去梯形的面积，即可求出剩余的面积，据此即可解答。 【解答】80×60－（30＋20）×10÷2 ＝4800－50×10÷2 ＝4800－500÷2 ＝4800－250 ＝4550（平方厘米） 故图形的面积为 4550 平方厘米。 【点评】此题考查组合图形的面积，熟练掌握梯形的面积公式，再根据总面积与需要求的面积 之间的关系即可解题。 23．用两种方法求下面图形的面积。 1 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 33 长方形和正方形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、长方形。 ............................................................ 4 二、正方形。 ............................................................ 4 第三部分典例精讲 ............................................................5 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 ........................................5 【考点二】长方形及正方形的周长 ..............................................6 【考点三】长方形的面积 ......................................................7 【考点四】正方形的面积 ......................................................8 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 ......................................9 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 ........................................9 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 .......................................10 第四部分真题专练 ...........................................................11 4 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、长方形。 1、长方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。 2、长方形的周长 长方形的周长=(长+宽)x2,用含有字母的式子表示为 C=2(a+b) 3、长方形的面积。 长方形的面积三长 x宽,用含有字母的式子 表示为 S=ab。 二、正方形。 1、正方形的定义。 四条边都相等、四个角都是直角的四边形叫作正方形。 5 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2、正方形的周长 正方形的周长=边长 x4,用含有字母的式子表示为 C=4a。 ③正方形的面积 正方形的面积三边长 x边长,用含有字母的式子表示为 S=a2 第三部分典例精讲 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 【典例一】一张长方形纸，长 8厘米，宽 6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长 是（ ）厘米。 【典例二】把一个圆形纸片切分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，周长增加了 8cm，则 圆形纸片的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。（π取 3.14） 【典例三】一个圆柱的侧面展开后，正好是一个边长为 6.28 分米的正方形，这个圆柱的底面 半径是（ ）分米。 【典例四】把一张长 1.71 米，宽 0.9 米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸 的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出 张。 6 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】长方形及正方形的周长 【典例一】把两个边长都是 5厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ） 厘米，面积是（ ）平方厘米。 【典例二】一个长方形长 6cm，宽 4cm，把它按 3∶1放大，得到的新长方形周长是（ ） cm。 【典例三】把一个边长为 10cm 的正方形的边长按照 1∶5缩小，缩小后的正方形的周长是 （ ）cm。 【典例四】一个正方形的周长是 24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画 一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 7 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点三】长方形的面积 【典例一】一个长方体长 25 厘米，宽 16 厘米，高 9厘米，它的占地面积最大是（ ） 平方厘米，最小是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【典例二】全家福可以记录家庭成员的团圆幸福时刻。小芳将一张长 6厘米，宽 4厘米的全家 福按照 3∶1放大，放大后的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积 是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【典例四】如下图，把一张边长是 12 厘米的正方形纸剪成两个完全一样的长方形，每个长方 形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 8 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点四】正方形的面积 【典例一】大正方体的棱长是 5分米，小正方体的棱长是 3分米。大、小正方体棱长的比是 （ ），底面积的比是（ ），体积的比是（ ）。 【典例二】如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是 2厘米、3厘米、4 厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】2024 年 10 月 1 日是我国建国 75 周年，为了庆祝建国 75 周年而布置展览场地，使 用 80 块边长为 4.5 米的正方形地毯将一个区域铺满，那么这个区域的面积是（ ）平 方米。 9 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 【典例一】张奶奶家有一块长 40 米，宽是 30 米的长方形菜地，请你在图方框中按照 1∶1000 的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。 【典例二】学校有一个长方形操场，长 150 米，宽 90 米，请你在下面用 1∶3000 的比例尺画 出操场的平面图，并标出图上长、宽各画了几厘米。 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 【典例一】下面每个小方格表示 1平方厘米。 （1）图中图案的面积是（ ）平方厘米。 （2）在下面方格中画一个周长为 24 厘米的正方形和一个周长为 24 厘米的长方形。 10 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】下面每个小方格都是边长 1厘米的正方形，请在下面图形中画出一个周长为 20 厘 米的长方形，使长方形的长和宽的比是 3∶2。 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 【典例一】在方格纸上画 1个长方形、1个三角形和 1个平行四边形，使它们的面积都是 15 平方厘米，并且有一边的长都是 5厘米。 11 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】在方格纸上分别画出面积为 12 平方厘米的长方形和面积为 16 平方厘米的正方形。 第四部分真题专练 一、填空题 1．用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ） cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 2．把一张长 20 cm，宽15 cm的长方形纸的一角折起（如图），如果阴影部分的面积是 2250 cm ， 12 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 那么折起部分（白色三角形）的面积是（ ） 2cm ；如果 2 36  o，那么 1 （ ）°。 3．周长为 16 厘米的正方形里面画一个最大的圆形，正方形的边长是 厘米，圆的面积 是 平方厘米。 4．乐乐的书桌是一个标准的长方形，经测量，书桌的周长是 32dm，长与宽的比是 5∶3，书桌 的面积是（ ）dm2。 5．A4 纸张尺寸是由国际标准化组织的 ISO216 定义的，规格为 210 毫米×297 毫米，一张 A4 纸的面积是（ ）平方厘米。 6．一个长 3厘米，宽 2厘米的长方形，按 3∶1的比例放大，得到长方形的周长是（ ） 厘米，面积是（ ）平方厘米。 7．如图，已知长方形与正方形组成的图形，其中正方形的边长是 10 厘米，那么阴影部分的面 积是（ ）平方厘米。 8．一个长方形的长比宽多 2 3 。如果宽增加 4厘米，就成为一个正方形。则原来长方形的面积是 （ ）平方厘米。 9．如图，已知正方形 ABCD的边长为 24 厘米。甲、乙两动点同时从顶点 A出发，甲以 2厘米/ 秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以 4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移 动，每次相遇后甲、乙的速度均增加 1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近 顶点的距离是（ ）厘米。 13 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 10．一块正方形木板，一边截去 15 cm，另一边截去 10cm，剩下的木板的面积比原来的面积减 少了 1750 2cm ，那么原来正方形木板的边长是（ ） cm。 二、选择题 11．用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（ ）。 A． B． C． D． 12．奇奇家准备给新房装修，奇奇的卧室长 4.8 米，宽 4.3 米，他用竖式计算卧室的面积（如 图），虚线框出的部分计算的是（ ）的面积。 A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 13．如图由一个正方形和平行四边形组成，正方形的面积是 a平方厘米，平行四边形的面积是 （ ）平方厘米。 14 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 A． 1 2 a B．a C． 3 2 a D．2a 14．一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图， 这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（ ） 平方厘米。（π取值 3） A．400 B．300 C．100 D．0 15．草地音乐会预留了长 100 米，宽 50 米大小的长方形地作为观众席，音乐会的票全部卖完， 而且场地挤满了歌迷。最有可能出席音乐会的人数是（ ）。 A．2000 B．5000 C．20000 D．100000 16．一块长方形地砖的长是 0.4m，宽是 0.2m，面积是（ ）。 A．8m2 B．0.8m2 C．0.08m2 D．0.008m2 17．将一个面积为 16平方米的正方形，如果把它的边长增加 1米，那么正方形的面积将增加（ ） 平方米。 A．1 B．9 C．10 D．33 18．装修师傅根据实际需要，现将两块完全一样的长方形地砖切割成如图的样式，被切割部分 都是边长为 10 厘米的正方形。图中两块地砖的周长和面积之间的关系是（ ）。 A．面积相等，周长不相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长相等，面积也相等 D．无法确定 19．如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为 4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去 一个宽为 5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（ ）。 15 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 A．16 平方厘米 B．20 平方厘米 C．80 平方厘米 D．160 平方厘米 20．下图中甲部分的周长与乙部分的周长（ ）。 A．相等 B．甲的周长大 C．乙的周长大 D．无法比较 三、计算题 21．求阴影部分的面积。（单位：cm） 22．计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 23．用两种方法求下面图形的面积。 16 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 四、操作题 24．如图，每个小方格的边长表示 1厘米。 （1）画出长方形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 （2）画出把原来的长方形按 2∶1放大后的图形。 （3）放大后的长方形面积与原来长方形面积的比是（ ）。 五、解答题 25．有一张长方形纸板，长 80 厘米，宽 60 厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩 余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 26．如图，一个正方形的边长增加它的 1 3后，得到的新正方形的周长是 48 厘米，原正方形的边 17 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 长是多少厘米？ 27．妙想妈妈在一块长 20 米、宽 15 米的长方形地上种植鲜花。今年她进行了扩建，宽不变， 长增加了 1 4 。如果每平方米土地的鲜花卖 200 元，今年这块地种植的鲜花可以卖多少元？ 28．如图所示，先将正方形平均分成五等份（图 1），然后在另一个方向上插入三条宽度相等 的阴影长条（图 2），这时所有的白色区域都是正方形，如果阴影部分覆盖的总面积是 39 平方 厘米，那么大正方形的面积是多少平方厘米？（思路导航：比较图 1的空白和图 2的空白，你 一定会有新的发现！） 29．一张长方形 ABCD 的纸折成如图，E恰好是 AD 边的中点，三角形 AEF 面积是 3.5 平方厘米， 三角形 EDC 的面积是 10.5 平方厘米，问长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 18 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 30．吴老师买了一套新房，客厅长 6米，宽 4米，高 3米。请同学们帮吴老师算一算装修所需 要的部分材料。 （1）客厅准备用边长 5分米的方砖铺地面，需要多少块？ （2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等 10 平方米不粉刷，实际粉刷的面积是 多少平方米？ 31．在一张比例尺为 1∶500 的图纸上，量得一块长方形土地的周长是 50 厘米，已知这块土地 的宽是长的 2 3 ，这块地的实际面积是多少？ 32．下图是一条线段。 19 / 19 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （1）以这条线段为半径画一个圆。 （2）以这条线段为边长画一个正方形。 （3）画出这个组合图形的对称轴。 （4）量出必要的数据（取整数厘米），算出这个组合图形的面积是（ ）cm2。