专题35 圆及组合图形（导图+8个重点速记+14个考点精讲+33道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （通用版）

2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题35 圆及组合图形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、圆的认识。 4 二、圆的特征。 5 三、圆的画法。 5 四、圆周率及周长。 5 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 5 六、圆环。 6 七、扇形。 6 八、组合图形的面积。 6 第三部分典例精讲 7 【考点一】圆的概念及特点 7 【考点二】圆的轴对称图形 8 【考点三】圆的周长的计算 8 【考点四】圆的面积的计算 9 【考点五】求最大面积 10 【考点六】圆环的面积 10 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 11 【考点八】扇形的周长和面积 12 【考点九】含圆的组合图形的周长 13 【考点十】含圆的组合图形的面积 14 【考点十一】阴影部分的周长或面积 15 【考点十二】画圆或扇形 15 【考点十三】圆的周长的应用 17 【考点十四】圆的面积的应用 17 第四部分真题专练 18 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、圆的认识。 1、圆中心的一点叫作圆心，圆心通常用字母 O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆的半径，半径通常用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，直径通常用字母 d 表示。 二、圆的特征。 1、在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。 2、在同一个圆里，直径等于半径的2倍，半径等于直径的。用字母表示为 d=2r，r=。 3、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 4、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴。 三、圆的画法。 1、根据圆心到圆上任意一点的距离(半径)都相等，我们可以用圆规来画圆。 (1)把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即定半径)。 (2)把有针尖的一端固定在一点上(即定圆心)。 (3)把装有笔的一端旋转一周，就画出了一个圆。 四、圆周率及周长。 1、圆的周长与直径的比值叫作圆周率，圆周率用π表示。π的值是一个无限不循环小数， 计算时一般取近似值 3.14。 2、圆的周长 (1)一个圆一周的长度叫作圆的周长。 (2)圆的周长一直径x圆周率=2x半径x圆周率 如果用C表示圆的周长，用d表示圆的直径，用r表示圆的半径，那么圆的周长的计算公式是C=πd=2πr。 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 1、把圆沿着半径分成若干等份(偶数份)，拼成一个近似的长方形。 观察发现：近似长方形的长是圆周长的一半，用πr表示；宽是圆的半径，用r表示因为长方形的面积一长x宽，所以圆的面积计算公式用含有字母的式子表示为 S=πr2。 六、圆环。 1、两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫作圆环。下图中的涂色部分就是一个圆环。我们通常把较大的圆叫作外圆，半径用R表示；较小的圆叫作内圆半径用r表示。 2、圆环面积=外圆面积-内圆面积 若用S表示圆环面积，则圆环的面积计算公式用含有字母的式子表示为S=πR2-πr2=π(R2-r2)。 七、扇形。 1、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。下图中的涂色部分就是一个扇形。圆上 A、B两点之间的曲线部分叫作弧，读作“弧 AB”。像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫作圆心角。 2、在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小相关。扇形的圆心角是多少度，其面积就是相同半径的圆面积的三百六十分之多少，即扇形的圆心角为 n°时 S扇形=n°÷360°×πr2. 八、组合图形的面积。 1、组合图形的定义。 由两种或两种以上的图形组合而成的图形叫作组合图形。 2、组合图形面积的计算。 计算组合图形的面积，可以把组合图形分解成几个已学过的简单图形，也可以通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，再计算。 3、估算不规则图形的面积。 在方格纸中，不规则图形的面积可以通过数方格来估算，先数整格，再数半格，不满一格的按半格算；如果它接近规则图形，还可以将它看成规则图形，利用面积公式估算。 第三部分典例精讲 【考点一】圆的概念及特点 【典例一】都是由（ ）围成的平面图形，是由（ ）围成的平面图形。 【典例二】如图，以点O为圆心的圆内，三角形ABO一定是等腰三角形，作出这个判断的依据是（ ）。 【典例三】一个正方形的周长是24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【典例四】如图有（ ）条对称轴，如果每个圆的直径都是x厘米，那么长方形的面积是（ ）平方厘米。 【考点二】圆的轴对称图形 【典例一】正方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ）条对称轴。 【典例二】如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条对称轴。 【考点三】圆的周长的计算 【典例一】把一个圆柱的侧面沿高剪开得到一个正方形，这个圆柱的半径是2厘米，高是（ ）厘米。 【典例二】下图中的圆和长方形面积相等，那么圆的周长是（ ）厘米。 【典例三】做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是12.56dm，高是5dm，至少需要（ ）dm2铁皮。 【典例四】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加1厘米，它的侧面积就增加6.28平方厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【考点四】圆的面积的计算 【典例一】一个圆柱的底面周长是37.68cm，高是5cm，这个圆柱的底面直径是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【典例二】陈师傅用两种方法（如图），把一根长20dm、底面半径是2dm的圆柱形木料平均截成两部分。第（ ）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（ ）dm2。 【典例三】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。 【考点五】求最大面积 【典例一】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是（ ）平方米。 【典例二】长方形的长和宽分别是a分米、b分米（a、b是不同的自然数），如果长方形的周长是200分米，那么长方形的面积最大是（ ）平方分米。 【考点六】圆环的面积 【典例一】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【典例二】如图，阴影部分的面积是12cm2，图中圆环形的面积是（ ）cm2。（结果保留π） 【典例三】某小区内靠墙有一个半圆形的水池（如图）。现在要沿着水池外边用地砖铺一条宽1米的小路，需要（ ）平方米的地砖。（结果保留π） 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 【典例一】钟面上，分针从12起，走过25分钟，它所经过的部分可以看作（ ）形，圆心角是（ ）度。 【典例二】如图中涂色部分是（ ），图上A、B两点间的曲线是（ ），∠1是这个圆的（ ）。 【典例三】这4个扇形的半径都是（ ）厘米，它们的圆心角度数的和是（ ）°。    【考点八】扇形的周长和面积 【典例一】下图是一个残破的钟面，它所在的完整钟面的面积是314平方厘米。这个残破钟面的周长是（ ）厘米。 【典例二】如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是4厘米，图中涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】一把扇子展开后如图1，量得这把扇子的相关数据如图2。展开后的这把扇子周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【考点九】含圆的组合图形的周长 【典例一】计算图形的周长。 【典例二】求出下面阴影部分的周长。 【典例三】求图形中阴影部分的周长和面积。 【考点十】含圆的组合图形的面积 【典例一】计算这颗“爱心”的周长和面积。 【典例二】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【考点十一】阴影部分的周长或面积 【典例一】计算下面图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm）             【典例二】计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）    【考点十二】画圆或扇形 【典例一】画一个半径1厘米的圆，再画一条直径，并垂直于直径画一条半径。 【典例二】画一个半径是1厘米的圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。并在其中画一个圆心角是120°的扇形。 【典例三】操作。 （1）在如图方格纸中，画出按3∶1放大后的直角梯形。 （2）在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形。 （3）如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么扇形面积是（    ）平方厘米。 【典例四】一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只有1条对称轴。 【考点十三】圆的周长的应用 【典例一】为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【典例二】将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【典例三】如图：王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？ 【考点十四】圆的面积的应用 【典例一】在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，圆柱的底面半径是12厘米，高是10厘米，帽沿的宽度是12厘米。这个帽子需要多少编制材料？（花边忽略不计） 【典例二】王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？（取3.14） 【典例三】一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”多少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 第四部分真题专练 一、填空题 1．在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是（ ）平方分米。 2． 上图每个小方格面积表示1cm2。 图形A的面积是（ ）cm2；图形B的面积是（ ）cm2；图形C的面积大约是（ ）cm2。 3．下图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（取3.14） 4．如图，王丽从一个长为16厘米，宽为12厘米的长方形纸片上剪下一个三角形，纸片剩下部分的面积是（ ）平方厘米。 5．小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是（ ）cm（π取3）。 6．一个圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为12.56厘米，宽为6厘米，则这个圆柱的底面积为（ ）平方厘米，体积为（ ）立方厘米。 7．丰都恒都体育场标准跑道的最内圈长400m，每条跑道标准宽度均为1.25m。进行400m赛跑时（同终点线），相邻两条跑道之间的起点线应该间隔（ ）m。（圆周率取3.14） 8．一个时钟的时针长10厘米，一昼夜这个时针的针尖走了（ ）厘米，时针扫过的面积是（ ）平方厘米。 9．在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。 10．在如图所示（，，三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在（ ）区域的可能性最大（填或或）。 二、选择题 11．下面图形中，对称轴最多的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等边三角形 D．圆 12．下列图形中，（    ）的对称轴条数最多。 A． B． C． D． 13．生活中，经常把一些同样大小的啤酒瓶用绳子捆扎在一起。如图甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较（接头处不计），正确的是（    ）。 A．一样长 B．甲长 C．乙长 D．无法比较 14．一张长方形纸长12厘米，宽8厘米，在这张长方形的纸中剪一个最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．113.04 B．50.24 C．96 D．45.76 15．笑笑用16分米长的铁丝做成（    ）的面积最大。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 16．下图阴影部分的面积是（    ）。 A．87.92 B．21.98 C．6.28 D．314 17．如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是（ ）。 A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 18．下列图中是圆心角的是（    ）。 A． B． C． D． 19．如图：r＝3分米，这个扇形的面积是（    ）平方分米。    A．28.26 B．9.42 C．7.065 D．4.71 20．在一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）。 A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 三、计算题 21．求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）     （2） 22．求图中阴影部分的面积。（π取3.14） 四、操作题 23．根据要求画一画，算一算。 （1）把①号图形按的比例放大画在方格中。 （2）画出②号三角形绕A点逆时针旋转后的图形。 （3）算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积。 五、解答题 24．按要求使用作图工具规范作图和计算。在长4cm、宽2cm的长方形内画一个最大的半圆，半圆的周长是（        ）cm。 25．本月某小学开展了“聚力强军梦，喜迎二十大”，欢庆“六一”军事体验主题爱国主义教育活动，其中有一项射击项目如图，教官用9.42米长的彩绳靠墙角围了一个最大的靶场（如图所示），便于同学们射击，这个靶场的面积是多少平方米？ 26．一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”多少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 27．下图中正方形的边长是6厘米，分别以正方形的边长为半径和直径，作扇形、圆，求阴影部分的面积。（π取3.14） 28．一个圆形花坛的周长是25.12米，花坛周围有一条宽1米的环形水泥路，如图，这条环形水泥路的面积是多少平方米？ 29．体育馆新运动场（如图所示）。 （1）沿着运动场边缘跑一圈，能跑多少米？ （2）如果给运动场内部都铺上草坪，草坪的面积是多少平方米？ 30．如图，已知四边形是一个正方形，空白三角形的面积是56平方厘米，ED长是7厘米，求阴影部分面积。 31．如下图所示，把三角形DBE沿线段AC折叠，得到一个多边形DACEFBG，这个多边形的面积与原三角形面积的比是5：7，已知右下图中阴影部分的面积为120平方厘米，求原来三角形的面积是多少？ 32．利用圆规和三角尺，先画出一个直径为6厘米的大圆，再把直径分成3等份，就可以画出这个美丽的图案。请求出阴影部分的面积。 33．为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。 （1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（    ）方向上，距离是（    ）米；B点在（    ）°方向上。 （2）绿植区域的图形共有（    ）条对称轴。绿植区域的面积是（    ）平方米。 （3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。 请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 35 圆及组合图形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、圆的认识。 .......................................................... 4 二、圆的特征。 .......................................................... 5 三、圆的画法。 .......................................................... 5 四、圆周率及周长。 ...................................................... 5 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 ...................................... 5 六、圆环。 .............................................................. 6 七、扇形。 .............................................................. 6 八、组合图形的面积。 .................................................... 6 第三部分典例精讲 ............................................................7 【考点一】圆的概念及特点 ....................................................7 【考点二】圆的轴对称图形 ....................................................8 【考点三】圆的周长的计算 ....................................................8 【考点四】圆的面积的计算 ....................................................9 【考点五】求最大面积 .......................................................10 【考点六】圆环的面积 .......................................................10 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 ...........................................11 【考点八】扇形的周长和面积 .................................................12 【考点九】含圆的组合图形的周长 .............................................13 【考点十】含圆的组合图形的面积 .............................................14 【考点十一】阴影部分的周长或面积 ...........................................15 【考点十二】画圆或扇形 .....................................................15 【考点十三】圆的周长的应用 .................................................17 4 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点十四】圆的面积的应用 .................................................17 第四部分真题专练 ...........................................................18 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、圆的认识。 1、圆中心的一点叫作圆心，圆心通常用字母 O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆 的半径，半径通常用字母 r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，直径通常 用字母 d 表示。 5 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 二、圆的特征。 1、在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。 2、在同一个圆里，直径等于半径的 2倍，半径等于直径的 2 1 。用字母表示为 d=2r，r= 2 d 。 3、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 4、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴。 三、圆的画法。 1、根据圆心到圆上任意一点的距离(半径)都相等，我们可以用圆规来画圆。 (1)把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即定半径)。 (2)把有针尖的一端固定在一点上(即定圆心)。 (3)把装有笔的一端旋转一周，就画出了一个圆。 四、圆周率及周长。 1、圆的周长与直径的比值叫作圆周率，圆周率用π表示。π的值是一个无限不循环小数， 计算时一般取近似值 3.14。 2、圆的周长 (1)一个圆一周的长度叫作圆的周长。 (2)圆的周长一直径 x圆周率=2x 半径 x圆周率 如果用 C表示圆的周长，用 d表示圆的直径，用 r表示圆的半径，那么圆的周长的计算公式是 C=πd=2πr。 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 1、把圆沿着半径分成若干等份(偶数份)，拼成一个近似的长方形。 6 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 观察发现：近似长方形的长是圆周长的一半，用πr表示；宽是圆的半径，用 r表示因为长方 形的面积一长 x宽，所以圆的面积计算公式用含有字母的式子表示为 S=πr2。 六、圆环。 1、两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫作圆环。下图中的涂色部分就是一 个圆环。我们通常把较大的圆叫作外圆，半径用 R表示；较小的圆叫作内圆半径用 r表示。 2、圆环面积=外圆面积-内圆面积 若用S表示圆环面积，则圆环的面积计算公式用含有字母的式子表示为S=πR2-πr2=π(R2-r2)。 七、扇形。 1、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。下图中的涂色部分就是一个 扇形。圆上 A、B两点之间的曲线部分叫作弧，读作“弧 AB”。像∠AOB 这样，顶点在圆心的 角叫作圆心角。 2、在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小相关。扇形的圆心角是多少度，其 面积就是相同半径的圆面积的三百六十分之多少，即扇形的圆心角为 n°时 S 扇形=n°÷360°×πr2. 八、组合图形的面积。 1、组合图形的定义。 由两种或两种以上的图形组合而成的图形叫作组合图形。 2、组合图形面积的计算。 计算组合图形的面积，可以把组合图形分解成几个已学过的简单图形，也可以通过平移、割补 7 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 等方法把不规则图形转化为规则图形，再计算。 3、估算不规则图形的面积。 在方格纸中，不规则图形的面积可以通过数方格来估算，先数整格，再数半格，不满一格的按 半格算；如果它接近规则图形，还可以将它看成规则图形，利用面积公式估算。 第三部分典例精讲 【考点一】圆的概念及特点 【典例一】 都是由（ ）围成的平面图形， 是由（ ） 围成的平面图形。 【典例二】如图，以点 O为圆心的圆内，三角形 ABO 一定是等腰三角形，作出这个判断的依据 是（ ）。 【典例三】一个正方形的周长是 24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画 一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【典例四】如图有（ ）条对称轴，如果每个圆的直径都是 x厘米，那么长方形的面积 是（ ）平方厘米。 8 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】圆的轴对称图形 【典例一】正方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ） 条对称轴。 【典例二】如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ） 条对称轴。 【考点三】圆的周长的计算 【典例一】把一个圆柱的侧面沿高剪开得到一个正方形，这个圆柱的半径是 2厘米，高是 （ ）厘米。 【典例二】下图中的圆和长方形面积相等，那么圆的周长是（ ）厘米。 9 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是 12.56dm，高是 5dm，至少需要（ ） dm2铁皮。 【典例四】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加 1厘米，它的侧面积就增加 6.28 平方 厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ） 立方厘米。 【考点四】圆的面积的计算 【典例一】一个圆柱的底面周长是 37.68cm，高是 5cm，这个圆柱的底面直径是（ ）cm， 底面积是（ ）cm2。 【典例二】陈师傅用两种方法（如图），把一根长 20dm、底面半径是 2dm 的圆柱形木料平均 截成两部分。第（ ）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（ ） dm2。 10 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】在长为 8厘米、面积为 32 平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面 积是（ ）平方厘米。 【考点五】求最大面积 【典例一】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是 4米，能洒到的草地面积是 （ ）平方米。 【典例二】长方形的长和宽分别是 a分米、b分米（a、b是不同的自然数），如果长方形的周 长是 200 分米，那么长方形的面积最大是（ ）平方分米。 【考点六】圆环的面积 【典例一】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部 分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 11 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】如图，阴影部分的面积是 12cm2，图中圆环形的面积是（ ）cm2。（结果保 留π） 【典例三】某小区内靠墙有一个半圆形的水池（如图）。现在要沿着水池外边用地砖铺一条宽 1米的小路，需要（ ）平方米的地砖。（结果保留π） 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 【典例一】钟面上，分针从 12 起，走过 25 分钟，它所经过的部分可以看作（ ）形， 圆心角是（ ）度。 12 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】如图中涂色部分是（ ），图上 A、B两点间的曲线是（ ），∠1 是这个圆的（ ）。 【典例三】这 4 个扇形的半径都是（ ）厘米，它们的圆心角度数的和是（ ）°。 【考点八】扇形的周长和面积 【典例一】下图是一个残破的钟面，它所在的完整钟面的面积是 314 平方厘米。这个残破钟面 的周长是（ ）厘米。 【典例二】如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是 4厘米，图中涂色 部分的面积是（ ）平方厘米。 13 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】一把扇子展开后如图 1，量得这把扇子的相关数据如图 2。展开后的这把扇子周长 是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【考点九】含圆的组合图形的周长 【典例一】计算图形的周长。 【典例二】求出下面阴影部分的周长。 14 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】求图形中阴影部分的周长和面积。 【考点十】含圆的组合图形的面积 【典例一】计算这颗“爱心”的周长和面积。 【典例二】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 15 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点十一】阴影部分的周长或面积 【典例一】计算下面图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm） 【典例二】计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 【考点十二】画圆或扇形 【典例一】画一个半径 1厘米的圆，再画一条直径，并垂直于直径画一条半径。 【典例二】画一个半径是 1厘米的圆，并在图上用O、d 、 r 分别标出圆的圆心、直径和半径。 16 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 并在其中画一个圆心角是 120°的扇形。 【典例三】操作。 （1）在如图方格纸中，画出按 3∶1放大后的直角梯形。 （2）在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形。 （3）如果如图中小方格的边长表示 1厘米，那么扇形面积是（ ）平方厘米。 【典例四】一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只 有 1条对称轴。 17 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点十三】圆的周长的应用 【典例一】为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明 同学准备把一根侧面积为 75.36 平方厘米，高为 6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀 螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【典例二】将一堆底面直径是 6米、高是 1米的圆锥形沙子填入底面周长是 12.56 米的圆柱形 坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【典例三】如图：王大妈用 25.12 米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多 少平方米？ 【考点十四】圆的面积的应用 【典例一】在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个 圆环，圆柱的底面半径是 12 厘米，高是 10 厘米，帽沿的宽度是 12 厘米。这个帽子需要多少 编制材料？（花边忽略不计） 18 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长 100 厘米，宽 20 厘米的长方形，两侧是 半圆形，如图 1所示。这张餐桌完全展开后，如图 2所示，桌面的面积有多大？（ 取 3.14） 【典例三】一只挂钟的时针长 5厘米，分针长 8厘米，从上午 8时到下午 2时，分针尖端“走 了”多少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 第四部分真题专练 一、填空题 1．在一张周长 20 分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是（ ）平方 分米。 19 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2． 上图每个小方格面积表示 1cm2。 图形 A的面积是（ ）cm2；图形 B的面积是（ ）cm2；图形 C的面积大约是 （ ）cm2。 3．下图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（ π取 3.14） 4．如图，王丽从一个长为 16 厘米，宽为 12 厘米的长方形纸片上剪下一个三角形，纸片剩下 部分的面积是（ ）平方厘米。 5．小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周 长是（ ）cm（π取 3）。 6．一个圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为 12.56 厘米，宽为 6厘米，则这个圆柱的底面 积为（ ）平方厘米，体积为（ ）立方厘米。 7．丰都恒都体育场标准跑道的最内圈长 400m，每条跑道标准宽度均为 1.25m。进行 400m 赛跑 时（同终点线），相邻两条跑道之间的起点线应该间隔（ ）m。（圆周率取 3.14） 20 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 8．一个时钟的时针长 10 厘米，一昼夜这个时针的针尖走了（ ）厘米，时针扫过的面 积是（ ）平方厘米。 9．在长为 8厘米、面积为 32 平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是 （ ）平方厘米。 10．在如图所示（A，B ，C 三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在（ ） 区域的可能性最大（填A或 B 或C ）。 二、选择题 11．下面图形中，对称轴最多的是（ ）。 A．长方形 B．正方形 C．等边三角形 D．圆 12．下列图形中，（ ）的对称轴条数最多。 A． B． C． D． 13．生活中，经常把一些同样大小的啤酒瓶用绳子捆扎在一起。如图甲、乙两种捆扎方式，需 用绳子的长度比较（接头处不计），正确的是（ ）。 A．一样长 B．甲长 C．乙长 D．无法比较 14．一张长方形纸长 12 厘米，宽 8厘米，在这张长方形的纸中剪一个最大的圆，这个圆的面 积是（ ）平方厘米。 A．113.04 B．50.24 C．96 D．45.76 15．笑笑用 16 分米长的铁丝做成（ ）的面积最大。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 16．下图阴影部分的面积是（ ） 2cm 。 21 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 A．87.92 B．21.98 C．6.28 D．314 17．如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是（ ）。 A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 18．下列图中是圆心角的是（ ）。 A． B． C． D． 19．如图：r＝3分米，这个扇形的面积是（ ）平方分米。 A．28.26 B．9.42 C．7.065 D．4.71 20．在一个长是 4厘米，宽是 2厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是（ ）。 A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 三、计算题 21．求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1） （2） 22 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 22．求图中阴影部分的面积。（π取 3.14） 四、操作题 23．根据要求画一画，算一算。 （1）把①号图形按3 :1的比例放大画在方格中。 （2）画出②号三角形 ABC 绕 A点逆时针旋转90后的图形。 （3）算出②号三角形中线段 AB 在旋转过程中所扫过的面积。 五、解答题 24．按要求使用作图工具规范作图和计算。在长 4cm、宽 2cm 的长方形内画一个最大的半圆， 半圆的周长是（ ）cm。 23 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 25．本月某小学开展了“聚力强军梦，喜迎二十大”，欢庆“六一”军事体验主题爱国主义教 育活动，其中有一项射击项目如图，教官用 9.42 米长的彩绳靠墙角围了一个最大的靶场（如 图所示），便于同学们射击，这个靶场的面积是多少平方米？ 26．一只挂钟的时针长 5厘米，分针长 8厘米，从上午 8时到下午 2时，分针尖端“走了”多 少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 27．下图中正方形的边长是 6厘米，分别以正方形的边长为半径和直径，作扇形、圆，求阴影 部分的面积。（π取 3.14） 24 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 28．一个圆形花坛的周长是 25.12 米，花坛周围有一条宽 1米的环形水泥路，如图，这条环形 水泥路的面积是多少平方米？ 29．体育馆新运动场（如图所示）。 （1）沿着运动场边缘跑一圈，能跑多少米？ （2）如果给运动场内部都铺上草坪，草坪的面积是多少平方米？ 30．如图，已知四边形是一个正方形，空白三角形的面积是 56 平方厘米，ED 长是 7厘米，求 阴影部分面积。 25 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 31．如下图所示，把三角形 DBE 沿线段 AC 折叠，得到一个多边形 DACEFBG，这个多边形的面 积与原三角形面积的比是 5：7，已知右下图中阴影部分的面积为 120 平方厘米，求原来三角 形的面积是多少？ 32．利用圆规和三角尺，先画出一个直径为 6厘米的大圆，再把直径分成 3等份，就可以画出 这个美丽的图案。请求出阴影部分的面积。 26 / 26 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 33．为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋 公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是 4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。 （1）以正方形中心 O点为观测点，A点在正（ ）方向上，距离是（ ）米；B点在（ ）° 方向上。 （2）绿植区域的图形共有（ ）条对称轴。绿植区域的面积是（ ）平方米。 （3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。 请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并 将绿植区域涂上阴影。 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题35 圆及组合图形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、圆的认识。 4 二、圆的特征。 5 三、圆的画法。 5 四、圆周率及周长。 5 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 5 六、圆环。 6 七、扇形。 6 八、组合图形的面积。 6 第三部分典例精讲 7 【考点一】圆的概念及特点 7 【考点二】圆的轴对称图形 8 【考点三】圆的周长的计算 9 【考点四】圆的面积的计算 12 【考点五】求最大面积 13 【考点六】圆环的面积 14 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 16 【考点八】扇形的周长和面积 17 【考点九】含圆的组合图形的周长 19 【考点十】含圆的组合图形的面积 21 【考点十一】阴影部分的周长或面积 22 【考点十二】画圆或扇形 24 【考点十三】圆的周长的应用 27 【考点十四】圆的面积的应用 29 第四部分真题专练 31 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、圆的认识。 1、圆中心的一点叫作圆心，圆心通常用字母 O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆的半径，半径通常用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，直径通常用字母 d 表示。 二、圆的特征。 1、在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。 2、在同一个圆里，直径等于半径的2倍，半径等于直径的。用字母表示为 d=2r，r=。 3、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 4、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴。 三、圆的画法。 1、根据圆心到圆上任意一点的距离(半径)都相等，我们可以用圆规来画圆。 (1)把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即定半径)。 (2)把有针尖的一端固定在一点上(即定圆心)。 (3)把装有笔的一端旋转一周，就画出了一个圆。 四、圆周率及周长。 1、圆的周长与直径的比值叫作圆周率，圆周率用π表示。π的值是一个无限不循环小数， 计算时一般取近似值 3.14。 2、圆的周长 (1)一个圆一周的长度叫作圆的周长。 (2)圆的周长一直径x圆周率=2x半径x圆周率 如果用C表示圆的周长，用d表示圆的直径，用r表示圆的半径，那么圆的周长的计算公式是C=πd=2πr。 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 1、把圆沿着半径分成若干等份(偶数份)，拼成一个近似的长方形。 观察发现：近似长方形的长是圆周长的一半，用πr表示；宽是圆的半径，用r表示因为长方形的面积一长x宽，所以圆的面积计算公式用含有字母的式子表示为 S=πr2。 六、圆环。 1、两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫作圆环。下图中的涂色部分就是一个圆环。我们通常把较大的圆叫作外圆，半径用R表示；较小的圆叫作内圆半径用r表示。 2、圆环面积=外圆面积-内圆面积 若用S表示圆环面积，则圆环的面积计算公式用含有字母的式子表示为S=πR2-πr2=π(R2-r2)。 七、扇形。 1、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。下图中的涂色部分就是一个扇形。圆上 A、B两点之间的曲线部分叫作弧，读作“弧 AB”。像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫作圆心角。 2、在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小相关。扇形的圆心角是多少度，其面积就是相同半径的圆面积的三百六十分之多少，即扇形的圆心角为 n°时 S扇形=n°÷360°×πr2. 八、组合图形的面积。 1、组合图形的定义。 由两种或两种以上的图形组合而成的图形叫作组合图形。 2、组合图形面积的计算。 计算组合图形的面积，可以把组合图形分解成几个已学过的简单图形，也可以通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，再计算。 3、估算不规则图形的面积。 在方格纸中，不规则图形的面积可以通过数方格来估算，先数整格，再数半格，不满一格的按半格算；如果它接近规则图形，还可以将它看成规则图形，利用面积公式估算。 第三部分典例精讲 【考点一】圆的概念及特点 【典例一】都是由（ ）围成的平面图形，是由（ ）围成的平面图形。 【答案】线段 曲线 【分析】多边形都是由线段围成的平面图形，有顶点；圆是由曲线围成的平面图形，没有顶点，据此解答。 【解答】 都是由线段围成的平面图形，是由曲线围成的平面图形。 【典例二】如图，以点O为圆心的圆内，三角形ABO一定是等腰三角形，作出这个判断的依据是（ ）。 【答案】OA和OB都是圆的半径，同一个圆的半径相等 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形。同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。据此解答。 【解答】从图中可知：线段OA和线段OB都是圆的半径，同一个圆的半径相等，所以三角形一定是等腰三角形。 【典例三】一个正方形的周长是24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【答案】6 3 【分析】已知正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4的逆运算，可用周长除以4得到边长，在正方形中画一个最大的圆，则圆的直径等于正方形的边长，又根据半径等于直径除以2，计算即可得解。 【解答】（cm） （cm） 一个正方形的周长是24cm，则它的边长是6cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是3cm。 【典例四】如图有（ ）条对称轴，如果每个圆的直径都是x厘米，那么长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】2 2x2 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答； 观察图形可知，长方形的长等于圆的直径×2，长方形的宽等于圆的直径，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此求出长方形面积。 【解答】如图： ，有2条对称轴。 面积：2x×x＝2x2（平方厘米） 有2条对称轴，如果每个圆的直径都是x厘米，那么长方形的面积是2x2平方厘米。 【考点二】圆的轴对称图形 【典例一】正方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ）条对称轴。 【答案】4 无数 1 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。据此根据平面图形的特点确定对称轴的数量。 【解答】根据分析，作图如下： 正方形有4条条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有1条对称轴。 【典例二】如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条对称轴。 【答案】3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【解答】第一个图形有5条对称轴； 第二个图形有3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第3个图形，有无数条对称轴。 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 【考点三】圆的周长的计算 【典例一】把一个圆柱的侧面沿高剪开得到一个正方形，这个圆柱的半径是2厘米，高是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】 由图可知，剪开之后圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长，利用“”求出圆柱的底面周长即可。 【解答】2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 所以，这个圆柱的高是12.56厘米。 【典例二】下图中的圆和长方形面积相等，那么圆的周长是（ ）厘米。 【答案】40 【分析】据图可知，长方形的宽等于圆的半径，据此可以设圆的半径是r厘米，根据长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝πr2列出方程3.14×r2＝20r，进一步解方程求出r，最后根据圆的周长＝2πr代入数据求出圆的周长即可。 【解答】解：设圆的半径是r厘米。 3.14×r2＝20r 3.14×r2÷r＝20r÷r 3.14×r＝20 r＝20÷3.14 r＝ 2××3.14 ＝×3.14 ＝40（厘米） 圆和长方形面积相等，那么圆的周长是40厘米。 【典例三】做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是12.56dm，高是5dm，至少需要（ ）dm2铁皮。 【答案】75.36 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出水桶底面半径；求需要铁皮的面积，就是求这个无盖圆柱形水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） 3.14×22＋12.56×5 ＝3.14×4＋12.56×5 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（dm2） 做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是12.56dm，高是5dm，至少需要75.36dm2铁皮。 【典例四】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加1厘米，它的侧面积就增加6.28平方厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】6.28 3.14 19.7192 【分析】根据圆柱侧面积公式S＝Ch，高增加1厘米侧面积增加6.28平方厘米，增加的侧面积就是底面周长乘增加的高，所以用增加的侧面积除以增加的高就能得到底面周长； 已知底面周长，由圆的周长公式C＝2πr可推出半径r＝C÷π÷2，算出半径后，再代入圆的面积公式S＝πr2就能求出底面积； 已知底面周长和高相等，得到高的值后，根据圆柱体积公式V＝Sh ，把求出的底面积和高代入公式，即可算出原来圆柱的体积。 【解答】6.28÷1＝6.28（厘米） 所以圆柱的底面周长是6.28厘米； 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 所以圆柱的底面积是3.14平方厘米； 6.28×3.14＝19.7192（立方厘米） 所以圆柱的体积是19.7192立方厘米。 【考点四】圆的面积的计算 【典例一】一个圆柱的底面周长是37.68cm，高是5cm，这个圆柱的底面直径是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【答案】12 113.04 【分析】圆的周长C＝πd＝2πr，据此用37.68除以3.14可以求出这个圆柱的底面直径；用底面直径除以2求出底面半径，再根据圆的面积S＝πr2，代入数据计算即可求出圆柱的底面积。 【解答】37.68÷3.14＝12（cm） 3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 则这个圆柱的底面直径是12cm，底面积是113.04cm2。 【典例二】陈师傅用两种方法（如图），把一根长20dm、底面半径是2dm的圆柱形木料平均截成两部分。第（ ）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（ ）dm2。 【答案】② 160 【分析】第①种截法：表面积比原来圆柱增加圆柱的2个底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个底面积，再乘2，即是增加的表面积； 第②种截法：表面积比原来圆柱增加了两个切面的面积，每个切面是一个长为圆柱的高，宽为圆柱的底面直径的长方形，根据长方形的面积S＝ab，求出一个切面的面积，再乘2即是增加的表面积； 比较两种截法增加的表面积，得出哪种截面增加的表面积最大。 【解答】第①种截法表面积增加： 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（dm2） 第②种截法表面积增加：2×2×20×2＝160（dm2） 160＞12.56 第（②）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（160）dm2。 【典例三】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】25.12 【分析】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝（r是半圆的半径）可以得知半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。 【解答】长方形的宽：32÷8＝4（厘米） 半圆的直径：4×2＝8（厘米） 则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 【考点五】求最大面积 【典例一】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是（ ）平方米。 【答案】50.24 【分析】由题意可知，能洒到的草地面积就是半径为4米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【解答】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 则能洒到的草地面积是50.24平方米。 【点评】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 【典例二】长方形的长和宽分别是a分米、b分米（a、b是不同的自然数），如果长方形的周长是200分米，那么长方形的面积最大是（ ）平方分米。 【答案】2499 【分析】先依据长方形的周长公式求出长和宽的和，又因a、b是不同的自然数，当长和宽的值越接近，其面积就越大，进而利用长方形的面积公式即可求解。 【解答】200÷2＝100（分米） 因a、b是不同的自然数，当长为51分米，宽为49分米时，面积最大。 即为：51×49＝2499（平方分米） 【点评】解答此题的主要依据是：当周长一定时，长和宽的值越接近于相等，长方形的面积就越大，反之，面积就越小。 【考点六】圆环的面积 【典例一】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【答案】1884 【分析】观察图形，这顶帽子的上面是圆柱形，圆柱形所需布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出上面圆柱形部分所用布的面积； 帽檐部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出帽檐部分所用布的面积； 然后把圆柱形部分所用布的面积加上帽檐部分所用布的面积，求出做这顶帽子一共用布的面积。 【解答】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 上面圆柱形的表面积： 3.14×20×10＋3.14×102 ＝3.14×20×10＋3.14×100 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 帽檐部分的面积： 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 一共：942＋942＝1884（平方厘米） 做这顶帽子一共用布1884平方厘米。 【典例二】如图，阴影部分的面积是12cm2，图中圆环形的面积是（ ）cm2。（结果保留π） 【答案】12π 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积；大正方形的边长等于大圆的半径R，小正方形的边长等于小圆的半径r，根据正方形的面积公式S＝a2可知，阴影部分的面积＝R2－r2，则R2－r2＝12； 根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2），把R2－r2＝12代入公式中，即可求出圆环的面积。 【解答】π×12＝12π（cm2） 图中圆环形的面积是（12π）cm2。 【典例三】某小区内靠墙有一个半圆形的水池（如图）。现在要沿着水池外边用地砖铺一条宽1米的小路，需要（ ）平方米的地砖。（结果保留π） 【答案】9.5π 【分析】求小路需要多少平方米的地砖，就是求小路的面积，也就是求半圆环的面积； 从图中可知，内圆的半径是18÷2＝9m，那么外圆的半径是9＋1＝10m；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆环的面积，再除以2，即是小路的面积。 【解答】18÷2＝9（m） 9＋1＝10（m） π×（102－92）÷2 ＝π×（100－81）÷2 ＝π×19÷2 ＝9.5π 需要9.5π平方米的地砖。 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 【典例一】钟面上，分针从12起，走过25分钟，它所经过的部分可以看作（ ）形，圆心角是（ ）度。 【答案】扇 150 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形是扇形，分针相当于圆的半径，钟面一个大格是30度，分钟每过一个大格是5分钟；从12起走过25分钟，分钟走了25÷5＝5个大格，用30×5，求出圆心角，据此解答。 【解答】25÷5＝5（格） 30×5＝150（度） 钟面上，分针从12起，走过25分钟，它所经过的部分可以看作扇形，圆心角是150度。 【典例二】如图中涂色部分是（ ），图上A、B两点间的曲线是（ ），∠1是这个圆的（ ）。 【答案】扇形 弧 圆心角 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。顶点在圆心的角，叫做圆心角。 【解答】如图中涂色部分是扇形，图上A、B两点间的曲线是弧，∠1是这个圆的圆心角。 【典例三】这4个扇形的半径都是（ ）厘米，它们的圆心角度数的和是（ ）°。    【答案】4.5 360 【分析】由图可知，两个半径组成正方形的边长，用边长除以2即可求出半径长度；4个扇形的圆心角都是正方形的角，即都是90°，据此求解即可。 【解答】9÷2＝4.5（厘米） 90°×4＝360° 即这4个扇形的半径都是4.5厘米，它们的圆心角度数的和是360°。 【点评】本题考查对扇形半径和圆心角的理解。 【考点八】扇形的周长和面积 【典例一】下图是一个残破的钟面，它所在的完整钟面的面积是314平方厘米。这个残破钟面的周长是（ ）厘米。 【答案】35.7 【分析】看图可知，这个残破的钟面是完整钟面的，根据圆的面积÷圆周率＝半径的平方，确定钟面半径，这个残破钟面的周长＝2×圆周率×半径×＋半径×2。 【解答】314÷3.14＝100＝102 2×3.14×10×＋10×2 ＝62.8×＋20 ＝15.7＋20 ＝35.7（厘米） 这个残破钟面的周长是35.7厘米。 【典例二】如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是4厘米，图中涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】25.12 【分析】三角形的内角和为180°，180°占360°的，三个圆的半径相等，则三个涂色部分合在一起是一个圆心角为180°，半径为2厘米的扇形，扇形的面积等于整个圆面积的一半，利用“”求出圆的面积，再乘求出阴影部分得面积，据此解答。 【解答】3.14×42× ＝3.14×16× ＝25.12（平方厘米） 所以涂色部分的面积是25.12平方厘米。 【典例三】一把扇子展开后如图1，量得这把扇子的相关数据如图2。展开后的这把扇子周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】122.8 942 【分析】圆周长＝2πr，圆面积＝πr2。这是个圆心角为120°的扇形，将120°除以360°，求出这个扇形是对应圆的几分之几。根据圆的周长公式求出圆的周长，再乘扇形弧长对应的分率，求出弧长，再将弧长加上两条半径，求出扇形的周长。根据圆的面积公式求出圆的面积，再乘扇形面积对应的分率，求出扇形的面积。 【解答】120°÷360°＝ 2×3.14×30×＋30×2 ＝62.8＋60 ＝122.8（厘米） 3.14×302× ＝3.14×900× ＝942（平方厘米） 所以，展开后的这把扇子周长是122.8厘米，面积是942平方厘米。 【点评】本题考查了扇形的周长和面积，解题关键是找到扇形和对应圆的关系，再根据圆的周长和面积公式先求出圆的周长和面积，最后再转化成扇形的周长和面积。 【考点九】含圆的组合图形的周长 【典例一】计算图形的周长。 【答案】35.7cm 【分析】看图可知，图形左右各是一个四分之一圆，合起来正好是一个半圆。圆周长＝2πr，据此先求出半径为5cm圆的周长，再除以2，求出半圆的弧长。将半圆的弧长，再加上4段长度为5cm的线段，即可求出组合图形的周长。 【解答】2×3.14×5÷2＋5×4 ＝15.7＋20 ＝35.7（cm） 所以，这个组合图形的周长是35.7cm。 【典例二】求出下面阴影部分的周长。 【答案】87.92厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝直径是28厘米的圆的周长的一半＋直径是（28÷2）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×28÷2＋3.14×（28÷2） ＝87.92÷2＋3.14×14 ＝43.96＋43.96 ＝87.92（厘米） 阴影部分周长是87.92厘米。 【典例三】求图形中阴影部分的周长和面积。 【答案】周长：18.71厘米；面积：13.935平方厘米 【分析】通过观察图形可知，长方形的长是7厘米，长方形的宽等于圆的半径，阴影部分的周长等于长方形的周长减去两条半径的长度，再加上半径是3厘米的圆周长的，也就是阴影部分的周长等于2个7厘米加上半径是3厘米的圆周长的；阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆面积的，根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】周长：7×2＋2×3.14×3× ＝14＋18.84× ＝14＋4.71 ＝18.71（厘米） 面积：7×3－3.14×32× ＝21－3.14×9× ＝21－7.065 ＝13.935（平方厘米） 【考点十】含圆的组合图形的面积 【典例一】计算这颗“爱心”的周长和面积。 【答案】20.56cm；28.56cm2 【分析】由图可知，这个“爱心”是由2个半圆和1个正方形组成。圆的直径为4 cm，正方边长也为4 cm。周长包含2个半圆的弧和正方形的2条边长。2个半圆弧组成一个完整的圆的周长，根据圆的周长公式求出，再加上2条边长即可。“爱心”的面积包含2个半圆的面积和1个正方形面积。2个半圆组成1个完整的圆。根据圆的面积公式求出圆的面积，再加上正方形面积即可。 【解答】周长：4×2＋3.14×4 ＝8＋12.56 ＝ 20.56（cm） 面积：4×4＋3.14×（4÷2）2 ＝16＋3.14×22 ＝16＋3.14×4 ＝16＋12.56 ＝28.56（cm2） 【典例二】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】42平方厘米 【分析】将图中左边部分的阴影部分进行转移，如图 所示，阴影部分的面积就是一个下底为8厘米 、上底为6厘米、高为6厘米的梯形梯形的面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入公式计算即可。 【解答】（6＋8）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方厘米） 【考点十一】阴影部分的周长或面积 【典例一】计算下面图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm）             【答案】（1）周长：37.68cm；面积：25.12cm2；（2）周长：12.56cm；面积：2.28cm2 【分析】（1）该图形涂色部分的周长等于直径为（4＋8）cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，据此计算即可；该图形涂色部分的面积等于直径为（4＋8）cm圆的面积的一半分别减去直径是4cm和8cm的圆的面积的一半，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可； （2）该图形的涂色部分的周长等于两个直径是2cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，据此计算即可；如图：空白部分①＋空白部分②的面积等于正方形面积的一半减去直径为2cm的圆的面积的一半，进而求出原图中4个空白部分的面积，则涂色部分的面积等于正方形的面积减去4个空白部分的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【解答】（1）周长：3.14×（4＋8） ＝3.14×12 ＝37.68（cm） 面积：（4＋8）÷2 ＝12÷2 ＝6（cm） ＝ ＝ ＝56.52－6.28－25.12 ＝50.24－25.12 （cm2） （2）周长：3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（cm） 面积：如图所示： 2×2÷2－3.14×（2÷2）2÷2 ＝2×2÷2－3.14×12÷2 ＝2×2÷2－3.14×1÷2 ＝2－1.57 ＝0.43（cm2） 0.43×4＝1.72（cm2） 2×2－1.72 ＝4－1.72 ＝2.28（cm2） 【典例二】计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）    【答案】25.12厘米；32平方厘米 【分析】如下图：阴影部分的周长等于半径为4厘米的圆的周长；阴影部分可以转化成一个长为（4＋4）厘米，宽为4厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。    【解答】周长：2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（厘米） 面积：（4＋4）×4 ＝8×4 ＝32（平方厘米） 阴影部分的周长为25.12厘米，面积为32平方厘米。 【考点十二】画圆或扇形 【典例一】画一个半径1厘米的圆，再画一条直径，并垂直于直径画一条半径。 【答案】见详解 【分析】圆规两脚张开1厘米，先画出一个半径是1厘米的圆；用直尺过圆心画一条直线，确保两端延伸至圆周，这条线段即为直径；最后用直角三角尺一边与直径重合，另一边经过圆心画直线，圆心到圆上的距离就是半径；据此画图即可。 【解答】 【典例二】画一个半径是1厘米的圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。并在其中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以1厘米为半径，即可画出这个圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。因为圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为120°的扇形即可。 【解答】以点O为圆心，以1厘米为半径，画圆如下：    【点评】本题考查圆和扇形的画法，先确定圆心的位置，再确定半径，明确圆规两脚间的距离等于圆的半径。 【典例三】操作。 （1）在如图方格纸中，画出按3∶1放大后的直角梯形。 （2）在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形。 （3）如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么扇形面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）（2）见详解； （3）7.065（答案不唯一） 【分析】①根据图形放大的意义，放大后的图形各边长的长度是原图形对应线段长的3倍，画出放大后的图形。 ②找梯形的一个顶点作为圆心，半径的长度是梯形的高，根据圆心位置和半径长度画出扇形即可（答案不唯一）； ③扇形的面积是半径为3厘米的圆的，圆的面积，据此求出扇形面积即可（答案不唯一）。 【解答】（1）如图所示： （2）如图所示： （扇形画法不唯一）； （3）32×3.14× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 所以扇形面积是7.065平方厘米。（答案不唯一） 【点评】本题考查图形的放大、扇形，掌握图形放大和缩小的方法和扇形的面积求法是解题的关键。 【典例四】一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只有1条对称轴。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此找出三个角的点，再根据长方形的特征可知，找出第四个点，画出长方形； （2）长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，据此在长方形内画一个圆，要求这个组合图形只有1条对称轴，则这个圆不能画在正中间。 【解答】（1）如图： （2）如图： 【考点十三】圆的周长的应用 【典例一】为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】已知圆柱形木头的侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米，根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，可知C＝S侧÷h，据此求出圆柱的底面周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出圆柱的底面半径； 把这根圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺，那么圆锥形陀螺与圆柱形木头等底等高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形陀螺的体积。 【解答】圆柱的底面周长： 75.36÷6＝12.56（厘米） 圆柱的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆锥的体积： ×3.14×22×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方厘米） 答：削成的圆锥形陀螺的体积是25.12立方厘米。 【典例二】将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【答案】0.75米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径是6米、高是1米，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积； 把这堆沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平，那么沙子的体积不变； 先根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱形坑的底面半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形坑的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱形坑的高度。 【解答】沙子的体积： ×3.14×（6÷2）2×1 ＝×3.14×32×1 ＝×3.14×9×1 ＝9.42（立方米） 圆柱形坑的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆柱形坑的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 圆柱形坑的高： 9.42÷12.56＝0.75（米） 答：这个圆柱形坑的高度约是0.75米。 【典例三】如图：王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】100.48平方米 【分析】王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，所以圆周长的一半是25.12米，根据圆的周长的一半＝r，用25.12除以，求出半圆的半径，再根据半圆的面积＝÷2进行解答即可。 【解答】25.12÷3.14＝8（米） 3.14×÷2 ＝3.14×64÷2 ＝200.96÷2 ＝100.48（平方米） 答：这块菜地的面积是100.48平方米。 【考点十四】圆的面积的应用 【典例一】在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，圆柱的底面半径是12厘米，高是10厘米，帽沿的宽度是12厘米。这个帽子需要多少编制材料？（花边忽略不计） 【答案】2562.24平方厘米 【分析】布料的面积＝半径是12厘米的圆的面积＋底面的半径是12厘米，高是10厘米的圆柱的侧面积＋内半径12厘米，外半径（12＋12）厘米的圆环面积，利用圆的面积公式S＝πr2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆环的面积公式S＝（R2－r2）π，由此列式计算即可。 【解答】3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 3.14×2×12×10 ＝6.28×12×10 ＝75.36×10 ＝753.6（平方厘米） 12＋12＝24（厘米） （242－122）×3.14 ＝（576－144）×3.14 ＝432×3.14 ＝1356.48 452.16＋753.6＋1356.48 ＝1205.76＋1356.48 ＝2562.24（平方厘米） 答：这个帽子需要2562.24平方厘米编制材料。 【典例二】王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？（取3.14） 【答案】9850平方厘米 【分析】这个桌面的面积＝两个半圆形的面积＋中间长方形的面积；根据圆的面积＝πr2，长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，即可解答。 【解答】3.14×（100÷2）2÷2×2＋100×20 ＝3.14×502÷2×2＋2000 ＝3.14×2500÷2×2＋2000 ＝7850÷2×2＋2000 ＝3925×2＋2000 ＝7850＋2000 ＝9850（平方厘米） 答：桌面的面积有9850平方厘米。 【典例三】一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”多少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 【答案】分针尖端“走了”301.44厘米，时针“扫过”了39.25平方厘米 【分析】上午8时＝8时，下午2时＝14时，14时－8时＝6（小时），从上午8时到下午2时， 6小时分针旋转了6周；时针旋转了6个数字，即一个圆的，也就是。即分针尖端走的路程是6个半径为8厘米的圆的周长；时针“扫过”的面积是半径为5厘米的圆面积的一半，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出一周的周长，再乘6就是分针尖端走的路程；根据圆的面积＝圆周率×半径的平方求出半径是5厘米的圆的面积，再除以2就是时针“扫过”的面积。 【解答】上午8时＝8时，下午2时＝14时 14时－8时＝6（小时） 6小时分针旋转了6周；时针旋转了6个数字，即一个圆的，也就是圆面积的一半。 3.14×8×2 ＝25.12×2 ＝50.24（厘米） 50.24×6＝301.44（厘米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 答：分针尖端“走了”301.44厘米，时针“扫过”了39.25平方厘米。 第四部分真题专练 一、填空题 1．在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是（ ）平方分米。 【答案】5.375 【分析】周长20分米的正方形的边长是5分米，则这个最大的圆的直径就是5分米，据此利用圆的面积公式求出这个最大的圆的面积，再用正方形的面积减去圆的面积即可。 【解答】20÷4＝5（分米） 5×5－3.14×（5÷2）2 ＝25－3.14×6.25 ＝25－19.625 ＝5.375（平方分米） 剩余部分的面积是5.375平方分米。 【点评】解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积的和或差求得，再利用面积公式计算即可解答问题。 2． 上图每个小方格面积表示1cm2。 图形A的面积是（ ）cm2；图形B的面积是（ ）cm2；图形C的面积大约是（ ）cm2。 【答案】5 9 10 【分析】首先要看清图形所占方格的个数，然后用每个方格的面积乘个数即可。 【解答】图1：整格有3个，不满整格4个，因为每个小方格的面积表示1cm2，不满整格的按半格计算，所以3＋4÷2＝5（cm2）； 图2：整格有4个，不满整格10个，因为每个小方格的面积表示1cm2，不满整格的按半格计算，所以4＋10÷2＝9（cm2）； 图3：整格有5个，不满整格10个，因为每个小方格的面积表示1cm2，不满整格的按半格计算，所以5＋10÷2＝10（cm2）； 【点评】解答此题，要注意认真分析图形，弄清图形所占的方格数是解答此题的关键。 3．下图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（取3.14） 【答案】10.26 【分析】把正方形拆成两个三角形，三角形的底边是圆的直径，高是圆的半径，一个三角形的面积＝底×高÷2＝圆的直径×圆的半径÷2。那么正方形的面积＝三角形的面积×2。圆的面积＝。阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。从图上已知正方形的对角线为6厘米，圆的直径为6厘米。 【解答】一个三角形的面积：6×（6÷2）÷2 ＝6×3÷2 ＝9（平方厘米） 正方形的面积：9×2＝18（平方厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 28.26－18＝10.26（平方厘米） 4．如图，王丽从一个长为16厘米，宽为12厘米的长方形纸片上剪下一个三角形，纸片剩下部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】180 【分析】观察图形可知，剪下的三角形是一个直角三角形，其中一条直角边长16－12＝4（厘米），另一条直角边长12－6＝6（厘米），剩下部分的面积＝长方形的面积－三角形的面积，据此解答。 【解答】16×12－（16－12）×（12－6）÷2 ＝192－4×6÷2 ＝192－12 ＝180（平方厘米） 纸片剩下部分的面积是180平方厘米。 【点评】此题考查了组合图形的面积计算，找出剪下的三角形的底和高的长度是解题关键。 5．小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是（ ）cm（π取3）。 【答案】10 【分析】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直径）的长。先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再加上1条直径的长。 【解答】3×4÷2＋4 ＝12÷2＋4 ＝6＋4 ＝10（cm） 所以新组合的图形的周长是10cm。 【点评】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半＋1条直径（2条半径）的长。 6．一个圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为12.56厘米，宽为6厘米，则这个圆柱的底面积为（ ）平方厘米，体积为（ ）立方厘米。 【答案】12.56 75.36 【分析】圆柱的侧面展开图为长方形，长方形的长相当于圆柱的底面圆周长，宽相当于圆柱的高。底面积：圆的周长＝π×直径，用长方形的长除以π，可以得到直径；直径除以2得到半径；根据圆的面积＝πr2，可求得底面积；再根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入即可求得。 【解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 体积：12.56×6＝75.36（立方厘米） 所以，这个圆柱的底面积为12.56平方厘米，体积为75.36立方厘米。 7．丰都恒都体育场标准跑道的最内圈长400m，每条跑道标准宽度均为1.25m。进行400m赛跑时（同终点线），相邻两条跑道之间的起点线应该间隔（ ）m。（圆周率取3.14） 【答案】7.85 【分析】分析题目，相邻两条跑道的直径差＝跑道的宽度×2，则相邻两条跑道起跑线相差的距离＝3.14×相邻两条跑道的直径差，据此列式计算即可。 【解答】3.14×（1.25×2） ＝3.14×2.5 ＝7.85（m） 丰都恒都体育场标准跑道的最内圈长400m，每条跑道标准宽度均为1.25m。进行400m赛跑时（同终点线），相邻两条跑道之间的起点线应该间隔7.85m。（圆周率取3.14） 8．一个时钟的时针长10厘米，一昼夜这个时针的针尖走了（ ）厘米，时针扫过的面积是（ ）平方厘米。 【答案】125.6 628 【分析】钟面上时针转一圈是12小时，一昼夜是24小时，时针转两圈，时针长就是所转圆的半径； 根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再乘2，即是一昼夜这个时针的针尖走的路程。 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，再乘2，即是一昼夜这个时针扫过的面积。 【解答】2×3.14×10×2 ＝62.8×2 ＝125.6（厘米） 3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（平方厘米） 一昼夜这个时针的针尖走了125.6厘米，时针扫过的面积是628平方厘米。 9．在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】25.12 【分析】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝（r是半圆的半径）可以得知半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。 【解答】长方形的宽：32÷8＝4（厘米） 半圆的直径：4×2＝8（厘米） 则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 10．在如图所示（，，三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在（ ）区域的可能性最大（填或或）。 【答案】A 【分析】可能性大小，就是情况出现的概率，根据题意，哪个区域的面积大，豆子落在哪个区域的可能性大，反之就越小；根据圆的面积公式S＝πr2，圆环的面积公式S＝π（R2－r2），分别求出，，三个区的面积，比较即可。 【解答】SC：22×π＝4π； SB：π（42－22）＝12π； SA：π（62－42）＝20π； 所以SA＞SB＞SC 因为区域的面积大于区域的面积大于区域的面积，所以豆子落在区域的可能性大。 二、选择题 11．下面图形中，对称轴最多的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等边三角形 D．圆 【答案】D 【分析】轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可。 【解答】 A．长方形有2条对称轴； B．正方形有4条对称轴； C．等边三角形有3条对称轴； D．圆有无数条对称轴。 上面图形中，对称轴最多的是圆，有无数条对称轴。 故答案为：D 12．下列图形中，（    ）的对称轴条数最多。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依此选择即可。 【解答】 A．有无数条对称轴。 B．有3条对称轴。 C．有2条对称轴。 D．有4条对称轴。 所以，对称轴条数最多的是。 故答案为：A 13．生活中，经常把一些同样大小的啤酒瓶用绳子捆扎在一起。如图甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较（接头处不计），正确的是（    ）。 A．一样长 B．甲长 C．乙长 D．无法比较 【答案】C 【分析】观察图形可知，甲捆扎方式用绳子的长度＝圆的周长＋4条直径，乙捆扎方式用绳子的长度＝圆的周长＋6条直径；根据圆的周长公式C＝πd解答。 【解答】设啤酒瓶底面圆的直径为d。 甲图：πd＋d×4＝πd＋4d 乙图：πd＋d×6＝πd＋6d πd＋4d＜πd＋6d 甲＜乙 即甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较，乙长。 故答案为：C 14．一张长方形纸长12厘米，宽8厘米，在这张长方形的纸中剪一个最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．113.04 B．50.24 C．96 D．45.76 【答案】B 【分析】在这张长方形的纸中剪一个最大的圆，则这个圆的直径等于长方形纸的宽，也就是8厘米；再根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，即可解答。 【解答】3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 因此这个圆的面积是50.24平方厘米。 故答案为：B 15．笑笑用16分米长的铁丝做成（    ）的面积最大。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】D 【分析】平面图形中当周长相等时，越接近圆，面积就越大。 【解答】据分析，四个选项的面积大小排序是正三角形＜长方形＜正方形＜圆 故答案为：D 16．下图阴影部分的面积是（    ）。 A．87.92 B．21.98 C．6.28 D．314 【答案】B 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积就是圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【解答】3.14×[（8÷2）2－（6÷2）2] ＝3.14×[16－9] ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 则阴影部分的面积是21.98cm2。 故答案为：B 【点评】本题考查圆环的面积，熟记公式是解题的关键。 17．如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是（ ）。 A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 【答案】A 18．下列图中是圆心角的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角；据此解答即可。 【解答】根据圆心角的含义可知：在所给的四个选项中，只有是圆心角。 故答案为：C 【点评】此题主要考查了圆心角的含义，掌握圆心角的含义是解题关键。 19．如图：r＝3分米，这个扇形的面积是（    ）平方分米。    A．28.26 B．9.42 C．7.065 D．4.71 【答案】D 【分析】一个圆360°，题中扇形部分的圆心角是60°，占整个圆面积的60÷360＝，先根据圆面积公式S＝πr2，求出整个圆面积，再根据分数乘法意义求出扇形面积即可。 【解答】60÷360＝ 根据分析，扇形的面积是： 3.14×3×3× ＝28.26× ＝4.71（平方分米） 故答案为：D 【点评】此题主要考查扇形面积计算，关键是掌握圆面积公式。 20．在一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）。 A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 【答案】A 【分析】在一个长4厘米、宽是2厘米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的直径和长方形的宽相等时，这个圆最大。 【解答】2÷2＝1（厘米） 故答案为：A 【点评】只有所画的圆的直径和长方形的宽相等时，画出的圆最大。 三、计算题 21．求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）     （2） 【答案】（1）21.87平方厘米 （2）392.5平方厘米 【分析】（1）阴影部分的面积等于边长是6厘米的正方形的面积减去直径为6厘米的半圆的面积；根据正方形的面积＝边长×边长、半圆的面积S＝πr2÷2，代入相关数据计算即可。 （2）阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【解答】（1）6×6－3.14×（6÷2）2÷2 ＝36－3.14×32÷2 ＝36－3.14×9÷2 ＝36－14.13 ＝21.87（平方厘米） 阴影部分的面积是21.87平方厘米。 （2）3.14×（152－102） ＝3.14×（225－100） ＝3.14×125 ＝392.5（平方厘米） 阴影部分的面积是392.5平方厘米。 22．求图中阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】6cm2 【分析】如下图，把上方的两个阴影移补到箭头所示的空白处，这样阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【解答】2＋2＝4（cm） （4＋6）×2÷2－4×2÷2 ＝10×2÷2－4×2÷2 ＝10－4 ＝6（cm2） 阴影部分的面积是6cm2。 四、操作题 23．根据要求画一画，算一算。 （1）把①号图形按的比例放大画在方格中。 （2）画出②号三角形绕A点逆时针旋转后的图形。 （3）算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积。 【答案】（1）（2）见详解；（3）12.56cm2 【分析】（1）把①号图形按照3∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的3倍；先计算出三角形①的底边和对应的高放大到原来的3倍后的长度，再依次连接，据此作图。 （2）作旋转后的图形步骤：以A点为旋转中心，找出构成三角形的关键点，分别作出各关键点绕A点逆时针旋转90°的对应点，顺次连接旋转后的关键点即可。 （3）三角形ABC在旋转过程中，线段AB所扫过的面积相当于一个以AB边为半径的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】（1）①号图形的底边：2×3＝6（cm） 底边上的高：2×3＝6（cm） （1）（2）如图所示： （3）AB＝4cm （cm2） 因此②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积为12.56cm2。 五、解答题 24．按要求使用作图工具规范作图和计算。在长4cm、宽2cm的长方形内画一个最大的半圆，半圆的周长是（        ）cm。 【答案】见详解；10.28 【分析】根据题意可知，在这个长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长，以长边的中点为圆心，以2厘米为半径画出这个半圆即可。 根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【解答】如图： 3.14×4÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 这个半圆的周长是10.28cm。 【点评】本题考查在长方形内画一个最大的半圆，以及半圆周长的求法。 25．本月某小学开展了“聚力强军梦，喜迎二十大”，欢庆“六一”军事体验主题爱国主义教育活动，其中有一项射击项目如图，教官用9.42米长的彩绳靠墙角围了一个最大的靶场（如图所示），便于同学们射击，这个靶场的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】通过观察图形，该圆周长的是9.42米，据此可以求出该圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此可以求出该圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出这个圆面积的即可。 【解答】9.42×4÷3.14÷2 ＝37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 3.14×62÷4 ＝3.14×36÷4 ＝113.04÷4 ＝28.26（平方米） 答：这个靶场的面积是28.26平方米。 26．一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”多少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 【答案】分针尖端“走了”301.44厘米，时针“扫过”了39.25平方厘米 【分析】上午8时＝8时，下午2时＝14时，14时－8时＝6（小时），从上午8时到下午2时， 6小时分针旋转了6周；时针旋转了6个数字，即一个圆的，也就是。即分针尖端走的路程是6个半径为8厘米的圆的周长；时针“扫过”的面积是半径为5厘米的圆面积的一半，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出一周的周长，再乘6就是分针尖端走的路程；根据圆的面积＝圆周率×半径的平方求出半径是5厘米的圆的面积，再除以2就是时针“扫过”的面积。 【解答】上午8时＝8时，下午2时＝14时 14时－8时＝6（小时） 6小时分针旋转了6周；时针旋转了6个数字，即一个圆的，也就是圆面积的一半。 3.14×8×2 ＝25.12×2 ＝50.24（厘米） 50.24×6＝301.44（厘米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 答：分针尖端“走了”301.44厘米，时针“扫过”了39.25平方厘米。 27．下图中正方形的边长是6厘米，分别以正方形的边长为半径和直径，作扇形、圆，求阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】11.61平方厘米 【分析】 如图所示，在一个正方形里面有一个最大的圆，这个圆的直径是这个正方形的边长。可以观察发现正方形减去圆，剩下正方形四个角上一模一样的图形（S1），每一个S1的面积＝（正方形的面积－圆的面积）÷4，根据正方形的面积＝边长×边长、圆的面积＝计算出一个S1的面积；根据各部分之间的关系，可知阴影部分的面积＝（正方形的面积－半径是6厘米圆的面积－S1）×2，据此代入数值计算即可。 【解答】6×6＝36（平方厘米） （平方厘米） S1面积：（36－28.26）÷4 ＝7.74÷4 ＝1.935（平方厘米） 阴影部分面积：（36－－1.935）×2 ＝（36－28.26－1.935）×2 ＝5.805×2 ＝11.61（平方厘米） 答：阴影部分的面积为11.61平方厘米。 【点评】找出如何得出阴影部分面积的方法，再利用基础图形的公式计算。 28．一个圆形花坛的周长是25.12米，花坛周围有一条宽1米的环形水泥路，如图，这条环形水泥路的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆形花坛的半径；求环形水泥路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【解答】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 1＋4＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这条环形水泥路的面积是28.26平方米。 【点评】熟练掌握圆的周长公式和圆环的面积公式是解答本题的关键。 29．体育馆新运动场（如图所示）。 （1）沿着运动场边缘跑一圈，能跑多少米？ （2）如果给运动场内部都铺上草坪，草坪的面积是多少平方米？ 【答案】（1）365.6米 （2）6056平方米 【分析】（1）求沿着运动场边缘跑一圈，能跑多少米，就是求运动场的周长；观察图形可知，运动场的周长＝直径为40米的圆的周长＋两条120米的直跑道，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算即可。 （2）求草坪的面积，就是求运动场的面积；观察图形可知，运动场的面积＝直径为40米的圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算即可。 【解答】（1）3.14×40＋120×2 ＝125.6＋240 ＝365.6（米） 答：能跑365.6米。 （2）3.14×（40÷2）2＋120×40 ＝3.14×400＋4800 ＝1256＋4800 ＝6056（平方米） 答：草坪的面积是6056平方米。 【点评】本题考查圆的周长、圆的面积、长方形的面积公式的灵活运用。 30．如图，已知四边形是一个正方形，空白三角形的面积是56平方厘米，ED长是7厘米，求阴影部分面积。 【答案】200平方厘米 【分析】由图可知，空白三角形的底是7厘米，高是正方形的边长，根据“三角形的高＝三角形的面积×2÷三角形的底”求出正方形的边长，阴影部分的面积＝正方形的面积－空白三角形的面积。 【解答】正方形的边长：56×2÷7 ＝112÷7 ＝16（厘米） 阴影部分的面积：16×16－56 ＝256－56 ＝200（平方厘米） 答：阴影部分的面积是200平方厘米。 【点评】灵活运用三角形的面积公式求出正方形的边长是解答题目的关键。 31．如下图所示，把三角形DBE沿线段AC折叠，得到一个多边形DACEFBG，这个多边形的面积与原三角形面积的比是5：7，已知右下图中阴影部分的面积为120平方厘米，求原来三角形的面积是多少？ 【答案】280平方厘米 【分析】观察图形可知，形成的多边形的面积比原来三角形的面积减少一个重叠部分的面积，所以重叠部分的面积就是原来三角形面积的（7－5）÷7＝，阴影部分的面积和是120平方厘米，所对应的是1－2×，用除法就可以求出原来三角形的面积。 【解答】120÷[1－（7－5）÷7×2] ＝120÷[1－] ＝120÷ ＝280（平方厘米） 答：原来三角形的面积是280平方厘米。 【点评】解决本题的关键是“多边形的面积比原来三角形的面积减少一个重叠部分的面积”，120平方厘米是原来三角形的面积减去2个重叠部分的面积。 32．利用圆规和三角尺，先画出一个直径为6厘米的大圆，再把直径分成3等份，就可以画出这个美丽的图案。请求出阴影部分的面积。 【答案】18.84平方厘米 【分析】通过观察可知，空白部分的面积等于半径是（6÷3）厘米的圆的面积，减去半径是（6÷3÷2）厘米的圆的面积； 阴影部分的面积是半径是（6÷2）厘米的圆的面积减去空白部分的面积，根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据解答即可。 【解答】6÷3＝2（厘米） 6÷3÷2＝1（厘米） 空白部分的面积： 3.14×22－3.14×12 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方厘米） 阴影部分的面积： 3.14×（6÷2）2－9.42 ＝3.14×32－9.42 ＝3.14×9－9.42 ＝28.26－9.42 ＝18.84（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18.84平方厘米。 33．为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。 （1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（    ）方向上，距离是（    ）米；B点在（    ）°方向上。 （2）绿植区域的图形共有（    ）条对称轴。绿植区域的面积是（    ）平方米。 （3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。 请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。 【答案】（1）北；10；东偏北45； （2）4；86； （3）见详解 【分析】（1）根据图上确定方向的方法：上北下南，左西右东，结合图示确定各点的位置，以正方形的中心点为观测点，A点在正北方向，距离为正方形边长的一半，即20÷2＝10（米），根据正方形的特点，以A点为观测点，根据方向和角度确定B点的位置，可得B点在东偏北45°方向上，据此解答即可。 （2）绿植部分的面积等于正方形面积减掉以20米为直径的圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，以及圆的面积公式：S＝r2，计算其面积即可。根据图形的特点可知，它有4条对称轴。 （3）根据图形的特点，设计在正方形中去掉一个以正方形边长为直径的圆，作为绿植区域即可。 【解答】（1）20÷2＝10（米） 即以正方形中心O为观测点，A在正北方向上，距离是10米；B在东偏北45度方向上。 （2）20×20－3.14×（20÷2）2 ＝400－3.14×102 ＝400－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方米） 即绿植区域共有4条对称轴，它的面积是86平方米。 （3）如图： 【点评】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 35 圆及组合图形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、圆的认识。 .......................................................... 4 二、圆的特征。 .......................................................... 5 三、圆的画法。 .......................................................... 5 四、圆周率及周长。 ...................................................... 5 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 ...................................... 5 六、圆环。 .............................................................. 6 七、扇形。 .............................................................. 6 八、组合图形的面积。 .................................................... 6 第三部分典例精讲 ............................................................7 【考点一】圆的概念及特点 ....................................................7 【考点二】圆的轴对称图形 ....................................................8 【考点三】圆的周长的计算 ....................................................9 【考点四】圆的面积的计算 ...................................................12 【考点五】求最大面积 .......................................................13 【考点六】圆环的面积 .......................................................14 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 ...........................................16 【考点八】扇形的周长和面积 .................................................17 【考点九】含圆的组合图形的周长 .............................................19 【考点十】含圆的组合图形的面积 .............................................21 【考点十一】阴影部分的周长或面积 ...........................................22 【考点十二】画圆或扇形 .....................................................24 【考点十三】圆的周长的应用 .................................................27 4 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点十四】圆的面积的应用 .................................................29 第四部分真题专练 ...........................................................31 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、圆的认识。 1、圆中心的一点叫作圆心，圆心通常用字母 O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆 的半径，半径通常用字母 r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，直径通常 用字母 d 表示。 5 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 二、圆的特征。 1、在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。 2、在同一个圆里，直径等于半径的 2倍，半径等于直径的 2 1 。用字母表示为 d=2r，r= 2 d 。 3、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 4、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴。 三、圆的画法。 1、根据圆心到圆上任意一点的距离(半径)都相等，我们可以用圆规来画圆。 (1)把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即定半径)。 (2)把有针尖的一端固定在一点上(即定圆心)。 (3)把装有笔的一端旋转一周，就画出了一个圆。 四、圆周率及周长。 1、圆的周长与直径的比值叫作圆周率，圆周率用π表示。π的值是一个无限不循环小数， 计算时一般取近似值 3.14。 2、圆的周长 (1)一个圆一周的长度叫作圆的周长。 (2)圆的周长一直径 x圆周率=2x 半径 x圆周率 如果用 C表示圆的周长，用 d表示圆的直径，用 r表示圆的半径，那么圆的周长的计算公式是 C=πd=2πr。 五、圆的面积计算公式及其推导过程。 1、把圆沿着半径分成若干等份(偶数份)，拼成一个近似的长方形。 6 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 观察发现：近似长方形的长是圆周长的一半，用πr表示；宽是圆的半径，用 r表示因为长方 形的面积一长 x宽，所以圆的面积计算公式用含有字母的式子表示为 S=πr2。 六、圆环。 1、两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫作圆环。下图中的涂色部分就是一 个圆环。我们通常把较大的圆叫作外圆，半径用 R表示；较小的圆叫作内圆半径用 r表示。 2、圆环面积=外圆面积-内圆面积 若用S表示圆环面积，则圆环的面积计算公式用含有字母的式子表示为S=πR2-πr2=π(R2-r2)。 七、扇形。 1、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。下图中的涂色部分就是一个 扇形。圆上 A、B两点之间的曲线部分叫作弧，读作“弧 AB”。像∠AOB 这样，顶点在圆心的 角叫作圆心角。 2、在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小相关。扇形的圆心角是多少度，其 面积就是相同半径的圆面积的三百六十分之多少，即扇形的圆心角为 n°时 S 扇形=n°÷360°×πr2. 八、组合图形的面积。 1、组合图形的定义。 由两种或两种以上的图形组合而成的图形叫作组合图形。 2、组合图形面积的计算。 计算组合图形的面积，可以把组合图形分解成几个已学过的简单图形，也可以通过平移、割补 7 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 等方法把不规则图形转化为规则图形，再计算。 3、估算不规则图形的面积。 在方格纸中，不规则图形的面积可以通过数方格来估算，先数整格，再数半格，不满一格的按 半格算；如果它接近规则图形，还可以将它看成规则图形，利用面积公式估算。 第三部分典例精讲 【考点一】圆的概念及特点 【典例一】 都是由（ ）围成的平面图形， 是由（ ） 围成的平面图形。 【答案】线段 曲线 【分析】多边形都是由线段围成的平面图形，有顶点；圆是由曲线围成的平面图形，没有顶点， 据此解答。 【解答】 都是由线段围成的平面图形， 是由曲线围成的平面图形。 【典例二】如图，以点 O为圆心的圆内，三角形 ABO 一定是等腰三角形，作出这个判断的依据 是（ ）。 【答案】OA 和 OB 都是圆的半径，同一个圆的半径相等 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形。同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都 相等。据此解答。 【解答】从图中可知：线段 OA 和线段 OB 都是圆的半径，同一个圆的半径相等，所以三角形一 定是等腰三角形。 【典例三】一个正方形的周长是 24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画 一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【答案】6 3 8 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】已知正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4的逆运算，可用周长除以 4得到边 长，在正方形中画一个最大的圆，则圆的直径等于正方形的边长，又根据半径等于直径除以 2， 计算即可得解。 【解答】24 4 6  （cm） 6 2 3  （cm） 一个正方形的周长是 24cm，则它的边长是 6cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半 径是 3cm。 【典例四】如图有（ ）条对称轴，如果每个圆的直径都是 x厘米，那么长方形的面积 是（ ）平方厘米。 【答案】2 2x2 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样 的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答； 观察图形可知，长方形的长等于圆的直径×2，长方形的宽等于圆的直径，根据长方形面积公 式：面积＝长×宽，据此求出长方形面积。 【解答】如图： ，有 2条对称轴。 面积：2x×x＝2x2（平方厘米） 有 2条对称轴，如果每个圆的直径都是 x厘米，那么长方形的面积是 2x2平方厘米。 【考点二】圆的轴对称图形 【典例一】正方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ） 条对称轴。 【答案】4 无数 1 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合 的图形。据此根据平面图形的特点确定对称轴的数量。 9 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】根据分析，作图如下： 正方形有 4条条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有 1条对称轴。 【典例二】如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ） 条对称轴。 【答案】3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【解答】 第一个图形有 5条对称轴； 第二个图形有 3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第 3个图形，有无数条对称轴。 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 【考点三】圆的周长的计算 【典例一】把一个圆柱的侧面沿高剪开得到一个正方形，这个圆柱的半径是 2厘米，高是 （ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】 10 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 由图可知，剪开之后圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长， 利用“C 2 r圆形 ”求出圆柱的底面周长即可。 【解答】2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 所以，这个圆柱的高是 12.56 厘米。 【典例二】下图中的圆和长方形面积相等，那么圆的周长是（ ）厘米。 【答案】40 【分析】据图可知，长方形的宽等于圆的半径，据此可以设圆的半径是 r厘米，根据长方形的 面积＝长×宽，圆的面积＝πr2列出方程 3.14×r2＝20r，进一步解方程求出 r，最后根据圆 的周长＝2πr代入数据求出圆的周长即可。 【解答】解：设圆的半径是 r厘米。 3.14×r2＝20r 3.14×r2÷r＝20r÷r 3.14×r＝20 r＝20÷3.14 r＝ 1000 157 2× 1000 157 ×3.14 ＝ 2000 157 ×3.14 ＝40（厘米） 圆和长方形面积相等，那么圆的周长是 40 厘米。 【典例三】做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是 12.56dm，高是 5dm，至少需要（ ） 11 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 dm2铁皮。 【答案】75.36 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出水桶 底面半径；求需要铁皮的面积，就是求这个无盖圆柱形水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式： 表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） 3.14×22＋12.56×5 ＝3.14×4＋12.56×5 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（dm2） 做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是 12.56dm，高是 5dm，至少需要 75.36dm2铁皮。 【典例四】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加 1厘米，它的侧面积就增加 6.28 平方 厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ） 立方厘米。 【答案】6.28 3.14 19.7192 【分析】根据圆柱侧面积公式 S＝Ch，高增加 1厘米侧面积增加 6.28 平方厘米，增加的侧面 积就是底面周长乘增加的高，所以用增加的侧面积除以增加的高就能得到底面周长； 已知底面周长，由圆的周长公式 C＝2πr可推出半径 r＝C÷π÷2，算出半径后，再代入圆的 面积公式 S＝πr2就能求出底面积； 已知底面周长和高相等，得到高的值后，根据圆柱体积公式 V＝Sh ，把求出的底面积和高代 入公式，即可算出原来圆柱的体积。 【解答】6.28÷1＝6.28（厘米） 所以圆柱的底面周长是 6.28 厘米； 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14×12 12 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 所以圆柱的底面积是 3.14 平方厘米； 6.28×3.14＝19.7192（立方厘米） 所以圆柱的体积是 19.7192 立方厘米。 【考点四】圆的面积的计算 【典例一】一个圆柱的底面周长是 37.68cm，高是 5cm，这个圆柱的底面直径是（ ）cm， 底面积是（ ）cm2。 【答案】12 113.04 【分析】圆的周长 C＝πd＝2πr，据此用 37.68 除以 3.14 可以求出这个圆柱的底面直径；用 底面直径除以 2求出底面半径，再根据圆的面积 S＝πr2，代入数据计算即可求出圆柱的底面 积。 【解答】37.68÷3.14＝12（cm） 3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 则这个圆柱的底面直径是 12cm，底面积是 113.04cm2。 【典例二】陈师傅用两种方法（如图），把一根长 20dm、底面半径是 2dm 的圆柱形木料平均 截成两部分。第（ ）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（ ） dm2。 【答案】② 160 【分析】第①种截法：表面积比原来圆柱增加圆柱的 2个底面积，根据圆的面积公式 S＝πr2， 求出一个底面积，再乘 2，即是增加的表面积； 第②种截法：表面积比原来圆柱增加了两个切面的面积，每个切面是一个长为圆柱的高，宽为 圆柱的底面直径的长方形，根据长方形的面积 S＝ab，求出一个切面的面积，再乘 2即是增加 13 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 的表面积； 比较两种截法增加的表面积，得出哪种截面增加的表面积最大。 【解答】第①种截法表面积增加： 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（dm2） 第②种截法表面积增加：2×2×20×2＝160（dm2） 160＞12.56 第（②）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（160）dm2。 【典例三】在长为 8厘米、面积为 32 平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面 积是（ ）平方厘米。 【答案】25.12 【分析】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝ 2 2 r （r是半圆的半径）可以得知 半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的 直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是 8厘米、面 积为 32 平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据 半圆的面积公式可以求半圆的面积。 【解答】长方形的宽：32÷8＝4（厘米） 半圆的直径：4×2＝8（厘米） 则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 【考点五】求最大面积 【典例一】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是 4米，能洒到的草地面积是 （ ）平方米。 【答案】50.24 【分析】由题意可知，能洒到的草地面积就是半径为 4米的圆的面积，根据圆的面积公式：S 14 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝πr2，据此计算即可。 【解答】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 则能洒到的草地面积是 50.24 平方米。 【点评】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 【典例二】长方形的长和宽分别是 a分米、b分米（a、b是不同的自然数），如果长方形的周 长是 200 分米，那么长方形的面积最大是（ ）平方分米。 【答案】2499 【分析】先依据长方形的周长公式求出长和宽的和，又因 a、b是不同的自然数，当长和宽的 值越接近，其面积就越大，进而利用长方形的面积公式即可求解。 【解答】200÷2＝100（分米） 因 a、b是不同的自然数，当长为 51 分米，宽为 49 分米时，面积最大。 即为：51×49＝2499（平方分米） 【点评】解答此题的主要依据是：当周长一定时，长和宽的值越接近于相等，长方形的面积就 越大，反之，面积就越小。 【考点六】圆环的面积 【典例一】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部 分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【答案】1884 【分析】观察图形，这顶帽子的上面是圆柱形，圆柱形所需布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的 底面积，根据圆柱的侧面积公式 S 侧＝πdh，圆柱的底面积公式 S＝πr 2，代入数据计算，求出 上面圆柱形部分所用布的面积； 帽檐部分是一个圆环，根据圆环的面积公式 S 环＝π（R 2－r2），代入数据计算，求出帽檐部分 所用布的面积； 15 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 然后把圆柱形部分所用布的面积加上帽檐部分所用布的面积，求出做这顶帽子一共用布的面积。 【解答】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 上面圆柱形的表面积： 3.14×20×10＋3.14×102 ＝3.14×20×10＋3.14×100 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 帽檐部分的面积： 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 一共：942＋942＝1884（平方厘米） 做这顶帽子一共用布 1884 平方厘米。 【典例二】如图，阴影部分的面积是 12cm2，图中圆环形的面积是（ ）cm2。（结果保 留π） 【答案】12π 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积；大正方形的边 长等于大圆的半径 R，小正方形的边长等于小圆的半径 r，根据正方形的面积公式 S＝a2可知， 阴影部分的面积＝R2－r2，则 R2－r2＝12； 根据圆环的面积公式 S＝π（R2－r2），把 R2－r2＝12 代入公式中，即可求出圆环的面积。 【解答】π×12＝12π（cm2） 图中圆环形的面积是（12π）cm2。 【典例三】某小区内靠墙有一个半圆形的水池（如图）。现在要沿着水池外边用地砖铺一条宽 16 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 1 米的小路，需要（ ）平方米的地砖。（结果保留π） 【答案】9.5π 【分析】求小路需要多少平方米的地砖，就是求小路的面积，也就是求半圆环的面积； 从图中可知，内圆的半径是 18÷2＝9m，那么外圆的半径是 9＋1＝10m；根据圆环的面积公式 S 环＝π（R 2－r2），求出圆环的面积，再除以 2，即是小路的面积。 【解答】18÷2＝9（m） 9＋1＝10（m） π×（102－92）÷2 ＝π×（100－81）÷2 ＝π×19÷2 ＝9.5π 需要 9.5π平方米的地砖。 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 【典例一】钟面上，分针从 12 起，走过 25 分钟，它所经过的部分可以看作（ ）形， 圆心角是（ ）度。 【答案】扇 150 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形是扇形，分针相当于 圆的半径，钟面一个大格是 30 度，分钟每过一个大格是 5分钟；从 12 起走过 25 分钟，分钟 走了 25÷5＝5 个大格，用 30×5，求出圆心角，据此解答。 【解答】25÷5＝5（格） 30×5＝150（度） 钟面上，分针从 12 起，走过 25 分钟，它所经过的部分可以看作扇形，圆心角是 150 度。 【典例二】如图中涂色部分是（ ），图上 A、B两点间的曲线是（ ），∠1 是这个圆的（ ）。 17 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】扇形 弧 圆心角 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。顶点在圆心的角，叫做圆 心角。 【解答】如图中涂色部分是扇形，图上 A、B两点间的曲线是弧，∠1是这个圆的圆心角。 【典例三】这 4 个扇形的半径都是（ ）厘米，它们的圆心角度数的和是（ ）°。 【答案】4.5 360 【分析】由图可知，两个半径组成正方形的边长，用边长除以 2即可求出半径长度；4个扇形 的圆心角都是正方形的角，即都是 90°，据此求解即可。 【解答】9÷2＝4.5（厘米） 90°×4＝360° 即这 4个扇形的半径都是 4.5 厘米，它们的圆心角度数的和是 360°。 【点评】本题考查对扇形半径和圆心角的理解。 【考点八】扇形的周长和面积 【典例一】下图是一个残破的钟面，它所在的完整钟面的面积是 314 平方厘米。这个残破钟面 的周长是（ ）厘米。 【答案】35.7 【分析】看图可知，这个残破的钟面是完整钟面的 1 4，根据圆的面积÷圆周率＝半径的平方， 18 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 确定钟面半径，这个残破钟面的周长＝2×圆周率×半径× 1 4＋半径×2。 【解答】314÷3.14＝100＝102 2×3.14×10× 1 4＋10×2 ＝62.8× 1 4＋20 ＝15.7＋20 ＝35.7（厘米） 这个残破钟面的周长是 35.7 厘米。 【典例二】如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是 4厘米，图中涂色 部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】25.12 【分析】三角形的内角和为 180°，180°占 360°的 1 2 ，三个圆的半径相等，则三个涂色部分 合在一起是一个圆心角为 180°，半径为 2厘米的扇形，扇形的面积等于整个圆面积的一半， 利用“ 2S r ”求出圆的面积，再乘 1 2 求出阴影部分得面积，据此解答。 【解答】3.14×42× 180 360 ＝3.14×16× 1 2 ＝25.12（平方厘米） 所以涂色部分的面积是 25.12 平方厘米。 【典例三】一把扇子展开后如图 1，量得这把扇子的相关数据如图 2。展开后的这把扇子周长 是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 19 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】122.8 942 【分析】圆周长＝2πr，圆面积＝πr2。这是个圆心角为 120°的扇形，将 120°除以 360°， 求出这个扇形是对应圆的几分之几。根据圆的周长公式求出圆的周长，再乘扇形弧长对应的分 率，求出弧长，再将弧长加上两条半径，求出扇形的周长。根据圆的面积公式求出圆的面积， 再乘扇形面积对应的分率，求出扇形的面积。 【解答】120°÷360°＝ 1 3 2×3.14×30× 1 3＋30×2 ＝62.8＋60 ＝122.8（厘米） 3.14×302× 1 3 ＝3.14×900× 1 3 ＝942（平方厘米） 所以，展开后的这把扇子周长是 122.8 厘米，面积是 942 平方厘米。 【点评】本题考查了扇形的周长和面积，解题关键是找到扇形和对应圆的关系，再根据圆的周 长和面积公式先求出圆的周长和面积，最后再转化成扇形的周长和面积。 【考点九】含圆的组合图形的周长 【典例一】计算图形的周长。 【答案】35.7cm 【分析】看图可知，图形左右各是一个四分之一圆，合起来正好是一个半圆。圆周长＝2πr， 据此先求出半径为 5cm 圆的周长，再除以 2，求出半圆的弧长。将半圆的弧长，再加上 4 段长 度为 5cm 的线段，即可求出组合图形的周长。 【解答】2×3.14×5÷2＋5×4 ＝15.7＋20 ＝35.7（cm） 所以，这个组合图形的周长是 35.7cm。 20 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】求出下面阴影部分的周长。 【答案】87.92 厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝直径是 28 厘米的圆的周长的一半＋直径是（28÷2） 厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×28÷2＋3.14×（28÷2） ＝87.92÷2＋3.14×14 ＝43.96＋43.96 ＝87.92（厘米） 阴影部分周长是 87.92 厘米。 【典例三】求图形中阴影部分的周长和面积。 【答案】周长：18.71 厘米；面积：13.935 平方厘米 【分析】通过观察图形可知，长方形的长是 7厘米，长方形的宽等于圆的半径，阴影部分的周 长等于长方形的周长减去两条半径的长度，再加上半径是 3厘米的圆周长的 1 4，也就是阴影部 分的周长等于 2个 7厘米加上半径是 3厘米的圆周长的 1 4；阴影部分的面积等于长方形的面积 减去圆面积的 1 4，根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式： S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】周长：7×2＋2×3.14×3× 1 4 ＝14＋18.84× 1 4 ＝14＋4.71 ＝18.71（厘米） 面积：7×3－3.14×32× 1 4 21 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝21－3.14×9× 1 4 ＝21－7.065 ＝13.935（平方厘米） 【考点十】含圆的组合图形的面积 【典例一】计算这颗“爱心”的周长和面积。 【答案】20.56cm；28.56cm2 【分析】由图可知，这个“爱心”是由 2个半圆和 1个正方形组成。圆的直径为 4 cm，正方 边长也为 4 cm。周长包含 2个半圆的弧和正方形的 2条边长。2个半圆弧组成一个完整的圆的 周长，根据圆的周长公式 C πd求出，再加上 2条边长即可。“爱心”的面积包含 2个半圆的 面积和 1个正方形面积。2个半圆组成 1个完整的圆。根据圆的面积公式 2πS r 求出圆的面积， 再加上正方形面积即可。 【解答】周长：4×2＋3.14×4 ＝8＋12.56 ＝ 20.56（cm） 面积：4×4＋3.14×（4÷2）2 ＝16＋3.14×22 ＝16＋3.14×4 ＝16＋12.56 ＝28.56（cm2） 【典例二】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】42 平方厘米 22 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】将图中左边部分的阴影部分进行转移，如图 所示， 阴影部分的面积就是一个下底为 8厘米 、上底为 6厘米、高为 6厘米的梯形梯形的面积，梯 形面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入公式计算即可。 【解答】（6＋8）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方厘米） 【考点十一】阴影部分的周长或面积 【典例一】计算下面图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】（1）周长：37.68cm；面积：25.12cm2；（2）周长：12.56cm；面积：2.28cm2 【分析】（1）该图形涂色部分的周长等于直径为（4＋8）cm 的圆的周长，根据圆的周长公式： C＝πd，据此计算即可；该图形涂色部分的面积等于直径为（4＋8）cm 圆的面积的一半分别 减去直径是 4cm 和 8cm 的圆的面积的一半，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可； （2）该图形的涂色部分的周长等于两个直径是 2cm 的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd， 据此计算即可；如图： 空白部分①＋空白部分②的面积等于正方形面积的一半减 去直径为 2cm 的圆的面积的一半，进而求出原图中 4个空白部分的面积，则涂色部分的面积等 于正方形的面积减去 4个空白部分的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S ＝πr2，据此计算即可。 23 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】（1）周长：3.14×（4＋8） ＝3.14×12 ＝37.68（cm） 面积：（4＋8）÷2 ＝12÷2 ＝6（cm）    2 223.14 6 2 3.14 4 2 2 3.14 8 2 2          ＝ 2 2 23.14 6 2 3.14 2 2 3.14 4 2        ＝3.14 36 2 3.14 4 2 3.14 16 2        ＝56.52－6.28－25.12 ＝50.24－25.12 25.12 （cm2） （2）周长：3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（cm） 面积：如图所示： 2×2÷2－3.14×（2÷2）2÷2 ＝2×2÷2－3.14×12÷2 ＝2×2÷2－3.14×1÷2 ＝2－1.57 ＝0.43（cm2） 0.43×4＝1.72（cm2） 2×2－1.72 ＝4－1.72 ＝2.28（cm2） 24 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】25.12 厘米；32 平方厘米 【分析】如下图：阴影部分的周长等于半径为 4厘米的圆的周长；阴影部分可以转化成一个长 为（4＋4）厘米，宽为 4厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】周长：2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（厘米） 面积：（4＋4）×4 ＝8×4 ＝32（平方厘米） 阴影部分的周长为 25.12 厘米，面积为 32 平方厘米。 【考点十二】画圆或扇形 【典例一】画一个半径 1厘米的圆，再画一条直径，并垂直于直径画一条半径。 【答案】见详解 【分析】圆规两脚张开 1厘米，先画出一个半径是 1厘米的圆；用直尺过圆心画一条直线，确 保两端延伸至圆周，这条线段即为直径；最后用直角三角尺一边与直径重合，另一边经过圆心 画直线，圆心到圆上的距离就是半径；据此画图即可。 【解答】 25 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】画一个半径是 1厘米的圆，并在图上用O、d 、 r 分别标出圆的圆心、直径和半径。 并在其中画一个圆心角是 120°的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点 O为圆心，以 1厘米为半径，即可 画出这个圆，并在图上用O、d 、r 分别标出圆的圆心、直径和半径。因为圆周角为 360°，所 以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为 120°的扇形即可。 【解答】以点 O为圆心，以 1厘米为半径，画圆如下： 【点评】本题考查圆和扇形的画法，先确定圆心的位置，再确定半径，明确圆规两脚间的距离 等于圆的半径。 【典例三】操作。 （1）在如图方格纸中，画出按 3∶1放大后的直角梯形。 （2）在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形。 （3）如果如图中小方格的边长表示 1厘米，那么扇形面积是（ ）平方厘米。 【答案】（1）（2）见详解； （3）7.065（答案不唯一） 【分析】①根据图形放大的意义，放大后的图形各边长的长度是原图形对应线段长的 3倍，画 出放大后的图形。 26 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ②找梯形的一个顶点作为圆心，半径的长度是梯形的高，根据圆心位置和半径长度画出扇形即 可（答案不唯一）； ③扇形的面积是半径为 3厘米的圆的 1 4，圆的面积 2S r ，据此求出扇形面积即可（答案不唯 一）。 【解答】（1）如图所示： （2）如图所示： （扇形画法不唯一）； （3）32×3.14× 1 4 ＝28.26× 1 4 ＝7.065（平方厘米） 所以扇形面积是 7.065 平方厘米。（答案不唯一） 【点评】本题考查图形的放大、扇形，掌握图形放大和缩小的方法和扇形的面积求法是解题的 关键。 【典例四】一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只 有 1条对称轴。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此找出 27 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 三个角的点，再根据长方形的特征可知，找出第四个点，画出长方形； （2）长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，据此在长方形内画一个圆，要求这个 组合图形只有 1条对称轴，则这个圆不能画在正中间。 【解答】（1）如图： （2）如图： 【考点十三】圆的周长的应用 【典例一】为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明 同学准备把一根侧面积为 75.36 平方厘米，高为 6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀 螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12 立方厘米 【分析】已知圆柱形木头的侧面积为 75.36 平方厘米，高为 6厘米，根据圆柱的侧面积公式 S 侧＝Ch，可知 C＝S 侧÷h，据此求出圆柱的底面周长； 再根据圆的周长公式 C＝2πr，可知 r＝C÷π÷2，据此求出圆柱的底面半径； 把这根圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺，那么圆锥形陀螺与圆柱形木头等底等高，根据 圆锥的体积公式 V＝ 1 3πr 2h，求出圆锥形陀螺的体积。 【解答】圆柱的底面周长： 75.36÷6＝12.56（厘米） 圆柱的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆锥的体积： 28 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 1 3×3.14×2 2×6 ＝ 1 3×3.14×4×6 ＝25.12（立方厘米） 答：削成的圆锥形陀螺的体积是 25.12 立方厘米。 【典例二】将一堆底面直径是 6米、高是 1米的圆锥形沙子填入底面周长是 12.56 米的圆柱形 坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【答案】0.75 米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径是 6米、高是 1米，根据圆锥的体积公式 V＝ 1 3πr 2h，求 出这堆沙子的体积； 把这堆沙子填入底面周长是 12.56 米的圆柱形坑里，正好填平，那么沙子的体积不变； 先根据圆的周长公式 C＝2πr，可知 r＝C÷π÷2，由此求出圆柱形坑的底面半径；根据圆的 面积公式 S＝πr2，求出圆柱形坑的底面积； 根据圆柱的体积公式 V＝Sh 可知，圆柱的高 h＝V÷S，据此求出这个圆柱形坑的高度。 【解答】沙子的体积： 1 3×3.14×（6÷2） 2×1 ＝ 1 3×3.14×3 2×1 ＝ 1 3×3.14×9×1 ＝9.42（立方米） 圆柱形坑的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆柱形坑的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 圆柱形坑的高： 29 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 9.42÷12.56＝0.75（米） 答：这个圆柱形坑的高度约是 0.75 米。 【典例三】如图：王大妈用 25.12 米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多 少平方米？ 【答案】100.48 平方米 【分析】王大妈用 25.12 米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，所以圆周长的一半是 25.12 米，根据圆的周长的一半＝ πr，用 25.12 除以 π，求出半圆的半径，再根据半圆的面积＝ π 2r ÷ 2进行解答即可。 【解答】25.12÷3.14＝8（米） 3.14× 28 ÷2 ＝3.14×64÷2 ＝200.96÷2 ＝100.48（平方米） 答：这块菜地的面积是 100.48 平方米。 【考点十四】圆的面积的应用 【典例一】在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个 圆环，圆柱的底面半径是 12 厘米，高是 10 厘米，帽沿的宽度是 12 厘米。这个帽子需要多少 编制材料？（花边忽略不计） 【答案】2562.24 平方厘米 【分析】布料的面积＝半径是 12 厘米的圆的面积＋底面的半径是 12 厘米，高是 10 厘米的圆 柱的侧面积＋内半径 12 厘米，外半径（12＋12）厘米的圆环面积，利用圆的面积公式 S＝π r2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆环的面积公式 S＝（R2－r2）π，由此列式计算即可。 30 / 53 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 3.14×2×12×10 ＝6.28×12×10 ＝75.36×10 ＝753.6（平方厘米） 12＋12＝24（厘米） （242－122）×3.14 ＝（576－144）×3.14 ＝432×3.14 ＝1356.48 452.16＋753.6＋1356.48 ＝1205.76＋1356.48 ＝2562.24（平方厘米） 答：这个帽子需要 2562.24 平方厘米编制材料。 【典例二】王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长 100 厘米，宽 20 厘米的长方形，两侧是 半圆形，如图 1所示。这张餐桌完全展开后，如图 2所示，桌面的面积有多大？（ 取 3.14） 【答案】9850 平方厘米 【分析】这个桌面的面积＝两个半圆形的面积＋中间长方形的面积；根据圆的面积＝πr2，长 方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，即可解答。 【解答】3.14×（100÷2）2÷2×2＋100×20 ＝3.14×502÷2×2＋2000 ＝3.14×2500÷2×2＋2000