专题39 组合图形的表面积体积及等积变形（导图+4个重点速记8个考点精讲+35道真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测（通用版）

1 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 39 组合图形的表面积体积及等积变形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、组合图形的表面积的计算方法。 ........................................ 4 二、组合图形的体积计算方法。 ............................................ 4 三、不规则图形的体积。 .................................................. 4 四、体积的等积变形。 .................................................... 4 第三部分典例精讲 ............................................................5 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） ................................5 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） ..........................................8 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） .................................10 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） .....................................14 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） ...........................17 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） ...............................20 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） .................................23 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） .....................................26 第四部分真题专练 ...........................................................28 4 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、组合图形的表面积的计算方法。 1、“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减。 2、“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减。 3、“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形。 二、组合图形的体积计算方法。 1、可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积。 三、不规则图形的体积。 1、用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则 的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后 再将容积单位换算成体积单位。 2、通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积。 四、体积的等积变形。 1、体积的等级变形或分级变形是指物体体积在不同条件下发生分阶段、按比例或按特定规律 的变化。解决问题只要记住体积不变即可。 5 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第三部分典例精讲 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 【典例一】如图：求这个物体的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】432 立方厘米；396 平方厘米 【分析】这个物体的体积等于长 6厘米、宽 3厘米、高 4厘米的长方体的体积加上长 12 厘米、 宽 5厘米、高 6厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高计算； 这个物体的表面积等于长 12 厘米、宽 5厘米、高 6厘米的长方体的表面积加上长 6厘米、宽 3厘米、高 4厘米的长方体的侧面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）× 2，长方体的侧面积＝（长＋宽）×2×高，代入数据计算即可解答。 【解答】6×3×4＋12×5×6 ＝18×4＋60×6 ＝72＋360 ＝432（立方厘米） （12×5＋5×6＋12×6）×2＋（6＋3）×2×4 ＝（60＋30＋72）×2＋9×2×4 ＝（90＋72）×2＋18×4 ＝162×2＋72 ＝324＋72 ＝396（平方厘米） 【典例二】计算如图图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】940 平方厘米 【分析】从图中可知，拼成的长方体的长是（10＋10）厘米，宽是 9厘米，高是 10 厘米；根 6 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出长方体的表面积。 【解答】10＋10＝20（厘米） （20×9＋20×10＋9×10）×2 ＝（180＋200＋90）×2 ＝470×2 ＝940（平方厘米） 图形的表面积是 940 平方厘米。 【典例三】计算图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】图形的表面积是 3.5cm2，体积是 0.375cm3 【分析】观察图形，将前面和后面如下图分割为长方形和正方形，因此图形的表面积＝6 个正 方形的面积＋4个长方形的面积；整个图形的体积可以看作一个长方体挖空了一个正方体，所 以图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积；据此解答。 【解答】  1 0.5 0.5 cm  表面积：0.5 1 4 0.5 0.5 6     ＝2＋1.5  23.5 cm 体积：1 0.5 1 0.5 0.5 0.5     0.5 0.125   30.375 cm 图形的表面积是 3.5cm2，体积是 0.375cm3。 7 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】（1）308cm2；317cm3；（2）52cm2；23cm3 【分析】（1）通过平移，将正方体上边的面平移到下边，这个组合体的表面积＝完整的长方 体表面积＋正方体 4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；组合 体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长× 棱长。 （2）长方体的顶点位置挖掉一个小正方体，表面积减少了 3个正方形的面，里面又出现了同 样的 3个正方形，组合体的表面积＝完整的长方体表面积；组合体的体积＝长方体体积－正方 体体积。 【解答】（1）（8×6＋8×4＋6×4）×2＋5×5×4 ＝（48＋32＋24）×2＋100 ＝104×2＋100 ＝208＋100 ＝308（cm2） 8×6×4＋5×5×5 ＝192＋125 ＝317（cm3） 组合体的表面积是 308cm2，体积是 317cm3。 （2）（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（cm2） 4×3×2－1×1×1 ＝24－1 ＝23（cm3） 8 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 组合体的表面积是 52cm2，体积是 23cm3。 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 【典例一】计算下面立体图形的表面积。 【答案】329.04cm2 【分析】观察图形可知，立体图形是由一个圆柱和一个正方体组成的，圆柱的上底面可移到正 方体的上面，把正方体的上面填补完整；所以立体图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧 面积，根据正方体的表面积公式 26S a 、圆柱的侧面积公式 πdhS 侧 ，代入数据计算即可。 【解答】6 6 6 3.14 6 6     216 113.04  2329.04 cm （ ） 立体图形的表面积是 2329.04cm 。 【典例二】计算下面图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【分析】将小圆柱上边的底面平移到下边，这个组合体的表面积＝完整的大圆柱表面积＋小圆 柱的侧面积，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【解答】3.14×32×2＋2×3.14×3×5＋2×3.14×2×3 ＝3.14×9×2＋94.2＋37.68 ＝56.52＋94.2＋37.68 9 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝188.4（cm2） 这个组合体的表面积是 188.4cm2。 【典例三】求下图立体图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】228.8 平方厘米 【分析】观察图形可知，圆柱和长方体有重合的部分，把圆柱的上底面向下平移，补给长方体 的上面；这样长方体的表面积是 6个面的面积之和，而圆柱只需计算侧面积即可； 图形的表面积＝圆柱的侧面积＋长方体的表面积 其中，圆柱的侧面积 S 侧＝πdh，长方体的表面积 S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算求解。 【解答】圆柱的侧面积： 3.14×4×5＝62.8（平方厘米） 长方体的表面积： （7×4＋7×5＋4×5）×2 ＝（28＋35＋20）×2 ＝83×2 ＝166（平方厘米） 组合体的表面积： 62.8＋166＝228.8（平方厘米） 图形的表面积是 228.8 平方厘米。 【典例四】求下图的表面积和体积。 10 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】345.4 平方分米；157 立方分米 【分析】分析图形可知，所求图形的底面是环形，根据圆环的面积公式  2 2π R rS   ，求出图 形的底面积，所求图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋环形底面积×2，根据 圆柱的侧面积公式 S dh ，代入数据即可算出图形的表面积。所求图形的体积＝环形底面积 ×高，据此解答。 【解答】    2 23.14 6 2 4 2      2 23.14 3 2      3.14 9 4   3.14 5  15.7 （平方分米） 3.14 6 10 3.14 4 10 15.7 2       188.4 125.6 31.4   345.4 （平方分米） 15.7 10 157  （立方分米） 即图形的表面积是 345.4 平方分米，体积是 157 立方分米。 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 【典例一】计算下面立体图形的表面积和体积。 11 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 表面积： 体积： 【答案】表面积：292dm2；体积：253dm3 【分析】把正方体的上底面填补到长方体的上底面被覆盖的面积，则该图形的表面积＝正方体 4个侧面的面积之和＋长方体的表面积，其中正方体的棱长是 5dm，长方体的长是 8dm，宽是 8dm，高是 2dm，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入相应数值计算。该 图形的体积＝正方体的体积＋长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体 的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】表面积：5×5×4＋（8×8＋8×2＋8×2）×2 ＝100＋（64＋16＋16）×2 ＝100＋96×2 ＝100＋192 ＝292（dm2） 体积：5×5×5＋8×8×2 ＝125＋128 ＝253（dm3） 【典例二】计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1） （2） 【答案】（1）96dm2； （2）219cm3 【分析】（1）已知图形是棱长 4dm 的正方体，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”即可计 算出该正方体的表面积； （2）该组合体由一个正方体和一个长方体组成，组合体体积等于正方体体积与长方体体积之 和，已知正方体棱长为 3cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出正方体体积；已 知长方体长 8cm，宽 8cm，高 3cm，根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出长方体体积，最 12 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 后相加即可。 【解答】（1）4×4×6 ＝16×6 ＝96（dm2） 所以该正方体的表面积是 96dm2； （2）3×3×3 ＝9×3 ＝27（cm3） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（cm3） 27＋192＝219（cm3） 所以该图形的体积是 219cm3。 【典例三】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】376 平方米；456 立方米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高， 由图可知，大长方体顶点处切去一个小长方体后，去掉部分的面积和新增加部分的面积相等， 所以该图形的表面积等于原来大长方体的表面积；而该图形的体积比原来大长方体的体积减少 了一个小长方体的体积，所以该图形的体积等于大长方体的体积减去小长方体的体积，据此解 答。 【解答】表面积：（10×6＋10×8＋6×8）×2 ＝（60＋80＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方米） 13 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 体积：10×6×8－4×2×3 ＝480－24 ＝456（立方米） 所以，该图形的表面积是 376 平方米，体积是 456 立方米。 【典例四】计算下面立体图形的表面积和体积。 （1） （2） 【答案】（1）表面积：294dm2；体积：343dm3 （2）表面积：198cm2；体积：135cm3 【分析】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此把 棱长是 7dm 代入列式计算； （2）据图可知，根据平移法可知：这个立体图形的表面积等于长是 12cm、宽是 3cm、高是（3 ＋3）cm 的长方体的表面积减去 2个长是（12－3）cm、宽是 3cm 的长方形的面积；立体图形 的体积等于长是 12cm、宽是 3cm、高是（3＋3）cm 的长方体的体积减去一个长是（12－3）cm、 宽是 3cm、高是 3cm 的长方体的体积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高） ×2，长方形的面积＝长×宽，长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可。 【解答】（1）7×7×6 ＝49×6 ＝294（dm2） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（dm3） 立体图形的表面积是 294dm2，体积是 343dm3。 （2）[12×3＋12×（3＋3）＋3×（3＋3）]×2－（12－3）×3×2 ＝[36＋12×6＋3×6]×2－9×3×2 ＝[36＋72＋18]×2－27×2 ＝126×2－54 ＝252－54 14 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝198（cm2） 12×（3＋3）×3－（12－3）×3×3 ＝12×6×3－9×3×3 ＝72×3－27×3 ＝216－81 ＝135（cm3） 立体图形的表面积是 198cm2，体积是 135cm3。 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】计算下面立体图形的体积。 【答案】282.6dm3 【分析】由图可知图形是由两个圆锥和一个圆柱组成，一个圆锥的高是 3dm，另一个圆锥的高 是 6dm，它们的底面直径都是 6dm；圆柱的高为 7dm，底面直径是 6dm，根据：圆锥的体积＝ 1 3 π（d÷2）2h，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，将数据代入公式计算各部分的体积，再相加即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×3× 1 3 ＝3.14×9×3× 1 3 ＝28.26×3× 1 3 ＝84.78× 1 3 ＝28.26（dm3） 3.14×（6÷2）2×6× 1 3 ＝3.14×9×6× 1 3 ＝28.26×6× 1 3 ＝169.56× 1 3 15 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝56.52（dm3） 3.14×（6÷2）2×7 ＝3.14×9×7 ＝28.26×7 ＝197.82（dm3） 28.26＋56.52＋197.82 ＝84.78＋197.82 ＝282.6（dm3） 立体图形的体积是 282.6dm3。 【典例二】计算组合图形的体积。 【答案】263.76cm3 【分析】据图可知，这个组合图形的体积等于一个底面半径是 3cm 高是 7cm 的圆柱的体积加上 一个底面半径是 3cm 高是 7cm 的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝ 1 3πr 2h 列式计算即可。 【解答】3.14×32×7＋3.14×32×7× 1 3 ＝3.14×9×7＋3.14×9×7× 1 3 ＝28.26×7＋28.26×7× 1 3 ＝197.82＋197.82× 1 3 ＝197.82＋65.94 ＝263.76（cm3） 组合图形的体积是 263.76cm3。 【典例三】求下面图形的体积。（单位：厘米）（共 8分） 16 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】2072.4 立方厘米；150.72 立方厘米 【分析】（1） 2圆柱V r h ，图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公 式计算； （2） 2圆柱V r h ， 21 3 圆锥V r h ，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公 式计算。 【解答】（1）    2 214 2 20 8 2 20        ＝ 2 27 20 4 20      ＝ 49 20 16 20      ＝  49 16 20   ＝33 20  ＝660 ＝660 3.14 ＝2072.4（立方厘米） 所以，该图形的体积是 2072.4 立方厘米。 （2）    2 2 18 2 4 8 2 3 3          ＝ 2 2 14 4 4 3 3        ＝ 116 4 16 3 3        ＝64 16  ＝48 ＝ 48 3.14 ＝150.72（立方厘米） 所以，该图形的体积是 150.72 立方厘米。 【典例四】求图中立体图形的体积。 17 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】251.2cm3 【分析】观察图形可知，组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式 V＝ πr2h，圆锥的体积公式 V＝ 1 3πr 2h，代入数据计算即可求解。 【解答】3.14×（8÷2）2×2＋ 1 3×3.14×（8÷2） 2×9 ＝3.14×42×2＋ 1 3×3.14×4 2×9 ＝3.14×16×2＋ 1 3×3.14×16×9 ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 组合体的体积是 251.2cm3。 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 【典例一】由下图可知，一个苹果和一个梨的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】240 立方厘米；120 立方厘米 【分析】水面上升的体积就是浸入水中物体的体积，长×宽×（10－7）＝一个苹果和一个梨 的体积，长×宽×（14－10）＝（5－1）个梨的体积，据此求出 1个梨的体积，一个苹果和一 个梨的体积－1个梨的体积＝1个苹果的体积。 【解答】20×6×（10－7） ＝120×3 ＝360（立方厘米） 20×6×（14－10）÷（5－1） 18 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝120×4÷4 ＝120（立方厘米） 360－120＝240（立方厘米） 答：一个苹果和一个梨的体积分别是 240 立方厘米、120 立方厘米。 【典例二】制作一个如下图一样高为 4分米的无盖玻璃鱼缸。 （1）请你提一个有价值的数学问题并作答？ （2）玻璃鱼缸中放入一块高为 1.5 分米，体积为 5立方分米的假山石，如果水管以每分钟 4 立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 【答案】（1）提出问题：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃多少平方分米？110 平方分米； （2）8.5 分钟 【分析】（1）分析题目，可以提出问题：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃多少平方分米？ 制作一个长方体无盖玻璃鱼缸需要的玻璃的面积等于长方体的下面、前后、左右 5个面的面积 之和，根据长方体的表面积公式可知：需要玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据 此列式计算即可； （2）分析题目，先根据长方体的体积＝长×宽×高求出鱼缸中流入高度为 1.5 分米的水的体 积，再减去假山石的体积即可得到实际需要流入的水的体积，最后除以每分钟水的流入量即可 解答。 【解答】（1）提出问题：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃多少平方分米？（问题不唯一） 6.5×4＋4×4×2＋6.5×4×2 ＝26＋16×2＋26×2 ＝26＋32＋52 ＝110（平方分米） 答：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃 110 平方分米。 （2）6.5×4×1.5－5 19 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝26×1.5－5 ＝39－5 ＝34（立方分米） 34÷4＝8.5（分） 答：至少需要 8.5 分钟才能把假山石完全淹没。 【典例三】依依往一个长是 12 厘米，宽是 10 厘米，高是 9厘米，水深 7.5 厘米的长方体容器 中投入一块棱长是 5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？请计算说明。 【答案】不会溢出 【分析】长方体容器中无水部分可以看作一个长方体，该长方体的长是 12 厘米，宽是 10 厘米， 高是（9－7.5）厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出无水部分的体积，再根据“正 方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体石块的体积，最后比较大小，即可求得。 【解答】12×10×（9－7.5） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 因为 125 立方厘米＜180 立方厘米，所以水不会溢出。 答：水不会溢出。 【典例四】下图是一个长方体容器，长 2分米、宽 1.6 分米，高 1.5 分米（数据均为内部测量）。 （1）这个长方体容器最多能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深 1分米的水，再将一个石块放入水中（完全浸没）水面上升了 0.3 20 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 分米。这个石块的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）4.8 升； （2）0.96 立方分米 【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式求出体积，再根据 1升＝1立方 分米把单位换算成升即可； （2）石块的体积等于长是 2分米宽是 1.6 分米高是 0.3 分米的长方体的体积，据此根据长方 体的体积公式计算即可。 【解答】（1）2×1.6×1.5 ＝3.2×1.5 ＝4.8（立方分米） 4.8 立方分米＝4.8 升 答：这个长方体容器最多能装 4.8 升水。 （2）2×1.6×0.3 ＝3.2×0.3 ＝0.96（立方分米） 答：这个石块的体积是 0.96 立方分米。 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】如图所示，玻璃容器的底面半径为 4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一 个高 6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了 1.5 厘米，这个铅锤的底面积是 多少平方厘米？ 【答案】37.68 平方厘米 【分析】因为圆锥浸没在水中，取出圆锥后水面下降，下降部分水的形状为圆柱体，根据等积 变换原理，下降部分水的体积就等于圆锥的体积；已知圆柱底面半径是 4厘米，水面下降高度 是 1.5 厘米，根据圆柱的体积公式 2πV r h 可求出下降水的体积，也就是圆锥体的体积；已知 圆锥的高是 6厘米，根据圆锥体积公式 2 1 π 3 V r h 可计算出圆锥的底面积，“圆锥的底面积＝体 21 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 积×3÷高”，代入数值计算出铅锤的底面积。 【解答】3.14×42×1.5 ＝3.14×16×1.5 ＝50.24×1.5 ＝75.36（立方厘米） 75.36×3÷6 ＝226.08÷6 ＝37.68（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是 37.68 平方厘米。 【典例二】在一个底面直径是 8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是 5 厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是 6.2 厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这 枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】60.288 立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（鸡蛋）的体积，鸡蛋的体积等于放入鸡蛋后上升的 水的体积，而这部分水的形状是圆柱体，已知底面直径是 8厘米可算出半径，放入鸡蛋后水的 高度从 5厘米上升到了 6.2 厘米，所以水面上升的高度是 6.2－5＝1.2（厘米），最后可根据 圆柱体积公式 2r hV  计算，据此解答即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） 6.2－5＝1.2（厘米） 3.14×42×1.2 ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288（立方厘米） 答：这枚鸡蛋的体积大约是 60.288 立方厘米。 【典例三】一个圆柱形水槽里面盛有 10 厘米深的水，水槽的底面半径是 20 厘米，将一个正方 体铁块放入水槽并完全浸没水中，这时水面上升了 0.5 厘米，这个正方体铁块的体积是多少立 方厘米？ 22 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【答案】628 立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（正方体铁块）的体积。当正方体铁块放入圆柱形水 槽并完全浸没水中时，水面上升的那部分水的体积就等于正方体铁块的体积。而水面上升部分 的水的形状是圆柱体，已知水槽底面半径是 20 厘米，水面上升的高度是 0.5 厘米，根据圆柱 体积公式 2πV r h 计算。 【解答】3.14×202×0.5 ＝3.14×400×0.5 ＝1256×0.5 ＝628（立方厘米） 答：这个正方体铁块的体积是 628 立方厘米。 【典例四】“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，丁老师和同学们合作 测量一些相同玻璃球的体积，他们进行了如下实验： ①琪琪准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量后得到底面半径 3厘米，高 12 厘米； ②明明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是 6厘米； ③慧慧把 30 颗玻璃球放入玻璃杯（玻璃球完全浸没在水中），测得水的高度与水面离杯口的 距离之比是 2 :1。 根据实验的过程，回答下面的问题： （1）明明注入了多少毫升水？ （2）一颗玻璃球的体积大约是多少？ 【答案】（1）169.56 毫升 （2）1.884 立方厘米 【分析】（1）由题意可知，明明注入了的水的体积等于圆柱的底面积乘水的高度，根据圆柱 的体积＝ 2r h ，把数据代入即可求出明明注入了多少毫升水； （2）首先，我们需要计算出放入 30 颗玻璃球后，水面上升的高度。这个高度等于圆柱的高度 乘以水的高度与水面离杯口的距离之比，然后减去原来的水的高度，我们再根据圆柱的体积＝ 23 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2r h ，计算出 30 颗玻璃球的总体积，最后除以 30，就可以得到一颗玻璃球的体积。 【解答】（1）3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56 立方厘米＝169.56 毫升 答：明明注入了 169.56 毫升水。 （2）12× 2 2 1 －6 ＝12× 2 3 －6 ＝8－6 ＝2（厘米） 3.14×32×2÷30 ＝3.14×9×2÷30 ＝28.26×2÷30 ＝56.52÷30 ＝1.884（立方厘米） 答：一颗玻璃球的体积大约是 1.884 立方厘米。 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例一】将棱长为 6米的正方体铁块，熔铸成长 9米、宽 4米的长方体，这个长方体的高是 多少？ 【答案】6米 【分析】分析题目，正方体铁块的体积和熔铸成的长方体的体积是相等的，先根据正方体的体 积＝棱长×棱长×棱长求出正方体的体积，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）列式求出高 即可。 【解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方米） 216÷（9×4） 24 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 ＝216÷36 ＝6（米） 答：这个长方体的高是 6米。 【典例二】实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为 8分米的长方体透明鱼缸（厚 度忽略不计），鱼缸内水深 5分米。聪聪将一个长 6分米、宽 4分米的长方体石块竖直立入鱼 缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现 在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【分析】已知长方体鱼缸长和宽均为 8分米，水深 5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高， 求出水的体积； 将一个长 6分米、宽 4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底 面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此 时水的高度。 【解答】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是 8分米。 【典例三】有 1块棱长是 30 厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一根横切面积是 150 平方 厘米的长方体的铁柱。这根长方体铁柱的长是多少厘米？ 【答案】180 厘米 25 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积； 由于体积不变，正方体铁块的体积＝长方体的铁柱体积；根据长方体体积公式：体积＝底面积 ×高；高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【解答】30×30×30÷150 ＝900×30÷150 ＝27000÷150 ＝180（厘米） 答：这根长方体铁柱的长是 180 厘米。 【典例四】有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为 40 厘米、10 厘米、 10 厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜， 水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、 乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】（1）2000 立方厘米 （2）400 毫升 【分析】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根据长方体的体 积公式 V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为底面，直立 起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的体积不变，水 的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙两个底面积之和的容器； 根据长方体的高 h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的体积公式 V＝ abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 26 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是 2000 立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400 立方厘米＝400 毫升 答：乙容器中需要倒入 400 毫升水。 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是 6.28 米，高是 1.5 米。把这堆稻谷运到一个圆柱 形粮囤，已知粮囤的底面直径是 1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【答案】2米 【分析】根据底面周长 6.28 米，可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式 2 1 π 3 V r h ，即 可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式 2πV r h 的逆运 算，即可求出稻谷堆的高度. 【解答】6.28 3.14 2 1   （米）  221 3.14 1 1.5 3.14 1 2 3           21 3.14 1 1.5 3.14 0.5 3           1.57 3.14 0.25   2 （米） 答：稻谷在粮囤里的高度是 2米。 【典例二】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状， 27 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为 10 厘米 圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为 31.4 平方分 米的长方体容器里“淬火”，水面上升了 1.8 厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不 计） 【答案】54 厘米 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是 31.4 平方分米（换算 为 3140 平方厘米），高是 1.8 厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底 面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可根据 2r 求出底面积，最后用体积 乘 3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【解答】31.4 平方分米＝3140 平方厘米 3140×1.8×3÷（3.14×102） ＝5652×3÷（3.14×100） ＝16956÷314 ＝54（厘米） 答：这个圆锥的高是 54 厘米。 【典例三】竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。 第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径 40 厘米，高 60 厘米，竹条的宽 是 2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是 942 平方厘米，高 40 厘米的近似 圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【答案】（1）7536 平方厘米 （2）10 厘米 【分析】（1）首先计算给竹筐外部四周贴彩纸的面积：已知圆柱形竹筐的直径 d＝40 厘米， 高 h＝60 厘米。圆柱的侧面积公式为 S＝πdh（π取 3.14）。把 d＝40 厘米，h＝60 厘米，π ＝3.14 代入公式可得竹筐外部四周贴彩纸的面积。 （2）先根据圆锥体积公式 V＝Sh（S 是圆锥的底面积，h是圆锥的高）计算出圆锥形沙土的体 积，已知圆锥的底面积 S＝942 平方厘米，高 h＝40 厘米。再根据圆柱体积公式 V＝πr²h（r 是圆柱底面半径，h是圆柱的高）来求沙土在竹筐里的高度。 28 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】（1）3.14×40×60＝7536（平方厘米） 答：如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备 7536 平方厘米的彩纸。 （2）40÷2＝20（厘米） 1 3×942×40÷（3.14×20 2） ＝12560÷（3.14×400） ＝12560÷1256 ＝10（厘米） 答：此时竹筐里的沙土有 10 厘米。 【典例四】一个底面半径是 6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高 9厘米的圆锥形铅锤 完全浸没于水中，水溢出 10 立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了 0.5 厘米，这个 圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取 3.14） 【答案】18.84 平方厘米 【分析】水面下降 0.5 厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高 ＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计 算即可。 【解答】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是 18.84 平方厘米。 第四部分真题专练 一、填空题 1．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个 29 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是（ ）m3。 【答案】65.94 【分析】求这个蒙古包内的空间，也就是求圆柱和圆锥体积和，根据圆柱体积公式 2V r h ， 和圆锥体积公式 2 1 3 V r h ，将相关数据代入计算即可。 【解答】 ( ) ( ) 2 213.14 6 2 2 3.14 6 2 1 3 锤 � 创 复 13.14 9 2 3.14 9 1 3 = 创 + 创 ( )3.14 18 3= ´ + 3.14 21  65.94 （ 3m ） 所以，这个蒙古包内的空间大约是 65.94 3m 。 2．将一个棱长总和是 60 厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是 10 厘米，宽是 2厘米的长方 体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是 60 厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求 出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式 V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝ 体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【解答】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是 6.25 厘米。 3．如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是 8厘米，圆锥的高是 3厘米）倒置 30 / 52 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 后，水面高 7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是（ ）厘米。 【答案】5 【分析】根据题意把这个容器正放，那么水都流到圆柱，那么容积水面的高＝倒置圆柱部分水 的高＋圆锥部分变圆柱后水的高，倒置时圆柱部分的高为（7－3）厘米，圆锥部分水变圆柱后 的高与圆柱等底等体积，那么圆柱的高是圆锥的 1 3，据此解答。 【解答】（7－3）＋ 1 3×3 ＝4＋1 ＝5（厘米） 如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是 5厘米。 4．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长 30 厘米，宽 20 厘米。现把一个 圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了 2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等， 圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】300 【分析】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了 2厘米，上升的这部分水的体积 就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面， 长 30 厘米，宽 20 厘米，高 2厘米，根据长方体体积公式 V＝abh（其中 V为长方体体积，a 为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥 的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3倍，可以把圆锥的体积看 作 1份，那么圆柱的体积就是 3份，它们的体积之和就是 1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之 和除以 4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。 1 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 39 组合图形的表面积体积及等积变形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 ............................................................4 第二部分重点速记 ............................................................4 一、组合图形的表面积的计算方法。 ........................................ 4 二、组合图形的体积计算方法。 ............................................ 4 三、不规则图形的体积。 .................................................. 4 四、体积的等积变形。 .................................................... 4 第三部分典例精讲 ............................................................5 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） ................................5 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） ..........................................6 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） ..................................7 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） ......................................9 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） ...........................10 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） ...............................12 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） .................................13 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） .....................................15 第四部分真题专练 ...........................................................16 4 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、组合图形的表面积的计算方法。 1、“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减。 2、“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减。 3、“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形。 二、组合图形的体积计算方法。 1、可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积。 三、不规则图形的体积。 1、用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则 的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后 再将容积单位换算成体积单位。 2、通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积。 四、体积的等积变形。 1、体积的等级变形或分级变形是指物体体积在不同条件下发生分阶段、按比例或按特定规律 的变化。解决问题只要记住体积不变即可。 5 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 第三部分典例精讲 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 【典例一】如图：求这个物体的体积和表面积。（单位：厘米） 【典例二】计算如图图形的表面积。（单位：厘米） 【典例三】计算图形的表面积和体积。（单位：cm） 【典例四】求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 6 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 【典例一】计算下面立体图形的表面积。 【典例二】计算下面图形的表面积。 7 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】求下图立体图形的表面积。（单位：厘米） 【典例四】求下图的表面积和体积。 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 【典例一】计算下面立体图形的表面积和体积。 表面积： 8 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 体积： 【典例二】计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1） （2） 【典例三】计算下面图形的表面积和体积。 【典例四】计算下面立体图形的表面积和体积。 （1） （2） 9 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】计算下面立体图形的体积。 【典例二】计算组合图形的体积。 【典例三】求下面图形的体积。（单位：厘米）（共 8分） 10 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】求图中立体图形的体积。 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 【典例一】由下图可知，一个苹果和一个梨的体积分别是多少立方厘米？ 【典例二】制作一个如下图一样高为 4分米的无盖玻璃鱼缸。 11 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （1）请你提一个有价值的数学问题并作答？ （2）玻璃鱼缸中放入一块高为 1.5 分米，体积为 5立方分米的假山石，如果水管以每分钟 4 立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 【典例三】依依往一个长是 12 厘米，宽是 10 厘米，高是 9厘米，水深 7.5 厘米的长方体容器 中投入一块棱长是 5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？请计算说明。 【典例四】下图是一个长方体容器，长 2分米、宽 1.6 分米，高 1.5 分米（数据均为内部测量）。 （1）这个长方体容器最多能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深 1分米的水，再将一个石块放入水中（完全浸没）水面上升了 0.3 分米。这个石块的体积是多少立方分米？ 12 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】如图所示，玻璃容器的底面半径为 4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一 个高 6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了 1.5 厘米，这个铅锤的底面积是 多少平方厘米？ 【典例二】在一个底面直径是 8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是 5 厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是 6.2 厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这 枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【典例三】一个圆柱形水槽里面盛有 10 厘米深的水，水槽的底面半径是 20 厘米，将一个正方 体铁块放入水槽并完全浸没水中，这时水面上升了 0.5 厘米，这个正方体铁块的体积是多少立 方厘米？ 13 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例四】“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，丁老师和同学们合作 测量一些相同玻璃球的体积，他们进行了如下实验： ①琪琪准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量后得到底面半径 3厘米，高 12 厘米； ②明明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是 6厘米； ③慧慧把 30 颗玻璃球放入玻璃杯（玻璃球完全浸没在水中），测得水的高度与水面离杯口的 距离之比是 2 :1。 根据实验的过程，回答下面的问题： （1）明明注入了多少毫升水？ （2）一颗玻璃球的体积大约是多少？ 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例一】将棱长为 6米的正方体铁块，熔铸成长 9米、宽 4米的长方体，这个长方体的高是 多少？ 【典例二】实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为 8分米的长方体透明鱼缸（厚 度忽略不计），鱼缸内水深 5分米。聪聪将一个长 6分米、宽 4分米的长方体石块竖直立入鱼 缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现 在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 14 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】有 1块棱长是 30 厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一根横切面积是 150 平方 厘米的长方体的铁柱。这根长方体铁柱的长是多少厘米？ 【典例四】有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为 40 厘米、10 厘米、 10 厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜， 水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、 乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 15 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是 6.28 米，高是 1.5 米。把这堆稻谷运到一个圆柱 形粮囤，已知粮囤的底面直径是 1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【典例二】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状， 最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为 10 厘米 圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为 31.4 平方分 米的长方体容器里“淬火”，水面上升了 1.8 厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不 计） 【典例三】竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。 第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径 40 厘米，高 60 厘米，竹条的宽 是 2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是 942 平方厘米，高 40 厘米的近似 圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【典例四】一个底面半径是 6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高 9厘米的圆锥形铅锤 16 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 完全浸没于水中，水溢出 10 立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了 0.5 厘米，这个 圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取 3.14） 第四部分真题专练 一、填空题 1．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个 圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是（ ）m3。 2．将一个棱长总和是 60 厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是 10 厘米，宽是 2厘米的长方 体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 3．如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是 8厘米，圆锥的高是 3厘米）倒置 后，水面高 7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是（ ）厘米。 4．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长 30 厘米，宽 20 厘米。现把一个 圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了 2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等， 圆锥的体积是（ ）立方厘米。 17 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 5．一个圆柱形杯子从里面量底面直径是 20 厘米，里面装有一些水，正好是杯子容积的 3 5，将 一块石子浸没在水里，水面上升了 12 厘米，刚好和杯口齐平。这个杯子的容积是（ ） 毫升。 6．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立 方厘米。 7．如图，陀螺上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测量，圆柱直径和高均为4cm，当圆锥的 高是圆柱高的 3 4 时，旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是（ ） 3cm 。 8．张叔叔从一个棱长是 10 厘米正方体萝卜块上，挖去一个长 10 厘米，宽和高都是 1厘米的 小长方体萝卜条，剩下部分的体积是（ ）立方厘米，剩下部分的表面积可能是 （ ）平方厘米。 9．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm2。 10．如图，由棱长是 3 cm和 5 cm的两个正方体搭成的图形，它的表面积是（ ） 2cm ， 体积是（ ） 3cm 。 二、选择题 18 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 11．把一个体积是 9立方分米的圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米。 A．9 B．27 C．3 12．把一个铁球浸没在底面直径是 12 厘米的圆柱形量杯的水中，水的高度由原来的 6厘米上 升到 9厘米（如图）。这个铁球的体积是（ ）立方厘米。 A．113.04 B．1017.36 C．678.24 D．339.12 13．一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个 石顶屋的体积是（ ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 14．一个圆锥形沙堆，底面积是 62.8m，高是 2.4m。用这堆沙可在宽 4m，厚 5cm 的公路上铺 多少 m？下面列式正确的是（ ）。 A．62.8×2.4÷4÷5 B．62.8 2.4 3 4 5    C．  62.8 2.4 3 4 5 100     D．62.8 2.4 3 4 5 100     15．在一个长为 15cm，宽为 10cm，高为 20cm 的长方体空盒里放入一个土豆，加满水，再将土 豆拿起来，此时水的高度下降了 2cm，可以知道土豆的体积是（ ）cm3。 A．3000 B．300 C．2700 D．600 16．一个药瓶的容积是 26.4 立方厘米，瓶内装有一些药水（如下图所示）。瓶子正放时，瓶 内药水液面高 6厘米，瓶子倒放时，空余部分高 2厘米，则瓶内药水的体积是（ ）。 19 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 A．26.4 立方厘米 B．19.8 立方厘米 C．66 立方厘米 D．无法确定 17．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺 （如下图），这个陀螺的体积大约是（ ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 18．如图，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙 两个立体图形，它们的体积相比（ ）。 A．甲的体积较大 B．乙的体积较大 C．甲、乙体积一样大 19．一个长3cm、宽与高都是2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后（如图）， 它的表面积（ ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．不变 20．如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加 12.56cm2。 原来这个物体的体积是（ ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 三、计算题 21．计算如图图形的表面积。 20 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 22．求如图这个零件的体积。（单位：cm） 23．求体积。（单位：cm） 21 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 四、解答题 24．小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是 4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 25．有一个底面直径是 16 厘米、高是 20 厘米的圆柱形容器，容器中原来水深 12 厘米。把一 个底面直径是 8厘米、高是 4厘米的圆柱形铁块浸没其中，现在水深多少厘米？ 26．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后 放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为 10 厘米圆柱 形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为 31.4 平方分米的 长方体容器里“淬火”，水面上升了 1.8 厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 22 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 27．一个底面半径为 10 厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一 个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到 9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多 少？ 28．一个盛有水、底面直径是 20 厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为 12 厘米， 高 10 厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽 略不计） 29．一个钢制机器零件如下图（单位：厘米），这种钢每立方厘米重 8克。这个零件的质量大 约是多少克？ 23 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 30．下图是一个装满小麦的铁皮粮囤，由一个圆柱和一个圆锥组合而成。这个铁皮粮囤内的小 麦有多少立方米？（铁皮的厚度不计） 31．一种立体的米形玩具，三个长方体的长宽高都分别为 10 厘米、2厘米、2厘米。这个米字 形玩具的体积是多少立方厘米？ 32．有一种陀螺（如下图），上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆柱的体积与 圆锥的体积之比为 4∶1时，陀螺会转得又稳又快。已知圆锥的底面直径是 4厘米，高是 1.5 厘米。请你算一算，这个陀螺的体积是多少时才能使陀螺转得又稳又快？ 24 / 24 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 33．如图所示，将一个长 10 厘米，宽 4厘米，高 8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个 棱长 4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 34．有一个圆柱体的零件，高 12 厘米，底面直径是 8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔， 如图：圆孔的直径是 6厘米，孔深 7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共 需涂多少平方厘米？ 35．为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。 请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题39 组合图形的表面积体积及等积变形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、组合图形的表面积的计算方法。 4 二、组合图形的体积计算方法。 4 三、不规则图形的体积。 4 四、体积的等积变形。 4 第三部分典例精讲 5 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 5 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 6 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 7 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 9 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 10 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 12 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 13 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 15 第四部分真题专练 16 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、组合图形的表面积的计算方法。 1、“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减。 2、“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减。 3、“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形。 二、组合图形的体积计算方法。 1、可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积。 三、不规则图形的体积。 1、用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位。 2、通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积。 四、体积的等积变形。 1、体积的等级变形或分级变形是指物体体积在不同条件下发生分阶段、按比例或按特定规律的变化。解决问题只要记住体积不变即可。 第三部分典例精讲 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 【典例一】如图：求这个物体的体积和表面积。（单位：厘米） 【典例二】计算如图图形的表面积。（单位：厘米） 【典例三】计算图形的表面积和体积。（单位：cm） 【典例四】求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 【典例一】计算下面立体图形的表面积。 【典例二】计算下面图形的表面积。 【典例三】求下图立体图形的表面积。（单位：厘米） 【典例四】求下图的表面积和体积。 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 【典例一】计算下面立体图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【典例二】计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1）   （2） 【典例三】计算下面图形的表面积和体积。    【典例四】计算下面立体图形的表面积和体积。 （1）           （2） 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】计算下面立体图形的体积。 【典例二】计算组合图形的体积。 【典例三】求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 【典例四】求图中立体图形的体积。 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 【典例一】由下图可知，一个苹果和一个梨的体积分别是多少立方厘米？ 【典例二】制作一个如下图一样高为4分米的无盖玻璃鱼缸。 （1）请你提一个有价值的数学问题并作答？ （2）玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为5立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 【典例三】依依往一个长是12厘米，宽是10厘米，高是9厘米，水深7.5厘米的长方体容器中投入一块棱长是5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？请计算说明。 【典例四】下图是一个长方体容器，长2分米、宽1.6分米，高1.5分米（数据均为内部测量）。 （1）这个长方体容器最多能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深1分米的水，再将一个石块放入水中（完全浸没）水面上升了0.3分米。这个石块的体积是多少立方分米？ 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【典例二】在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【典例三】一个圆柱形水槽里面盛有10厘米深的水，水槽的底面半径是20厘米，将一个正方体铁块放入水槽并完全浸没水中，这时水面上升了0.5厘米，这个正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【典例四】“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，丁老师和同学们合作测量一些相同玻璃球的体积，他们进行了如下实验： ①琪琪准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量后得到底面半径3厘米，高12厘米； ②明明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是6厘米； ③慧慧把30颗玻璃球放入玻璃杯（玻璃球完全浸没在水中），测得水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据实验的过程，回答下面的问题： （1）明明注入了多少毫升水？ （2）一颗玻璃球的体积大约是多少？ 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例一】将棱长为6米的正方体铁块，熔铸成长9米、宽4米的长方体，这个长方体的高是多少？ 【典例二】实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【典例三】有1块棱长是30厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一根横切面积是150平方厘米的长方体的铁柱。这根长方体铁柱的长是多少厘米？ 【典例四】有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是6.28米，高是1.5米。把这堆稻谷运到一个圆柱形粮囤，已知粮囤的底面直径是1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【典例二】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【典例三】竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【典例四】一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 第四部分真题专练 一、填空题 1．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是（ ）m3。 2．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 3．如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是（ ）厘米。 4．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 5．一个圆柱形杯子从里面量底面直径是20厘米，里面装有一些水，正好是杯子容积的，将一块石子浸没在水里，水面上升了12厘米，刚好和杯口齐平。这个杯子的容积是（ ）毫升。 6．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立方厘米。 7．如图，陀螺上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测量，圆柱直径和高均为，当圆锥的高是圆柱高的时，旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是（ ）。 8．张叔叔从一个棱长是10厘米正方体萝卜块上，挖去一个长10厘米，宽和高都是1厘米的小长方体萝卜条，剩下部分的体积是（ ）立方厘米，剩下部分的表面积可能是（ ）平方厘米。 9．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm2。 10．如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是（ ），体积是（ ）。 二、选择题 11．把一个体积是9立方分米的圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．9 B．27 C．3 12．把一个铁球浸没在底面直径是12厘米的圆柱形量杯的水中，水的高度由原来的6厘米上升到9厘米（如图）。这个铁球的体积是（    ）立方厘米。 A．113.04 B．1017.36 C．678.24 D．339.12 13．一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个石顶屋的体积是（    ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 14．一个圆锥形沙堆，底面积是62.8m，高是2.4m。用这堆沙可在宽4m，厚5cm的公路上铺多少m？下面列式正确的是（    ）。 A．62.8×2.4÷4÷5 B． C． D． 15．在一个长为15cm，宽为10cm，高为20cm的长方体空盒里放入一个土豆，加满水，再将土豆拿起来，此时水的高度下降了2cm，可以知道土豆的体积是（    ）cm3。 A．3000 B．300 C．2700 D．600 16．一个药瓶的容积是26.4立方厘米，瓶内装有一些药水（如下图所示）。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶内药水的体积是（    ）。 A．26.4立方厘米 B．19.8立方厘米 C．66立方厘米 D．无法确定 17．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 18．如图，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比（    ）。 A．甲的体积较大 B．乙的体积较大 C．甲、乙体积一样大 19．一个长、宽与高都是的长方体，将它挖掉一个棱长的小正方体后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．不变 20．如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2。原来这个物体的体积是（    ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 三、计算题 21．计算如图图形的表面积。 22．求如图这个零件的体积。（单位：cm） 23．求体积。（单位：cm）             四、解答题 24．小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 25．有一个底面直径是16厘米、高是20厘米的圆柱形容器，容器中原来水深12厘米。把一个底面直径是8厘米、高是4厘米的圆柱形铁块浸没其中，现在水深多少厘米？ 26．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 27．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 28．一个盛有水、底面直径是20厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 29．一个钢制机器零件如下图（单位：厘米），这种钢每立方厘米重8克。这个零件的质量大约是多少克？ 30．下图是一个装满小麦的铁皮粮囤，由一个圆柱和一个圆锥组合而成。这个铁皮粮囤内的小麦有多少立方米？（铁皮的厚度不计） 31．一种立体的米形玩具，三个长方体的长宽高都分别为10厘米、2厘米、2厘米。这个米字形玩具的体积是多少立方厘米？ 32．有一种陀螺（如下图），上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆柱的体积与圆锥的体积之比为4∶1时，陀螺会转得又稳又快。已知圆锥的底面直径是4厘米，高是1.5厘米。请你算一算，这个陀螺的体积是多少时才能使陀螺转得又稳又快？ 33．如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 34．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 35．为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题39 组合图形的表面积体积及等积变形 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、组合图形的表面积的计算方法。 4 二、组合图形的体积计算方法。 4 三、不规则图形的体积。 4 四、体积的等积变形。 4 第三部分典例精讲 5 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 5 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 8 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 10 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 14 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 17 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 20 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 23 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 26 第四部分真题专练 28 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、组合图形的表面积的计算方法。 1、“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减。 2、“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减。 3、“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形。 二、组合图形的体积计算方法。 1、可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积。 三、不规则图形的体积。 1、用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位。 2、通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积。 四、体积的等积变形。 1、体积的等级变形或分级变形是指物体体积在不同条件下发生分阶段、按比例或按特定规律的变化。解决问题只要记住体积不变即可。 第三部分典例精讲 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 【典例一】如图：求这个物体的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】432立方厘米；396平方厘米 【分析】这个物体的体积等于长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体的体积加上长12厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高计算； 这个物体的表面积等于长12厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体的表面积加上长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体的侧面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的侧面积＝（长＋宽）×2×高，代入数据计算即可解答。 【解答】6×3×4＋12×5×6 ＝18×4＋60×6 ＝72＋360 ＝432（立方厘米） （12×5＋5×6＋12×6）×2＋（6＋3）×2×4 ＝（60＋30＋72）×2＋9×2×4 ＝（90＋72）×2＋18×4 ＝162×2＋72 ＝324＋72 ＝396（平方厘米） 【典例二】计算如图图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】940平方厘米 【分析】从图中可知，拼成的长方体的长是（10＋10）厘米，宽是9厘米，高是10厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出长方体的表面积。 【解答】10＋10＝20（厘米） （20×9＋20×10＋9×10）×2 ＝（180＋200＋90）×2 ＝470×2 ＝940（平方厘米） 图形的表面积是940平方厘米。 【典例三】计算图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】图形的表面积是3.5cm2，体积是0.375cm3 【分析】观察图形，将前面和后面如下图分割为长方形和正方形，因此图形的表面积＝6个正方形的面积＋4个长方形的面积；整个图形的体积可以看作一个长方体挖空了一个正方体，所以图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积；据此解答。 【解答】 表面积： ＝2＋1.5 体积： 图形的表面积是3.5cm2，体积是0.375cm3。 【典例四】求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】（1）308cm2；317cm3；（2）52cm2；23cm3 【分析】（1）通过平移，将正方体上边的面平移到下边，这个组合体的表面积＝完整的长方体表面积＋正方体4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 （2）长方体的顶点位置挖掉一个小正方体，表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形，组合体的表面积＝完整的长方体表面积；组合体的体积＝长方体体积－正方体体积。 【解答】（1）（8×6＋8×4＋6×4）×2＋5×5×4 ＝（48＋32＋24）×2＋100 ＝104×2＋100 ＝208＋100 ＝308（cm2） 8×6×4＋5×5×5 ＝192＋125 ＝317（cm3） 组合体的表面积是308cm2，体积是317cm3。 （2）（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（cm2） 4×3×2－1×1×1 ＝24－1 ＝23（cm3） 组合体的表面积是52cm2，体积是23cm3。 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 【典例一】计算下面立体图形的表面积。 【答案】329.04cm2 【分析】观察图形可知，立体图形是由一个圆柱和一个正方体组成的，圆柱的上底面可移到正方体的上面，把正方体的上面填补完整；所以立体图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积，根据正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【解答】 立体图形的表面积是。 【典例二】计算下面图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【分析】将小圆柱上边的底面平移到下边，这个组合体的表面积＝完整的大圆柱表面积＋小圆柱的侧面积，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【解答】3.14×32×2＋2×3.14×3×5＋2×3.14×2×3 ＝3.14×9×2＋94.2＋37.68 ＝56.52＋94.2＋37.68 ＝188.4（cm2） 这个组合体的表面积是188.4cm2。 【典例三】求下图立体图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】228.8平方厘米 【分析】观察图形可知，圆柱和长方体有重合的部分，把圆柱的上底面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而圆柱只需计算侧面积即可； 图形的表面积＝圆柱的侧面积＋长方体的表面积 其中，圆柱的侧面积S侧＝πdh，长方体的表面积S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算求解。 【解答】圆柱的侧面积： 3.14×4×5＝62.8（平方厘米） 长方体的表面积： （7×4＋7×5＋4×5）×2 ＝（28＋35＋20）×2 ＝83×2 ＝166（平方厘米） 组合体的表面积： 62.8＋166＝228.8（平方厘米） 图形的表面积是228.8平方厘米。 【典例四】求下图的表面积和体积。 【答案】345.4平方分米；157立方分米 【分析】分析图形可知，所求图形的底面是环形，根据圆环的面积公式，求出图形的底面积，所求图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋环形底面积×2，根据圆柱的侧面积公式，代入数据即可算出图形的表面积。所求图形的体积＝环形底面积×高，据此解答。 【解答】 （平方分米） （平方分米） （立方分米） 即图形的表面积是345.4平方分米，体积是157立方分米。 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 【典例一】计算下面立体图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【答案】表面积：292dm2；体积：253dm3 【分析】把正方体的上底面填补到长方体的上底面被覆盖的面积，则该图形的表面积＝正方体4个侧面的面积之和＋长方体的表面积，其中正方体的棱长是5dm，长方体的长是8dm，宽是8dm，高是2dm，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入相应数值计算。该图形的体积＝正方体的体积＋长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】表面积：5×5×4＋（8×8＋8×2＋8×2）×2 ＝100＋（64＋16＋16）×2 ＝100＋96×2 ＝100＋192 ＝292（dm2） 体积：5×5×5＋8×8×2 ＝125＋128 ＝253（dm3） 【典例二】计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1）   （2） 【答案】（1）96dm2； （2）219cm3 【分析】（1）已知图形是棱长4dm的正方体，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”即可计算出该正方体的表面积； （2）该组合体由一个正方体和一个长方体组成，组合体体积等于正方体体积与长方体体积之和，已知正方体棱长为3cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出正方体体积；已知长方体长8cm，宽8cm，高3cm，根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出长方体体积，最后相加即可。 【解答】（1）4×4×6 ＝16×6 ＝96（dm2） 所以该正方体的表面积是96dm2； （2）3×3×3 ＝9×3 ＝27（cm3） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（cm3） 27＋192＝219（cm3） 所以该图形的体积是219cm3。 【典例三】计算下面图形的表面积和体积。    【答案】376平方米；456立方米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，由图可知，大长方体顶点处切去一个小长方体后，去掉部分的面积和新增加部分的面积相等，所以该图形的表面积等于原来大长方体的表面积；而该图形的体积比原来大长方体的体积减少了一个小长方体的体积，所以该图形的体积等于大长方体的体积减去小长方体的体积，据此解答。 【解答】表面积：（10×6＋10×8＋6×8）×2 ＝（60＋80＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方米） 体积：10×6×8－4×2×3 ＝480－24 ＝456（立方米） 所以，该图形的表面积是376平方米，体积是456立方米。 【典例四】计算下面立体图形的表面积和体积。 （1）           （2） 【答案】（1）表面积：294dm2；体积：343dm3 （2）表面积：198cm2；体积：135cm3 【分析】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此把棱长是7dm代入列式计算； （2）据图可知，根据平移法可知：这个立体图形的表面积等于长是12cm、宽是3cm、高是（3＋3）cm的长方体的表面积减去2个长是（12－3）cm、宽是3cm的长方形的面积；立体图形的体积等于长是12cm、宽是3cm、高是（3＋3）cm的长方体的体积减去一个长是（12－3）cm、宽是3cm、高是3cm的长方体的体积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可。 【解答】（1）7×7×6 ＝49×6 ＝294（dm2） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（dm3） 立体图形的表面积是294dm2，体积是343dm3。 （2）[12×3＋12×（3＋3）＋3×（3＋3）]×2－（12－3）×3×2 ＝[36＋12×6＋3×6]×2－9×3×2 ＝[36＋72＋18]×2－27×2 ＝126×2－54 ＝252－54 ＝198（cm2） 12×（3＋3）×3－（12－3）×3×3 ＝12×6×3－9×3×3 ＝72×3－27×3 ＝216－81 ＝135（cm3） 立体图形的表面积是198cm2，体积是135cm3。 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】计算下面立体图形的体积。 【答案】282.6dm3 【分析】由图可知图形是由两个圆锥和一个圆柱组成，一个圆锥的高是3dm，另一个圆锥的高是6dm，它们的底面直径都是6dm；圆柱的高为7dm，底面直径是6dm，根据：圆锥的体积＝π（d÷2）2h，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，将数据代入公式计算各部分的体积，再相加即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（dm3） 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（dm3） 3.14×（6÷2）2×7 ＝3.14×9×7 ＝28.26×7 ＝197.82（dm3） 28.26＋56.52＋197.82 ＝84.78＋197.82 ＝282.6（dm3） 立体图形的体积是282.6dm3。 【典例二】计算组合图形的体积。 【答案】263.76cm3 【分析】据图可知，这个组合图形的体积等于一个底面半径是3cm高是7cm的圆柱的体积加上一个底面半径是3cm高是7cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h列式计算即可。 【解答】3.14×32×7＋3.14×32×7× ＝3.14×9×7＋3.14×9×7× ＝28.26×7＋28.26×7× ＝197.82＋197.82× ＝197.82＋65.94 ＝263.76（cm3） 组合图形的体积是263.76cm3。 【典例三】求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 【答案】2072.4立方厘米；150.72立方厘米 【分析】（1），图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公式计算； （2），，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公式计算。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2072.4（立方厘米） 所以，该图形的体积是2072.4立方厘米。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150.72（立方厘米） 所以，该图形的体积是150.72立方厘米。 【典例四】求图中立体图形的体积。 【答案】251.2cm3 【分析】观察图形可知，组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【解答】3.14×（8÷2）2×2＋×3.14×（8÷2）2×9 ＝3.14×42×2＋×3.14×42×9 ＝3.14×16×2＋×3.14×16×9 ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 组合体的体积是251.2cm3。 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 【典例一】由下图可知，一个苹果和一个梨的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】240立方厘米；120立方厘米 【分析】水面上升的体积就是浸入水中物体的体积，长×宽×（10－7）＝一个苹果和一个梨的体积，长×宽×（14－10）＝（5－1）个梨的体积，据此求出1个梨的体积，一个苹果和一个梨的体积－1个梨的体积＝1个苹果的体积。 【解答】20×6×（10－7） ＝120×3 ＝360（立方厘米） 20×6×（14－10）÷（5－1） ＝120×4÷4 ＝120（立方厘米） 360－120＝240（立方厘米） 答：一个苹果和一个梨的体积分别是240立方厘米、120立方厘米。 【典例二】制作一个如下图一样高为4分米的无盖玻璃鱼缸。 （1）请你提一个有价值的数学问题并作答？ （2）玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为5立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 【答案】（1）提出问题：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃多少平方分米？110平方分米； （2）8.5分钟 【分析】（1）分析题目，可以提出问题：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃多少平方分米？制作一个长方体无盖玻璃鱼缸需要的玻璃的面积等于长方体的下面、前后、左右5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：需要玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式计算即可； （2）分析题目，先根据长方体的体积＝长×宽×高求出鱼缸中流入高度为1.5分米的水的体积，再减去假山石的体积即可得到实际需要流入的水的体积，最后除以每分钟水的流入量即可解答。 【解答】（1）提出问题：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃多少平方分米？（问题不唯一） 6.5×4＋4×4×2＋6.5×4×2 ＝26＋16×2＋26×2 ＝26＋32＋52 ＝110（平方分米） 答：做一个这样的无盖玻璃鱼缸需要玻璃110平方分米。 （2）6.5×4×1.5－5 ＝26×1.5－5 ＝39－5 ＝34（立方分米） 34÷4＝8.5（分） 答：至少需要8.5分钟才能把假山石完全淹没。 【典例三】依依往一个长是12厘米，宽是10厘米，高是9厘米，水深7.5厘米的长方体容器中投入一块棱长是5厘米的正方体石块，此时的水是否会溢出？请计算说明。 【答案】不会溢出 【分析】长方体容器中无水部分可以看作一个长方体，该长方体的长是12厘米，宽是10厘米，高是（9－7.5）厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出无水部分的体积，再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体石块的体积，最后比较大小，即可求得。 【解答】12×10×（9－7.5） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 因为125立方厘米＜180立方厘米，所以水不会溢出。 答：水不会溢出。 【典例四】下图是一个长方体容器，长2分米、宽1.6分米，高1.5分米（数据均为内部测量）。 （1）这个长方体容器最多能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深1分米的水，再将一个石块放入水中（完全浸没）水面上升了0.3分米。这个石块的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）4.8升； （2）0.96立方分米 【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式求出体积，再根据1升＝1立方分米把单位换算成升即可； （2）石块的体积等于长是2分米宽是1.6分米高是0.3分米的长方体的体积，据此根据长方体的体积公式计算即可。 【解答】（1）2×1.6×1.5 ＝3.2×1.5 ＝4.8（立方分米） 4.8立方分米＝4.8升 答：这个长方体容器最多能装4.8升水。 （2）2×1.6×0.3 ＝3.2×0.3 ＝0.96（立方分米） 答：这个石块的体积是0.96立方分米。 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 【典例一】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】因为圆锥浸没在水中，取出圆锥后水面下降，下降部分水的形状为圆柱体，根据等积变换原理，下降部分水的体积就等于圆锥的体积；已知圆柱底面半径是4厘米，水面下降高度是1.5厘米，根据圆柱的体积公式可求出下降水的体积，也就是圆锥体的体积；已知圆锥的高是6厘米，根据圆锥体积公式可计算出圆锥的底面积，“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，代入数值计算出铅锤的底面积。 【解答】3.14×42×1.5 ＝3.14×16×1.5 ＝50.24×1.5 ＝75.36（立方厘米） 75.36×3÷6 ＝226.08÷6 ＝37.68（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是37.68平方厘米。 【典例二】在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】60.288立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（鸡蛋）的体积，鸡蛋的体积等于放入鸡蛋后上升的水的体积，而这部分水的形状是圆柱体，已知底面直径是8厘米可算出半径，放入鸡蛋后水的高度从5厘米上升到了6.2厘米，所以水面上升的高度是6.2－5＝1.2（厘米），最后可根据圆柱体积公式计算，据此解答即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） 6.2－5＝1.2（厘米） 3.14×42×1.2 ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288（立方厘米） 答：这枚鸡蛋的体积大约是60.288立方厘米。 【典例三】一个圆柱形水槽里面盛有10厘米深的水，水槽的底面半径是20厘米，将一个正方体铁块放入水槽并完全浸没水中，这时水面上升了0.5厘米，这个正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】628立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（正方体铁块）的体积。当正方体铁块放入圆柱形水槽并完全浸没水中时，水面上升的那部分水的体积就等于正方体铁块的体积。而水面上升部分的水的形状是圆柱体，已知水槽底面半径是20厘米，水面上升的高度是0.5厘米，根据圆柱体积公式计算。 【解答】3.14×202×0.5 ＝3.14×400×0.5 ＝1256×0.5 ＝628（立方厘米） 答：这个正方体铁块的体积是628立方厘米。 【典例四】“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，丁老师和同学们合作测量一些相同玻璃球的体积，他们进行了如下实验： ①琪琪准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量后得到底面半径3厘米，高12厘米； ②明明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是6厘米； ③慧慧把30颗玻璃球放入玻璃杯（玻璃球完全浸没在水中），测得水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据实验的过程，回答下面的问题： （1）明明注入了多少毫升水？ （2）一颗玻璃球的体积大约是多少？ 【答案】（1）169.56毫升 （2）1.884立方厘米 【分析】（1）由题意可知，明明注入了的水的体积等于圆柱的底面积乘水的高度，根据圆柱的体积＝，把数据代入即可求出明明注入了多少毫升水； （2）首先，我们需要计算出放入30颗玻璃球后，水面上升的高度。这个高度等于圆柱的高度乘以水的高度与水面离杯口的距离之比，然后减去原来的水的高度，我们再根据圆柱的体积＝，计算出30颗玻璃球的总体积，最后除以30，就可以得到一颗玻璃球的体积。 【解答】（1）3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56立方厘米＝169.56毫升 答：明明注入了169.56毫升水。 （2）12×－6 ＝12×－6 ＝8－6 ＝2（厘米） 3.14×32×2÷30 ＝3.14×9×2÷30 ＝28.26×2÷30 ＝56.52÷30 ＝1.884（立方厘米） 答：一颗玻璃球的体积大约是1.884立方厘米。 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例一】将棱长为6米的正方体铁块，熔铸成长9米、宽4米的长方体，这个长方体的高是多少？ 【答案】6米 【分析】分析题目，正方体铁块的体积和熔铸成的长方体的体积是相等的，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体的体积，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）列式求出高即可。 【解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方米） 216÷（9×4） ＝216÷36 ＝6（米） 答：这个长方体的高是6米。 【典例二】实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【分析】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【解答】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 【典例三】有1块棱长是30厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一根横切面积是150平方厘米的长方体的铁柱。这根长方体铁柱的长是多少厘米？ 【答案】180厘米 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积；由于体积不变，正方体铁块的体积＝长方体的铁柱体积；根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【解答】30×30×30÷150 ＝900×30÷150 ＝27000÷150 ＝180（厘米） 答：这根长方体铁柱的长是180厘米。 【典例四】有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】（1）2000立方厘米 （2）400毫升 【分析】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的体积不变，水的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙两个底面积之和的容器； 根据长方体的高h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【解答】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入400毫升水。 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例一】一个圆锥形稻谷堆的底面周长是6.28米，高是1.5米。把这堆稻谷运到一个圆柱形粮囤，已知粮囤的底面直径是1米，则稻谷在粮囤里的高度是多少米？ 【答案】2米 【分析】根据底面周长6.28米，可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式的逆运算，即可求出稻谷堆的高度. 【解答】（米） （米） 答：稻谷在粮囤里的高度是2米。 【典例二】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】54厘米 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米（换算为3140平方厘米），高是1.8厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可根据求出底面积，最后用体积乘3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【解答】31.4平方分米＝3140平方厘米 3140×1.8×3÷（3.14×102） ＝5652×3÷（3.14×100） ＝16956÷314 ＝54（厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 【典例三】竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【答案】（1）7536平方厘米 （2）10厘米 【分析】（1）首先计算给竹筐外部四周贴彩纸的面积：已知圆柱形竹筐的直径d＝40厘米，高h＝60厘米。圆柱的侧面积公式为S＝πdh（π取3.14）。把d＝40厘米，h＝60厘米，π＝3.14代入公式可得竹筐外部四周贴彩纸的面积。 （2）先根据圆锥体积公式V＝Sh（S是圆锥的底面积，h是圆锥的高）计算出圆锥形沙土的体积，已知圆锥的底面积S＝942平方厘米，高h＝40厘米。再根据圆柱体积公式V＝πr²h（r是圆柱底面半径，h是圆柱的高）来求沙土在竹筐里的高度。 【解答】（1）3.14×40×60＝7536（平方厘米） 答：如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备7536平方厘米的彩纸。 （2）40÷2＝20（厘米） ×942×40÷（3.14×202） ＝12560÷（3.14×400） ＝12560÷1256 ＝10（厘米） 答：此时竹筐里的沙土有10厘米。 【典例四】一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【解答】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 第四部分真题专练 一、填空题 1．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是（ ）m3。 【答案】65.94 【分析】求这个蒙古包内的空间，也就是求圆柱和圆锥体积和，根据圆柱体积公式，和圆锥体积公式，将相关数据代入计算即可。 【解答】 （） 所以，这个蒙古包内的空间大约是65.94。 2．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是（ ）厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【解答】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 3．如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是（ ）厘米。 【答案】5 【分析】根据题意把这个容器正放，那么水都流到圆柱，那么容积水面的高＝倒置圆柱部分水的高＋圆锥部分变圆柱后水的高，倒置时圆柱部分的高为（7－3）厘米，圆锥部分水变圆柱后的高与圆柱等底等体积，那么圆柱的高是圆锥的，据此解答。 【解答】（7－3）＋×3 ＝4＋1 ＝5（厘米） 如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是5厘米。 4．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】300 【分析】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了2厘米，上升的这部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面，长30厘米，宽20厘米，高2厘米，根据长方体体积公式V＝abh（其中V为长方体体积，a为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积之和就是1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之和除以4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。 【解答】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方厘米） 1200÷（1＋3） ＝1200÷4 ＝300（立方厘米） 所以圆锥的体积是300立方厘米。 5．一个圆柱形杯子从里面量底面直径是20厘米，里面装有一些水，正好是杯子容积的，将一块石子浸没在水里，水面上升了12厘米，刚好和杯口齐平。这个杯子的容积是（ ）毫升。 【答案】9420 【分析】根据题意，水上升的体积等于石头的体积，根据V＝Sh，计算出石头的体积，再根据水的体积是杯子容器的，那么石头的体积是杯子容器的（1－），再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 【解答】（20÷2）2×3.14×12÷（1－） ＝100×3.14×12÷ ＝314×12× ＝3768× ＝9420（毫升） 所以，这个杯子的容积是9420毫升。 6．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是（ ）立方厘米。 【答案】160.14 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可求得圆锥的体积； 根据圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱的体积，再求和就是组合图形的体积。 【解答】组合图形的体积： （立方厘米） 所以这个组合图形的体积是160.14立方厘米。 【点评】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。 7．如图，陀螺上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测量，圆柱直径和高均为，当圆锥的高是圆柱高的时，旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是（ ）。 【答案】62.8 【分析】将圆柱的高看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。那么将圆柱的高乘，求出圆锥的高。看图可知，圆锥的底面直径和圆柱的底面直径相等。圆柱体积＝πr2h，圆锥体积＝πr2h，将数据代入公式，分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加求出这个陀螺的体积。 【解答】圆锥的高：4×＝3（cm） 圆柱和圆锥的底面半径：4÷2＝2（cm） 陀螺的体积： 3.14×22×4＋×3.14×22×3 ＝3.14×4×4＋×3.14×4×3 ＝50.24＋12.56 ＝62.8（cm3） 所以，这个陀螺的体积是62.8cm3。 8．张叔叔从一个棱长是10厘米正方体萝卜块上，挖去一个长10厘米，宽和高都是1厘米的小长方体萝卜条，剩下部分的体积是（ ）立方厘米，剩下部分的表面积可能是（ ）平方厘米。 【答案】990 598（答案不唯一） 【分析】组合图形的体积等于正方体体积减去长方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解；在不同地方挖去长方体，剩余部分的表面积不同，分析前后增加和减少的部分即可；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长求解即可。 【解答】10×10×10－10×1×1 ＝100×10－10×1 ＝1000－10 ＝990（立方厘米） 10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 如图： 挖去长方体后减少了两个边长为1厘米的正方形的面。 600－1×1×2 ＝600－1×2 ＝600－2 ＝598（平方厘米） 如图： 挖去长方体后减少了两个边长1厘米的正方形的面，增加了两个长10厘米，宽1厘米的长方形的面。 600－1×1×2＋10×1×2 ＝600－1×2＋10×2 ＝600－2＋20 ＝598＋20 ＝618（平方厘米） 如图： 挖去长方体后减少了两个边长1厘米的正方形的面，增加了4个长10厘米，宽1厘米的长方形的面。 600－1×1×2＋10×1×4 ＝600－1×2＋10×4 ＝600－2＋40 ＝598＋40 ＝638（平方厘米） 即剩下部分的体积是990立方厘米，剩下部分的表面积可能是598平方厘米或618平方厘米或638平方厘米。 【点评】本题考查长方体的表面积和体积公式，要灵活运用。 9．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm2。 【答案】53.38 【分析】从图中可知，黑布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，黄布的面积＝圆环的面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆环的面积公式S环＝π（R2－r2） ，代入数据计算，分别求出黑布与黄布的面积，再相减即可。 【解答】18÷2＝9（cm） 9＋8＝17（cm） 黑布的面积： 3.14×18×8＋3.14×92 ＝56.52×8＋3.14×81 ＝452.16＋254.34 ＝706.5（cm2） 黄布的面积： 3.14×（172－92） ＝3.14×（289－81） ＝3.14×208 ＝653.12（cm2） 相差：706.5－653.12＝53.38（cm2） 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差53.38cm2。 10．如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是（ ），体积是（ ）。 【答案】186 152 【分析】通过平移，将小正方体上面的面平移到下面，它的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体1个面的面积×4，正方体表面积＝棱长×棱长×6；它的体积＝大正方体的体积＋小正方体的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【解答】5×5×6＋3×3×4 ＝150＋36 ＝186（） 5×5×5＋3×3×3 ＝125＋27 ＝152（） 它的表面积是186，体积是152。 二、选择题 11．把一个体积是9立方分米的圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．9 B．27 C．3 【答案】A 【分析】根据体积的含义：物体所占空间的大小叫做物体的体积；可知：把一个圆柱形铁块熔铸成圆锥形铁块，体积不发生变化；据此选择即可。 【解答】由分析可知： 把一个体积是9立方分米的圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，圆锥的体积是9立方分米。 故答案为：A 12．把一个铁球浸没在底面直径是12厘米的圆柱形量杯的水中，水的高度由原来的6厘米上升到9厘米（如图）。这个铁球的体积是（    ）立方厘米。 A．113.04 B．1017.36 C．678.24 D．339.12 【答案】D 【分析】根据题意，把一个铁球浸没在一个有水的圆柱形量杯中，水上升了（9－6）厘米，那么水上升部分的体积等于这个铁球的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个铁球的体积。 【解答】3.14×（12÷2）2×（9－6） ＝3.14×62×3 ＝3.14×36×3 ＝339.12（立方厘米） 这个铁球的体积是339.12立方厘米。 故答案为：D 13．一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个石顶屋的体积是（    ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 【答案】D 【分析】圆锥的体积＝π×底面半径的平方×高÷3，长方体的体积＝长×宽×高，圆锥的体积＋长方体的体积＝这个石顶屋的体积，据此解答即可。 【解答】圆锥的底面直径是4m，底面半径是2m， 圆锥的体积：3.14×2×2×3÷3 ＝12.56×3÷3 ＝12.56（m3） 长方体的体积：4×4×2 ＝16×2 ＝32（m3） 石顶屋的体积：12.56＋32＝44.56（m3） 故答案为：D 14．一个圆锥形沙堆，底面积是62.8m，高是2.4m。用这堆沙可在宽4m，厚5cm的公路上铺多少m？下面列式正确的是（    ）。 A．62.8×2.4÷4÷5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：圆锥的体积＝长方体的体积。已知圆锥的底面积是62.8m，高是2.4m。根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据即可求出体积。已知长方体的宽4m，厚5cm（即高5cm），求长方体的长，先将5cm除以进率100，换算成0.05m，再根据长方体的长＝体积÷（宽×高），代入数据即可求出长。 【解答】圆锥的体积：＝50.24（cm3） 长方体的长： ＝ ＝251.2（m） 用这堆沙可在宽4m，厚5cm的公路上铺251.2m。 因此列式正确的是 故答案为：C 15．在一个长为15cm，宽为10cm，高为20cm的长方体空盒里放入一个土豆，加满水，再将土豆拿起来，此时水的高度下降了2cm，可以知道土豆的体积是（    ）cm3。 A．3000 B．300 C．2700 D．600 【答案】B 【分析】从装有水的长方体盒子中取出一个土豆，水的高度下降了2cm，那么水下降部分的体积等于土豆的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出土豆的体积。 【解答】15×10×2 ＝150×2 ＝300（cm3） 土豆的体积是300cm3。 故答案为：B 16．一个药瓶的容积是26.4立方厘米，瓶内装有一些药水（如下图所示）。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶内药水的体积是（    ）。 A．26.4立方厘米 B．19.8立方厘米 C．66立方厘米 D．无法确定 【答案】B 【分析】由题意可知，无论药瓶是正放还是倒放，瓶内药水的体积和瓶内空余部分的体积不变，药瓶的容积＝正放时药水的体积＋倒放时空余部分的体积，它们合在一起是一个圆柱，圆柱的体积是26.4立方厘米，圆柱的高是（6＋2）厘米，根据“”求出圆柱的底面积，即正放时药瓶的底面积，正放时瓶内药水液面高6厘米，根据“”求出瓶内药水的体积，据此解答。 【解答】26.4÷（6＋2） ＝26.4÷8 ＝3.3（平方厘米） 3.3×6＝19.8（立方厘米） 所以，瓶内药水的体积是19.8立方厘米。 故答案为：B 17．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【答案】C 【分析】从图中可知，陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个陀螺的体积。 【解答】π×（6÷2）2×6＋×π×（6÷2）2×3 ＝π×32×6＋×π×32×3 ＝π×9×6＋×π×9×3 ＝54π＋9π ＝63π（立方厘米） 这个陀螺的体积大约是63π立方厘米。 故答案为：C 18．如图，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比（    ）。 A．甲的体积较大 B．乙的体积较大 C．甲、乙体积一样大 【答案】A 【分析】甲的体积＝底面半径是3cm，高是6cm的圆柱的体积－底面半径是3cm，高是（6－3）cm圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，据此求出甲的体积； 乙的体积＝底面半径是3cm，高是（6－3）cm的圆柱的体积＋底面半径是3cm，高是（6－3）cm的圆锥的体积，据此求出乙的体积，再和甲的体积比较，即可解答。 【解答】甲的体积： 3.14×32×6－3.14×32×（6－3）× ＝3.14×9×6－3.14×9×3× ＝28.26×6－28.26×3× ＝169.56－84.78× ＝169.56－28.26 ＝141.3（cm3） 乙的体积： 3.14×32×（6－3）＋3.14×32×（6－3）× ＝3.14×9×3＋3.14×9×3× ＝28.26×3＋28.26×3× ＝84.78＋84.78× ＝84.78＋28.26 ＝113.04（cm3） 141.3＞113.04，甲的体积较大。 分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比甲的体积较大。 故答案为：A 19．一个长、宽与高都是的长方体，将它挖掉一个棱长的小正方体后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．不变 【答案】A 【分析】由题意可知，将这个长方体挖掉一个小正方体后，表面积减少了2个正方形的面积，但又增加了4个正方形的面积，所以挖掉一个小正方体后的长方体比原来的长方体的表面积增加了2个正方形的面积。 【解答】由分析可知： 将它挖掉一个棱长的小正方体后（如图），它的表面积比原来大。 故答案为：A 【点评】本题考查长方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。 20．如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2。原来这个物体的体积是（    ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 【答案】B 【分析】根据题意，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2；那么增加的表面积是圆柱的两个底面积；先用增加的表面积除以2，求出圆柱或圆锥的底面积； 原来这个物体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【解答】底面积：12.56÷2＝6.28（cm2） 6.28×3＋×6.28×（6－3） ＝6.28×3＋×6.28×3 ＝18.84＋6.28 ＝25.12（cm3） 原来这个物体的体积是25.12cm3。 故答案为：B 三、计算题 21．计算如图图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【分析】观察图形可知，小圆柱和大圆柱有重合的部分，把小圆柱的上底面向下平移，补给大圆柱的上底面；这样大圆柱的表面积是侧面积和2个底面积之和，而小圆柱只需计算侧面积即可；所以组合图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积＋小圆柱的侧面积；根据公式S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 【解答】2×3.14×3×5＋3.14×32×2＋2×3.14×2×3 ＝2×3.14×3×5＋3.14×9×2＋2×3.14×2×3 ＝94.2＋56.52＋37.68 ＝188.4（cm2） 图形的表面积是188.4cm2。 22．求如图这个零件的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3 【分析】零件的体积等于长为30cm、宽为20cm、高为15cm的长方体的体积减去底面半径为5cm、高为30cm的圆柱体体积的一半，根据长方体的体积＝长×宽×高，圆柱体的体积的一半＝h÷2，代入数据计算即可求解。 【解答】30×20×15－3.14××30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（） 23．求体积。（单位：cm）             【答案】263.76cm3 【分析】这个组合体的体积＝底面直径是6cm，高是8cm的圆柱的体积＋底面直径是6cm，高是4cm的圆锥的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（6÷2）2×8＋3.14×（6÷2）2×4× ＝3.14×32×8＋3.14×32×4× ＝3.14×9×8＋3.14×9×4× ＝226.08＋37.68 ＝263.76（cm3） 组合体的面积是263.76cm3。 四、解答题 24．小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）18立方厘米 （2）13.5平方厘米 【分析】（1）由题意可知，上升的水的体积就是圆锥的体积，已知上升的水呈长方体，长是15厘米，宽是6厘米，高是厘米，根据，代入数据计算即可。 （2）根据的逆运算，用圆锥体积除以再除以高，即可得圆锥的底面积。 【解答】（1） （立方厘米） 答：圆锥铁块的体积是18立方厘米。 （2） （平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是13.5平方厘米。 25．有一个底面直径是16厘米、高是20厘米的圆柱形容器，容器中原来水深12厘米。把一个底面直径是8厘米、高是4厘米的圆柱形铁块浸没其中，现在水深多少厘米？ 【答案】13厘米 【分析】已知圆柱形容器的底面直径是16厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积； 已知圆柱形铁块的底面直径是8厘米、高是4厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积； 把圆柱形铁块浸没在水深12厘米的圆柱形容器中，水面会上升，水上升部分的体积等于铁块的体积；根据圆柱的体积公式V＝Sh，可知水上升的高度h＝V÷S，据此求出水上升的高度，再加上原来水的深度，即可求出现在水的深度。 【解答】圆柱形容器的底面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 圆柱形铁块的体积： 3.14×（8÷2）2×4 ＝3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方厘米） 水上升了： 200.96÷200.96＝1（厘米） 现在水的高度： 12＋1＝13（厘米） 答：现在水深13厘米。 26．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】54厘米 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米（换算为3140平方厘米），高是1.8厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可根据求出底面积，最后用体积乘3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【解答】31.4平方分米＝3140平方厘米 3140×1.8×3÷（3.14×102） ＝5652×3÷（3.14×100） ＝16956÷314 ＝54（厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 27．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【答案】314立方厘米 【分析】水面上升的体积，就是圆柱和圆锥铁块的体积。由题意可知，圆柱形容器水面升高了厘米，根据圆柱的体积计算公式，即可求出水面上升的体积，即圆柱和圆锥的体积和，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，利用体积除以（3＋1）即可求出圆锥的体积。 【解答】3.14×102×（9－5）÷（3＋1） ＝3.14×100×4÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 28．一个盛有水、底面直径是20厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】1.2厘米 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式求出圆锥形铅锤的体积，再根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2求出圆柱形容器的底面积，最后用圆锥形铅锤的体积除以圆柱容器的底面积即可得到水面下降的高度。 【解答】3.14×（12÷2）2×10× ＝3.14×62×10× ＝3.14×36×10× ＝113.04×10× ＝1130.4× ＝376.8（立方厘米） 376.8÷[3.14×（20÷2）2] ＝376.8÷[3.14×102] ＝376.8÷[3.14×100] ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降1.2厘米。 29．一个钢制机器零件如下图（单位：厘米），这种钢每立方厘米重8克。这个零件的质量大约是多少克？ 【答案】10927.2克 【分析】零件是由2个圆柱组成，根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出2个圆柱的体积，相加，求出零件体积，零件体积×每立方厘米的质量＝这个零件的质量。 【解答】3.14×（4÷2）2×15＋3.14×（10÷2）2×15 ＝3.14×22×15＋3.14×52×15 ＝3.14×4×15＋3.14×25×15 ＝188.4＋1177.5 ＝1365.9（立方厘米） 1365.9×8＝10927.2（克） 答：这个零件的质量大约是10927.2克。 30．下图是一个装满小麦的铁皮粮囤，由一个圆柱和一个圆锥组合而成。这个铁皮粮囤内的小麦有多少立方米？（铁皮的厚度不计） 【答案】16.956立方米 【分析】铁皮粮囤的体积等于底面直径是3米、高是2米的圆柱的体积＋底面直径是3米、高是1.2米的圆锥的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这个铁皮粮囤的体积，即可解答。 【解答】3.14×（3÷2）2×2＋3.14×（3÷2）2×1.2× ＝3.14×1.52×2＋3.14×1.52×1.2× ＝3.14×2.25×2＋3.14×2.25×1.2× ＝7.065×2＋7.065×1.2× ＝14.13＋8.478× ＝14.13＋2.826 ＝16.956（立方米） 答：这个铁皮粮囤内的小麦有16.956立方米。 31．一种立体的米形玩具，三个长方体的长宽高都分别为10厘米、2厘米、2厘米。这个米字形玩具的体积是多少立方厘米？ 【答案】104立方厘米 【分析】由图可知，三个长方体重叠处有三个棱长是2厘米的小正方体，先根据长方体的体积＝长×宽×高，用10×2×2求出一个长方体的体积，再乘3，求出3个长方体的体积和，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用2×2×2求出重叠处的一个正方体的体积，再乘2求出重叠处的2个正方体的体积，最后用3个长方体的体积减去重叠处的2个正方体的体积即可解答。 【解答】10×2×2×3－2×2×2×2 ＝20×2×3－4×2×2 ＝40×3－8×2 ＝120－16 ＝104（立方厘米） 答：这个米字形玩具的体积是104立方厘米。 32．有一种陀螺（如下图），上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆柱的体积与圆锥的体积之比为4∶1时，陀螺会转得又稳又快。已知圆锥的底面直径是4厘米，高是1.5厘米。请你算一算，这个陀螺的体积是多少时才能使陀螺转得又稳又快？ 【答案】31.4立方厘米 【分析】先利用“”求出圆锥的体积，已知圆柱的体积与圆锥的体积之比为4∶1，所以陀螺的体积是圆锥体积的（4＋1）倍，据此即可求出陀螺的体积。 【解答】 ＝ ＝ ＝（立方厘米） ＝ ＝31.4（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是31.4立方厘米时才能使陀螺转得又稳又快。 33．如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 【答案】296平方厘米 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出完整的长方体表面积，中间挖去一个正方体，表面积减少了2个正方形的面，又多出4个正方形的面，这个立体图形的表面积＝长方体表面积－底面积－正方体棱长×棱长×2＋正方体棱长×棱长×4，据此列式解答。 【解答】（10×4＋10×8＋4×8）×2－10×4－4×4×2＋4×4×4 ＝（40＋80＋32）×2－40－32＋64 ＝152×2－40－32＋64 ＝304－40－32＋64 ＝296（平方厘米） 答：它的表面积是296平方厘米。 34．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【答案】533.8平方厘米 【分析】这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面积，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱的底面。 所以，这个零件接触空气的面积即涂漆面积＝高12厘米，底面直径是8厘米的圆柱的表面积＋直径是6厘米，高为7厘米的圆柱的侧面积。 圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高。圆的面积（底面积）＝π×半径2，据此代入数据计算。 【解答】 ＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7 ＝3.14×16×2＋301.44＋131.88 ＝100.48＋301.44＋131.88 ＝401.92＋131.88 ＝533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 35．为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 【答案】4082平方厘米 【分析】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所需硬纸片的总面积。 【解答】20÷2＝10（厘米） 10＋20＝30（厘米） 3.14×30² ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 3.14×20×20＝1256（平方厘米） 2826＋1256＝4082（平方厘米） 答：他至少要用硬纸片4082平方厘米。 【点评】本题关键是求出大圆的半径，明确帽檐的面积与帽顶的面积和等于大圆的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$