精品解析：天津市河东区2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试题

河东区2024~2025学年度第二学期期中质量检测 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题卡交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在五边形中（如图），（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加减法，直接计算结果. 【详解】. 故选：B 2. 平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算. 【详解】 由题意：是的中点，点是的一个三等分点， ∴. 故选：D. 3. 已知复数，则 A. B. 的实部为 C. 的虚部为 D. 的共轭复数为 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意首先化简复数z，然后结合z的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：， 则，选项A错误； 的实部为，选项B错误； 的虚部为，选项C正确； 的共轭复数为，选项D错误. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高． 【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴， 又，解得， 因此，此圆锥的高． 故选：C． 5. 用斜二测画法画水平放置的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 【详解】因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高. 故选：D. 6. 对于下列四个命题： ①任何复数的绝对值都是非负数； ②如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆； ③的最大值是，最小值为0； ④轴是复平面的实轴，轴是虚轴. 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】 ①由复数模的计算判断； ②分别计算出、、和的模判断； ③计算的模判断； ④由复平面的定义判断. 【详解】①正确.因为若，则，若，； ②正确.因为，，，，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上. ③错.因为为定值，最大、最小值相等都是1. ④正确.由复平面的定义，是成立的. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数模的计算和复平面的定义，属于基础题. 7. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 8. 设两个向量和，其中λ，m，α为实数，若，则的取值范围是（ ） A. [－6,1] B. [4,8] C. (－∞，1] D. [－1,6] 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得 然后计算的范围，最后简单化简计算即可. 详解】由，得所以 又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2， 所以－2≤cos2α＋2sinα≤2.所以－2≤λ2－m≤2. 将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，解得≤m≤2， 所以＝2－∈[－6,1]． 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分. 9. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算性质即可得. 【详解】解：. 故答案为：. 10. 已知向量，若，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由向量平行的坐标表示计算． 【详解】由题意，又，∴，解得． 故答案为：． 11. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形， 可把直三棱柱的补成一个长方体， 则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且， 即，即， 所以球的表面积为． 故答案为 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 12. 已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据投影向量计算公式即可求解. 【详解】 在 方向上的投影向量为， 故，解得， 故答案为： 13. 在直角梯形中，点为腰的中点，则． 【答案】 【解析】 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系， 则,因为，， 所以为腰的中点， 则点到的距离等于， 到的距离为， 所以， 所以. 故答案为：2 【点晴】本题主要考查了平面向量在几何问题中的应用，通过建立平面直角坐标性将几何问题转化为代数运算问题，大大降低了试题的难度，同时考查了平面向量的坐标形式下的向量的数量积的公式，着重考查了转化与化归思想及数形结合思想的应用，本题的解答中以直角梯形的两个直角边为坐标轴，建立直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 14. 在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，利用正弦定理化简可得，即可求出角B；根据诱导公式可得，结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】由， 所以， 由正弦定理，得， 有，又，故； ， 因为，所以，则， 所以，即. 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 15. 已知复数 求满足下列条件的实数的值或取值范围. （1）复数与复数 相等； （2）复数在复平面内对应的点在轴上方. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据复数相等的定义，实部、虚部分别相等，列出方程组，即可解得的值； （2）根据复数的几何意义，写出该复数在复平面内对应的点的坐标.由该点在轴上方可知，其纵坐标大于零，解不等式即可. 小问1详解】 由题意可得， ， ； 【小问2详解】 ， 其在复平面对应的点为， 该点在轴上方，则 或. 16. （1）已知单位向量与夹角为60°，且，求的值. （2）已知，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的定义求得•的值，而•2，代入所得数据进行运算即可； （2）将||两边平方展开后得7，从而求出的值，再由cos即可得解. 【详解】解：（1）∵单位向量与夹角为60°， ∴•||•||cos60°＝1×1. ∴（）•（2）•212. （2）∵||，∴7，即2﹣29＝7， ∴2， ∴cos. 故与夹角的余弦值为. 17. 如图所示，有一块扇形铁皮，要剪下来一个扇环，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求： （1）的长； （2）容器的容积． 参考公式：圆台的体积公式：分别是上、下底面面积，为台体的高） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)根据弧长公式求圆台大底面半径，再求得，即得； (2) 根据弧长公式求圆台小底面半径，再代入圆台的体积公式得结果. 【详解】（1）如图1，设与圆相切与， 设圆台上、下底面圆的半径分别为、， ∵，∴ 在中，，，∴ ∴(). （2）∵，∴ 圆台的轴截面为图2，圆台的高 ∴ 即容器的容积为 . 18. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，化边为角，即可求出cosB以及B的值； （2）利用正弦定理可得，结合利用三角恒等变换可化简得，结合的范围即可求出的取值范围，再求周长的取值范围． 【详解】（1）中，由， 利用正弦定理 可得， 因为，所以， 又， 所以或； （2）若为锐角三角形，由（1）知，且外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 由正弦定理得， 所以； 因为， 所以， 又为锐角三角形，则，且， 又，则，所以； 所以； 所以，即周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2024~2025学年度第二学期期中质量检测 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题卡交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 五边形中（如图），（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （ ） A. B. C. D. 3 已知复数，则 A. B. 实部为 C. 的虚部为 D. 的共轭复数为 4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. B. 2 C. D. 5. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 6. 对于下列四个命题： ①任何复数的绝对值都是非负数； ②如果复数，，，，那么这些复数对应点共圆； ③的最大值是，最小值为0； ④轴是复平面的实轴，轴是虚轴. 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 8. 设两个向量和，其中λ，m，α为实数，若，则的取值范围是（ ） A. [－6,1] B. [4,8] C. (－∞，1] D. [－1,6] 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分. 9. 已知，则____________． 10. 已知向量，若，则实数__________． 11. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为______. 12. 已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________. 13. 在直角梯形中，点为腰的中点，则． 14. 在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为 ___________. 三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 15. 已知复数 求满足下列条件的实数的值或取值范围. （1）复数与复数 相等； （2）复数在复平面内对应的点在轴上方. 16. （1）已知单位向量与夹角为60°，且，求的值. （2）已知，求与夹角余弦值. 17. 如图所示，有一块扇形铁皮，要剪下来一个扇环，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求： （1）的长； （2）容器的容积． 参考公式：圆台的体积公式：分别是上、下底面面积，为台体的高） 18. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $