精品解析：天津市河东区2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

河东区2023~2024学年度第二学期期中质量检测 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90题分钟． 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置，考试结束后，将答题卡交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们起点和终点分别重合 B. 模相等的两个平行向量是相等向量 C. 若和都是单位向量，则 D. 零向量与其它向量都共线 2. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 4. 在中，，，，则的面积为（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是 A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分组成的几何体叫棱台 D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形公共边都互相平行的几何体叫棱柱 6. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分. 9. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________. 10. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______． 11. 在中，，，，则__________. 12. 若向量满足：，则在上的投影向量为______. 13. 某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为______. 14. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 三、解答题：本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 15. 计算： （1）； （2）； 16. 已知复数，当取何实数值时，复数是： （1）纯虚数； （2）. 17. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且， （1）求角A. （2）求△面积. 18. （1）已知单位向量与夹角为60°，且，求的值. （2）已知，求与夹角的余弦值. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，. （1）求； （2）若，，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河东区2023~2024学年度第二学期期中质量检测 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90题分钟． 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置，考试结束后，将答题卡交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 模相等的两个平行向量是相等向量 C. 若和都单位向量，则 D. 零向量与其它向量都共线 【答案】D 【解析】 【分析】利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误； 对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误； 对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误； 对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确. 故选：D. 2. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得. 【详解】；； ； 故选：D 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理，代入即得解 【详解】在中，由余弦定理： 故 即 解得或（舍去） 故选：B 4. 在中，，，，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦定理得出，即可得出，结合面积公式即可得. 【详解】在中，因为，，， 由余弦定理得， 因为，所以， 则. 故选：B. 5. 下列命题正确的是 A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】由棱柱、棱台的定义可判断命题的正确与错误． 【详解】棱柱的定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．棱台必须是用平行于底面的平面去截棱锥才能得到棱台，所以选项ABC错，选项D正确，选D. 【点睛】本题考查学生对棱柱、棱台的定义的识记与理解，属容易题． 6. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解. 【详解】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形， 所以. 故选：B. 7. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模及除法运算化简复数，即可得到复数对应点得解. 【详解】， 复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 8. 在中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】将条件，利用向量加法的几何意义及数量积的运算转化为角平分线与高线合一可得等腰三角形；再利用数量积定义求解角，即可判断形状. 【详解】由，得， 由和分别是与、方向相同的单位向量， 如图，在边上取点，使， 作平行四边形，则， 由，则平行四边形为菱形，则对角线即为的平分线； 由，可得，故， 延长交于，即，则既是高线，也是的平分线， 为等腰三角形，且； 由， 所以，由，所以， 故，即为等边三角形. 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分. 9. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z对应点的坐标是，则， 所以. 故答案为： 10. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______． 【答案】. 【解析】 【分析】设球的半径为，可知圆柱高为；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为 圆柱的表面积；球的表面积 圆柱的表面积与球的表面积之比为 本题正确结果： 【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题. 11. 在中，，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值． 【详解】解：因为在中，，，， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 则． 故答案为：． 12. 若向量满足：，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量坐标运算求解投影向量即可. 【详解】因为，所以向量在上的投影向量为. 故答案为： 13. 某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为______. 【答案】 【解析】 【分析】过点D作，交BC于E，计算出、，在中，由正弦定理计算出，在中即可计算出山高. 【详解】过点D作，交BC于E， 因为，所以，则. 又因为，所以 在中，由正弦定理，得， 在中，，故山高度约为. 故答案为： 14. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据求出点的坐标，设出，将转化为关于，即可求出其最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则, 所以， 所以，即点的坐标为， 设，则（）， 所以， 所以 ， 所以当，且时，取得最小值， 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 15. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可； （2）利用复数的四则运算法则化简求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知复数，当取何实数值时，复数是： （1）纯虚数； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用，即可求解. （2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等即可求解. 【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以 （2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得， 解得，即 17. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且， （1）求角A. （2）求△的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件，结合余弦定理可得，即可求角A； （2）应用三角形面积公式直接求△的面积即可. 【详解】（1）由，得， ∴，，可得. （2）. 18. （1）已知单位向量与夹角为60°，且，求的值. （2）已知，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的定义求得•的值，而•2，代入所得数据进行运算即可； （2）将||两边平方展开后得7，从而求出的值，再由cos即可得解. 【详解】解：（1）∵单位向量与夹角为60°， ∴•||•||cos60°＝1×1. ∴（）•（2）•212. （2）∵||，∴7，即2﹣29＝7， ∴2， ∴cos. 故与夹角的余弦值为. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，. （1）求； （2）若，，求周长取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值，结合的范围可得，再利用两角和的余弦公式即得解； （2）由（1）及已知求出的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得解. 【详解】（1）在中，因，由三角形面积公式 则， 即，而，得， （2）由知，于是得为钝角，又，则， 由正弦定理得，则，， 则， 而，即，则， 于是得，， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$