精品解析：2025年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考模拟预测数学试题

绝密★启用前 南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级 中考模拟测试卷 数学·试题卷 试卷类型∶ A 卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项: 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 5. 甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 甲 乙 丙 则三名运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 6. 下列命题中，①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；②一名篮球运动员投篮命中概率为0.7，他投篮10次，一定会命中7次；③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是180°，正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 9. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 10. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11. 在0，，，这四个数中，最小数是____________． 12. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为___________． 13. 如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 14. 因式分解a2－a－6＝_____． 15. 若关于x的方程有实数根，则的取值范围是 _____． 16. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______． 17. 有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm． 18. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组： （2）化简： （3） 20. 某校随机调查了本学期部分学生读课外书册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 （1）本次调查的学生人数为________； （2） ________； （3）已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； （4）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 21. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 22. 在中，直径垂直于弦，垂足E，连接，，， （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 23. 如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 24. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x/(元/千克) 50 60 70 销售量y/千克 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)； （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 25. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； （3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 26. 如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． （1）结合位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是____________m． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级 中考模拟测试卷 数学·试题卷 试卷类型∶ A 卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项: 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】D 【解析】 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，求出计算结果为，然后分析奇偶性即可求解． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为， 根据题意，得 ， m,n为整数， 和均为整数， 为奇数， 必为偶数，表示为, 原式, ∵因数是的倍数， ∴任意两个奇数的平方差总能被整除， 故选：D． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 5. 甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 甲 乙 丙 则三名运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查通过方差判断数据的稳定性，计算3名运动员测试成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小，方差越大，数据的波动越大”即可解答． 【详解】解：甲的平均数为 方差； 乙的平均数为 方差； 丙的平均数为 方差； ∴ ∴甲的成绩最稳定． 故选：A． 6. 下列命题中，①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；②一名篮球运动员投篮命中概率为0.7，他投篮10次，一定会命中7次；③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是180°，正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件的定义对①进行判断；根据概率的定义对②进行判断；根据平方的意义对③进行判断；根据三角形的内角和对④进行判断． 【详解】解：①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；正确． ②一名篮球运动员投篮命中概率为0.7，他投篮10次，不一定会命中7次；故错误． ③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；例如：0．故错误， ④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是，正确． 正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 7. 在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（-3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值． 试题解析：如图所示， ∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O， ∴⊙P的半径是1， 若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0，）， ∴OA=3，OB=， 由勾股定理得：AB=2，∠DAM=30°， 设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′）， ∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°， ∴AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P′点的坐标为（-1，0）， 同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0）， 所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是-2，-3，-4共三个． 故选C． 考点：1．直线与圆的位置关系；2．一次函数的性质． 8. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 9. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 10. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图， 则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11. 在0，，，这四个数中，最小的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，进行作答即可． 详解】解：依题意，，， ∴在0，，，这四个数中，最小的数是， 故答案为：． 12. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据一共有9个球，3个绿球，则运用概率公式算出随机取出1个绿球的概率，即可作答． 【详解】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球， ∴从袋子中随机取出1个绿球的概率， 故答案为： 13. 如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 14. 因式分解a2－a－6＝_____． 【答案】(a＋2)(a－3) 【解析】 【分析】利用公式 公式进行因式分解. 【详解】解： ， 故填（a-3）（a+2） 【点睛】本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查. 15. 若关于x的方程有实数根，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论一元一次方程、一元二次方程有实数根时，所需满足条件的取值范围即可． 【详解】解：当 时，原方程可化为： ，该方程有解； 符合题意 当时，由题意可得： 解得： 综上可得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次方程与一元二次方程的定义；题中并没有确定该方程的种类，对此类问题进行分类讨论，避免漏解是解决问题的关键． 16. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用． 模仿材料中的方法，将 写成一个差的完全平方的形式，然后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 的算术平方根是 ． 故答案为：． 17. 有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 18. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大时，EF最大， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN=DB==6， ∴EF的最大值为3． 故答案为：3. 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组： （2）化简： （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． （2）先将除法化为乘法约分，再通分作差即可； （3）先化简二次根式，再去括号合并即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式的解集为； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 （1）本次调查的学生人数为________； （2） ________； （3）已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； （4）学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【答案】（1）36 （2）14 （3）300 （4）6 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为： （人）； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：该校本学期读四册课外书的学生人数约为： （人）； 【小问4详解】 解：∵补查前读课外书册数最多的是五册， ∴补查前读课外书册数的众数为5， ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数， ∴补查的人数最少为（人）． 21. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率以及根据概率公式求概率． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种， ∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种， ∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为． 22. 在中，直径垂直于弦，垂足E，连接，，， （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1）； （2）半径为4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【小问1详解】 解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． 【小问2详解】 如图：连接， 直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 23. 如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）y=（x＞0）；（2）当k=3时，S有最大值．S最大值= ． 【解析】 【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 【详解】（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2， ∴B（3，2）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， 又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上， ∴k=3， ∴该函数的解析式为y=（x＞0） （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， ∴ ， = =， ∴当k=3时，S有最大值．S最大=． 24. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x/(元/千克) 50 60 70 销售量y/千克 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)； （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝－2x＋200 （2）W＝－2x2＋280x－8 000；（3）当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小，售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式； （2）利用利润的定义，求W与x之间的函数表达式； （3）利用二次函数的性质求极值． 【详解】解：（1）设，由题意，得 ，解得， ∴所求函数表达式为． （2）． （3），其中， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小， 当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元． 25. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； （3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】（1） （2）的大小不发生变化，，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 26. 如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是____________m． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 （2）6 （3）①线段的倾斜程度更大；② 【解析】 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． 【小问3详解】 ①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $