精品解析：黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

肇东四中2024-2025下期中考试高二数学试卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. 已知函数在R上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 设函数（），若在上的最大值恒大于4，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 16. 设函数 （1）求的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求； （2）设，数列的前n项和为，试比较与的大小，并说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数（为的导函数），讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇东四中2024-2025下期中考试高二数学试卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由确定增区间． 【详解】，的定义域为， 由，得， ∴的单调递增区间为． 故选：B． 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 4. 已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，存在，使得，由参变量分离法可得，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得， 即，可得，设， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 当时，，故. 故选：B. 5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算求解即可； 【详解】由题有，则 . 故选：A. 6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 7. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 8. 已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得对于任意的非负实数都成立，令，，结合一次函数的单调性，可得恒成立，令，求得导数和单调性，可得的最大值，进而得到的范围． 【详解】解：不等式对于任意的非负实数都成立，即对于任意的非负实数都成立， 令，，因为， 所以在，上递减，所以，所以问题转化为恒成立， 令，则，由，可得；，可得． 所以在上递增，在上递减．所以（1），所以． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. 已知函数在R上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接根据求导法则判断ACD，根据导数的定义判断B. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，，解得，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分或、两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值点，即可判断A、B，根据零点的个数得到不等式组，即可判断C、D. 【详解】因为， 当或时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A错误； 因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B正确； 令， 则的图象如下所示： 其中的图象是由的图象向下或向上平移个单位得到； 因为，，，， 要使有3个零点，则或或， 即或或，解得或或， 综上可得的取值范围为，故C正确； 要使只有1个零点，则或，即或， 解得或，即的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，从而画出的图象，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 设函数（），若在上的最大值恒大于4，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究在上的单调性求出最大值即可. 【详解】（）的定义域为， ∴， ∵，，∴， ∴在上单调递增， 故在上的最大值为， 即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，，从而可求出其通项公式； （2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果. 【小问1详解】 设首项为，公差为， 因为等差数列满足，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为当时，，当时，， 所以的最大值为， 因为， 所以. 16. 设函数 （1）求的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）1. 【解析】 【分析】（1）直接求导，由得单调递增区间即可； （2）判断的单调性即可求出最值. 【详解】解：（1）定义域为， ， 由得， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为； （2） ，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为. 【点晴】此题考利用导数求单调区间和最值，属于简单题. 17. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求； （2）设，数列的前n项和为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由： 由题知， ∴， 而，则，故． 【解析】 【分析】（1）将条件用表示，然后解方程即可求出通项； （2）先求，再用作差法比较大小. 【小问1详解】 ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【小问1详解】 当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令， 则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数（为的导函数），讨论的单调性. 【答案】（1）； （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，再分段讨论求出的单调区间即得. 【小问1详解】 当时，，求导得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，求导得， 则，其定义域为，求导得， ①若，则，函数在上单调递减； ②若，则当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $