黑龙江省龙东十校联考2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024级高一学年下学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由题知，=1一mi,则(2-i)=(1一i)(2-iD=(2-m)一(1十2m)i.又(2-i)是纯虚数，则2-m=0且 1十2≠0，得m=2. 2.A由余弦定理知a2=:+2-26cosA=2+3-2X2X3×(-最)）=18，所以a=3厄. 3.D各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面 体不一定是棱台，只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，B错误：直角三角形绕它的斜边 旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误：用任意一个平面去截球得到的截面一定 是一个圆面，D正确。 y 4.C由题意该梯形为直角梯形ABCO,如图，其中，AO⊥OC,AB∥OC,OC=OA=4,AB= 1,所以梯形AOCB的面积S=号1+4)×4=10. 5,B由题知(1一2i)2+p(1-2i)+g=0,整理得(p十q-3)-(2p+4)i=0,即O p十g一3=0·解得P=一2·所以=p十g=一2+5i在复平面内的对应点为（一2,5），位 12p+4=0, 1q=5, 于第二象限 6B因为向量a在向量b上的投影向量为品·6，即岸·6=号b,所以部=日又b=4,则ab 2,又a=(1,5),则|a=2,所以|2a-3b|=√/2a-3b=√a-12a·b+9b下= 16-12×2+9×16=2√34， 7.C由题知3a十2c=3BC+2X号BD=3(BC+BD),在△BCD中，由余弦定理，得BD+BC-2BD·BC· os号=CD,即BD+BC-BD·BC=L,则(BD+BCY=1+3BD·BC<1+￥(BD+BC)P,即BD+ BC≤2，当且仅当BD=BC时等号成立，因此1<BD+BC≤2，即3<3(BD十BC)≤6，所以3a十2c的取值范 围为(3,6] &A依题意，③a=b,而a>0c(0,晋).则0<日<1,0<m0号于是0<8a号显然 存在∈Z.6③a=号，则0<号<号.因此=1，即部9=子，测丹 a =2sin0,显然2sin0>1,即sin0> 合，从面分<sn0<号，因此⊙b=a9=2sim0e(分，是）又存在k∈Z.使得⊙b=会，即寸< b 合<号解得1<<3期=2，所以⑤6的取值集合为1。 9.BC空间中不共线的三点确定一个平面，A错误：若直线不平行于平面a,则直线（与平面α相交或在平面 内，B正确：若直线1与平面α相交，则平面a内有无数条直线与直线！异面，C正确：若空间中四点共面，则经 过其中的三点的平面只有1个：若空间中的四点不共面，设这四点为A,B,C,D,由于无三点共线，则过A,B, C三点确定一个平面，过B,C,D三点确定一个平面，过A,B,D三点确定一个平面，过A,C,D三点确定一个 平面，所以经过其中三点的平面有4个，D错误 10.BC设1=1+i,2=2-i,显然满足名十2∈R,但1≠2，A错误：设=a十，2=c十di(a,b,c,d∈R), 由对+8=0，得(a+bn+(e+=0,所以r+c--d+2ab+cdi=0,则0十C-分-f=0当 lab+cd=0. b0,d≠0时，设号=一6=，则d+-F-=0,所以(2-1)(P+行)=0，解得k=士1，所以 |1|=+,|2|=√C十d亚，则|1|=|2|：当d=0时，则a=0或b=0,若a=0,则|c=b,则 【高一下学期期中考试·数学参考答案第1页（共4页）】 25070A 1|=12,若b=0,则a=c=0,则1|=|1，因此1：|=|1，B正确：由额=1知·=1，C正 确：取1=i,==1,满足|11=|引，所以石·=一i·1=一i,1石12=1，则百·2≠|牙12，D错误. 1.BCD由a=4cosB及余弦定理，得a=4cX心+C位，即2=4+2C2,A错误：由 2ac a=4 ccos B及正弦定理，得sinA=4 cos Bsin C,即sin(B+C)=4 cos Bsin C,所以 sin Bcos C+cos Bsin C=4 cos Bsin C,即sin Bcos C=3 cos Bsin C,所以tanB= 3tanC,B正确：由上知tanB=3anC,所以B,C均不为直角，进而A=交，则tanB- C代入mB=3anC得tmrB=3因为B为锐角，所以B=晋，C=音，所以a=2,C正确：过B作 BD⊥AC,则AD=ccos A.又P在AD之间运动时，PA与PB的夹角为钝角，因此要求PA·P的最小值，P 应在AD之间运动，即|AP|∈(0，cosA),又PA·PB=(-AP)(AB-AP)=-|AP1·|AB·cosA+ |:=A:-APlccosA,.当1=A时，Pi·P取最小值为-子coA.D正确 12.6如图，正方体ABCD-A1BC1D中，与BD异面的棱有AA1,CC1,AB1,BC,CD,A1D1共6条. 图① 图② AOD B 第12题图 第13题图 第14题图 13.32折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体的体积为正方体的一半，又由已知 可得正方体的棱长为4，故V=7×华=32， 146+35由m(A-B)=号>0且A,B为三角形的内角，s∠ACB=专>0，知∠ACB为锐角。 2 sm∠ACB=号，A>B,如图作A关于O的对称点D,且D在线段OB上，连接CD,则AC=CD,即∠A= ∠CDA,放∠A-∠B=∠CDA-∠B=∠CD,所以sn(A-B)=m∠BCD=号，在△BCD中， BD BC BD BCBC AB 3 =5,即 sim艺BCD=smBD元即sin BCD sin /CDA sin A在△ABC中，Asm∠ACz3月 5 sm2D-5.所以BD=5x号=1综上，AC=CD.ms∠BCD-2,则BD=1=+CD BD BC 2Os∠BCD=BC+CD-BC·CD,AB=9=BC+AC-2AC·BCeos AC-号ACBC,两式相减，得(5-·AC·BC=8,即AC·BC=石0，所以△ABC的面积S门 5 5 2AC·BCsm∠ACB=6+3VE 2 15.(1)解：由复数的四则运算法则，得2士9=2i计9=2②i士1=一2十ai=a-1+bi,…3分 1 一i·i 则{一2=a-1解得a=-1, 6分 1a=b, 1b=-1. (2)证明：因为a=一1，b=一1，=x+yi, 所以|x一(a+)|=|x|可化为|x+yi-(一1一i)|=|x+yil, …8分 【高一下学期期中考试·数学参考答案第2页（共4页）】 25070A 即|x+1+(y+1)il=|x+yi川， 10分 所以(x十1)2十(y十1)2=x2十y,… 12分 整理得江十y十1=0，得证.…13分 16.解：(1)该几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体.…5分 (2)由图知圆锥的高为2，母线长为4，圆柱的高为23，底面半径为23，…7分 表面积5=Sm十Sm+S#=2x×25X25+x×25X4十号×4x×(23)=(48+8/5)x,… …11分 V=V能+Vw-V#=xX(2)X25+号×(2)X2-之×告xX(23)=(8+8B)x… …15分 17.解：(1)因为a=(3,m),b=(0,1),所以4a-b=4(3,m)-(0,1)=(12,41-1), a十6b=(3,m)十6(0,1)=(3，m十6).…3分 因为(4a-b)⊥(a十6b),所以12×3+(4-1)(m十6)=0，…6分 解得m=一2或m=-15 …7分 (2)由>一3，知川=一2，… 8分 则a十b=(3,一2)十1(0,1)=(3，一2十1)，…10分 所以|a十b=3+(-2+0=/(1一2)+9≥3，当且仅当1一2=0，即1=2时，等号成立， 所以a十b的最小值为3.… 15分 18.解：(1)由正弦定理及3 asin B-+bcos A=,得3 sin Asin B+-sin Bcos A=bsin B.…2分 因为0<B<交，所以sinB≠0，所以W3sinA+cosA=b=2, 即2sin(A+吾）=2，sin(A+音)=1.… 3分 又0<A<7,所以A+晋=受，A=爱.…4分 (2由正孩定理品BC得=细S2如结》 2sim（+B) 3cos B+sin B3 sin B sin B sin B sin B tan …6分 0<BK受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<-K受 解得<B<受， 7分 所以tamB∈（ 即c的取值范围为(1,4). 8分 (3③设△A8C外接圆的半径为R.则0A=0B=0C=R,且2R=品B品B即R= 2 1 sin B' …9分 因为∠A0C=2B,∠B0C=2A=号， 所议5c=号R·血∠A0C-合·B·sm2B= tan B' …11分 sinB …13分 【高一下学期期中考试·数学参考答案第3页（共4页）】 25070A 13 4 tan B tan B 4 …14分 由(2知amBc(停，+⊙) 令Be0.期sc-5m==+=(29)+ …16分 所以当=2时.Sc一Sm取得最大值气 17分 19.(1)i证明：因为AM-xA店，AN=AC,则A=}AM,AC=A, 1分 因为点P是△ABC的重心，所以-子+AO=员矿+衣。 …2分 因为P,M.N在直线1上，所以安+女-1P+-3 4分 (2)解：在△ABC中，由余弦定理，得oS∠BAC=AF十AC一C=3+3-2 7 2AB·AC 2×3×3 …5分 所以Ai,AN=A商·AN·cos∠BAC=3·3g·子=7a 6分 因为0<<1,0<<1，>1，>1， 由1+=3，所以片=8<2.则1≤<2 7分 因为3所以一 入2 8分 -(只-)+ 因为1<分<2，所以当子-时，4的最小值为号，当=1或2时，的最大值为2， 所以7∈[器，名]，即A.的取值范围为[器，号] 10分 (3)解：|M|=|AN-AM=√AN+Af-2AN·AM=9r+9-14, 所以C=AM+AN+MN=3A+3+√9r+9a-144,C=8. 11分 设=4又十=3所以+4=3=3 a.a.. 12分 所以)号-x-是(++√+-号)--(++√+-2号)- =(3x+√r-)-=V9r- 9x 14分 由2)知=e[号2]， 因为为=92- ：的对称轴为x=品在[告]上单调递增， 又因为必=名在[告号]上也是单调递增。 所以f(x)= 15分 所以当x= 2 号时，f（x)m=号，当x=2时f)mx= 17+1 16 所以的值范围为[号.] 17分 【高一下学期期中考试·数学参考答案第4页（共4页）】 25070A2024级高一学年下学期期中考试 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范困：必修第三册第六章人第入章8.4节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 中 题目要求的 1.已知复数z=1十mi(m∈R),且z(2-i)为纯虚数，则m A-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=3,cosA=- 2,则a= 好 A.3√2 B.3 C.23 D.22 3.下列说法正确的是 A各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C,直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D.用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 4.用斜二测画法画出水平放置的平面图形AOCB的直观图如图所示，其中A'B'=1,OA'=2, OC'=4,则梯形AO℃B的面积为 A.6 B.8 C.10 D.12 【高一下学期期中考试·数学第1页（共4页）】 25070A 扫描全能王创建 5.已知复数1=1一2i是关于x的方程x2+x十q=0(p,q∈R)的一个根，则z2=p十gi在复平 面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知向量a=(13),b1=4,且向量a在向量b上的投影向量为号b,则12a一30- A317 B.234 C.34 D.17 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=牙，D是AB上靠近A的三等分点， CD=1,则3a+2c的取值范围为 A.(1,2] B.(2,4] C.(3,6] D.(4,8] 8.对任意两个非零向量m,n,定义新运算：m④n=m如m,业心，《m,m>表示向量m,n的夹角，若 n 非零向量a,b满足|a>b,向量a,b的夹角9∈(0，苓)，且a⊕b和b田a都是集合 (zx=冬，k∈Z中的元素，则①b的取值集合为 A.{1} B{1,引 c(侵2 D.{1,22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是 A.空间内任意三点确定一个平面 B.若直线l不平行于平面a,则直线l与平面a有公共点 C,若直线l与平面a相交，则平面α内有无数条直线与直线l异面 D.若空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有4个 10.已知1，之2都是复数，则下列命题正确的是 A若名1十2∈R,则1=2 B.若好+=0，则川1|=|2l C若=子，则肠·=1 D若|名|=|，则石·2=|引 11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=4 ccos B,则下列说法正确的是 A.b2=a2+2c2 B.tan B=3tan C C.若△ABC是直角三角形，则a=2c D.若△ABC是锐角三角形，P是线段AC上一点，则PA·P克的最小值为-寻c2cos2A 【高一下学期期中考试·数学第2页（共4页）】 25070A 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在正方体ABCD-A,B1C,D1中，与BD异面的棱有 条 13.将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个 边长为22的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面 体的体积是 第13题图 第14题图 14.如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且cs∠ACB= 号血(A-B)=号AB=3,则△ABC的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)》 已知21=a-1+i,其中i是虚数单位，a,6CR (1)求a,b: (2)设x=x十yi(x,y∈R),若|x一(a十bi)|=|z|,证明：x十y+1=0 16.(15分) 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，M是梯形的下底边上的一点，将所得 平面图形绕直线DM旋转一周. (1)说明所得几何体的结构特征： 2 60 (2)求所得几何体的表面积和体积 23 23 【高一下学期期中考试·数学第3页（共4页）】 25070A 扫描全能王创建 17.(15分) 已知向量a=(3,m),b=(0,1),且(4a一b)⊥(a十6b). (1)求实数m的值： (2)若m>一3，t∈R,求|a+b|的最小值. 18.(17分) 已知锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,√3 asin B+bcos A=,O为 △ABC外接圆的圆心. (1)求A: (2)求c的取值范围： (3)求△OAC和△OBC面积之差的最大值. 19.(17分) 如图，已知△ABC中，AB=AC=3,BC=2,直线l过△ABC的重心P,与线段AB,AC分别 交于点M,N,设AM=1AB,AN=μAC(0<≤1,0<≤1). 1)证明：}+上为定值，并求出此定值， (2)求AM,AN的取值范围； (3)记△AMN,△ABC的周长分别为C,C,设x=,记f(x)-号-x 求f(x)的取值范围. 【高一下学期期中考试·数学第4页（共4页）】 25070A 扫描全能王创建