精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

辽宁名校联盟2023级高二下学期期中考试 数学试题 试题说明： 1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列求导运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在正项等比数列中，已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知是递增数列，则的通项公式可能为（ ） A. B. C D. 4. 已知等比数列，是等差数列，，，公比等于公差，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 7. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 8. 盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有（ ）种不同的取法. A. 10 B. 4 C. 16 D. 20 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上存在极大值 B. 为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是 C. 若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为 D. 若，则的最大值为 10. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B. 若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法 C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法 D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法 11. 如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某市的有线电视可以接收中央台12个频道，本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共有______个. 13. 已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________. 14. 若函数只有一个极值点，则的取值范围为_________． 第Ⅱ卷 解答题部分 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 16. 已知等差数列前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）数列满足，令，求证：． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最小值． 18. 假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. （1）如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ （2）如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设，不等式对恒成立，求整数的最大值； （3）当时，不等式对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁名校联盟2023级高二下学期期中考试 数学试题 试题说明： 1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列求导运算结果正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，因为是常数，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2. 在正项等比数列中，已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出公比为，可得数列中的项. 【详解】设正项等比数列公比为，则， ，则，得，解得， 所以. 故选：A 3. 已知是递增数列，则的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断A，B；将化简为，判断增减性，判断C；判断的增减性，判断D. 【详解】对于A，，，A不合题意； 对于B，，则， 即，B不合题意； 对于C，，当n增大时，减小，则增大， 符合题意，C正确； 对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误， 故选：C 4. 已知是等比数列，是等差数列，，，公比等于公差，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得等比数列的公比，得到，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，， 设等比数列的公比是，可得，解得，所以， 又因为，可得 故选：C． 5. 若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可 【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.， 设函数与直线切于点， 所以，故， 即，，解得或. 故选：D 6. 设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】先用二项式定理和已知条件确定除以的余数，再比对选项选出答案. 【详解】据已知有. 故，从而在四个选项中只可能是. 故选：D. 7. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】把甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，而后将丙、丁进行插空，利用乘法原理即可得出答案. 【详解】将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排法， 而后将丙、丁进行插空，有3个空，有种排法，故共有＝24种排法. 故选：B. 8. 盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有（ ）种不同的取法. A. 10 B. 4 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理即可求出结果. 【详解】1次取完：2黑，共1种取法； 2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2种取法； 3次取完：①前2次中取出一个黑球，第3次取出一个黑球；②前2次都是白球，最后一次2个黑球，共. 4次取完：①前3次中取出一个黑球，第4次取出一个黑球；②前3次都是白球，最后一次2个黑球，共；根据分类计数原理知，共10种， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数上存在极大值 B. 为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是 C. 若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数探讨的单调性判断A；求出并利用导数探讨其性质，结合函数零点判断B；利用函数的单调性脱去法则“f”，再利用的单调性求出最小值判断C；由已知结合同构思想得，再利用导数求出的最小值判断D. 【详解】对于A，，令，则， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 于是，因此在上单调递增，在上无极值点，A错误； 对于B，，令，则， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 则，即，显然当时，恒有， 方程有两个不同实根，即直线与函数的图象有两个交点， 因此，B正确； 对于C，由选项B知，上恒成立，则函数在上单调递增， 于是，不等式， 则有，，由选项A知，函数在上单调递增， 因此，即，所以实数a的最大值为，C正确； 对于D，若，则， 即，由，得， 由选项A知，函数在上单调递增，于是，， 因此，令，则， 当时，，函数递增，当时，，函数递减，从而， 所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故；（3）若，使得成立，故； （4）若，使得，故. 10. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B. 若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法 C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法 D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊优先法或间接法解决选项D. 【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列， 则有（种），故A正确， 选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法， 则有（种），故B不正确， 选项C，先排3名男生，3名女生插空， 则有（种），故C正确， 选项D，间接法，6人排列有（种）情况， 男生甲在排头或排尾，则有（种）， 所以男生甲不在排头也不在排尾有（种）， 故D正确， 故选：ACD. 11. 如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出，再求和，判断C；利用与的关系，即可判断D. 【详解】根据图形生成的规律可知， ，，，故A正确； ，，，故B正确； 根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为， 所以当 故C错误； 根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为， ，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某市的有线电视可以接收中央台12个频道，本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共有______个. 【答案】58 【解析】 【分析】直接计算即可. 【详解】由题意可得该市的有线电视可接收12+8+40=60个频道，而其中3个频道播放1个节目，其余57个频道互不相同，则可选看57+1=58个节目. 故答案：58 13. 已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求出数列的通项公式，根据通项公式可知，当时，数列递减，因此只需使即可. 【详解】①当时，， ②当时，， ∴当时，，数列递减， 综上所述，若使为递减数列，只需满足，即， 解得， 故答案为：. 14. 若函数只有一个极值点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】计算得到，然后令，并利用导数分析的正负性，再将其与的正负性结合，得到的正负性，即可推知的单调性，进一步得到的极值点个数情况. 【详解】由，知. 令，则，且. 下面先来讨论的正负性： 当时，有，所以单调递增，而，，所以存在唯一的零点，且，结合单调性，知当时，当时； 当时，； 当时，由，知当时，当时. 所以在上单调递减，在上单调递增，且，当且仅当时等号成立. 同时，如果，则，而，且由知，结合，可知存在，使得，结合单调性，知当或时，当时. 综上，我们有以下结果： 当时，存在使得当时，当时； 当时，； 当时，当时，当时； 当时，存在，使得，且当或时，当时，当或时. 下面进行分类讨论： 当时，如上图所示. 根据之前的讨论，此种情况下，存在使得当时，当时. 从而由，知当或时，当时. 所以在和上递增，在上递减，这表明和都是的极值点，从而至少有2个极值点，不满足条件； 当时，如上面三张图所示（分别对应，和的情形）. 根据之前的讨论，此种情况下，当时，必有. 从而由，知当时，当时. 从而在和上递减，在上递增. 故在上递减，在上递增，这表明只有一个极值点，满足条件； 当且时，如上面两张图所示（分别对应和的情形）. 根据之前的讨论，此种情况下，存在，，使得，且当或时，当时，当或时. 由于，故. 设将从小到大排序后分别是. 从而由，知当或时，当或时. 故在和上递减，在和上递增.这表明都是的极值点，从而至少有3个极值点，不满足条件； 当时，如上图所示. 根据之前的讨论，此种情况下，存在，，使得，且当或时，当时，当或时. 由于，，故. 从而由，知当时，当时. 从而在上递减，在和上递增. 故在上递减，在上递增，这表明只有一个极值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对中的因子单独研究其正负性，然后与结合，再利用“穿针引线法”得到的正负情况. 第Ⅱ卷 解答题部分 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2）． 【解析】 【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值； （2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到. 【小问1详解】 由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以． 【小问2详解】 记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”． ，． 当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则 ； 当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则 ； 故 ． 即乙获得奖励的概率为． 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，令，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 由，得， 解得：，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 即，，，……，， 利用累乘法可得： ，也符合上式， 所以． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论的正负确定和的解，得单调性； （2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值． 【小问1详解】 由，， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1），当时，函数在上单调递减，， 当，即时，函数在上单调递减，， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 综上，当时，，当时，. 18. 假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. （1）如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ （2）如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. （2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. 【小问1详解】 设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式： 【小问2详解】 设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”， 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 而事件,则,, 根据全概率公式：, 根据贝叶斯公式：. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设，不等式对恒成立，求整数的最大值； （3）当时，不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，进而求出的单调区间，再利用极值的定义，即可求出结果； （2）根据条件，将问题转化成对恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求出结果； （3）根据条件得到对恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得到，从而有，即可求出结果. 【小问1详解】 当时，，易知，又， 所以当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故函数在处取到极大值，无极小值. 【小问2详解】 因为，由， 得到，所以不等式对恒成立， 即对恒成立，整理得到对恒成立， 令，则， 令，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又，，由零点存在性原理知，，使， 所以当时，，得到时，， 当时，，得到时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，又， 所以整数的最大值为. 【小问3详解】 当时，由不等式，得到， 整理得到对恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 令，则，，所以方程必有解， 所以当且仅当时，有最小值，且最小值为， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$