精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三4月月考（八）数学试题

2025届重庆市巴蜀中学高三4月月考卷 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再根据复数模公式计算. 【详解】由，则. 故选：B. 2. 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件关系结合等比数列的单调性判断. 【详解】因为为正项等比数列，设其公比为， 若，则，所以，则或（舍去）， 所以为单调递增数列，即由可以推出为单调递增数列； 若为单调递增数列，则， 所以是为单调递增数列的充分必要条件. 故选：C. 3. 已知 ，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两边平方可得，再利用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，即， ，即， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 4. 空间中有三组平行平面， 第一组有 3 个， 第二组有 2 个， 第三组有 4 个， 不同两组的平面都相交， 且交线不都平行， 则这些平面可以构成平行六面体的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析平行六面体是由3组平行对面构成的，接着结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】空间有三组平行平面，第一组有3个，第二组有2个，第三组有4个， 要构成平行六面体，需要有3组对面分别平行， 故从第一组3个平行平面中任选2个，作为平行六面体的一组对面，共有种不同的取法， 再从第二组2个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第二组对面，共有种不同的取法， 再从第三组4个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第三组对面，共有种不同的取法， 由分步乘法计数原理可知，可以构成个平行六面体. 故选：B 5. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为， 则第个正方形的对角线长为， 所以第全正方形的边长为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以若这个作图过程可以一直继续下，则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数. 故选：B 6. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】设，则， 由得， 因此，故. 故选：D. 7. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由题意可得，解得， 所以， 因此. 故选：A. 8. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，求直线、的方程，然后求出点的坐标，最后利用建立关于的等式关系从而得解. 【详解】因为 轴，点 为线段 上一点，所以设， 又的斜率为，的斜率为， 所以直线方程为，令，则，即， 直线方程为，令，则，即， 因为 ，所以，即， 所以，则该双曲线的离心率， 故选：C 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 是的图象的一个对称中心 B. 是的图象的一条对称轴 C. 的周期也是的周期 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数、余弦型函数的周期公式可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，故是的图象的一个对称中心，A对； 对于B选项，因为， 所以不是的图象的一条对称轴，B错； 对于C选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以的周期也是的周期，C对； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向右平移个单位得到，D错. 故选：AC. 10. 已知二项式 的展开式中只有第 5 项的二项式系数取得最大值，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中无常数项 C. 展开式中共有 5 个有理项 D. 展开式的所有项的系数和为 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理展开式的通项及二项式系数性质逐项分析判断. 【详解】根据题意可知：只有最大，故，故A错误， 对于D，取，得所有项的系数和为，D正确； 对于BC，展开式的通项公式， 当时，是有理项，共有5项有理项，C正确； 令，则无解，故展开式中无常数项，故B正确， 故选：BCD 11. 将长为，宽为的长方形沿着对角线旋转一周形成几何体，记的外轮廓所围几何体为，则下列说法正确的是（ ） A. 能容纳底面半径为，高为的圆锥 B. 能容纳的最小球的半径为 C. 若圆柱的轴为直线，则能容纳的这类圆柱的最大体积为 D. 能容纳的最大球的半径大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】在中，求出、、的长，可判断A选项；根据直角三角形的几何性质可得出，即可判断B选项；设圆柱的底面半径为，可求出圆柱的高，利用导数求出圆柱体积的最大值，可判断C选项；假设球与下圆锥切于点，求出的长，并与比大小，可判断D选项. 【详解】由已知，易得为两个圆锥和两个圆台， 对于A选项，如图1，在中，，， 则，所以，，则，， 由圆锥的几何性质可知，所以，，则， 故可以装下圆锥，A对； 对于B选项，如图2，为的中点，且， 所以，， 所以，能容纳的最小球的半径为，B对； 对于C选项，如图3，画出截面图，设，则， 则圆柱的高为，所以圆柱的体积为，， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在区间上单调递增，则，C错； 对于D选项，如图4，若以为球的直径，则， 定性分析能否容纳半径超过的球，先假设的球与下圆锥相切于点， 则，， 由题意可知，可得， 故四边形为菱形，所以， 因为，则为、的中点， 则，故， 所以，，且， 因为，所以， 此时，，故一定能容纳的球， 因为，故能容纳球的最大半径大于，D对， 故选：ABD. 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 12. 已知等差数列 为其前 项和，若 与 的等差中项为 4 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质结合等差中项，求出，得解. 【详解】由，则，得， 又，解得， 所以，得，则， . 故答案为：. 13. 圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的标准方程为， 所以圆的半径，又圆被轴所截得的弦长为，则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知关于的方程有解，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，，由题可得与图象均关于直线对称，由基本不等式得，，要使得上述方程有解，则，令，求导求出最小值得解. 【详解】令，， 因为，所以与图象均关于直线对称， 又，， 要使得上述方程有解，则，即， 所以，令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以， 故，当且仅当时取等号. 故答案为：. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知分别为锐角三个内角 的对边， 为三角形的面积，且满足 （1）求角的大小； （2）若 ，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）由三角形面积公式可得，由正弦定理结合可得关于的三角函数式，由此得解. 【小问1详解】 由正弦定理，， 因为，所以， 则， 化简得，又， 所以，即, 即得，又，则, 则,解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，又， 由正弦定理，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，则，即. 16. 为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: （1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? （2）请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1），，有关 （2）无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量. （3）第百分位数为， 的分布列如下表所示： 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式可求出、的值，即可作出判断； （2）提出零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，结合实际情况可得出合理的建议； （3）根据百分位数的定义求出样本的第百分位数，分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以，该中学高三年级学生的性别和身高有关联. 【小问2详解】 零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立， 即该中学高三年级学生的身高与性别无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量. 【小问3详解】 个数据由小到大的顺序为：、、、、、、、、、， 因为，因此第百分位数为， 身高小于的人共人，其中男生有人，女生有人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 因此. 17. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 . （1）求证: 平面 ； （2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足 ，求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 【答案】（1） 过作， 由于平面 平面 ，且两平面的交线为,平面， 故平面, 同理可得平面, 因此两直线重合，故两点重合，结合分别在上， 故重合于,故平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得两直线重合，即可求解， （2）根据线面垂直可得二面角以及线面角的平面角，利用三角形的边角关系求解长度，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，进而根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解的最大值，即可根据三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于,故点轨迹是以为焦点，以为长轴的椭圆， 取中点为，连接, 由于，故, 由（1）知平面，平面，, 平面，故平面， 平面，故, 故为二面角 的平面角，故 又，故, 由于平面，故为 与平面 所成角， 则, 要使得与平面所成角的正弦值最小，则最小，故最大即可， 在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系，故， 所以，故， 则椭圆方程为， 设，则，， ， 故当时，取最大值， 故， 故的最小值为，其中均在上单调递增， 又， 故的最小值为， 18. 如图， 分别为双曲线的左、右顶点，，双曲线的两条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）点在直线上运动，直线 交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点 与 不重合). ①求直线与的斜率之积； ②问直线是否过定点? 如果过定点，请求出定点坐标; 如果不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）①3，②过定点. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的性质求出得解； （2）①设，利用斜率公式结合运算得解；②由题，直线的斜率不为0，设直线，与双曲线方程联立可得根与系数关系，由和三点共线结合①可得，运算求得得解. 【小问1详解】 由，则，所以， 又渐近线为，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，则，又， 所以. ②设，，由对称性知，则直线的斜率不为0，设直线， 联立，消去整理得， 则，，， 因为三点共线，则（i）， 又三点共线，则（ii）， 由（i），（ii）消去得，由①知， 所以，即， 消去得，， 整理得， 将，代入整理得， ，化简得， 又当时，点与重合，故舍去，则，满足， 所以直线的方程为，故直线过定点. 19. 已知函数 ，其中 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程; （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）对于定义域为的函数 ，规定 . 当时，令，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）由题，问题转化为对恒成立，利用导数分，和讨论求解； （3）由题意，可得为奇函数，进而得为奇函数，利用导数可证明时，即单调递减，且，进而得到且单调递减，时，且单调递减，结合二次函数图象，可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，则恒成立， 即，令对恒成立， ，令， ，且，， ①当时，设，当时，， 所以在上单调递增，且，， 故存在唯一得零点，使得， 所以当时，，即单调递减，所以， 所以在上单调递减，故，与题设矛盾； ②当时，， 所以在R上单调递增，又，则时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，合题意； ③当时，，合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由，，故为奇函数， 则为奇函数，所以为奇函数， 当时，，由（2）知，恒成立， 所以在R上单调递增，则， 当时，， 令，则， 又，令， ，即在上单调递增，故， 所以，即在上单调递减，且， 所以当时，，即单调递减，且， 此时，且单调递减， 故当时，且单调递减， 由为奇函数，则当时，且单调递减， 对于不等式， 记，， 当时，即，得， 结合二次函数图象，不等式的解包括以下四种情况 ： （i）当时，，满足； （ii）当时，，满足； （iii）当时 ，，有； （iv）当时，，有. 综上，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届重庆市巴蜀中学高三4月月考卷 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2. 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知 ，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 空间中有三组平行平面， 第一组有 3 个， 第二组有 2 个， 第三组有 4 个， 不同两组的平面都相交， 且交线不都平行， 则这些平面可以构成平行六面体的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 5. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 是的图象的一个对称中心 B. 是的图象的一条对称轴 C. 的周期也是的周期 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到 10. 已知二项式 的展开式中只有第 5 项的二项式系数取得最大值，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中无常数项 C. 展开式中共有 5 个有理项 D. 展开式的所有项的系数和为 1 11. 将长为，宽为的长方形沿着对角线旋转一周形成几何体，记的外轮廓所围几何体为，则下列说法正确的是（ ） A. 能容纳底面半径为，高为的圆锥 B. 能容纳的最小球的半径为 C. 若圆柱的轴为直线，则能容纳的这类圆柱的最大体积为 D. 能容纳的最大球的半径大于 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 12. 已知等差数列 为其前 项和，若 与 的等差中项为 4 ，则 _____. 13. 圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为_____. 14. 已知关于的方程有解，则的最小值为_____. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知分别为锐角三个内角 的对边， 为三角形的面积，且满足 （1）求角的大小； （2）若 ，求的取值范围. 16. 为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: （1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? （2）请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望. 17. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 . （1）求证: 平面 ； （2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足 ，求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 18. 如图， 分别为双曲线的左、右顶点，，双曲线的两条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）点在直线上运动，直线 交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点 与 不重合). ①求直线与的斜率之积； ②问直线是否过定点? 如果过定点，请求出定点坐标; 如果不过定点，请说明理由. 19. 已知函数 ，其中 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程; （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）对于定义域为的函数 ，规定 . 当时，令，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $