精品解析：　重庆市开州初中教育集团九2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

开州初中教育集团2024-2025下 九年级期中测试数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 3. 已知反比例函数，若在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ） A. B. C. D. 5. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有9个小圆圈．．．．．．，按此规律，第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ） A 15 B. 17 C. 19 D. 21 7. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 8. 如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：_______． 12. 在一个不透明的袋子里装有个分别标有数字，，的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之积是奇数的概率为______． 13. 如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________． 14. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和是_____． 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____，_____． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是________；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值________． 三、解答题：本大题8个小题，每小题10分，共80分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 17 计算： （1） （2） 18. 爱学习的小张在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，于点，用尺规过点作垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在平行四边形中，于点，于点，．求证：平行四边形是菱形． 证明：， ， ① 四边形为平行四边形 ② 与中 ④ 四边形为平行四边形，且 平行四边形是菱形 小张进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小张得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么⑤ ． 19. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在B组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 a 八 76.8 b 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，________，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和． 20. 为弘扬开州举子园文化，某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，由于供货紧张，每本笔记本的进货价比第一次多1元，所购数量是第一批购进数量的2倍． （1）该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是多少元？ （2）如果两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于1050元，那么每份笔记本的标价至少是多少元? 21. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为． （1）请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．（参考数据：，，） （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为60米分，小红步行的速度为50米/分，请通过计算说明谁先到达景点． 23. 抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 24. 在中，点在直线的上方． （1）如图1，，点在边上，且，若，求的长； （2）如图2，点为外一点，，，，证明：； （3）如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州初中教育集团2024-2025下 九年级期中测试数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体是解题关键． 根据主视图和左视图确定是柱体，再结合俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：根据主视图和左视图都是矩形， 此几何体为柱体， 俯视图为圆形， 此几何体为圆柱． 故选：A． 3. 已知反比例函数，若在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得到k-1<0，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数在每个象限内y都随x的增大而增大， k-1<0， k <1， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象为双曲线，当k>0，图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0，图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键． 4. 若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，对应高的比为， ∴对应面积的比为， 故选：B． 5. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 在1和2之间，即的结果应在1和2之间． 故选：B． 6. 下列图形都是由同样大小小圆圈按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有9个小圆圈．．．．．．，按此规律，第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律可知，每个图形都比前一个多2个小圆圈，总结出第个图的表达式即可．总结出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，第①个图形中一共有个小圆圈， 第②个图形中一共有个小圆圈， 第③个图形中一共有个小圆圈， ， 第个图形中一共有个小圆圈， 第⑧个图形中小圆圈的个数为， 故选：C． 7. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理．根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以本选项正确，是真命题，符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在Rt△ACB中，AB==，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点， ∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC==．故选D． 考点：扇形面积的计算． 9. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等数学概念． 过点作交于点，通过构造全等三角形，将已知线段、与正方形的对角线建立联系，进而求出的长度． 【详解】解：过点作交于点． 四边形是正方形， ，， ， 又，即， ， ． ，， ， ， ， 又，，， ． 在和中， ， ． ，． ，， 根据勾股定理． ． 在中，， ． 故选∶A． 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，分式运算，因式分解应用，完全平方公式的应用，解题的关键是注意分类讨论．根据时，，得出，，或，，或，，三种情况，即可判断①正确；根据当时，，，，根据a、b、c均为正整数，得出，，，然后分类讨论即可判断②错误；根据当时，，a、b、c均为正整数，得出所有的和为： ，根据x、y、z均不为0，得出，即可判断③正确． 【详解】解：当时，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，或，，或，，三种情况， ∴当时，符合条件的单项式共有3个，故①正确； 当时，，，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴共有四种结果，故②错误； 当时，，a、b、c均为正整数， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴所有的和为： ∵x、y、z均不为0， ∴， ∴所有的和为正数，故③正确； 综上分析可知：以上说法正确的有2个． 故选：C． 二、填空题：本大题6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂，根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 12. 在一个不透明的袋子里装有个分别标有数字，，的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之积是奇数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练画出树状图或列表是解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次记下的数字之积是奇数的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次记下的数字之积是奇数的有种， ∴两次记下的数字之积是奇数的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 14. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和是_____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的解和增根进一步确定的值后求和即可．理解一元一次不等式组的整数解以及分式方程的增根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， 关于的不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得：， 解得， 分式方程的解为正数， ， 即， 由于分式方程的增根是， ， 即， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：11． 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，，证明，得到，设，则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴，， ∵为圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点O作于H，连接， 则，， 在中，， ∴， ∵是的直径， ∴， 由中位线定理可得， ∵切于D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（舍去）； 故答案：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是________；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值________． 【答案】 ①. 3162 ②. 4961 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用、因式分解的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定a的最小值及b的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的a的值为4，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：∵是“方佳数”， ∴，即， ∴当时，a有最小值3， ∴这个数最小是3162； 设这个四位数，则， ， ∵四位数M是“方佳数”， ∴， ∴， ∵能被33整除， ∴是整数， ∴是整数且，，，，， ∴满足条件的a的值为4， ∴， ∵要求M的最大值，则 ∴满足条件的M的最大值是． 故答案为：3162；4961． 三、解答题：本大题8个小题，每小题10分，共80分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 爱学习的小张在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，于点，用尺规过点作垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在平行四边形中，于点，于点，．求证：平行四边形是菱形． 证明：， ， ① 四边形为平行四边形 ② 在与中 ④ 四边形为平行四边形，且 平行四边形是菱形 小张进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小张得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么⑤ ． 【答案】（1）见解析 （2）；；；；该平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，作垂线段，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图； （2）根据菱形的定义证明． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 如图，在平行四边形中，于点，于点，． 求证：平行四边形是菱形． 证明：，， ，． ． 四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ， ． 四边形为平行四边形，且， 平行四边形是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立． 因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，那么该平行四边形是菱形． 故答案为：，，．，该平行四边形是菱形． 19. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在B组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 a 八 76.8 b 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，________，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和． 【答案】（1）83，，20 （2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，理由见解析（答案不唯一） （3）188人 【解析】 【分析】（1）根据七年级10人的得分可求出a；根据扇形扇形统计图和B组得分可得求出m和b； （2）先判断哪个年级掌握的好，然后根据判断说明理由即可； （3）分别求出七、八两个年级得分在A组的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多， ∴众数． ∵八年级C组人数：， 八年级D组人数：， 八年级B组人数：4， ∴八年级A组人数：， ∴， ∴． ∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和83， ∴． 故答案为：83，，20； 【小问2详解】 解：八年级掌握垃圾分类知识比较好， 理由：八年级中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好； 【小问3详解】 解：∵人，人， ∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人． 【点睛】本题考查了条形统计图、众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 为弘扬开州举子园文化，某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，由于供货紧张，每本笔记本的进货价比第一次多1元，所购数量是第一批购进数量的2倍． （1）该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是多少元？ （2）如果两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于1050元，那么每份笔记本的标价至少是多少元? 【答案】（1）专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是5元 （2）每份笔记本的标价至少是8元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是元，则第二批笔记本每份的进价是元，根据某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，所购数量是第一批购进数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每份笔记本的标价是元，根据某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于1050元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是元，则第二批笔记本每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：该专卖店购进的第一批笔记本每本的进价是5元； 【小问2详解】 解：设每份笔记本的标价是元， 第二批笔记本每份的进价为：（元， 由题意得：， 解得：， 答：每份笔记本的标价至少是8元． 21. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为． （1）请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）函数图像见解析：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算，函数的图象和性质，动点问题的函数图象，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，当时，当时，根据三角形的面积公式得到；根据题意得到； （2）根据题意画出函数图象，由函数图象得到函数的性质即可； （3）根据函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 当时，则， ； 当时，则， ， 综上所述，； ， ， 即； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由函数图象得，当时，的取值范围为． 22. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．（参考数据：，，） （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为60米分，小红步行的速度为50米/分，请通过计算说明谁先到达景点． 【答案】（1）景点与景点之间的距离为米 （2）小红先到达景点 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质； （1）过作于点，分别解，即可得到答案； （2）过点作交于点．证明四边形是矩形，再分别计算两人的路程，进一步计算时间可得答案． 【小问1详解】 解：过作于点． 由题意得，，， 在中，，， ， 在中，， ， （米） 答：景点与景点之间的距离为米． 【小问2详解】 解：过点作交于点． 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ，， ， 小明到达所用时间： 分钟 小红到达所用时间： 分钟 小红先到达景点． 23. 抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）； （2）最大值为4，此时； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解； （3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解； 【小问1详解】 解：把，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点Q作轴于点D，如图： 当时，， ∴， 设直线解析式为：， 把代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4，此时； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 把，代入得： ， 解得： ， ∴直线的表达式为：， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则， 当时，，则， ∴， 联立上式和直线的表达式得：， 解得： 或（舍去）， ∴点， 当点M在下方时， ∵， ∴， 则直线的表达式为：， 当点M在上方时， 同理可得：直线的表达式为：， 分别联立和新抛物线的表达式得：或 解得：或， 故，． 24. 在中，点在直线的上方． （1）如图1，，点在边上，且，若，求的长； （2）如图2，点为外一点，，，，证明：； （3）如图3，，，点是上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得； （2），证明：在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （3）将绕点旋转，得到，取的中点，连接，证明，进而得到，得到点在以为直径的圆上，推出当三点共线时，取得最小值为，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作，根据锐角三角函数求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： 如图，在取一点，使得， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 将绕点旋转，得到，取的中点，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴，， ∴当三点共线时，取得最小值为， ∵， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 过点作， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，确定动点的位置，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $