精品解析： 北京市十一学校2024-2025学年七年级下学期第3学段诊断数学试卷（直升）

2024-2025学年北京市十一学校七年级（下）第3学段诊断数学试卷（直升） 一、填空题：本题共20小题，每小题3分，共60分． 1. 如图，，，若平分，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用角的和差倍分关系求得的度数，然后求差即可得到的大小． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分关系是解题的关键． 【详解】解：，， ， 平分， ， 故答案为： 2. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，先进行分母有理化，然后再进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 3. 下列条件中能确定的形状与大小的有 ______ ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，满足“”且已知角的对边大于另一边的情况，即，可以确定唯一的； ④，，，满足“”，但不满足已知角的对边大于另一边的情况，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②③， 故答案为：②③． 4. 如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及“两直线平行，内错角相等”可得，进而由三角形内角和定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质可知，，，，，，所以，，由三角形内角和可得，，所以，再由三角形内角和定理可知，． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6. 如图，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为等知识，先由是的一个外角，是的一个外角，得到，在四边形中，由，将代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边形内角和为等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 在四边形中，， ， 故答案为：． 7. 如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，绝对值的意义等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 8. ______. 【答案】1． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构，把每个被开方数化成完全平方的形式，即可化简求值. 【详解】原式 =， . 故答案为1 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是关键. 9. 如图，在中，为的中点，平分，，与交于点，已知的面积为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积．根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到，所以，则，从而得到，接着可求出，然后利用为的中点得到． 【详解】解：平分， 点到和的距离相等， ， ， ， 为的中点， ， 点到和的距离相等， ， ， ， 为的中点， 故答案为：． 10. 如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】首先连接CD，BD，根据角平分线的性质可得DF＝DE，易证△ADF≌△ADE，可得AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的性质，可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而利用线段和差求得答案． 【详解】连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°， ∵AD＝AD， ∴△ADF≌△ADE， ∴AE＝AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中，， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE， ∵AB＝6，AC＝4， ∴BE＝1． 故答案为1 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11. 如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，则的长为 _______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，D是斜边的中点， 则， 故答案为：4． 12. 在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 分三种情况：若；若，且时，若，且时；若；分别画出图形，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：若，如图，连接， 则点在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点也在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若， 此时点重合， 不符合题意； 综上，是等腰三角形，则或或； 故答案为：或或． 13. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有3个．正确的有____．（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及性质，三角形面积的计算方法，掌握角平分线的定义及性质，数形结合思想是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在中有三角形内角和定理可判定①；根据三角形面积的计算方法可得，，根据面积的比值即可判定②；如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可判定③；根据角平分线在三角形内部的交点，三角形外角角平分线的交点及性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：在中，若，则， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，， ∴， ∵ ，故③正确； ∵， ∴三角形内部有一个点到直线、、距离相等， 如图所示，作外角的角平分线，交于点， ∴由角平分线的性质定理可得， 同理可得，三角形外部共有3个点直线、、距离相等， ∴共有4个点直线、、距离相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③ ． 14. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 15. 如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于M，的延长线交于点N，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，，则，其中正确的结论有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而证明是解题的关键． 由平分，于M，可证明，则，可判断①正确；因为是任意直角三角形，所以不一定等于，可判断②错误；因为垂直平分，所以，则，得，所以，可判断③正确；连接，证明，得，求出，由，求得，则，，由，求得，则，所以，求得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，于点D， ， ， 平分， ， ， ， 于M，的延长线交于点N， ， ， ， 故①正确； 是任意直角三角形， 不一定等于， 故②错误； ，， 垂直平分， ，， ， ， 故③正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故④正确， 故答案为：①③④． 16. 如图，，，，，，则_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角与内角，在上取一点，使，连接，得到，再由垂直得到，推出，再结合得到是等边三角形，则，，由外角及等边对等角得到，最后根据求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于），点C、D的对应点分别是，，交于G，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交EF于H，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质等知识，由折叠得，则，，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：由折叠得， ， ∴，， ， ， ， 故答案为： 18. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线的方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解． 【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图， 由作图可知平分， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 19. 如图，已知，，，若，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，延长至点，使得，连接，由等边对等角可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，进而可得，由线段之间的和差关系可得，于是可得，由可得，再结合，于是可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，由三线合一可得，则，再结合，于是可得，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得，于是可得，进而可得，然后根据即可求出的长度． 【详解】解：如图，延长、交于点，延长至点，使得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是的垂直平分线， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即：的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三线合一，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，内错角相等两直线平行等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在同一条直线上时，为最小，即为最小， 当点在同一条直线上时，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 当为最小时，， 故答案为：． 二、解答题：本题共6小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 当，求代数式的值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、二次根式的化简求值，根据分母有理化把a化简，根据分式的加法法则、二次根式的性质把原式化简，把a的值代入计算得到答案． 【详解】解：， 则， 原式 ． 22. 如图，于E，于F，、相交于点D，且．求证：． 【答案】证明见解答 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明，推导出，进而证明是解题的关键．由于E，于F，得，而，，可根据“AAS”证明≌，得，则，再根据“”证明，则． 【详解】证明：于E，于F，、相交于点D， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 23. 如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24. 如图所示，正方形，，共顶点D、F，且E为的中点，延长至点P，使得，连接 （1）请写出与的数量关系与位置关系并说明理由； （2）求证：且． 【答案】（1）与的数量关系是：，位置关系是，理由见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解析】 【分析】（1）设交于点J，交于点I，根据正方形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，，再根据三角形内角和定理及得，由此可得出与的数量关系与位置关系； （2）连接，，设，的中点分别为M，N，连接，连接并延长到S，使，连接，，连接并延长到R，使，连接，，设的延长线交于点T，的延长线交于点Q，则是的中位线，，，进而得，，先证明，进而可依据“”判定和全等得，，则，由此可得出，则，同理可证明，，再根据E为的中点得，据此可判定四边形是平行四边形，则，，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：与的数量关系是：，位置关系是，理由如下： 设交于点J，交于点I，如图1所示： 四边形和是四边形都是正方形， ，，，， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 在中，， 又， ， ， 与的数量关系是：，位置关系是； 【小问2详解】 证明：连接，，设，的中点分别为M，N，连接，连接并延长到S，使，连接，，连接并延长到R，使，连接，，设的延长线交于点T，的延长线交于点Q，如图2所示： 是的中位线，，， ，， 点M是的中点，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 即， 同理可证明：，， 为的中点， ， ， ， 又，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， 又，， ，． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定是解决问题的关键． 25. 已知：如图，中，，延长到点D，使，延长到点E，使；连接，．求证：． 【答案】 证明：如图，取的中点F，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定和性质，取的中点F，连接，由线段垂直平分线的性质可求得，进一步可证明，可证明． 【详解】略 26. 如图，四边形中，，，在线段上，且，，．求证：． 【答案】 证明：在上截取，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，在上截取，在上截取，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，进而即可得出结论，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市十一学校七年级（下）第3学段诊断数学试卷（直升） 一、填空题：本题共20小题，每小题3分，共60分． 1. 如图，，，若平分，则的大小为______． 2. ______． 3. 下列条件中能确定的形状与大小的有 ______ ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 4. 如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为__________． 5. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______． 6. 如图，______． 7. 如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为______，的最大值为______． 8. ______. 9. 如图，在中，为的中点，平分，，与交于点，已知的面积为，则的面积为______． 10. 如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝_____． 11. 如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，则的长为 _______． 12. 在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则______． 13. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有3个．正确的有____．（只填写序号） 14. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 15. 如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于M，的延长线交于点N，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，，则，其中正确的结论有______． 16. 如图，，，，，，则_____． 17. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于），点C、D的对应点分别是，，交于G，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交EF于H，若，则______． 18. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______． 19. 如图，已知，，，若，则的长度为_____． 20. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 二、解答题：本题共6小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 当，求代数式的值． 22. 如图，于E，于F，、相交于点D，且．求证：． 23. 如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 24. 如图所示，正方形，，共顶点D、F，且E为的中点，延长至点P，使得，连接 （1）请写出与的数量关系与位置关系并说明理由； （2）求证：且． 25. 已知：如图，中，，延长到点D，使，延长到点E，使；连接，．求证：． 26. 如图，四边形中，，，在线段上，且，，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $