精品解析：浙江省浙里特色联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高一数学学科 试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 8 8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角的余弦值为 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知正方体的棱长为1，是中点，是的中点，点满足，则下列命题正确的是（ ） A. 多面体的体积是随的增大先减小后增大 B. 时，面面 C. 三棱台的体积为 D. 时，平面截该正方体所得截面的面积为 11. 在中，角，，所对边分别为，，，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若且有两解，则的取值范围为 C. 若且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若且，为的内心，则的面积为 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则__________. 13. 已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为________. 14. 在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 16. 在平行四边形中，，，，，分别为和上动点，且，. （1）若，，请用，表示，； （2）若，与相交于点，求的值； （3）若，求取值范围. 17. 在中，角、、对应的边分别为、、，已知. （1）求角的值； （2）当边与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. 已知为奇函数，且定义域为，. （1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明； （2）若，求的取值范围； （3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围. 19. 设非零向量，，并定义. （1）若，，求； （2）写出，，之间的等量关系，并证明； （3）若，为单位向量，求证：集合是有限集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高一数学学科 试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集的含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：C. 2. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的乘法求复数，进而求复数的模. 【详解】由题设，则. 故选：A 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的单调性及余弦函数的性质即可比较大小. 【详解】因为，，， 所以， 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用诱导公式化简条件，即可得. 【详解】由，故. 故选：B 5. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件， 故选：A 6. 在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知利用正弦定理化简得，进而求得，由余弦定理建立方程求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以，由余弦定理得，， 即，解得或（舍去）. 故选：C 7. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长. 【详解】直观图中，， 由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故选：D. 8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数及圆的切线的性质可得，利用求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ， ， ，即该球体建筑物的体积为. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角的余弦值为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据判断B，根据夹角公式判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：当时，，所以， 又，所以与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知正方体的棱长为1，是中点，是的中点，点满足，则下列命题正确的是（ ） A. 多面体的体积是随的增大先减小后增大 B. 时，面面 C. 三棱台的体积为 D. 时，平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理可以判定到底面所在平面的距离为定值（等于正方体的棱长1），进而得到面体的体积为定值，从而否定A；利用正方体的性质，结合线面平行，面面平行的判定定理可以证明B正确；利用棱台的体积公式计算可以否定C；根据正方体的性质，利用平面的基本性质和面面平行得到截面为连接正方体相应棱中点的正六边形，进而计算求得面积，从而判定D. 【详解】面积为定值（），与平面平行，即与底面平行，点满足，∴，∴到底面所在平面的距离为定值（等于正方体的棱长1），∴多面体的体积 为定值，故A错误； 当时，为线段中点，平面，不在平面内， 根据线面平行判定定理得到； ∴，不在平面内，平面，根据线面平行的判定定理得到平面， 又∵平面，，根据面面平行判定定理得平面，故B正确； 三棱台的底面的面积分别为： ， 高为，根据棱台体积公式得三棱台的体积为，故C错误； 当时，为线段中点，众所周知，平面截该正方体所得截面为正六边形，各顶点都是正方体的如图所示的相应棱的中点，起边长为，面积为，故D正确. 以下是截面的证明过程： ∵正方体对面，， 设， 则平面与它们的交线平行，即， 又∵，∴， 不妨设在上，则为的中点， 延长与延长线交于，连接，交与点， 则，为中点，∴为中点， 同理平面与棱交点为中点. 故选：BD. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若且有两解，则的取值范围为 C. 若且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若且，为的内心，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，由正弦定理得到，再结合正弦函数的值域求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，故选项A错误； 选项B：由正弦定理可得， 故，因为有两解，且，所以， 故，即b的取值范围为，故选项B正确； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为，     所以的面积为，故选项D正确. 故选：BCD. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数的定义求解即可. 详解】由， 所以， 所以. 故答案为：4. 13. 已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义求，再由模的性质，数量积运算律及基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 所以 ，当且仅当时等号成立. 故答案为： 14. 在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小．将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时，， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，然后令虚部为零，求解； （2）利用复数的乘法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解. 【小问1详解】 解： ，， ； 【小问2详解】 解： 在复平面内对应的点在第四象限 ，. 16. 在平行四边形中，，，，，分别为和上的动点，且，. （1）若，，请用，表示，； （2）若，与相交于点，求的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量对应线段的位置关系及数量关系，数形结合用，表示，； （2）令，得，令结合（1）列方程求参数即可； （3）应用向量数量积的运算律求的范围. 【小问1详解】 由题设，； 【小问2详解】 由，，三点共线，，， 由，若，则， ，，， ，解得，所以； 【小问3详解】 ， ， . 17. 在中，角、、对应的边分别为、、，已知. （1）求角值； （2）当边与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将边化为角，再利用两角和的正弦公式化简，结合辅助角公式即可求解； （2）根据中线长公式及余弦定理求解即可； （3）将边化为角，结合正切函数的图象即可求范围. 【小问1详解】 ， 得， ， 【小问2详解】 在中，由余弦定理有, 在中，由余弦定理有， 而，故， ，， ， 的周长为 小问3详解】 因为三角形为锐角三角形，所以， 18. 已知为奇函数，且定义域为，. （1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明； （2）若，求的取值范围； （3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围. 【答案】（1），增函数，证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求参数，进而判断函数的单调性，应用单调性定义证明即可； （2）由（1）所得单调性列不等式求参数范围； （3）由题设可得，且令，则能成立，结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为为奇函数，定义域为， 所以，得，经验证满足题设， 在定义域上为增函数，证明如下： 任取，，且，， ， 所以，在定义域上为增函数； 【小问2详解】 由（1）得，解得； 小问3详解】 ， ， ，即， ， ，， 令，，， ， ，则存在一个实数，使成立， 只需或，解得或， 综上：. 19. 设非零向量，，并定义. （1）若，，求； （2）写出，，之间的等量关系，并证明； （3）若，为单位向量，求证：集合是有限集. 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意写出及的坐标，即可求得； （2）根据题意写出，，进行判断即可； （3）由，为单位向量可得，设，进而依次写出，，，，可发现周期，从而得证. 【小问1详解】 ，，， ，， ，； 【小问2详解】 ，，之间的等量关系为， 证明如下： ，， ， 又，， ， ， ； 【小问3详解】 证明：由（2）及，可得，依次类推， 可设，则，， 依题意得： ， ， ， 同理得：， 依次类推可得：， ， ，，所以周期为6， 综上：集合是有限集，最多只有6个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$