精品解析：上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一下学期期中诊断调研数学试卷

罗店中学 2024-2025 学年第二学期高一年级期中诊断调研 科目:数学 时间:90分钟 满分:100分 一.填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分) 1. 若，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指对数关系及，即可求解. 【详解】由题设，则. 故答案为：8 2. 函数 的最小正周期是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用余弦型函数的周期性，得出结论． 【详解】由余弦函数的周期公式， 得到函数 的最小正周期是. 故答案为：. 3. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，且，时函数为增函数，由此得不等式，解不等式即可. 【详解】因为在R上是严格增函数，根据指数函数的性质， 有，解得. 故答案为： 4. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为向量  ，且 ， 所以. 故答案为：6. 5. 若点是角终边上的一点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求值即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 6. 在 中，点 是边 上一点， ，设 ，用 .表示 _____. 【答案】 【解析】 【分析】可根据向量的加减法法则以及已知的线段比例关系，将用与表示出来. 【详解】根据向量加法的三角形法则可知，.  因为，所以.  根据向量减法的三角形法则可知，，又因为，，所以.  由，，可得.  将代入中，可得：   故答案为：. 7. 若，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 可得，所以； 故答案为： 8. 已知圆心角为的扇形面积等于 ，则该扇形的弧长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为,由扇形的面积公式求出，再由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，因为圆心角， 所以扇形面积，解得（负值已舍去）， 所以该扇形的弧长. 故答案为： 9. 已知都是锐角，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 10. 函数的值域为___________ 【答案】; 【解析】 【分析】首先化简函数，根据函数的定义域求值域. 【详解】， ， 的值域是 ， 的值域是. 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 11. 已知向量，，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值. 【详解】，，， 所以，， 当且仅当，即当，等号成立， 因此，的最大值为，故答案为. 【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12. 若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过讨论的解的个数确定的可能值. 【详解】， 由得，设， 记，由于，因此必有两个不等的实根，， 所以中至少有一根属于区间且两根一正一负， （1）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由得， 所以； （2）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由无整数解； （3）若，则由得，不妨记， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然得，此时， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然无整数解； （4）若，则，在或上， 有个根，无实数根，的零点个数为， 由得，此时或； （5）若，则，无实数解，在上， 有个根，的零点个数为，由得，， 在上，有个根，的零点个数为， 由得，. 综上，的取值可能为， 故答案为：. 二.选择题(本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分) 13. 已知 . 都是单位向量，以下命题正确的是（ ） A. B. C. 若 ，则 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式及模长判断各个选项. 【详解】因为  ， 都是单位向量，所以，设  ， 夹角为， 因为，不一定等于1，故A选项错误； ，不一定等于1，故B选项错误； 若  ，可能向量方向相反，则 或，故C选项错误； ，故D选项正确. 故选：D. 14. 在中，是为等腰三角形的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为中，，则A=B，那么为等腰三角形，反之，不一定成立，故是为等腰三角形的充分不必要条件，选A 15. 已知点 在第二象限，则 是第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】利用第二象限点的特征求出，，再利用诱导公式和象限角的特征求解即可. 【详解】因为点 在第二象限，所以，， 由诱导公式得，， 则 是第三象限的角，故C正确. 故选：C 16. 已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、定义域以及三角函数的性质来逐一分析选项，从而确定函数的解析式. 【详解】对于A选项：已知，， 因为，所以， 又因为（为任意角），这里， 所以，故是奇函数， 而题目所给函数图象关于轴对称，是偶函数，所以A选项不符合，排除. 对于B选项：对于，同样根据奇函数的定义计算：， 由于，所以， 又因为（为任意角，这里）， 所以，即是奇函数， 不符合函数图象为偶函数这一条件，排除. 对于C选项：对于，， 因为，且（为任意角，这里）， 所以，所以是偶函数. 对于D选项：对于，， 因为，所以， 所以是偶函数. 此时C、D选项函数均为偶函数，还需结合定义域进一步判断.  对于C选项：正切函数的定义域为，， 对于，其自变量需满足有意义， 所以的定义域为，，不是. 而从题目所给图象来看，函数的定义域是，所以C选项不符合，排除. 对于D选项：对于，因为余弦函数的定义域是， 且，的值在正切函数的定义域内， 所以的定义域是，符合图象所给信息. 故选：D. 三.解答题(本大题共 5 题，满分 52 分) 17. 已知全集 ，集合 ，求 和 . 【答案】； 【解析】 【分析】先求解不等式得到各个集合，再利用交集和并集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 令，解得，则， 故，. 18. 已知向量 . （1）求在上的数量投影； （2）求满足的实数的值； （3）若向量满足，且，求的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据投影的定义，结合数量积和模的公式求值即可； （2）根据平面向量数乘运算的坐标表示和向量相等的坐标表示列方程组，求解即可； （3）将垂直关系转化为数量积为0，根据模的公式列方程组，求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以，， 因此，在上的数量投影. 【小问2详解】 由题意，，， 又，所以，解得. 【小问3详解】 由题意，，设， 因为，且，所以， 解得或，所以或. 19. 在锐角△中角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若△面积为，求边的最小值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合角范围求解即可； （2）根据三角形面积公式得，利用余弦定理得，利用基本不等式即可求出得最小值. 【小问1详解】 由正弦定理得，，因为， 故，又因为锐角， ,. 【小问2详解】 由题意得，则， 由余弦定理得， 即， 当且仅当时等号成立，故. 20. 吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到 （1）该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用建立方程即可求解； （2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出的最值，再根据角的范围即可求得何时有最大值. 【小问1详解】 由可得：， 同理可得， 因为， 所以， 可得. 【小问2详解】 由题意可得， 则， 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故当时，取最大值， 因为，所以， 所以时，最大. 21. 已知函数． （1）当时，求函数的单调增区间； （2）当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式； （3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； 【小问2详解】 解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 当，，时，则， 可得，则， 于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以，； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗店中学 2024-2025 学年第二学期高一年级期中诊断调研 科目:数学 时间:90分钟 满分:100分 一.填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分) 1. 若，则_________． 2. 函数 的最小正周期是_____. 3. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是________. 4. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 5. 若点是角终边上的一点，则_____. 6. 在 中，点 是边 上一点， ，设 ，用 .表示 _____. 7. 若，则_____. 8. 已知圆心角为的扇形面积等于 ，则该扇形的弧长为_____. 9. 已知都是锐角，，，则_____. 10. 函数的值域为___________ 11. 已知向量，，则的最大值为_______. 12. 若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____. 二.选择题(本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分) 13. 已知 . 都是单位向量，以下命题正确的是（ ） A. B. C. 若 ，则 D. 14. 在中，是为等腰三角形的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知点 在第二象限，则 是第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 16. 已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 三.解答题(本大题共 5 题，满分 52 分) 17. 已知全集 ，集合 ，求 和 . 18. 已知向量 . （1）求在上的数量投影； （2）求满足的实数的值； （3）若向量满足，且，求的坐标. 19. 在锐角△中角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若△面积为，求边的最小值. 20. 吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到 （1）该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 21. 已知函数． （1）当时，求函数的单调增区间； （2）当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式； （3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $