精品解析：甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学2023-2024学年下学期八年级数学期末试卷　

2023-2024学年甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 2. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，，若的周长为14，则点到线段的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 4 9. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 10. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.2 D. 1.5 11. 八年级的数学学习中，有如下问题：如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，．请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 嘉嘉说：添加； 淇淇说：添加； 请判断以下结论，( )是正确的． A. 嘉嘉说的对 B. 淇淇说的对 C. 嘉嘉和淇淇合在一起才对 D. 无法判断 12. 数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（ ） A. 先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B. 先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C. 先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D. 在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 二、填空题（本题4小题，每小题3分，共12分） 13. 若等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的腰长为______． 14. 若方程有增根，则的值是 _____ ． 15. 如图，在四边形中，，则的度数为_____． 16. 如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 _____ ． 三、解答题（本题11小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 18. 计算． （1）因式分解：． （2）解方程：． 19. 化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 20. 如图，，是上的一点，且，． （1）与全等吗？并说明理由； （2）若，求的长． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移五个单位长度，向上平移一个单位长度，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标； （2）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）在轴上求作一点，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 23. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； （2）结合图形直接写出的解集； （3）求的面积． 24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．若购买1本《北上》比1本《牵风记》进价少20元；若用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同． （1）求每本《北上》和每本《牵风记》各为多少元？ （2）若该校购进《牵风记》的本数比购进《北上》的本数的2倍还多5本，且《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，则该校有几种购货方案？ 25. 如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 26. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似， 例如： ； ； ； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）化简：； （3）请你参照这一知识，将分解成两个复数的积． 27. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 28. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2）， 可得方程180°（n﹣2）=1080°， 解得：n=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程． 3. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A．不是多项式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C．，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； D．，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及一元一次不等式组的解法，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由点在平面直角坐标系的第四象限内，可知：， 解得：； 则x的取值范围在数轴上的表示为 故选：C． 6. 如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集是，即可列式，进行作答． 【详解】解：∵ ∴由，则，解得， ∵解集是，， ∴， 解得， 故选：A． 7. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，，若的周长为14，则点到线段的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，根据作图可知，垂直平分，平分，根据中垂线的性质结合勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，平分， ∴， ∵，的周长为14， ∴，， ∴， ∵平分， ∴点到线段的距离； 故选B． 9. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 10. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.2 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，由旋转的性质可得：，，得出为等边三角形，由含角的直角三角形的性质得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ， 为等边三角形，， ， ， ， 故选：B． 11. 八年级的数学学习中，有如下问题：如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，．请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 嘉嘉说：添加； 淇淇说：添加； 请判断以下结论，( )是正确的． A. 嘉嘉说的对 B. 淇淇说的对 C. 嘉嘉和淇淇合在一起才对 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，由平行四边形的性质得出，，结合作图可得，，得出四边形为平行四边形，进而根据正方形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形为平行四边形， ，， 以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点， ，， 四边形为平行四边形； 当，时，四边形为正方形． ， ， ，，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为正方形． 故选：C． 12. 数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（ ） A. 先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B. 先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C. 先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D. 在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形， 继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形； 综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本题4小题，每小题3分，共12分） 13. 若等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的腰长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法．此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是， ∵ ∴能够组成三角形，符合题意； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是， ∵ ∴不能够组成三角形．不符合题意， 故答案为：8． 14. 若方程有增根，则的值是 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可．理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键． 【详解】解：， 在分式方程两边同乘以，得： ， ∵当时，， ∴方程的增根为， 将代入， 得：， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，牢记多边形的外角和等于，与边数无关是解题的关键． 根据四边形的外角和等于，得到与相邻的外角度数，即可求出的度数． 【详解】解：多边形的外角和为， 且， 与相邻的外角， ， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，，再证明是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，然后证明四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将边沿方向平移到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键． 三、解答题（本题11小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别解每一个不等式，再取解集的公共部分，求出不等式组的解集，找出所有的整数解即可． 【详解】解： 由①得：，解得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：， ∴整数解的和为：． 18. 计算． （1）因式分解：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用， （1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 掌握相应的运算法则，公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 将原方程整理，得： ， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 将代入，得： ， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 本题先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【详解】解： 原式 ； 当时，； 20. 如图，，是上的一点，且，． （1）与全等吗？并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） ， 证明：∵， ∴， ∵， 在和中，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键． （1）根据证明和全等解答即可； （2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明是等腰直角三角形，利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移五个单位长度，向上平移一个单位长度，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标； （2）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）在轴上求作一点，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如图所示，根据平移，即为所求图形， （2） 根据中心对称图形作图如下，即为所求图形， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握平移，中心对称，尺规作线段垂直平分线的方法是关键． （1）根据平移作图，图形与坐标特点得到点坐标，由此即可求解； （2）根据中心对称的性质作图，数形结合得到点坐标，由此即可求解； （3）尺规作线段垂直平分线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，尺规作线段垂直平分线交轴于点， ∴根据垂直平分线的性质得到，点即为所求点的位置． 22. 如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 解： 点D，E分别为边，的中点， ，， 又， ，， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，，再证明即可得到结论； （2）证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由，可得，，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 四边形是平行四边形， ，点D，E分别为边，的中点， ，，， 又，， ，， ． 答：四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，熟记基础图形的性质是解本题的关键． 23. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； （2）结合图形直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案为：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．若购买1本《北上》比1本《牵风记》进价少20元；若用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同． （1）求每本《北上》和每本《牵风记》各为多少元？ （2）若该校购进《牵风记》的本数比购进《北上》的本数的2倍还多5本，且《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，则该校有几种购货方案？ 【答案】（1）每本《北上》40元，每本《牵风记》60元 （2）共有三种购买方案 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每本《牵风记》元，则每本《北上》元，根据用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买本《北上》，则购买本《牵风记》，根据《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，列出不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每本《牵风记》元，则每本《北上》元 由题意得：，解得： 经检验，是分式方程的根，且符合题意，此时 答：每本《北上》40元，每本《牵风记》60元． 【小问2详解】 解：设购买本《北上》，则购买本《牵风记》 ，解得： 为正整数， 共有三种购买方案：①购买17本《北上》，购买39本《牵风记》 ②购买18本《北上》，购买41本《牵风记》 ③购买19本《北上》，购买43本《牵风记》． 25. 如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）菱形， 理由：∵平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握萎形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再证，可得，进而可得四边形是平行四边形，结，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直角三角形的性质可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似， 例如： ； ； ； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）化简：； （3）请你参照这一知识，将分解成两个复数的积． 【答案】（1），，； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，读懂定义，能利用复数的定义对多项式进行因式分解是解题的关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）根据定义可知，且个结果为一组循环，由此求解即可； （3）将原式化为，再因式分解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ． 27. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】【三角形中位线定理】，； 【应用】； 【拓展】证明：取的中点，连接、． 、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]略 28. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）， 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 即； （3）， 证明：如图，在上截取， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）可推出，从而，根据即可得证； （2）根据，，进而可推出矩形是正方形，从而，进一步得出结果； （3）在上截取，证明得，，进而得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $