专题03 计数原理（4大经典基础练+优选提升练）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法、分步乘法 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式系数的性质 ( 题型0 1 ) 分类加法、分步乘法 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 2．（23-24高二下·陕西安康·期末）书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（    ） A．4种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【分析】利用分类加法计数原理进行求解. 【详解】共有种不同的选法. 故选：B 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（    ） A．17种 B．34种 C．35种 D．70种 【答案】A 【分析】利用分类加法计数原理直接求解即可. 【详解】由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有种，故A正确. 故选：A 4．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 【答案】B 【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解. 【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法， 他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法， 他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种. 故选：B. ( 题型02 ) 排列及排列数公式 5．（23-24高二下·陕西西安·期末）从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（    ）． A．360 B． C．24 D． 【答案】A 【分析】根据题意从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列，计算即可得到答案. 【详解】根据题意，从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列， 共有种. 故选：A. 6．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 【答案】84 【分析】由捆绑法、间接法即可求解. 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是 种． 【答案】48 【分析】相邻问题利用 “捆绑法”即可求解. 【详解】先将“木、土”看成一个整体，所以一起4个元素，总共有种排法， “木、土”内部排序有种排法，所以总共有种排法. 故答案为：. 8．（23-24高二下·陕西安康·期末）3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（    ） A．332 B．360 C．432 D．488 【答案】C 【分析】将两名女生绑定，再将男生全排，再利用插空法求解. 【详解】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空， 则不同的排法种数为. 故选：C ( 题型03 ) 组合及组合数公式 9．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 【答案】B 【分析】分配1名医生和2名护士到一所学校即可. 【详解】解：先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了， 所以共有种分配方案， 故选：B 10．（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【答案】36 【分析】根据排列组合，即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有种. 故答案为：36. 11．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 12．（23-24高二上·陕西汉中·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确； 易知，显然两式不等，故C错误； ，显然两式相等，故D正确. 故选：ABD ( 题型0 4 )二项式系数的性质 13．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】先写出通项公式，令，得到的系数. 【详解】由通项公式， 时，，所以展开式中项的系数为. 故选：D. 14．（23-24高二下·陕西安康·期末）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 【答案】B 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，所以， 故的展开式中含有项的系数为-10. 故选：B 15．（23-24高二下·陕西西安·期末）被8除所得的余数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用,借助二项式定理的性质和展开式即可求解. 【详解】由． 易知：能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选: B. 16．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知（，）的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，且各项系数之和为1.求： (1)的值； (2)的值； (3)展开式中的常数项. 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据仅有第4项的二项式系数最大即可得解； （2）各项系数之和为1即可列方程求解； （3）写出二项式的展开式通项，令，得，回代即可求解. 【详解】（1）仅有第4项的二项式系数最大，. （2）令，则且，得. （3）由（1）（2）知，，， 故二项展开式的通项为， 令，得，故， 展开式中的常数项为. 17．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知二项式的二项式系数和为32．给出下列四个结论： ①    ②展开式中只有第三项的二项式系数最大 ③展开式各项系数之和是243    ④展开式中的有理项有3项 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④． 【分析】根据二项式系数和满足，可判定①正确；根据二项式系数的性质，可得②不正确； 令，求得展开式各项系数之和，可判定③正确；根据展开式的通项，可判定④正确. 【详解】对于①中，由二项式的二项式系数和为，可得， 解得，所以①正确； 对于②中，由二项式的展开式共有6项， 根据二项式系数的性质，可得第三项和第四项的二项式系数相同，且最大，所以②不正确； 对于③中，令，可得，所以展开式各项系数之和是，所以③正确； 对于④中，由二项式的展开式的通项为， 当时，可得展开式的项分别为， 所以展开式中的有理项有3项，所以④正确. 故答案为：①③④ 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西志丹县·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 【答案】C 【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可. 【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序； 再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序. 根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序. 故选：C. 2．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 【答案】C 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 3．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）若的二项展开式中常数项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，再令，解得，最后代入计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以，故展开式中常数项为. 故选：C 4．（23-24高二下·陕西周至县·期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有（　　） A．80种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【分析】对5个人先进行两种情况的分组，再进行全排列，即可得答案. 【详解】先对5个人先进行两种情况的分组，一是分为1，1，3，有种，二是分为1，2，2，共有种， 再分配，可得不同的分配方法有种. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·陕西汉中·期末）若，则（   ） A． B． C．中，最大 D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法计算判断ABD；求出偶数项的系数判断C. 【详解】对于A，令，得，A错误； 对于B，显然均为正数，均为负数， 取，得， 因此，B正确； 对于C，，，， ，，因此最大，C错误； 对于D，由，得，则， 因此，D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及二项式展开式系数和的问题，对变量赋以适当的值即可求解. 三、填空题 6．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设集合中的元素皆为无重复数字（如113为有重复数字）的三位正整数，且中任意两个元素之积皆为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【答案】320 【分析】确定集合中的元素无偶数，均为奇数，利用分步乘法原理，即可求得答案. 【详解】由题意可知集合中的元素无偶数，均为奇数， 故个位数字从中选一个，有5种选法， 百位数字从除去0和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法， 十位数字从除去百位数字和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法， 故中元素个数的最大值为， 故答案为：320 7．（23-24高二下·陕西大荔县·期末）已知，那么 ； 【答案】 【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去） 故答案为： 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法、分步乘法 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式系数的性质 ( 题型0 1 ) 分类加法、分步乘法 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 2．（23-24高二下·陕西安康·期末）书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（    ） A．4种 B．8种 C．12种 D．16种 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（    ） A．17种 B．34种 C．35种 D．70种 4．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 ( 题型02 ) 排列及排列数公式 5．（23-24高二下·陕西西安·期末）从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（    ）． A．360 B． C．24 D． 6．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是 种． 8．（23-24高二下·陕西安康·期末）3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（    ） A．332 B．360 C．432 D．488 ( 题型03 ) 组合及组合数公式 9．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 10．（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 11．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·陕西汉中·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )二项式系数的性质 13．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 14．（23-24高二下·陕西安康·期末）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 15．（23-24高二下·陕西西安·期末）被8除所得的余数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 16．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知（，）的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，且各项系数之和为1.求： (1)的值； (2)的值； (3)展开式中的常数项. 17．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知二项式的二项式系数和为32．给出下列四个结论： ①    ②展开式中只有第三项的二项式系数最大 ③展开式各项系数之和是243    ④展开式中的有理项有3项 其中，所有正确结论的序号是 ． 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西志丹县·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 2．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 3．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）若的二项展开式中常数项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（23-24高二下·陕西周至县·期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有（　　） A．80种 B．90种 C．120种 D．150种 二、多选题 5．（23-24高二下·陕西汉中·期末）若，则（   ） A． B． C．中，最大 D． 三、填空题 6．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设集合中的元素皆为无重复数字（如113为有重复数字）的三位正整数，且中任意两个元素之积皆为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 7．（23-24高二下·陕西大荔县·期末）已知，那么 ； 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$