专题05 成对数据的统计分析（4大经典基础练+优选提升练）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02一元线性回归模型 题型03求回归直线方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是（    ） A．若两个变量与的相关系数，则这两个变量负相关 B．若两个变量与的相关系数越大，则这两个变量的线性相关程度越强 C．若两个变量与的相关系数，则这两个变量不具有相关关系 D．对于两个变量与的经验回归方程，若决定系数越大，则经验回归方程的拟合效果越好 2．（23-24高二下·陕西大荔县·期末）对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． ( 题型02 ) 一元线性回归模型 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为2，则（    ）． A． B．1 C． D．5 4．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 5．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 ( 题型03 )求回归直线方程 6．（23-24高二下·陕西西安·期末）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 参考数据：，，. 7．（23-24高二下·河南濮阳·期末）某植物科学研究所的最新研究表明：某种乔木类植物在沙漠中很难生存，主要原因是沙漠水土流失严重，土壤中的养料和水分相对贫瘠且该乔木类植物根系不发达．实验组调配出含钙､钾两种促进植物根系生长的生长液，将该种乔木类植物的幼苗放置在合适的环境下且每天加入等量的生长液进行培养，并记录前5天该乔木类幼苗的高度与天数的数据，如下表所示： （天） 1 2 3 4 5 7 10 12 16 20 (1)若该实验小组通过作散点图发现与之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出关于的经验回归方程． (2)一般认为当该乔木类幼苗高度不小于时即可移栽到自然条件下进行种植．若在不加生长液的条件下培养，该乔木类幼苗达到移栽标准的最短培养时间一般为18天，利用（1）中的回归方程预测加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了多少天． 参考公式：在经验回归方程中，． 参考数据：． 8．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）下表是某单位在2023年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 5 用水量y 2.5 3 4 4.5 5.2 (1)从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率； (2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由． 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． ( 题型0 4 ) 独立性检验 9．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为． 男生 女生 合计 物理类 历史类 合计 1000 完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？ 附：． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 10．（23-24高二下·陕西志丹县·期末）某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表： 阅读达标 阅读不达标 合计 女生 70 30 100 男生 40 60 100 合计 110 90 200 (1)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联? (2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 11．（23-24高二下·陕西安康·期末）某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表： 年龄 5 2 3 6 9 14 11 20 33 34 30 25 2 1 2 3 把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意. (1)完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？ 满意 不满意 合计 青年 中年 合计 (2)从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望. 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求a，并估计参与调查者的平均年龄； (2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 (3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D．若随机变量，满足，则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02一元线性回归模型 题型03求回归直线方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是（    ） A．若两个变量与的相关系数，则这两个变量负相关 B．若两个变量与的相关系数越大，则这两个变量的线性相关程度越强 C．若两个变量与的相关系数，则这两个变量不具有相关关系 D．对于两个变量与的经验回归方程，若决定系数越大，则经验回归方程的拟合效果越好 【答案】AD 【分析】根据相关系数的意义判断ABC三个选项，根据决定系数的意义判断D选项. 【详解】由相关系数的意义知“若两个变量与的相关系数，则这两个变量负相关”A正确； “两个变量与的相关系数的绝对值越大，则这两个变量的线性相关程度越强”，B错误； 两个变量与的相关系数只能说明两个变量没有线性相关关系，不能排除它们之间有其他相关关系，C错误； 由决定系数的意义知“对于两个变量与的经验回归方程，若决定系数越大，则经验回归方程的拟合效果越好”，D正确； 故选：AD. 2．（23-24高二下·陕西大荔县·期末）对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关， 故； 第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得，即， 故选：C ( 题型02 ) 一元线性回归模型 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为2，则（    ）． A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据残差计算公式计算即可. 【详解】由题意得，得, 故选：C. 4．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据样本中心点在回归方程上即可. 【详解】由表格数据得， 因为样本中心点在回归方程上， 所以， 解得. 故选：A. 5．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. ( 题型03 )求回归直线方程 6．（23-24高二下·陕西西安·期末）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 参考数据：，，. 【答案】(1)，相关程度较高 (2)，9.3亿元 【分析】（1）通过计算相关系数来进行判断. （2）先计算回归直线方程，并由此作出预测. 【详解】（1）由表中数据可知，，， ，，， 则， 故相关程度较高； （2），， 则，， 故， 令，解得， 故研发投入至少9.3亿元. 7．（23-24高二下·河南濮阳·期末）某植物科学研究所的最新研究表明：某种乔木类植物在沙漠中很难生存，主要原因是沙漠水土流失严重，土壤中的养料和水分相对贫瘠且该乔木类植物根系不发达．实验组调配出含钙､钾两种促进植物根系生长的生长液，将该种乔木类植物的幼苗放置在合适的环境下且每天加入等量的生长液进行培养，并记录前5天该乔木类幼苗的高度与天数的数据，如下表所示： （天） 1 2 3 4 5 7 10 12 16 20 (1)若该实验小组通过作散点图发现与之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出关于的经验回归方程． (2)一般认为当该乔木类幼苗高度不小于时即可移栽到自然条件下进行种植．若在不加生长液的条件下培养，该乔木类幼苗达到移栽标准的最短培养时间一般为18天，利用（1）中的回归方程预测加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了多少天． 参考公式：在经验回归方程中，． 参考数据：． 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程； （2）设加了生长液后培养时间为天，则，计算求得，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得 ,, , 故， 故所求的经验回归方程为. （2）设加了生长液后培养时间为天，则， 解得，故， 所以预测加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了天. 8．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）下表是某单位在2023年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 5 用水量y 2.5 3 4 4.5 5.2 (1)从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率； (2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由． 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1) (2)得到的经验回归方程是“预测可靠”的． 【分析】（1）根据古典概型求概率； （2）先求出线性回归方程，在进行预测判断. 【详解】（1）从这5个月中任取2个月，包含的基本事件有个， 其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的基本事件有以下4个： ，，，， 故所求概率． （2）由数据得， 由公式计算得 ，所以y关于x的经验回归方程为， 当时，得估计值，而 所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的． ( 题型0 4 ) 独立性检验 9．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为． 男生 女生 合计 物理类 历史类 合计 1000 完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？ 附：． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】列联表见解析，没有 【分析】根据扇形统计图先补全联表，再计算，根据边界值比较判断相关性. 【详解】根据扇形统计图易得，选择物理类学生为人， 其中男生人，女生， 选择历史类100人，其中男生人，女生人 男生 女生 合计 物理类 480 420 900 历史类 40 60 100 合计 520 480 1000 所以没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关” 10．（23-24高二下·陕西志丹县·期末）某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表： 阅读达标 阅读不达标 合计 女生 70 30 100 男生 40 60 100 合计 110 90 200 (1)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联? (2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)阅读达标情况与性别有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）计算，根据根据小概率值作出结论； （2）由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为阅读达标情况与性别有关联. （2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为， 则的可能取值为， ，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 故. 11．（23-24高二下·陕西安康·期末）某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表： 年龄 5 2 3 6 9 14 11 20 33 34 30 25 2 1 2 3 把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意. (1)完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？ 满意 不满意 合计 青年 中年 合计 (2)从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望. 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，不能 (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据给定的数据完善列联表，计算的观测值并回答得结论. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【详解】（1）依题意，列联表如下： 满意 不满意 合计 青年 70 30 100 中年 60 40 100 合计 130 70 200 零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可认为成立， 即不能推断消费者对新产品的满意度与年龄有关. （2）依题意，90分以上的有8人，其中青年人数为3，则的所有可能值是， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 12．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求a，并估计参与调查者的平均年龄； (2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 (3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.035；41.5岁 (2)表格见解析；有关 (3)；1 【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案； （3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案 【详解】（1）， ， ， 估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁； （2）选出的200人中，各组的人数分别为： 第1组：人，第2组：人， 第3组：人，第4组：人， 第5组：人， 青少年组有人，中老年组有人， 参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题， 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， 列联表如下； 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：假设关注民生问题与性别相互独立， ， 根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关； （3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以， 所以， 所以，． 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D．若随机变量，满足，则 【答案】C 【分析】对于AB：根据相关系数的性质分判断；对于C：根据独立性检验的思想分析判断；对于D：根据期望的性质分析判断. 【详解】对于选项AB：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故AB错误； 对于选项C：因为， 根据独立性检验可知：与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：C. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$