专题04 随机变量及其分布（5大经典基础练+优选提升练）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量的均值与方差 题型04二项分布与超几何分布 题型05正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 2．（23-24高二下·陕西安康·期末）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（    ） A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 【答案】BCD 【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A选项，根据n次独立重复实验计算判断B，D，计算条件概率判断C选项即可. 【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误； ，则，故B正确； 记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则， ，所以，故C正确； ，当最大时， 即 所以即解得， 又，所以，当为6时，最大，故D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案． 【详解】不超过30的自然数有31个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，共4组． 所以，， 所以． 故选：C． 4．（23-24高二下·陕西安康·期末）学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为. (1)求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率. (2)已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，计算与,进而求出； （2）乙得分不低于60分可以获得一等奖的情况分为三种情况，即乙在中只抽到了一题、两题、三题的情况，求解概率. 【详解】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格， 则， ， 所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为 （2）若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率； 若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率 若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率 故乙获得一等奖的概率. ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·陕西安康·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 6．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式逐一计算即可. 【详解】根据题意得,,故B错误； 对于A，，故A正确； 对于C，,所以,故C正确； 对于D，,故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)，第二次，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式分析得，再对分奇偶求解. 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. ( 题型0 3 )离散型随机变量的均值与方差 8．（23-24高二下·陕西西安·期末）当前，以为代表的（利用技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱，我国的（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中中的个数为，求的分布列与期望． 【答案】分布列见解析，． 【分析】求出的所有可能取值和对应的概率，    求出分布列，得到期望. 【详解】由题意，的所有可能取值为0，1，2，3， 此时，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 此时． 9．（23-24高二下·陕西榆林·期末）某企业新研发并生产一批产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品． (1)求一件产品的次品率； (2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．每件产品的质检费用为2元/个，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个（质检为次品的产品只记一次质检费用）．若有1000件产品等待质检，请估计质检和更换次品电子元件的总费用为多少元？（结果取整数） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)元 【分析】（1）根据对立事件，先求正品的概率，即可求解次品的概率； （2）依题意，，列出分布列并求出期望； （3）设一件产品质检和更换次品电子元件的费用之和为，则，利用期望的性质求解. 【详解】（1）记“任取一件产品为次品”为事件， ； （2）依题意，， 所以， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 所以. （3）设一件产品质检和更换次品电子元件的费用之和为， 则， 所以， 所以总费用为元. 10．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 11．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． (1)若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望； (2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)． 【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值； （2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到. 【详解】（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以． （2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”． ，． 当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则 ； 当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则 ； 故 ． 即乙获得奖励的概率为． ( 题型0 4 ) 二项分布与超几何分布 12．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量，则 . 【答案】3 【分析】根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】随机变量， 则. 故答案为：3. 13．（23-24高二下·陕西周至县·期末）随机变量，则 ． 【答案】3 【分析】先根据二项分布的性质求出，从而可求出，进而可求出 【详解】因为，所以 所以， 所以． 故答案为：3 14．（23-24高二下·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)求X的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）由求解即可； （2）由二项分布的数学期望及方差公式求解． 【详解】（1）解：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为， 且每次是否正面朝上相互独立，所以， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）根据（1），所以，． 15．（23-24高二下·陕西汉中·期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核． (1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率； (2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得. （2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率； 甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元， 概率， 所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为. （2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为， X的可能取0，1，2，3，显然， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. ( 题型0 5 )正态分布 16．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 【答案】B 【分析】根据题意分析可知，结合正态分布的对称性分析求解即可. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以， 又因为， 即， 故为A等级，为等级，为等级，为等级， 结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90. 故选：B. 17．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 【答案】ABC 【分析】利用正态分布的性质，逐一进行判断即可. 【详解】由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为，即，所以，故D错误； 故选：ABC. 18．（23-24高二下·陕西渭南·期末）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取50袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布，，则X介于-2~2的食盐袋数大约为（    ） A．4 B．48 C．50 D．96 【答案】B 【分析】由正态分布求出，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 则X介于的食盐袋数大约为：， 故选：B 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)①4.55万件；②分布列见解析， 【分析】（1）利用概率公式即可求解. （2）先求出平均数，写出正态分布，利用正态分布即可求解；先求出的概率，然后根据二项分布，即可求解. 【详解】（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件． 记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则． （2）①因为， 所以，且； 所以或或， 所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格． ②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 故． 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 2．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）若随机变量，，则（    ） A．0.15 B．0.3 C．0.35 D．0.7 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性，可知，即可得解. 【详解】由随机变量，， 可知， 故选：A 3．（23-24高二下·陕西周至县·期末）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意得，事件包含的样本点数， 事件和包含的样本点数， 所以. 故选：D 4．（23-24高二下·陕西千阳县·期末）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 二、解答题 5．（23-24高二下·陕西千阳县·期末）甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）． (1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率； (2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，可知在5场比赛中，甲队赢3场，从而可得概率； （2）根据二项分布可解答. 【详解】（1）记“五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分”为事件，而五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分，即五场单打比赛中甲队赢3场，乙队赢2场， 所以 （2）由题意，可取. 所以； ； ； ； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. (或者，所以). 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量的均值与方差 题型04二项分布与超几何分布 题型05正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西安康·期末）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（    ） A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 3．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·陕西安康·期末）学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为. (1)求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率. (2)已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率. ( 题型02 ) 全概率公式 5．（23-24高二下·陕西安康·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． ( 题型0 3 )离散型随机变量的均值与方差 8．（23-24高二下·陕西西安·期末）当前，以为代表的（利用技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱，我国的（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中中的个数为，求的分布列与期望． 9．（23-24高二下·陕西榆林·期末）某企业新研发并生产一批产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品． (1)求一件产品的次品率； (2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．每件产品的质检费用为2元/个，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个（质检为次品的产品只记一次质检费用）．若有1000件产品等待质检，请估计质检和更换次品电子元件的总费用为多少元？（结果取整数） 10．（23-24高二下·陕西西安临潼区·期末）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 11．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． (1)若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望； (2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． ( 题型0 4 ) 二项分布与超几何分布 12．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量，则 . 13．（23-24高二下·陕西周至县·期末）随机变量，则 ． 14．（23-24高二下·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)求X的期望和方差． 15．（23-24高二下·陕西汉中·期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核． (1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率； (2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望． ( 题型0 5 )正态分布 16．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 17．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 18．（23-24高二下·陕西渭南·期末）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取50袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布，，则X介于-2~2的食盐袋数大约为（    ） A．4 B．48 C．50 D．96 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）若随机变量，，则（    ） A．0.15 B．0.3 C．0.35 D．0.7 3．（23-24高二下·陕西周至县·期末）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·陕西千阳县·期末）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 二、解答题 5．（23-24高二下·陕西千阳县·期末）甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）． (1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率； (2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$