精品解析：江西省高安市石脑中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度高二学期中考试卷 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（ ） A. B. C. 11 D. 5 2. 设函数在处可导，且，则等于 A. B. C. D. 3. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　） A. 增加了项 B. 增加了项 C. 增加了项 D. 以上均不对 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　) A. 3×44 B. 3×44＋1 C. 44 D. 44＋1 8. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递减数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知函数，则=__________. 13. 等比数列的前项和为，若，则__________. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 设等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 17. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为，求. 19. 已知函数，，为函数的导函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若任意，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二学期中考试卷 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（ ） A. B. C. 11 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用观察法求出数列的通项公式，进而求出第40项. 【详解】依题意，所给数列的通项公式为， 所以该数列的第40项. 故选：C 2. 设函数在处可导，且，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，故-3，由导数的定义可得，所以，应选答案C． 3. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案. 【详解】，，，，……， 故为周期数列，一个周期为3， 故. 故选：C 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 5. 用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　） A. 增加了项 B. 增加了项 C. 增加了项 D. 以上均不对 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案． 【详解】用数学归纳法证明等式的过程中， 假设时不等式成立，左边， 则当时，左边， 所以由递推到时不等式左边增加了： ． 故选：C． 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 7. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　) A. 3×44 B. 3×44＋1 C. 44 D. 44＋1 【答案】A 【解析】 【详解】解：由an+1 =3Sn，得到an=3Sn-1（n≥2）， 两式相减得：an+1-an=3（Sn-Sn-1）=3an， 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3， 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列， 所以an=a2qn-2=3×4n-2（n≥2） 则a6=3×44，选A 8. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由题意， ，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 当时，可得， 当 所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点， 结合图象可得实数的取值范围. 故选：B. 二、多选题 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数运算法则及复合函数导数的求法逐项判断可得结果. 【详解】令，， 因为，，所以，故A正确； 因为为常数，所以，故B错误； 令，， 因为，，所以，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递减数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，从而得且，进而可判断ABC，对于D，作差判断即可 【详解】，所以， ， 所以，所以且， 所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故A正确，BC错误． 因为，所以，故D正确． 故选：BC． 11. 若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可． 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值， 若函数在区间内有最小值， 此时，解得， 当，即时， 整理得，解得或， 所以， 综上，满足条件的取值范围为，． 故选：CD． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知函数，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解. 【详解】， 则，得， 所以， 故. 故答案为： 13. 等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】28 【解析】 【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案. 【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列， 所以，因为，解得， 故答案为：28 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解 【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号， 又，令，则有两个不同的实数根， 令，则， 令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增. 且当时，当时，且，， 故作出图象. 可得当有两根时 故答案为： 四、解答题 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 设等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得的值，进而求得数列的通项公式； （2）由，，利用等差数列的求和公式，化简得到，结合二次函数的性质，即可得到答案. 【小问1详解】 解：选①，设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得，， 所以数列的通项公式为. 选②，设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得，， 所以数列的通项公式为. 选③，设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由，，所以， 所以当时，取得最大值为． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 17. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【小问1详解】 ∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）得， ∴ . 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1）证明：因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以，结合等差数列定义可得； （2）由错位相减法求和即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. 19. 已知函数，，为函数的导函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）先对参数进行分类讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用分离参数法得到，再利用导数得到，最后得到参数范围即可. 【小问1详解】 因为，且定义域为， 所以，令，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，得到，令，得到， 故函数在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）得， 因为对于任意，恒成立， 所以恒成立， 化简得恒成立，故恒成立， 令，则恒成立，， 令，则， 得到在单调递增，即 故，在单调递增，而， 即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $