专题27 勾股定理（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题27 勾股定理 真题重现 （2024九年级下·江苏无锡·竞赛）等腰直角和直角顶点重合，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）用证明，即可判断； （2）过点作交的延长线于点，先证明，得到，，再证明，得到，从而得到和的数量关系； （3）过点作与，利用旋转的性质和勾股定理，可得，，利用可计算出答案；过点作于，同理可得，，，利用可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， ， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：绕点旋转得到，，三点共线； ①如图所示：过点作于， ，是等腰直角三角形，，， ，， 在中， ， ； ②如图所示：过点作于， 同理可得，，， ， 此时； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 考点突破 一、勾股定理解决几何最值问题 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出的长，再比较即可． 【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C， ∴为直角三角形，且，， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为； ②将正面和上面展开，如图， ∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为． ∵， ∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为． 故选A． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 二、勾股定理逆定理 【典例】（八年级上·四川眉山·竞赛）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【巩固】（八年级下·北京·期中）如图4，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（    ）． A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 三、勾股数 【典例】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 （结果用含m的式子表示）． 【解答】解：∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故答案为：m2+1． 【巩固】 观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　 ． 模拟演练 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均为格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若用一张正方形的纸包住一个棱长为1的正方体的表面，则这张纸的边长至少为（   ） A． B．3 C． D．4 3．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环  境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（    ）    A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．如图，在梯形中，，，在线段上，且满足，过作交的延长线于．若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 6．如图，在等腰直角中，，点D在上，，点E在上，，过点E作交于点F，连接交于点G，则 ． 7．如图是一个矩形足球球场，为球门，于点，米某球员沿带球向球门进攻，在处准备射门已知米，米已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米，此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，刚好能成功防守，则的长为 米． 8．如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当，时，；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 9．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 10．如图1是彭罗斯镶嵌，中间区域的部分是由若干个基本形“风筝”（图2）与“飞镖”（图3）组成的十边形，一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形，且． (1)______，______； (2)若设凸四边形的面积为，凹四边形的面积为，则______． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形，，，点A、分别在轴、轴上，当点从原点开始在轴的正半轴上运动时，点在轴正半轴上运动． (1)当A在原点时，求点的坐标； (2)当时，求原点到点B的距离； (3)在运动的过程中，求原点到点B的距离的最大值，并说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B，（直角三角形中的直角边等于斜边的一半），点P在x轴上运动，连接． (1)求a的值； (2)作A关于直线的对称点，若轴，求的面积； (3)将绕点P顺时针旋转得到，直线与直线交点为Q，当为等腰三角形时，求出P点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题27 勾股定理 真题重现 （2024九年级下·江苏无锡·竞赛）等腰直角和直角顶点重合，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）用证明，即可判断； （2）过点作交的延长线于点，先证明，得到，，再证明，得到，从而得到和的数量关系； （3）过点作与，利用旋转的性质和勾股定理，可得，，利用可计算出答案；过点作于，同理可得，，，利用可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， ， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：绕点旋转得到，，三点共线； ①如图所示：过点作于， ，是等腰直角三角形，，， ，， 在中， ， ； ②如图所示：过点作于， 同理可得，，， ， 此时； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 考点突破 一、勾股定理解决几何最值问题 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出的长，再比较即可． 【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C， ∴为直角三角形，且，， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为； ②将正面和上面展开，如图， ∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为． ∵， ∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为． 故选A． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 米，米， 由勾股定理得，（米）； 故答案为：． 二、勾股定理逆定理 【典例】（八年级上·四川眉山·竞赛）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【巩固】（八年级下·北京·期中）如图4，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（    ）． A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20， EF2=12+22=5，GH2=22+32=13． 因为AB2+EF2=GH2， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 三、勾股数 【典例】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 （结果用含m的式子表示）． 【解答】解：∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故答案为：m2+1． 【巩固】 观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　 ． 【解答】解：①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． ②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． ③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． ④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组勾股数的第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 模拟演练 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均为格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是求解锐角的余弦，延长到格点，连接，如图：证明，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】解：延长到格点，连接，如图： ，，， ， ， ； 故选：C 2．若用一张正方形的纸包住一个棱长为1的正方体的表面，则这张纸的边长至少为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正方形纸包住正方体的立体几何图形，易得，同理可得；在中，，则，即可作答．本题主要考查勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图；连接，则必过； 在中，； 则， 解得， 同理可得； 在中，， 则； ∴； 故选A． 3．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环  境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（    ）    A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可，熟练掌握勾股定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米， ∴三边的长分别为13米、47米、49米， 假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x， ∴， ∵， ∴该三角形为钝角三角形， 故选：B． 4．如图，在梯形中，，，在线段上，且满足，过作交的延长线于．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，，过C作，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，过E作于F，再证明，得到，求出，，再证明，得到，求出即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴，， 过C作， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过E作于F，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了梯形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 6．如图，在等腰直角中，，点D在上，，点E在上，，过点E作交于点F，连接交于点G，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理；根据题目条件可知，，由，，可知，再根据相似三角形的性质计算即可；解题的关键是得出． 【详解】解：，， ，，． ， ． ， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 7．如图是一个矩形足球球场，为球门，于点，米某球员沿带球向球门进攻，在处准备射门已知米，米已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米，此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，刚好能成功防守，则的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理；过点作于，计算和的长，根据三角函数定理可得，解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，， 在中， 在中， 米， 故答案为：． 8．如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当，时，；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据题意可得，得到，可判定①；根据点是的中点，是的垂直平分线，得到，由等边对等角得到，根据垂直的定义得到，可判定②；设，则，由勾股定理得到，由题意可证得到，由此得到，可判定③；设，根据含角的直角三角形的性质得到，根据中线平分三角形面积得到，且，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当，时，， 设， 由①可得，是的中位线， ∴，则， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，故③错误； 当时，， 设，则， ∴， ∴， ∵点是的中位线， ∴点是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为： ，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 10．如图1是彭罗斯镶嵌，中间区域的部分是由若干个基本形“风筝”（图2）与“飞镖”（图3）组成的十边形，一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形，且． (1)______，______； (2)若设凸四边形的面积为，凹四边形的面积为，则______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质，菱形的性质，勾股定理等； （1）由正十边形的性质得，由菱形的性质得，即可求解； （2）连接、，交于，由菱形的性质得，，，设，，，由勾股定理得，求出，由三角形面积得，，即可求解； 掌握正多边形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练利用菱形的性质用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）解：中间区域的部分是由若干个基本形“风筝”与“飞镖”组成的十边形， ， 一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形， ， 故答案为：，； （2）解：如图，连接、，交于， 构成的是正十边形， ， 一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形， ， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形，，，点A、分别在轴、轴上，当点从原点开始在轴的正半轴上运动时，点在轴正半轴上运动． (1)当A在原点时，求点的坐标； (2)当时，求原点到点B的距离； (3)在运动的过程中，求原点到点B的距离的最大值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，理由见解析． 【分析】（1）根据点A在原点时，在轴上，轴，即可求出点B的坐标； （2）根据得出是等腰直角三角形，再根据，得出，再过点B作轴，得出的度数，从而得出和的值，即可求出答案； （3）先取的中点E，连接，，在中，是斜边上的中线，得出的值，再在中得出的值；再分两种情况讨论；当点O，E，B不在一条直线上和O，E，B三点在一条直线上时，求出的值，得出最大值即可． 【详解】（1）解：当点A在原点时，如图1，在轴上，轴， ， ∵， ∴点的坐标是． （2）当时， 如图2，是等腰直角三角形，， ∴，， 过点作轴于点， 则， ∵， ∴，， 故． （3）如图3，取的中点，连结，． 在中，是斜边上的中线， ∴ 在中，， ∴．                        … 若点O，E，B，不在一条直线上，则． 若点O，E，B，在一条直线上，则， ∴当O，E，B，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，坐标与图形性质，直角三角形斜边中线定理，两点间的距离，勾股定理，解题的关键在于理解等腰直角三角形的性质和几何变换的应用． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B，（直角三角形中的直角边等于斜边的一半），点P在x轴上运动，连接． (1)求a的值； (2)作A关于直线的对称点，若轴，求的面积； (3)将绕点P顺时针旋转得到，直线与直线交点为Q，当为等腰三角形时，求出P点坐标． 【答案】(1) (2)的面积的面积为或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当在轴下方时，由，求出，即可求解；当在轴上方时，同理可解； （3）当时，，由，得到，即可求解；当时，，即可求解；当时，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由直线的表达式知，， ， 则， ， ， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：； （2）解：由（1）知，直线的表达式为：， 根据轴对称和题意可得， 设， 当在轴下方时， ∵轴， ， ∵， ， 解得：（舍去）或2， ， ， 当在轴上方时， ∵轴， ， ， ， 解得：或（舍）； ， ， 综上所述：的面积为或； （3）解：当时， ， ∴， ， ， 解得：， ； 当时，，此时点与点重合， ； 当时，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$