精品解析：安徽省县中联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（C卷）

2024~2025学年度第二学期高一3月联考 数学（C卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章第1~3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法、正弦函数的值域求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，得，故， 由的值域为，故， 所以. 故选：B 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】若，且，则，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，所以. 故选:D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 7. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时的水深约为 D. 一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【解析】 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 8. 在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，进而得到的周长，再应用换元法及三角函数的性质，令则，即可求范围. 【详解】如题图，设，由题意， 所以， 则， 所以的周长， 注意，且， 令，则， 所以，又， 所以，解得， 即周长的取值范围为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三个非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量关系及数乘运算律判断A；应用向量数量积的运算律得判断B；由向量的性质即可判断C；应用向量共线及数乘的运算律判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，即， 所以，所以，故B正确； 因为向量不能比较大小，故C错误； 因为，且，所以存在实数，使得， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 10. 下列各式中，值为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A、C，逆用二倍角公式化简判断； 对于B，逆用两角和的正切公式化简判断； 对于D，用配凑法及逆用两角差的正弦公式化简判断； 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，,，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不正确； 故选：ABC . 11. 记表示中的较大者.若函数.则（ ） A. 是周期函数 B. 是函数的图象的对称轴 C. 的值域为 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正余弦周期函数的性质可得A正确；由图象结合A可得B正确；由图象结合指数函数的计算可得C错误；由图象结合复合函数的单调性可得D错误. 【详解】对于A，令，因为都是最小正周期为的函数，所以是最小正周期为的函数，因此是周期函数，故A正确； 对于B，作出的部分图象如图（实线）所示， 由图可知，结合周期性得，曲线关于直线对称， 则是函数的图象的对称轴，再结合A项，可得是函数的图象的对称轴，故B正确； 对于C，由图象可知，的值域为，所以的值域为，故C错误； 对于D，由图象可知，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知狄利克雷函数则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据解析式代入求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故. 故答案为：2 13. 已知函数的最小正周期为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，再根据余弦函数的性质求出，最后代入计算可得. 【详解】， 所以的最小正周期为，解得，即， . 故答案为： 14. 在中，若，则对的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则点在直线上，从而，则当时，取得最小值，即可得解. 【详解】设，则点在直线上， 所以， 所以当时，取得最小值，其最小值为， 即对的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）0. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数基本关系直接求解； （2）利用诱导公式及进行求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 16. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. （1）用向量表示向量； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【小问1详解】 如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 17. 将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象. （1）求的单调递增区间； （2）求的图象的对称轴方程； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）递增区间为； （2）对称轴的方程为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据图象平移写出解析式，再由正弦函数的性质求单调区间； （2）（3）利用正弦型函数的对称性、单调性及周期性求对称轴和解不等式. 【小问1详解】 根据函数图象变换，可得， 因为的递增区间为， 令，得， 所以的递增区间为. 【小问2详解】 令，得， 所以图象的对称轴方程为. 【小问3详解】 由，得， 所以，解得， 所以的解集为. 18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，. （1）若，试确定点在线段上的位置； （2）若，当为何值时，最小? 【答案】（1）在线段上靠近点的四等分点处 （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【小问1详解】 过作交于，如图， 因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 19. 若对定义在上的函数，存在.使得恒成立，则的图象关于点对称，已知函数，且. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）求的值； （3）当时，求在上的最小值. 【答案】（1） 由题设，的定义域为，设， 因为， 所以，的图象关于点对称， 故函数的图象是中心对称图形. （2）8102； （3）2. 【解析】 【分析】（1）设并判断其奇偶性，利用奇偶性推证对称性； （2）由（1）所得对称性求函数值； （3）单调性定义判断函数的区间单调性，利用单调性求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，都有成立，又， 所以 . 【小问3详解】 ，且， 因为， 所以， 又，所以，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增，故在上的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期高一3月联考 数学（C卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章第1~3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时的水深约为 D. 一天中水深低于的时间为4小时 8. 在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三个非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 下列各式中，值为的是（　　） A. B. C. D. 11. 记表示中的较大者.若函数.则（ ） A. 是周期函数 B. 是函数的图象的对称轴 C. 的值域为 D. 在上单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知狄利克雷函数则__________. 13. 已知函数的最小正周期为，则__________. 14. 在中，若，则对的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简下列各式： （1）； （2）. 16. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. （1）用向量表示向量； （2）求的值. 17. 将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象. （1）求的单调递增区间； （2）求的图象的对称轴方程； （3）求不等式的解集. 18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，. （1）若，试确定点在线段上的位置； （2）若，当为何值时，最小? 19. 若对定义在上的函数，存在.使得恒成立，则的图象关于点对称，已知函数，且. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）求的值； （3）当时，求在上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $