甘肃省定西市漳县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】B 【解析】 ． 2. 【答案】D 【解析】利用向量加法的三角形法则，结合正方形的性质，可得 ． 3. 【答案】A 【解析】 ， 令 得 ， 所以当 时，，当 时，， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时，，所以函数图象与 轴交于点 ； 令 得 ，所以 只有 个零点 ， 当 时，，当 时，， 综上，函数图象为A． 4. 【答案】D 【解析】 ， 令 得 或 ， 易得 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 的极小值点为 ， 即 ． 5. 【答案】B 【解析】函数 是奇函数， 可得 ，可得 ，， ， 即有曲线 在 处的切线斜率为 ， 可得切线的倾斜角为 ． 6. 【答案】A 7. 【答案】C 【解析】 ，． 时，，函数 在 内单调递增，无极值，舍去． 时，． 由 ，解得 ，此时 ，函数 在 内单调递增，无极值，舍去． 由 ，解得 且 ，由 ，解得 ，． 当 时，，，因此 ，函数 在 内单调递增，无极值，舍去． 当 时，，，因为函数 在 上有最大值无最小值，所以 ，解得 ． 综上可得实数 的取值范围是 ． 8. 【答案】B 【解析】如图，分别取 、 中点 、 ，连接 、 、 ，则 ，所以点 一定在 上，当 位于 或 时， 最大为 ；当 位于 中点 时， 最小为 ． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】A；B；D 【解析】对于选项A，当 时，，其定义域为 ，， 令 ，所以 ． 当 时，；当 时，， 所以 在 上单调递减，在 单调递增， 所以 ，且 ，， 所以 在定义域内有两个零点，故选项A正确； 对于选项B，由上面的推导过程可知，当 时， 的极小值点为 ，故选项B正确； 对于选项C，由上面的推导过程可知，，故选项C错误； 对于选项D，若 只有一个零点，则方程 只有一个根，即方程 只有一个根， 令 ，， 则函数 图象与直线 只有一个交点． 所以 ， 令 ，所以 ，当 时，；当 时，， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，且当 ，；当 时，； 所以函数 图象与直线 只有一个交点时，， 所以 ， 故选项D正确． 故选ABD． 10. 【答案】A；C；D 【解析】对于A，已知 ，，， 是空间任意四点， 则 ，错误； 对于B，若两个非零向量 与 满足 ， 则 ，正确； 对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 则这两个向量是共面向量，不正确； 对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点 ，，， 若 ， 当且仅当 时，，，， 四点共面，故错误． 11. 【答案】A；C；D 【解析】 ，， ， 令 ，得 ，． 和 随 的变化情况如下： 的增区间是 ，；减区间是 ． 是函数 的极小值点， 故选项A，C正确，B不正确． 因为 在 上单调递增，在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，． 又 时，； 时，； 可据此画出函数 的草图（如图），由图可知， 直线 与函数 的图象有 个交点，故选项D正确． 故答案选：ACD． 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 【解析】 ，有极值前提 ． 或 （舍）． 13. 【答案】 【解析】建立如图空间直角坐标系， ，，， 所以 ，，，， 所以 ，， 所以 ， 所以 与 所成角的余弦值为 ． 14. 【答案】 【解析】函数 的导数为：，，而 ， 切线方程为：， 因为切线方程经过 ， 所以 ， 解得 ． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) 设 ，，， 则 ，，， ． 因为 ， 所以 所以线段 的长为 ． (2) 设异面直线 与 所成的角为 ， 则 ． 因为 ，， 所以 所以 ． 故异面直线 与 所成角的余弦值为 ． (3) 因为 ，， 所以 所以 ，即 ． 16. 【答案】 (1) ．由已知得 ，，即 ，．从而 ，． (2) 由 知 ，． 令 ，得 或 ． 从而当 时，； 当 时，． 故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． 当 时，函数 取得极大值，极大值为 ． 17. 【答案】 (1) 当 时，， 则 ， 令 ，得 ，所以 的极大值为 ，无极小值． (2) 的定义域为 ，， 对于二次方程 ，有 ． 当 时， 恒成立， 在 上单调递减． 当 时，方程 有两根 ，， 若 ，，， 在 上单调递增，在 上单调递减； 若 ，， 在 与 上单调递减， 在 上单调递增． (3) 要证 ，即证 ， 因为 ，，所以 ． 当 时，不等式 显然成立． 当 时，因为 ，所以只需证 ， 即证 ． 令 ，则 ， 由 得 ；由 ，得 ． 所以 在 上为增函数，在 上为减函数，所以 ． ，则 ，易知 在 上为减函数，在 上为增函数，所以 ， 所以 恒成立，即 ． 18. 【答案】 (1) 因为 ， 为 的中点， 所以 ． 因为底面 为菱形，， 所以 为正三角形， 所以 ． 又 ， 所以 ． 又 ， 所以 ． (2) 当 时，． 下面证明：设 ，连接 ． 因为 ， 所以 ． 由 ，得 ， 所以 ， 所以 ． 又 ，， 所以 ． (3) 由(1)，得 ，． 因为平面 ，平面 ， 所以 ． 如图，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，则 且 ． 设平面 的一个法向量为 ． 由 得 取 ，则 ． 又因为平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 于是，二面角 的大小为 ． 19. 【答案】 (1) 依题设， 在以 为直径的球面上，则 ． 因为 ，则 ，又 ， 所以 ，则 ，因此有 ， 所以平面 ． (2) 方法一： 设平面 与 交于点 ， 因为 ，所以 ，则 ， 由（1）知，，则 是 在平面 上的射影， 所以 就是 与平面 所成的角，且 ，所以 所求角为 ． 方法二： 如图所示，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，． 设平面 的一个法向量 ，由可得 令 ，则即设所求角为 ，则所求角的大小为 ． (3) 方法一： 因为 是 的中点，则 点到平面 的距离等于 点到平面 的距离的一半． 由（1）知， 于 ，则 就是 点到平面 的距离． 因为在 中， ，所以 为 中点，则 点到平面 的距离等于 ． 方法二： 设所求距离为 ，由得 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳县第一中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 函数 在区间 上的平均变化率为 A． B． C． D． 已知正方体 的棱长为 ，设 ，，，则 A． B． C． D． 函数 的大致图象是 A． B． C． D． 已知 为函数 的极小值点，则 A． B． C． D． 已知函数 是奇函数，则曲线 在 处的切线得倾斜角为 A． B． C． D． 已知向量 的同向的单位向量为 ，若向量 的起点坐标为 ，模为 ，则 的终点坐标是 A． B． C． D． 若函数 在 上有最大值无最小值，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． （5分）如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内一点，若 ，则线段 长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 函数 ，下列结论正确的是 A． 时， 有两个零点 B． 时， 的极小值点为 C． 时， 恒成立 D．若 只有一个零点，则 有下列四个命题，其中不正确的命题有 A．已知 ，，， 是空间任意四点，则 B．若两个非零向量 与 满足 ，则 C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点 和不共线的三点 ，，，若 ，则 ，，， 四点共面 对于函数 ，下列正确的是 A． 是函数 的一个极值点 B． 的单调增区间是 ， C． 在区间 上的单调递减 D．直线 与函数 的图象有 个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 已知函数 在 时有极值 ，则 ． 已知长方形 中，，，，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 若函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13分）如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，，． (1) 求线段 的长； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (3) 求证：． （15分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． (1) 求 ， 的值 (2) 讨论 的单调性，并求出 的极大值． （15分）已知函数 ． (1) 当 时，求 的极值； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 ，证明：． （17分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，， 为 的中点， (1) 若 ，求证：平面 ； (2) 点 在线段 上，，试确定实数 的值，使得 ； (3) 在（2）的条件下，若平面 ，，求二面角 的大小． （17分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，，．以 的中点 为球心、 为直径的球面交 于点 ． (1) 求证：平面 ； (2) 求直线 与平面 所成的角； (3) 求点 到平面 的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$