临考押题卷01-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（湖南通用）

临考押题卷01（湖南通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》记载的余和不足等概念体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出136元记作（    ） A．元 B．元 C．0元 D．元 2．截至2025年3月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破14500000000元人民币．将数据14500000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　）   A．  B．  C．   D．   4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中的假命题是（    ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 7．如图，点在上，，则的度数为（ ） A．15° B．30° C．50° D．60° 8．为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（    ） A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8    9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 10．如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： (填“”，“”或“”)． 12．方程的解为 ． 13．如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ． 14．在中，，，则 度． 15．若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ． 16．图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．    17．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． （17题图） （18题图） 18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点，，在同一条直线上，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为 米．（结果精确到，参考数据：，） 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．其中第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分。）​ 19．计算： 20． 先化简，再求值：．其中，． 21．《2024年春节联欢晚会》辽宁沈阳、湖南长沙、新疆喀什、陕西西安四地作为分会场和北京 主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．通过春晚 分会场的展示，大家更加了解这四所城市，向往着到这些城市旅游打卡．为了解学生对这四 所城市的喜爱程度，某校数学兴趣小组制作了《2024年我最想要打卡的春晚分会场》问卷 调查表，分别用A，B，C，D表示沈阳、长沙、喀什、西安，在学校随机抽选了部分学生进行调查，根据调查数据绘制了以下两幅不完整的统计图．结合图中所给信息回答问题： (1)此次抽样调查的人数是 人； (2)两幅图表中的未知数分别为 ， ； (3)请将条形统计图补充完整； (4)该校共有学生2400人，准备在暑期社会实践活动中组织学生去到这四所城市打卡．根据调查情况估计选择去C新疆喀什的有多少人？ 22．如图，矩形的对角线相交于点O，点E，F在相上，． (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 23．某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 25．如图1，抛物线顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线交于点O，B．现将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点A，B，C关于y轴的对称点分别是点D，E，F． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，点G是x轴上一动点．连接，当时，求点G的坐标； (3)如图3，点P是抛物线在直线下方图象上的一个动点，连接，与直线相交于点Q．求的最大值． 26．如图，是的直径，点，是上异于，的两点，是的切线，连接，，，，延长与的延长线交于点，过点作交的延长线于点，． (1)求证：直线是的切线． (2)求证：． (3)如图，过点作于点，连接交于点．探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷01（湖南通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》记载的余和不足等概念体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出136元记作（    ） A．元 B．元 C．0元 D．元 【答案】B 【分析】此题考查了正数与负数．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法． 【详解】解：收入10元记作元，则支出136元应记作元， 故选：B． 2．截至2025年3月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破14500000000元人民币．将数据14500000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键．由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 3．如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱的俯视图，解题的关键是熟练掌握，俯视图是从上面看到的图形，根据从上面看圆柱得出的平面图形为圆，即可得出答案． 【详解】解：竖直放置的圆柱体，从上面看到的平面图形为圆，即俯视图是圆． 故选：A． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选：C． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故A选项计算错误； B、，故B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、，故D选项计算错误， 故选B． 6．下列命题中的假命题是（    ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定，根据菱形、正方形、平行四边形及矩形判定方法，对选项一一分析，即可解答． 【详解】解：选项A，一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项A是真命题，不符合题意； 选项B，一组邻边相等的矩形是正方形，选项B是真命题，不符合题意； 选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项C是真命题，不符合题意；； 选项D，一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故原说法是假命题，符合题意． 故选D． 7．如图，点在上，，则的度数为（ ） A．15° B．30° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 8．为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（    ）    A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义求解． 【详解】解：由图可知，视力为4.8的学生人数最多，因此众数是4.8， 将50名学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8，因此中位数是4.8， 故选A． 【点睛】本题考查求一组数据的中位数和众数，正确从条形统计图中获取信息是解题的关键． 9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据已知可得米，再根据题意可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵米，米， ∴（米）， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 故选：B． 10．如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为a， 用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 归纳类推得：用n个这样的图形拼出来的图形的总长度为（其中，n为正整数）， 则用个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值，掌握有理数的大小比较的法则是解题的关键．根据相反数以及绝对值的性质把和化简后，再根据两个数比较大小的方法判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 12．方程的解为 ． 【答案】x=-1 【分析】解分式方程即可得出答案． 【详解】方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 13．如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比． 14．在中，，，则 度． 【答案】100 【分析】根据三角形内角和等于180°，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴180°-60°-20°=100°， 故答案是：100． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°，是解题的关键． 15．若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即，解得： ∴k的最小整数值为． 故答案为：． 16．图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 17．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示：连接交于于点，首先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示：连接交于于点， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中， ∵， ∴． 故答案为：． 18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点，，在同一条直线上，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为 米．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】由题意得：， 在中，米，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴（米） ∴（米）， ∴警示牌的高约为米， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．其中第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分。）​ 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查负指数幂、零指数幂，绝对值的性质，特殊角的三角函数值的计算，根据实数的运算法则，先关系负指数幂、零指数幂、三角函数值，再根据是的加减混合运算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20．先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把，代入计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21．《2024年春节联欢晚会》辽宁沈阳、湖南长沙、新疆喀什、陕西西安四地作为分会场和北京 主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．通过春晚 分会场的展示，大家更加了解这四所城市，向往着到这些城市旅游打卡．为了解学生对这四 所城市的喜爱程度，某校数学兴趣小组制作了《2024年我最想要打卡的春晚分会场》问卷 调查表，分别用A，B，C，D表示沈阳、长沙、喀什、西安，在学校随机抽选了部分学生进行调查，根据调查数据绘制了以下两幅不完整的统计图．结合图中所给信息回答问题： (1)此次抽样调查的人数是 人； (2)两幅图表中的未知数分别为 ， ； (3)请将条形统计图补充完整； (4)该校共有学生2400人，准备在暑期社会实践活动中组织学生去到这四所城市打卡．根据调查情况估计选择去C新疆喀什的有多少人？ 【答案】(1)； (2)，； (3)图见解析； (4)估计选择去C新疆喀什的有人． 【分析】（1）根据A的人数和所占的比例即可求解； （2）用总体减去A、C、D所占的比例可得m，用抽样调查的人数乘以C所占的比例可得n； （3）先求得B所占的人数即可补全条形统计图； （4）用总人数乘以C所占的比例即可求解． 本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：此次抽样调查的人数是：（人）， 故答案为：； （2）解：， ∴， （人） 故答案为：，； （3）解：去B地长沙的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （4）解：估计选择去C新疆喀什的有： （人）． 22．如图，矩形的对角线相交于点O，点E，F在相上，． (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质，选择适当的方法证明即可． （2）利用矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 在中， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 23．某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】(1)乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元 (2)购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元； （2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件， 由题意可得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元， 由题意可得：， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元． 24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 【答案】(1)坡面的水平距离和垂直距离分别是和 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键． （1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 25．如图1，抛物线顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线交于点O，B．现将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点A，B，C关于y轴的对称点分别是点D，E，F． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，点G是x轴上一动点．连接，当时，求点G的坐标； (3)如图3，点P是抛物线在直线下方图象上的一个动点，连接，与直线相交于点Q．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求得的顶点C的坐标，再根据轴对称性质得到点F的坐标，进而可求解； （2）过O作于H，过F作轴于K，根据坐标与图形和正切定义可求得，再利用勾股定理求得，则，设，利用勾股定理和三角形的等面积法得到方程，然后解方程即可求解； （3）先联立方程组求得，，，设，过P作交于N，则，根据等高的三角形面积比等于对应底边的比得到的最大值就是求的最大值，证明，得到，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由得顶点C的坐标为， ∵将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点C的对应点是F， ∴点F的坐标为， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：如图2，过O作于H，过F作轴于K， 则，， ∴，， 在中，， ∴， 由得：， 解得，则， 设，则， ∴， 由得：， 整理，得， 解得，， ∴点G坐标为或； （3）解： 联立方程组，解得，， ∴，则，， 由题意，设， 过P作交于N，如图3，则， ∴， ∵， ∴求的最大值就是求的最大值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 故的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． 26．如图，是的直径，点，是上异于，的两点，是的切线，连接，，，，延长与的延长线交于点，过点作交的延长线于点，． (1)求证：直线是的切线． (2)求证：． (3)如图，过点作于点，连接交于点．探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)为定值，理由见解析． 【分析】（1）根据垂直定义可知，因为，可得，从而可得，所以可证结论成立； （2）首先利用公理可证，根据全等三角形的性质可证，因为是的直径，所以，根据平面内垂直同一条直线的两条直线互相平行可证结论成立； （3）根据正切的定义可得，根据平行线的性质可得，所以有，从而可得，根据正切的定义可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）证明：如图，连接，， 、是的切线， ． 在和中， ， ， 又， ． 是的直径， ， ， ； （3）解：为定值； 理由如下： 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、切线的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$