专题03 导数及其应用（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题03 导数及其应用 题型概览 题型01导数研究函数的零点及方程的根 题型02导数研究函数的极值 题型03导数研究函数的单调性 题型04导数的几何意义及不等式交汇 ( 题型0 1 ) 导数研究函数的零点及方程的根 1．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 2．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 3．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 4．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． ( 题型0 2 )导数研究函数的极值、最值 1．（2025·北京房山·一模）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 2．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． ( 题型0 3 )导数研究函数的单调性 1．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 3．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 4．（2025·北京门头沟·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若在定义域上单调递减，求的取值范围. ( 题型0 4 )导数的几何意义及不等式交汇 1．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 2．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 4．（2025·北京平谷·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 5．（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 题型概览 题型01导数研究函数的零点及方程的根 题型02导数研究函数的极值 题型03导数研究函数的单调性 题型04导数的几何意义及不等式交汇 ( 题型0 1 ) 导数研究函数的零点及方程的根 1．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③， 【详解】取，得，因为， 所以，使得关于直线对称；故①对；由， 所以， 若， 当时，令，则，令，则， 所以在单调递减，所以，所以 在单调递减， 当时，令，则，所以 在单调递减， 所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对， 如图    若，则当函数与直线的图象相切时，设切点横坐标为，此时，则，得到方程组，化简得，易得， 则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置. 2．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合导数运算，即可求得参数值； （2）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （3）根据，以及为奇函数，只需证明在有一个零点即可；讨论时，的单调性，结合（2）中所求，即可证明. 【详解】（1），故，故； 由题可知，，故，解得. （2）若为上的单调增函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. （3），其定义域为，又，故其为奇函数； 又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可. 又，令，则， 当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立， 故在单调递减，又，，故存在，使得， 则当，，单调递增；当，，单调递减； 故当，，又， 故存在，使得； 综上所述：当时，在存在唯一零点，也即当时，恰好有三个零点， 于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 3．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析；(2) 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，再结合零点存在性定理证明即可； （2）令，，求出函数的导函数，对分三种情况讨论，说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，则， 又，则，所以函数在点处的切线方程为； （ii）因为，，令，， 则，当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增，又，当时，，所以，所以在区间上有且只有一个零点； （2）由对恒成立，即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 4．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性即可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题设知．设函数． 当时，因为，所以对任意的恒成立，即．所以函数在区间上单调递增，所以．所以当且时，． （3）函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减，函数至多一个零点，不合题意； ②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数，因为，所以方程有两个实数根、，满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点．又，，且， 所以存在唯一实数，使得．又，，且， 所以存在唯一实数，使得．所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． ( 题型0 2 )导数研究函数的极值、最值 1．（2025·北京房山·一模）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 【答案】(1)的单调递增为；单调递减区间为.(2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的极值点求得，再利用导函数的符号确定函数的单调区间即可; （2）求导得，由（1）得，计算得，，由函数单调性推出存在，使.法一：写出曲线在点处的切线方程：，根据的单调性推出可得证；法二：利用推出，写出曲线在处的切线的方程，同理得曲线在处的切线的方程，证明即可. 【详解】（1）由，得. 因为函数在处有定义，所以.因为在处取得极值，所以， 解得，或（舍）.当时，， .令，解得，或（舍）. 与的变化情况如下： 0 0 极大值 所以函数的单调递增为；单调递减区间为. （2）由，得. 由（1）可知，，因为， 所以存在，使. 方法一：曲线在点处的切线方程为 ，即. 下面证明：. 设，则. 当时，，所以，即.所以在上单调递增. 因为，所以.所以，即. 所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 方法二：由 ，可得 . 所以曲线在处的切线的方程为， 即.因为， 所以的方程为. 同理，曲线在处的切线的方程为. 下面证明：.设. 所以函数在上单调递增，因为，所以.所以，即. 所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 2．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)2 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，则，则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增， 所以． 由，得， 令，则，由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减．又因为，，且，所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． ( 题型0 3 )导数研究函数的单调性 1．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】因为，所以函数为偶函数，，令，则，所以函数，即当时，，所以函数在上单调递增，所以.故选：A. 2．（2025·北京丰台·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断； ②对进行分类讨论，即可判断； ③结合①②的情况进行判断即可. 【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时，，则在上单调递增；当时，,,,则在上没有最小值；当时，,,,则在上没有最小值；故②正确； 对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，， 当时，当时，存在零点，所以这两个零点距离大于，故③错误；对于④，，因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确. 故答案为：②④. 3．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 【答案】(1)增区间，减区间；(2)；(3)，证明见详解 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值； （3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可. 【详解】（1）由，故当时，，当时，， 所以的单调增区间为，减区间为. （2）曲线在处的切线斜率，又，所以其切线方程为， 令，得，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以. （3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，， 当时，，当时，， 即时，，时，， 若有两个根，则，且，， 要证，即证，又在上单调递减， 即证，又，即证在上恒成立， 又，即证，两边取对数，原命题即证在上恒成立，令，，， 故在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，故得证. 4．（2025·北京门头沟·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若在定义域上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）对函数求导再对的取值范围进行分类讨论，即可求得函数的单调性； （3）将问题转化为在上恒成立，再利用（2）中的结论可得即可，构造函数即可求得当时满足题意. 【详解】（1）当时可得，则， 此时， 因此切线方程为，即； （2）由可得其定义域为； 且，即， 显然， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令可得， 若，，此时在上单调递增； 若，，此时在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立； 由（2）可得当时，即在上单调递增， 当，可得，显然不合题意； 当时，可得在上单调递增，在上单调递减； 即在处取得极大值，也是最大值； 即恒成立； 令，；则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增；因此，即， 又恒成立，可得，即.所以的取值范围为. ( 题型0 4 )导数的几何意义及不等式交汇 1．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值； （2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集； （3）问题化为且上恒成立，即判定证明、在上单调递增即可证. 【详解】（1）由题设，则，而， 所以曲线在处的切线方程为， 所以，即为，则； （2）由（1）得，则， 令，则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，故在R上单调递增，且， 所以的解集为； （3）由（2）知在R上单调递增，要证，即证， 由且，即证， 由，，则且， 所以且上，证明，即恒成立， 所以，只需证在上单调递增，且增长速度逐渐变快， 由（2），、在上均单调递增， 所以且上，恒成立，故，得证. 2．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程； （2）通过二次求导得，则，则是上的单调递减函数； （3）令，求导得，再利用放缩法得，最后再次放缩即可证明. 【详解】（1）依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）知，，， 所以.令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3）令，则， 由（2）知，在上单调递减，所以当时，，此时，即在上单调递减，所以，即， 当时，，，.所以即， 所以即，综上可得：当时，. 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入得到函数，求出切点坐标，然后求导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）由函数求出切点坐标，由导数求出切线斜率得到切线方程.带点到直线方程得到方程，设函数，通过导数求得函数的单调区间，然后得到函数的最小值，方程有解即函数由零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围； （3）代入得到函数解析式，然后求出切点坐标，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标.然后得到三角形面积，由（2）得到函数在时取得最小值，由于最小值大于0，从而知道当时，三角面积最小值，即得到结果. 【详解】（1）当，（为自然对数的底数）时， ，， ，， 所以直线l的方程为，即. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以直线l的方程为. 因为l经过点，所以，化简得. 设，由题意知，存在，使得. 又因为， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以在时取得最小值. 因为，所以，解得. 此时. 因为， 所以只需.所以a的取值范围是. （3）当时，，，，， 直线l的方程为.令，得，即， 所以. 由（2）知，当时，在时取得最小值， 因为，所以恒成立，所以当时，取得最小值. 4．（2025·北京平谷·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 【答案】(1) (2)的单调减区间为，无增区间. (3)能， 【分析】（1）利用导数求得，利用点斜式方程可求切线方程； （2）求导得，令，求导得，可得结论； （3）由题意判断方程的解的情况，令求导可得结论. 【详解】（1）当时，则， ， ， 所以在点处的切线方程为. （2）当时，函数的定义域是， 所以， 令， 所以， 当时，；当时，， 所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值， 又，故恒成立， 所以的单调减区间为，无增区间. （3）由题意知，因为，所以，即有， 令则， 故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点， 即方程有唯一实根0，所以. 所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时. 5．（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2） 由，定义域为， （3） 令得或因为，所以.所以，列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （3）因为，又，， 所以是方程的两个根.依题意，有，所以，即， 所以 ， 令，则，令，则 因为，所以，所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数，所以，即. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$