专题02 函数概念与基本初等函数（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题02函数概念与基本初等函数 题型概览 题型01 函数的定义域、值域及最值 题型02 函数的单调性、奇偶性及函数零点 题型03 函数的图象及其应用 题型04 幂（指、对）函数的应用 题型05 高斯函数（取整函数） 题型06 函数与数列等知识交汇 ( 题型01 )函数的定义域、值域及最值 1．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 5．（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 6．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 7．（2025·北京平谷·一模）已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . ( 题型0 2 )函数的单调性、奇偶性及函数零点 1．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 4．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ． 5．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . ( 题型0 3 )函数的图象及其应用 1．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A．B．C． D． 3．（2025·北京东城·一模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·北京顺义·一模）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . ( 题型0 4 )幂（指、对）函数的应用 1．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 2．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 5．（2025·北京通州·一模）设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t= . 5．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，） ( 题型0 5 )高斯函数 1．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 2．（2025·北京西城·一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； ④满足的点构成的区域的面积为8． 其中，所有正确结论的序号是 ． 3．（2025·北京石景山·一模）高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则；②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． ( 题型0 6 )函数与数列等知识交汇 1．（2025·北京通州·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京顺义·一模）已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是 . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02函数概念与基本初等函数 题型概览 题型01 函数的定义域、值域及最值 题型02 函数的单调性、奇偶性及函数零点 题型03 函数的图象及其应用 题型04 幂（指、对）函数的应用 题型05 高斯函数（取整函数） 题型06 函数与数列等知识交汇 ( 题型01 )函数的定义域、值域及最值 1．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误；对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确；对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误；对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 2．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性；对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意；对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件；对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件.故选：B 3．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数在时的单调性与值域，再结合既不存在最大值也不存在最小值这一条件，分析函数在时的情况，进而得出，的关系. 【详解】当时，，对其求导可得.因为恒成立，所以在上单调递增.此时. ，，则，故在上函数值的取值范围为.当时，，的值域是，所以的值域是. 因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且. 选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误. 选项B：前面已推出，所以B选项正确. 选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误. 选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误.故选：B. 4．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为.故答案为：. 5．（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 【答案】4 【分析】求出，得到答案. 【详解】，，故.故答案为：4 6．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为，若的值域为，则当时，的最大值需满足小于或等于2，因为在上单调递增，故需满足：即，解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为，若的值域为，则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2，又在上单调递增，则需满足即，解得：，所以的取值范围是. 7．（2025·北京平谷·一模）已知函数，当时，的值域是 ，若有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合二次函数与一次函数的单调性，可得分段函数的单调性，结合值域的概念以及极值点的概念，建立不等式，可得答案. 【详解】由，则，当时，，易知函数在上单调递增，在上单调递减，此时；当时，，易知函数在上单调递减，则.综上可得.由题意可设函数的两个极值点分别为，且，由二次函数在上单调递增，在上单调递减，一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，易知函数在与上单调递增，在上单调递减，且，，可得，解得. ( 题型0 2 )函数的单调性、奇偶性及函数零点 1．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解. 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误，对于B, 在区间上单调递减，B错误，对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确，对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误，故选：C 2．（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件；对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件；对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件；对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件.故选：A. 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 0 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,;由于当时是单调递增函数；当时是单调递增函数，所以为了使得在上单调递增，必须且只需,即. 4．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ． 【答案】 4（答案不唯一） 【分析】利用函数的奇偶性可求得的值；先求得，函数的单调性，进而可得的单调性，进而可求得的取值范围. 【详解】因为函数是上的奇函数，且时，，所以. 当时，由，可得，令，即，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增，所以时，，，由为函数是上的奇函数，可得时，，又， 由，可得或，所以的取值范围为. 5．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1（答案不唯一）， 【分析】判断函数在每段上的单调性，根据的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案. 【详解】因为，则时，，在上单调递增，此时 时，，在上单调递增，此时，故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，结合，则，故a的一个取值可为1；时，，令，则，解得或；时，，令，则，解得，当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；故实数a的取值范围是， ( 题型0 3 )函数的图象及其应用 1．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【详解】令，则，则，所以函数的图象一定过点. 故选：A. 2．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案. 【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误；B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确；D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误.故选：C. 3．（2025·北京东城·一模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于A，由，结合函数的单调性可得，可判断A；结合A，以及BCD的条件逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以， 因为图象是上凹函数，所以，即故A正确；由A知，使，则，即，由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误；由A知，使，可得，结合，可得，由的单调递减可得，故，故C错误；由A知，存在，使，可得，故存在，使，由函数的单调性可知时，，当时，，当时，，当时，，故D错误.故选：A. 4．（2025·北京顺义·一模）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得关于对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造，结合零点的存在定理和对数的性质，即可判断③． 【详解】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，所以关于对称，又由得交点坐标为，则，对于①：因为，且，所以，①错误；对于②：由，因为，则；②正确；对于③：直线与联立，可得，即，设函数，是增函数，又由，，可得，所以函数在区间上存在唯一零点，即，因为，所以，构造函数，则，当时，可得，函数在单调递增；当时，可得，函数在单调递减；，，，③正确；故选：C 5．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③， 【详解】取，得，因为，所以，使得关于直线对称；故①对；由，所以，若，当时，令，则，令，则，所以在单调递减，所以，所以 在单调递减，当时，令，则，所以 在单调递减，所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对，如图 若，则当函数与直线的图象相切时，设切点横坐标为，此时，则，得到方程组，化简得，易得，则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， ( 题型0 4 )幂（指、对）函数的应用 1．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】C 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以，所以，若，则.故选：C. 2．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，，相减即可求解； 【详解】由题意，，两式相减可得：，又，所以，所以，故选：C 3．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可； 【详解】由题意可知，即，即，设消除的污染物对应事件为，即，设消除的污染物对应事件为，即，两式相除可得，即，所以：，即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，故选：A 4．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出，再结合指数函数性质即可判断. 【详解】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误；对BC，又∵，根据，在R上均单调递增，则在在R上单调递增，且， 则当时，则，当时，则，∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；则，即的最小值为，B错误；对D，令, ，再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.故选：D 5．（2025·北京通州·一模）设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t= . 【答案】 【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式，分别代入不同的时间或质量比值来求解相应的结果. 【详解】已知公式，当时，将其代入公式可得： ，所以.已知，即，两边同时除以可得.因为，所以.根据指数的性质，可得，解得. 5．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可. 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩；假设第年后充电桩总量达到30万个， 则，即，取对数得，即约8年内，可达到要求.故答案为：2.88，8 ( 题型0 5 )高斯函数 1．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 【答案】D 【分析】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，分类讨论即可得出结论. 【详解】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得， 令，得到函数图象 当时；；； 当时；；； 由函数图象可知的值域为，注意到一定是函数的一个零点， 对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误；对于选项B，有3个零点的充要条件是，故B错误；对于选项C，不存在，有4个零点，故C错误; 对于选项D，当时,有5个零点，D正确.故选：D. 2．（2025·北京西城·一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； ④满足的点构成的区域的面积为8． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①利用定义法证明单调性；②分和两种情况讨论；③求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集；④令，，其中，，将问题转化为，找出符合题意的单位正方形，即可求出区域面积. 【详解】，且，则，则，即，则在上单调递增，故①正确；当，时，， 故当时，，有，，此时，当时，，，，此时， 故②正确；当时，，当时，，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误；设，，其中，，则，因，则，则， 在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1， 由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8. 故答案为：①②④ 3．（2025·北京石景山·一模）高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则；②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则，，即，故①正确；对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确；对于③：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，， ，故③错误；对于④：当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确．故答案为：①②④. ( 题型0 6 )函数与数列等知识交汇 1．（2025·北京通州·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先判断充分性，即判断当时，是否成立；再判断必要性，即判断当时，是否成立． 【详解】设函数，其定义域为．对求导，根据求导公式，可得．因为，所以，则．这表明函数在上单调递增．当时，，即，移项可得．所以由能推出，充分性成立． 当时，即．因为，且在上单调递增，所以时，．这说明当时，不一定有，必要性不成立． 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A． 2．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据、分别有、，结合基本不等式有，再根据推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，由，则，可得， 又，根据基本不等式有，若且，则有，即是的充分条件，若，则，此时满足，但不成立，所以是的非必要条件，综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A 3．（2025·北京顺义·一模）已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】由已知得，若，分别对分类讨论即可判断；②若，求得即可判断．③当时，计算可判断；④，进而可得，可判断． 【详解】①，所以，若，当时，，解得． 当时，则，解得，当时，则，解得； 当时，，解得，当时，则，解得，当时，则，解得（舍去）；综上可得：可以取3个不同的值：5，，．因此①正确． ②若，则，，，可得．数列是周期为3的数列，故②正确．③当时，，，，所以不存在正整数，，故③正确．④先考虑数列的周期性，对于，则，，，，，要使是周期数列，则有，解得，从而存在，使得数列是周期数列，周期为，从而要使周期为，只需，即即可，故④正确．故答案为：①②④. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$