2025年中考数学模拟检测卷-源题解密（无锡专用）（考试版+解析+答案）

2025年中考数学模拟检测卷（无锡专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 学号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上. 1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2025的倒数是（　　） A． B． C．2025 D．|﹣2025| 3．（3分）反比例函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0的一切实数 D．任意实数 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6 5．（3分）已知一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过哪个象限（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 6．（3分）为响应“创新驱动发展”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）下列命题为真命题的是（　　） A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点 B．同位角相等 C．三角形的内心到三边的距离相等 D．正多边形都是中心对称图形 8．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（　　） A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm 9．（3分）下列说法正确的是（　　） A．菱形只有一条对称轴 B．菱形最少有两条对称轴 C．菱形最多有两条对称轴 D．菱形可能没有对称轴 10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ∽△ABC，则线段PQ的长是（　　） A．5 B． C． D．6 第二部分 非选择题（共120分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上 11．（3分）的值等于 　 　 ． 12．（3分）分解因式：x3﹣9xy2＝　 　 ． 13．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船在东风着陆场成功着陆，返回舱在进入大气层时，速度达到15000米/秒．其中15000用科学记数法表示为 　 　 ． 14．（3分）与抛物线y＝﹣x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是　 　 ． 15．（3分）用圆心角为120°，弧长为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为 　 　 ． 16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 　 　 ． 17．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点分别在y与y的图象上，AD边与x轴交于P，若平行四边形ABCD的面积为12，AP＝2PD，则k的值为 　 　 ． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝6，E是AB的中点，F是线段BC上的一点，连接EF，把△BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点H．给出下列判断：①∠BAC＝30°；②△EBF∽△BCH；③当∠EGD＝90°时，DG的长度是2；④线段DG长度的最小值是3；⑤当点G落在矩形ABCD的对角线上，BG的长度是3或3；其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确判断的序号） 三．解答题：本大题共10小题，共96分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20． （8分）（1）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0； （2）解不等式组：． 21．（10分）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②M是AD的中点；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是 　 　 （填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 22．（10分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为 　 　 ． （2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 23．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并对数据进行统计整理．下面给出了部分信息： a.50个家庭去年月均用水量频数分布表和扇形统计图： 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 2.0≤t＜3.4 7 B 3.4≤t＜4.8 20 C 4.8≤t＜6.2 m D 6.2≤t＜7.6 n E 7.6≤t＜9.0 2 合计 50 b．B组的数据：3.4 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 4.0 4.0 4.1 4.1 4.1 4.2 4.2 4.4 4.5 4.7 4.7 c．各组家庭月均用水量表： 组别 A.2.0≤t＜3.4 B.3.4≤t＜4.8 C.4.8≤t＜6.2 D.6.2≤t＜7.6 E.7.6≤t＜9.0 平均用水量（单位：吨） 3 4 5.5 7 8 根据上述信息，解答下列问题： （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）50个家庭去年月均用水量的中位数是　 　 吨； （3）若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有　 　 个； （4）求这50个家庭去年的月平均用水量． 24．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 　 　 ．（如需画草图，请使用图2） 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝4，求BF的长． 26．（10分）在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为400元/套．促销方案如下：若团购3套，则可享受团购价680元/套．若团购每增加一套，则每套再降价50元，设某团团购的数量增加了x套． （1）填空：该团的团购数量为 　 　 套；每套的利润为 　 　 元．（用含x的代数式表示） （2）规定一个团的团购数量不超过8套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？ 27．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E在射线BC上，点F在线段AC上，连接DF、DE，∠EDF＝∠BAC，射线DE与射线AC交于点P． （1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD； （2）如图2，点E在线段BC上，连接EF，当EF∥AB时，求证：CD2＝CP•CA； （3）如图3，点E在线段BC的延长线上，当AB＝2，sin∠BAC，DF＝3时，求线段EC的长． 28．（10分）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题． （1）求与抛物线L1表达式； （2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点； （3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟检测卷（无锡专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 学号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上. 1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【完整解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【考点点拨】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2025的倒数是（　　） A． B． C．2025 D．|﹣2025| 【思路引导】利用倒数的定义求解即可． 【完整解答】解：﹣2025的倒数是． 故选：B． 【考点点拨】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 3．（3分）反比例函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0的一切实数 D．任意实数 【思路引导】根据分式的分母不为零列出不等式，得到答案． 【完整解答】解：由题意得：x≠0， 故选：C． 【考点点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6 【思路引导】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答． 【完整解答】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意； B、a3•a2＝a5，故B不符合题意； C、（x2）3＝x6，故C不符合题意； D、（﹣x3）2＝x6，故D符合题意； 故选：D． 【考点点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 5．（3分）已知一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过哪个象限（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【思路引导】由一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，可得出k＜0，由不等式的性质可得出2k﹣1＜﹣1，3﹣k＞3，进而可得出一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过一、二、四象限． 【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限， ∴k＜0， ∴2k＜0，﹣k＞0 ∴2k﹣1＜﹣1，3﹣k＞3， ∴一次函数y＝（2k﹣1）x+3﹣k的图象经过一、二、四象限． 故选：C． 【考点点拨】本题主要考查的是一次函数的性质，先根据题意得出k的符号是解题的关键． 6．（3分）为响应“创新驱动发展”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【完整解答】解：∵购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同， ∴2x＝3y； ∵购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元， ∴4x+7y＝39000． ∴可列方程组为． 故选：D． 【考点点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（3分）下列命题为真命题的是（　　） A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点 B．同位角相等 C．三角形的内心到三边的距离相等 D．正多边形都是中心对称图形 【思路引导】直接利用三角形内心、外心的定义、正多边形的性质、平行线的性质分别分析得出答案． 【完整解答】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故此选项不合题意； B．两直线平行，同位角相等，故此选项不合题意； C．三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意； D．正多边形不一定是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【考点点拨】此题主要考查了三角形内心、外心的定义、正多边形的性质、平行线的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 8．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（　　） A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm 【思路引导】连接OC，OD，利用切线的性质可得∠OCP＝∠ODP＝90°，然后利用四边形的内角和定理求出∠COD的度数，最后利用弧长公式进行计算即可解答． 【完整解答】解：如图连接OC，OD， ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， ∵∠P＝120°， ∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°， ∴的长2π（cm）， ∴瞬间与空竹接触的细绳的长为2πcm， 故选：C． 【考点点拨】本题考查了切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 9．（3分）下列说法正确的是（　　） A．菱形只有一条对称轴 B．菱形最少有两条对称轴 C．菱形最多有两条对称轴 D．菱形可能没有对称轴 【思路引导】根据菱形的性质判断即可． 【完整解答】解：A、菱形有两条对称轴，说法错误，不符合题意； B、菱形有两条对称轴，说法错误，不符合题意； C、菱形有两条对称轴，说法正确，符合题意； D、菱形有两条对称轴，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【考点点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ∽△ABC，则线段PQ的长是（　　） A．5 B． C． D．6 【思路引导】由勾股定理得，，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，可得∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，由△APQ∽△ABC，可得∠APQ＝∠ABC，即PQ∥BC，设PD＝PB＝a，DQ＝CQ＝b，则AP＝8﹣a，AQ＝6﹣b，PQ＝a+b，由△APQ∽△ABC，可知，即，可求，，进而可求PQ． 【完整解答】解：， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD， ∵△APQ∽△ABC， ∴∠APQ＝∠ABC，即PQ∥BC， ∴∠PDB＝∠CBD，∠QDC＝∠BCD， ∴∠PDB＝∠ABD，∠QDC＝∠ACD， ∴PD＝PB，DQ＝CQ， 设PD＝PB＝a，DQ＝CQ＝b， ∴AP＝AB﹣BP＝8﹣a，AQ＝AC﹣CQ＝6﹣b，PQ＝PD+DQ＝PB+CQ＝a+b， ∵△APQ∽△ABC， ∴， 即， ∴，， ∴， 故选：B． 【考点点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 第二部分 非选择题（共120分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上 11．（3分）的值等于 　9　 ． 【思路引导】运用算术平方根的知识进行求解． 【完整解答】解：∵92＝81， ∴81的算术平方根是9， 即的值等于9， 故答案为：9． 【考点点拨】此题考查了实数的算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 12．（3分）分解因式：x3﹣9xy2＝　x（x+3y）（x﹣3y）　 ． 【思路引导】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案． 【完整解答】解：x3﹣9xy2 ＝x（x2﹣9y2） ＝x（x+3y）（x﹣3y）， 故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）． 【考点点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键． 13．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船在东风着陆场成功着陆，返回舱在进入大气层时，速度达到15000米/秒．其中15000用科学记数法表示为 　1.5×104　 ． 【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【完整解答】解：15000＝1.5×104， 故答案为：1.5×104． 【考点点拨】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 14．（3分）与抛物线y＝﹣x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是　y＝x2﹣1　 ． 【思路引导】利用对于二次函数y＝ax2+k，顶点相同即k不变，形状也相同即|a|不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决． 【完整解答】解：由条件可知新的解析式只有二次项系数相反，其解析式为y＝x2﹣1， 故答案为：y＝x2﹣1． 【考点点拨】本题考查二次函数y＝ax2+k的图象与性质，熟练掌握二次函数y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），a决定开口方向和大小是解题的关键． 15．（3分）用圆心角为120°，弧长为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为 　4　 ． 【思路引导】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径为1，设利用弧长公式求出母线长，然后利用勾股定理计算出圆锥的高． 【完整解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 则2πr＝4π，解得r＝2； 设圆锥的母线长为l， 则4π，解得l＝6， 所以圆锥的高4． 故答案为：4． 【考点点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 　3　 ． 【思路引导】可推出△ABC≌△ADC，△AEP≌△AFP，四边形AEPF是平行四边形，进而得出阴影部分的面积是菱形面积的一半． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD， ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴∠AEP＝∠B，∠AFP＝∠D， ∴∠AEP＝∠AFD， ∴△AEP≌△AFP（AAS）， ∴S△ABC﹣S△AEP＝S△ADC﹣S△AFP， ∴S四边形BCPE＝S四边形CDFP， ∵PE∥BC∥AD，PF∥CD∥AB，、 ∴四边形AEPF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△PEF， ∴S四边形BCPE+S△PEF＝S四边形CDFP+S△AEF， ∴S阴影S菱形ABCD3， 故答案为：3． 【考点点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是将阴影部分的面积转化为菱形的面积． 17．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点分别在y与y的图象上，AD边与x轴交于P，若平行四边形ABCD的面积为12，AP＝2PD，则k的值为 　6　 ． 【思路引导】连接BD，AC，过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，由平行四边形的对称性和反比例函数图象的对称性可知，O是AC，BD的交点，根据平行四ABCD的面积为12，得S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S△AOB＝3，而AP＝2DP，可得S△AOPS△AOD＝2，S△DOPS△AOD＝1，即得S△PDF＝S△DOP﹣S△DOF，由△DPF∽△APE，得S△APE＝1，故S△AOE＝S△AOP+S△APE＝3，即可求得k的值． 【完整解答】解：连接BD，AC，过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，如图： 由平行四边形的对称性和反比例函数图象的对称性可知，O是AC，BD的交点， ∵平行四ABCD的面积为12， ∴S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S△AOB＝3， ∵AP＝2DP， ∴S△AOPS△AOD＝2，S△DOPS△AOD＝1， ∵D在y的图象上， ∴S△DOF||， ∴S△PDF＝S△DOP﹣S△DOF， ∵∠DFP＝∠AEP＝90°，∠DPF＝∠APE， ∴△DPF∽△APE， ∴（）2， ∴S△APE＝1， ∴S△AOE＝S△AOP+S△APE＝2+1＝3， ∴k＝3， ∴k＝6． 故答案为：6． 【考点点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝6，E是AB的中点，F是线段BC上的一点，连接EF，把△BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点H．给出下列判断：①∠BAC＝30°；②△EBF∽△BCH；③当∠EGD＝90°时，DG的长度是2；④线段DG长度的最小值是3；⑤当点G落在矩形ABCD的对角线上，BG的长度是3或3；其中正确的是 　①②③　 ．（写出所有正确判断的序号） 【思路引导】①利用三角形函数可判断正误； ②根据相似三角形的判定方法即可判断； ③由折叠性质可得D、G、F三点共线，再由勾股定理即可判断； ④根据圆的性质解答判断即可； ⑤分两种情况：点G在AC上，点G在BD上，分别利用三角函数判断即可． 【完整解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝2，CD＝AB＝6，∠ABC＝90°， ①∵tan∠BAC， ∴∠BAC＝30°，故①正确； ②∵∠HBC+∠HBE＝90°，∠HBE+∠BEF＝90°， ∴∠HBC＝∠BEF， ∵∠EBF＝∠BCH＝90°， ∴△EBF∽△BCH，故②正确； ③当∠EGD＝90°时，如图，由折叠可知：∠EGF＝∠EBF＝90°， ∴D、G、F三点共线， 连接DE， 在Rt△EAD中，DE， 在Rt△EGD中，EG＝EB＝3，DG2，故③正确； ④∵AE＝EB＝EG， ∴A、B、G三点都在以E为圆心，3为半径的圆上， ∴此时DG的最小长度为：DE﹣3，即， ∵点F在BC上， ∴点G不能在DE上，故④错误； ⑤分两种情况： （Ⅰ）点G在AC上， ∵AE＝EG， ∴∠AGE＝∠EAG＝30°， ∴∠BEG＝∠AGE+∠EAG＝60°， 由对称：∠BEF＝∠GEF＝30°， 设EF与BG交点为M点， 在Rt△BEM中，BE＝3，BM＝BE•sin∠BEF＝3×sin30°， ∴BG＝2BM＝3， （Ⅱ）点G在BD上， ∵∠ABD＝30°， 设EF与BG交点为N点， 在Rt△BEN中，BN＝BE•cos∠ABD＝3×cos30°， ∴BG＝2BN＝3， 但此时Rt△BNF中，BF＝2BN＝3，故⑤错误． 故答案为：①②③． 【考点点拨】此题考查的是相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、折叠的性质、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 三．解答题：本大题共10小题，共96分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 【思路引导】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂对值性质、零指数幂的性质和特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）先把m和1写成分母是m﹣1的分式 【完整解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1． 【考点点拨】本题主要考查了实数的混合运算和分式的加减运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、负整数指数幂对值性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和分式的通分与约分． 20．（8分）（1）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0； （2）解不等式组：． 【思路引导】（1）利用因式分解法解方程； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【完整解答】解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0， （3x+1）（x﹣1）＝0， ∴3x+1＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1； （2）， 解①得x＜1， 解②得x＞15， 所以不等式组无解． 【考点点拨】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（10分）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②M是AD的中点；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是 　∠1＝∠2　 （填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 【思路引导】有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明∠A＝∠D即可． 【完整解答】解：（1）∠1＝∠2（答案不唯一）． 故答案为：∠1＝∠2； （2）当∠1＝∠2时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠A+∠D＝180°， 在ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠A＝∠D， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴▱ABCD是矩形． 【考点点拨】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 22．（10分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为 　　 ． （2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【思路引导】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【完整解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种， ∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果有：CD，DC，共2种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为． 【考点点拨】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并对数据进行统计整理．下面给出了部分信息： a.50个家庭去年月均用水量频数分布表和扇形统计图： 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 2.0≤t＜3.4 7 B 3.4≤t＜4.8 20 C 4.8≤t＜6.2 m D 6.2≤t＜7.6 n E 7.6≤t＜9.0 2 合计 50 b．B组的数据：3.4 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 4.0 4.0 4.1 4.1 4.1 4.2 4.2 4.4 4.5 4.7 4.7 c．各组家庭月均用水量表： 组别 A.2.0≤t＜3.4 B.3.4≤t＜4.8 C.4.8≤t＜6.2 D.6.2≤t＜7.6 E.7.6≤t＜9.0 平均用水量（单位：吨） 3 4 5.5 7 8 根据上述信息，解答下列问题： （1）m＝　15　 ，n＝　6　 ； （2）50个家庭去年月均用水量的中位数是　4.6　 吨； （3）若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有　540　 个； （4）求这50个家庭去年的月平均用水量． 【思路引导】（1）根据扇形统计图中C组的圆心角度数求出样本中，家庭平均用水量在C组的所占的百分比，由频率＝频数÷总数求出样本中家庭平均用水量在C组的频数，确定m的值，根据各组频数之和等于样本容量求出样本中家庭平均用水量在D组的频数即可； （2）根据中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数所占的百分比，估计总体中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数所占的百分比，由频率＝频数÷总数进行计算即可； （4）根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【完整解答】解：（1）m＝5015（户）， n＝50﹣7﹣20﹣15﹣2＝6（户）， 故答案为：15，6； （2）将样本中50户的家庭用水量从小到大排列，处在第25，第26位的两个数的平均数为4.6， 即 50个家庭去年月均用水量的中位数是4.6吨， 故答案为：4.6； （3）1000 ＝540（个）， 答：该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数大约有540个； （4）4.83（吨）， 答：这50个家庭去年的月平均用水量为4.83吨． 【考点点拨】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，扇形统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的定义以及计算方法是正确解答的关键． 24．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 　4π﹣8　 ．（如需画草图，请使用图2） 【思路引导】（1）过点G作OG⊥AM，作BG的垂直平分线交直线OG于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O即可； （2）设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，则∠BTG＝∠GEM，先证明∠BOG＝2∠BTG＝90°，进一步证明BO∥AM得到，再设⊙O的半径为r，并根据G是△ABC的重心和DG＝GM＝2，得到AG＝2GM＝4和OD＝OG﹣DG＝r﹣4，进一步构造关于r的方程求出r＝4，最后根据S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG求解． 【完整解答】解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求； （2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO， ∵B、E、G、T四点共圆， ∴∠BTG+∠BEG＝180°， ∵∠BEG+∠GEM＝180°， ∴∠BTG＝∠GEM， ∵∠GEM＝45°， ∴∠BTG＝45°， ∴∠BOG＝2∠BTG＝90°， ∵⊙O与AM相切于G， ∴AM⊥OG， ∴BO∥AM， ∴△ADG∽△BDO， ∴， ∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2， ∴AG＝2GM＝2×2＝4， 设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2， 解得：r＝4， ∴， ∴， ∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8． 【考点点拨】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝4，求BF的长． 【思路引导】（1）首先利用已知条件和垂径定理证明CD＝BF，然后根据AAS证明△BFG≌△CDG； （2）连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解． 【完整解答】（1）证明：∵C是 中点， ∴， ∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴， ∴， ∴CD＝BF， 在△BFG和△CDG中， ， ∴△BFG≌△CDG（AAS）； （2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r， Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42， Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2， ∵， ∴， ∴BD＝CF， ∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2， 即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]， 解得：r＝2（舍）或6， ∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48， ∴BF＝4． 【考点点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 26．（10分）在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为400元/套．促销方案如下：若团购3套，则可享受团购价680元/套．若团购每增加一套，则每套再降价50元，设某团团购的数量增加了x套． （1）填空：该团的团购数量为 　（x+3）　 套；每套的利润为 　（280﹣50x）　 元．（用含x的代数式表示） （2）规定一个团的团购数量不超过8套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？ 【思路引导】（1）根据题意可得团购的套数和每套的利润； （2）设利润为y元，由题意得y＝（x+3）（280﹣50x）＝﹣50x2+130x+840，再根据二次函数的性质可得答案． 【完整解答】解：（1）该团的团购数量为（x+3）套；每套的利润为680﹣50x﹣400＝（280﹣50x）元， 故答案为：（x+3），（280﹣50x）； （2）设利润为y元，由题意得y＝（x+3）（280﹣50x）＝﹣50x2+130x+840， 对称轴为x1.3， ∵﹣50＜0，x取整数， ∴当x＝1时，y最大为920， x+3＝4， 答：团购数量为4套时，影楼获得利润最大，最大利润为920元． 【考点点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出利润与服装套数的关系是解题关键． 27．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E在射线BC上，点F在线段AC上，连接DF、DE，∠EDF＝∠BAC，射线DE与射线AC交于点P． （1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD； （2）如图2，点E在线段BC上，连接EF，当EF∥AB时，求证：CD2＝CP•CA； （3）如图3，点E在线段BC的延长线上，当AB＝2，sin∠BAC，DF＝3时，求线段EC的长． 【思路引导】（1）△FDP和△FCD有一组公共角，再证明∠EDF＝∠DCF，可得结论； （2）先证明△FPD∽△EPC和△FPE∽△DPC得∠PDC＝∠EFC，再证明△DCP∽△ACD，即可求解； （3）连接BD，先根据勾股定理计算OF的长，计算FC，FP，CP，AP的长，进而求解． 【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCF， ∵∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠DCF， ∵∠DFP＝∠CFD， ∴△FDP∽△FCD； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC， ∴∠EFC＝∠BCA， ∴EF＝EC， 由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA， ∵∠FPD＝∠EPC， ∴△FPD∽△EPC， ∴， ∵∠FPE＝∠DPC， ∴△FPE∽△DPC ∴∠PDC＝∠EFC， ∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC， ∴∠PDC＝∠DAC， ∵∠DCP＝∠ACD， ∴△DCP∽△ACD， ∴， ∴CD2＝CP•CA； （3）如图3，连接DB交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DOC＝90°， ∵CD＝AD＝AB＝2，sin∠BAC， ∴OB＝DO＝ABsin∠BAC＝22， 同理可得：AO＝CO＝2， 在Rt△DOF中，DF＝3， ∴OF， 则FC＝OC﹣OF＝2， 由（1）得：△FDP∽△FCD， ∴， ∴FD2＝FC•FP，即32•FP， 解得PF， ∴CP＝PF﹣FC，AP＝AC+CP＝4， ∵，即， 解得：CE． 【考点点拨】此题是相似形的综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造出相似三角形是解本题的关键． 28．（10分）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题． （1）求与抛物线L1表达式； （2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点； （3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 【思路引导】（1）把O（0，0）和A（2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中解答即可； （2）确定抛物线L1的顶点坐标，确定物线L2的解析式，令y＝0，解方程的根即可求抛物线L2与x轴交点的坐标，把抛物线L1的顶点坐标代入抛物线L2的解析式，验证说明即可； （3）当y＝n时，得x2﹣2＝n，x2﹣2x＝n，解得，，计算，， 得，令，根据反比例函数性质解答即可． 【完整解答】解：（1）抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，把点O和点A的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，得： ， 解得， ∴抛物线L1表达式为y＝x2﹣2x； （2）∵L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； 根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2， 令y＝0， 得x2﹣2＝0， 解得， 故抛物线L2与x轴交点的坐标为； 当x＝1， y＝x2﹣2＝﹣1， 故抛物线L2经过L1的顶点； （3）n的最大值是．理由如下： ∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴n＞﹣1， ∴2+n＞1，1+n＞0， 令y＝x2﹣2＝n， 解得：， ∴， 令x2﹣2x＝n， 解得：， ∴， ∴， 令， 根据反比例函数的性质得：当y越小时，1+n越大， ∵的值是整数， ∴y是整数，且是整数， 当y＝1时，不是整数，不符合题意； 当y＝2时，不是整数，不符合题意； 当y＝3时，是整数，符合题意； ∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时， 故n的最大值为． 故n的最大值是． 【考点点拨】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟检测卷（无锡专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 学号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B． C D C D C C C B 第二部分 非选择题（共120分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上 11．（3分）9． 12．（3分）x（x+3y）（x﹣3y）． 13．（3分）1.5×104． 14．（3分）y＝x2﹣1． 15．（3分）4． 16．（3分）3． 17．（3分）6． 18．（3分）①②③． 三．解答题：本大题共10小题，共96分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 19．（8分）解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1． 20．（8分）解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0， （3x+1）（x﹣1）＝0， ∴3x+1＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1； （2）， 解①得x＜1， 解②得x＞15， 所以不等式组无解． 21．（10分）解：（1）∠1＝∠2（答案不唯一）． 故答案为：∠1＝∠2； （2）当∠1＝∠2时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠A+∠D＝180°， 在ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠A＝∠D， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴▱ABCD是矩形． 22．（10分）解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种， ∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果有：CD，DC，共2种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为． 23．（10分）解：（1）m＝5015（户）， n＝50﹣7﹣20﹣15﹣2＝6（户）， 故答案为：15，6； （2）将样本中50户的家庭用水量从小到大排列，处在第25，第26位的两个数的平均数为4.6， 即 50个家庭去年月均用水量的中位数是4.6吨， 故答案为：4.6； （3）1000 ＝540（个）， 答：该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数大约有540个； （4）4.83（吨）， 答：这50个家庭去年的月平均用水量为4.83吨． 24．（10分）解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求； （2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO， ∵B、E、G、T四点共圆， ∴∠BTG+∠BEG＝180°， ∵∠BEG+∠GEM＝180°， ∴∠BTG＝∠GEM， ∵∠GEM＝45°， ∴∠BTG＝45°， ∴∠BOG＝2∠BTG＝90°， ∵⊙O与AM相切于G， ∴AM⊥OG， ∴BO∥AM， ∴△ADG∽△BDO， ∴， ∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2， ∴AG＝2GM＝2×2＝4， 设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2， 解得：r＝4， ∴， ∴， ∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8． 25．（10分）（1）证明：∵C是 中点， ∴， ∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴， ∴， ∴CD＝BF， 在△BFG和△CDG中， ， ∴△BFG≌△CDG（AAS）； （2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r， Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42， Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2， ∵， ∴， ∴BD＝CF， ∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2， 即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]， 解得：r＝2（舍）或6， ∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48， ∴BF＝4． 26．（10分）解：（1）该团的团购数量为（x+3）套；每套的利润为680﹣50x﹣400＝（280﹣50x）元， 故答案为：（x+3），（280﹣50x）； （2）设利润为y元，由题意得y＝（x+3）（280﹣50x）＝﹣50x2+130x+840， 对称轴为x1.3， ∵﹣50＜0，x取整数， ∴当x＝1时，y最大为920， x+3＝4， 答：团购数量为4套时，影楼获得利润最大，最大利润为920元． 27．（10分）解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCF， ∵∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠DCF， ∵∠DFP＝∠CFD， ∴△FDP∽△FCD； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC， ∴∠EFC＝∠BCA， ∴EF＝EC， 由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA， ∵∠FPD＝∠EPC， ∴△FPD∽△EPC， ∴， ∵∠FPE＝∠DPC， ∴△FPE∽△DPC ∴∠PDC＝∠EFC， ∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC， ∴∠PDC＝∠DAC， ∵∠DCP＝∠ACD， ∴△DCP∽△ACD， ∴， ∴CD2＝CP•CA； （3）如图3，连接DB交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DOC＝90°， ∵CD＝AD＝AB＝2，sin∠BAC， ∴OB＝DO＝ABsin∠BAC＝22， 同理可得：AO＝CO＝2， 在Rt△DOF中，DF＝3， ∴OF， 则FC＝OC﹣OF＝2， 由（1）得：△FDP∽△FCD， ∴， ∴FD2＝FC•FP，即32•FP， 解得PF， ∴CP＝PF﹣FC，AP＝AC+CP＝4， ∵，即， 解得：CE． 28．（10分）解：（1）抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，把点O和点A的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，得： ， 解得， ∴抛物线L1表达式为y＝x2﹣2x； （2）∵L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； 根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2， 令y＝0， 得x2﹣2＝0， 解得， 故抛物线L2与x轴交点的坐标为； 当x＝1， y＝x2﹣2＝﹣1， 故抛物线L2经过L1的顶点； （3）n的最大值是．理由如下： ∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴n＞﹣1， ∴2+n＞1，1+n＞0， 令y＝x2﹣2＝n， 解得：， ∴， 令x2﹣2x＝n， 解得：， ∴， ∴， 令， 根据反比例函数的性质得：当y越小时，1+n越大， ∵的值是整数， ∴y是整数，且是整数， 当y＝1时，不是整数，不符合题意； 当y＝2时，不是整数，不符合题意； 当y＝3时，是整数，符合题意； ∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时， 故n的最大值为． 故n的最大值是． / 学科网（北京）股份有限公司 $$