2025年中考数学模拟检测卷-源题解密（苏州专用）（考试版+解析+答案）

2025年中考数学模拟检测卷（苏州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 班级： 姓名： 学号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上. 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2a•3a＝6a B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．﹣（a3）2＝a6 D． 2．（3分）已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（　　） A． B．2 C． D．10 3．（3分）在平面内，下列说法错误的是（　　） A．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 B．若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行 C．同平行于一条直线的两条直线平行 D．同垂直于一条直线的两条直线平行 4．（3分）如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H，若∠A＝50°，则∠BHC的度数是（　　） A．70° B．95° C．115° D．135° 5．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　） A． B．1 C． D． 6．（3分）将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以它的三边为边向外作正方形ADEB，正方形BKGC，正方形ACHF，过点C作CL⊥DE于点L，交AB于点M．若四边形LEBM和四边形ACHF的面积分别是25，135，则AB的长为（　　） A．160 B．110 C．4 D． 8．（3分）已知锐角△ABC内切于⊙O，如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有两个，那么k的取值范围是（　　） A． B．0＜k≤12 C．12＜k＜8 D．0＜k≤12或 第二部分 非选择题（共106分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上 9．（3分）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝　 　 ． 10．（3分）关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，则m的值为 　 　 ． 11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝3，，点M、N在BD上运动，且，点E、F分别在BC、AD上，连接EM、NF，若∠MEC＝45°，ME∥NF，则ME+NF的值为 　 　 ． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　 　 ． 13．（3分）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　 　 y2.（填＞、＜或＝） 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB、CD于点E、F，则EM+AF的最小值为 　 　 ． 15．（3分）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（5，2），那么另一个交点的坐标为 　 　 ． 16．（3分）在锐角三角形ABC中，2AB2＝2AC2+BC2，则的值为 　 　 ． 三．解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 17．（5分）计算：（π﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣||． 18． （5分）解分式方程：1． 19． （6分）先化简，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A（n，n），点B（2n，n﹣2）也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴于点N，交直线y＝ax（a＞0）于点D． （1）求点D的坐标及△AOB的面积； （2）过反比例函数图象上一点P作PE⊥直线y＝ax（a＞0）于点E，过点E作EF⊥x轴点F，过点P作PG⊥EF于点G，记△EOF的面积为S1，△PEG的面积为S2，求S1﹣S2的值． 21．（6分）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为60°（即∠ADC＝60°），能识别体温的最小张角为30°（即∠BDC＝30°） （1）当设备安装高度CD＝2米时，求出图中AC的长度；（结果保留根号） （2）为了达到良好的检测效果，该公司要求测温区AB的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度CD是多少？（结果保留1位小数，参考数据：1.73） 22．（8分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系； （2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为，求这20盒中混入“HB”铅笔的数量的平均值． 23．（8分）如图，已知▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长到与BC的延长线相交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AC＝DF； （2）若AC⊥BF，cosB，AC＝4，求AF的值． 24．（8分）已知，如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10，点E是射线BA上的动点，点D是边BC的动点，且BD＝DE，射线DE交射线CA于点F． （1）求证：△ABC∽△DBE； （2）连接AD，如果△AED是以AE为腰的等腰三角形，求线段BD的长． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． （1）点A坐标是（ 　 　 ，　 　 ）、点B坐标是（ 　 　 ，　 　 ）； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26．（10分）抛物线C1：y＝x2+6x+5交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称． （1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式； （2）已知抛物线C1经过点（m，n），将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值； （3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为﹣6．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式． 27．（10分）问题探究 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，沿EF折叠△AEF，点A落在点A′处，求点A′到BC边距离的最小值． 问题解决 （2）如图②，某公园一角有一块四边形ABCD空地，其中AD∥BC，∠ADC＝120°，∠ABC＝90°，AD＝160米，CD＝200米，在边AD中点M处有一地下水源．现计划在四边形ABCD内寻找一个合适位置N建蓄水池，要求∠AND＝60°，同时在水流通道MN中点P处安装一喷灌装置，并计划在△PAD及△PBC区域内种植花卉．为了节约用水，求种植花卉区域面积的最小值（即△PAD及△PBC面积和的最小值） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟检测卷（苏州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 班级： 姓名： 学号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上. 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2a•3a＝6a B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．﹣（a3）2＝a6 D． 【思路引导】根据单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方法则、二次根式的乘法法则计算，判断即可． 【完整解答】解：A、2a•3a＝6a2，故本选项计算错误，不符合题意； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误，不符合题意； C、﹣（a3）2＝﹣a6，故本选项计算错误，不符合题意； D、（3）2＝9×3＝27，本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【考点点拨】本题考查的是二次根式的乘除法、单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． 2．（3分）已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（　　） A． B．2 C． D．10 【思路引导】根据平均数的计算公式先求出x的值，再代入方差公式进行计算，即可得出答案． 【完整解答】解：∵数据1，2，x，3，4的平均数是2， ∴x＝2×5﹣（1+2+3+4）＝0， ∴这组数据的方差是[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（0﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2． 故选：B． 【考点点拨】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 3．（3分）在平面内，下列说法错误的是（　　） A．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 B．若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行 C．同平行于一条直线的两条直线平行 D．同垂直于一条直线的两条直线平行 【思路引导】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论求解判断即可． 【完整解答】解：A、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故不符合题意； B、若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线相交或平行，故符合题意； C、同平行于一条直线的两条直线平行，故不符合题意； D、在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行，故不符合题意； 故选：B． 【考点点拨】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H，若∠A＝50°，则∠BHC的度数是（　　） A．70° B．95° C．115° D．135° 【思路引导】先利用角平分线的性质说明∠ABD与∠ABC、∠ACE与∠ACB间关系，再利用外角与内角关系、三角形的内角和定理得结论． 【完整解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠ABD∠ABC，∠ACE∠ACB． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE ＝∠A+∠ABD+∠ACE ＝∠A∠ABC∠ACB ∠A∠ABC∠ACB∠A （∠A+∠ABC+∠ACB）∠A． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠BHC180°50° ＝90°+25° ＝115°． 故选：C． 【考点点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 5．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　） A． B．1 C． D． 【思路引导】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 【完整解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意可知： AD＝AE＝4，∠DAE＝45°， 底面圆的周长等于弧长： ∴2πr， 解得r． 答：该圆锥的底面圆的半径是． 故选：D． 【考点点拨】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 6．（3分）将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 【思路引导】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【完整解答】解：所得抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣2+3，即y＝（x+2）2+1， 故选：B． 【考点点拨】此题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移法则是关键． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以它的三边为边向外作正方形ADEB，正方形BKGC，正方形ACHF，过点C作CL⊥DE于点L，交AB于点M．若四边形LEBM和四边形ACHF的面积分别是25，135，则AB的长为（　　） A．160 B．110 C．4 D． 【思路引导】根据正方形的性质得到AB＝BE，AB∥DE，根据相似三角形的性质得到AC2＝AB•AM，四边形LEBM和四边形ACHF的面积分别是25，135，根据勾股定理即可得到结论． 【完整解答】解：∵四边形ADEB是正方形， ∴AB＝BE，AB∥DE， ∵CL⊥DE， ∴CM⊥AB， ∴∠AMC＝∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝∠CAM， ∴△ACM∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AB•AM， ∵四边形LEBM和四边形ACHF的面积分别是25，135， ∴AC2＝135，BE•BM＝AB•（AB﹣AM）＝AB2﹣AB•AM＝135， ∴AB•AM＝AB2﹣135， ∴25＝AB2﹣135， ∴AB＝4（负值舍去）， 故选：C． 【考点点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 8．（3分）已知锐角△ABC内切于⊙O，如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有两个，那么k的取值范围是（　　） A． B．0＜k≤12 C．12＜k＜8 D．0＜k≤12或 【思路引导】要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有两个解时k满足的条件． 【完整解答】解：（1）当AC＜BC•sin∠ABC，即12＜k•sin60°， 即k＞8时，三角形无解； （2）当AC＝BC•sin∠ABC，即12＝k•sin60°， 即k＝8时，三角形有1解； （3）当BCsin∠ABC＜AC＜BC，即ksin60°＜12＜k， 即12＜k＜8时，三角形有2个解； （4）当0＜BC≤AC， 即0＜k≤12时，三角形有1个解． 综上所述：当12＜k＜8时，三角形恰有两个解． 故选：C． 【考点点拨】本题主要考查了三角形外接圆与外心，分情况讨论k的取值是解题的关键． 第二部分 非选择题（共106分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上 9．（3分）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝　87°　 ． 【思路引导】利用平行线的性质先求出∠C，再利用三角形外角与内角的关系求出∠3． 【完整解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠1＝55°， ∴∠3＝∠C+∠2 ＝55°+32° ＝87°， 故答案为：87°． 【考点点拨】本题考查平行线的性质及三角形外角与内角的关系，掌握“两直线平行，内错角相等”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 10．（3分）关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，则m的值为 　10　 ． 【思路引导】利用一元二次方程的解的定义，把x代入方程3x2+mx﹣8＝0得到3×（）2m﹣8＝0，然后解关于m的方程即可． 【完整解答】解：把x代入方程3x2+mx﹣8＝0，得 3×（）2m﹣8＝0， 解得m＝10． 故答案为：10． 【考点点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝3，，点M、N在BD上运动，且，点E、F分别在BC、AD上，连接EM、NF，若∠MEC＝45°，ME∥NF，则ME+NF的值为 　　 ． 【思路引导】过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥AD于点K，设MH＝a，NK＝b，先解Rt△BCD得BC＝6，BD，根据MNBD得BM+DNBD，证明△MEH为等腰直角三角形得EH＝MH＝a，∠HME＝∠HEM＝45°，ME，再解Rt△BMH得BH＝2a，BM，再由AD∥BC得tan∠ADB＝tan∠DBC，解Rt△DNK得DK＝2b，DN，然后证明△KNF为等腰直角三角形得NK＝FK＝b，NF，由此得BM+DN，则a+b＝2，最后根据ME+NF可得出答案． 【完整解答】解：过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥AD于点K，如图所示： 设MH＝a，NK＝b， 在△BCD中，∠C＝90°，CD＝3，tan∠DBC， ∴tan∠DBC， ∴BC＝2CD＝6， 由勾股定理得：BD， ∵MNBD， ∴BM+DNBD， ∵∠MEC＝45°，MH⊥BC， ∴△MEH为等腰直角三角形， ∴EH＝MH＝a，∠HME＝∠HEM＝45°， 由勾股定理得：ME， 在Rt△BMH中，tan∠DBC， ∴BH＝2MH＝2a， 由勾股定理得：BM， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴tan∠ADB＝tan∠DBC， 在Rt△DNK中，tan∠ADB， ∴DK＝2NK＝2b， 由勾股定理得：DN， ∵MH⊥BC，NK⊥AD，AD∥BC， ∴MH∥NK， 又∵ME∥NF， ∴∠HME＝∠KNF＝45°， ∴△KNF为等腰直角三角形， ∴NK＝FK＝b，由勾股定理得：NF， ∴BM+DN， ∴a+b＝2， ∴ME+NF． 故答案为：． 【考点点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的方法与技巧是解决问题的关键． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　2　 ． 【思路引导】延长AC至F，使得CF＝BC，根据勾股定理求出AF，根据题意得到E是BF的中点，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【完整解答】解：延长AC至F，使得CF＝BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°， 在Rt△BCF中，BFBC， ∵D是AB边中点，DE平分△ABC的周长， ∴BC+CE＝AE， ∴EF＝EA，即E是AF的中点， ∵D为AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴DEBF，即BF＝2DE＝4， ∴BFBC＝4， ∴BC＝2． 故答案为：2． 【考点点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的运用，掌握三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13．（3分）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　＜　 y2.（填＞、＜或＝） 【思路引导】根据一次函数的单调性即可作答． 【完整解答】解：∵﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【考点点拨】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的单调性是解题的关键． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB、CD于点E、F，则EM+AF的最小值为 　　 ． 【思路引导】根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM＝EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可． 【完整解答】解：过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴BM， ∴， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， ∴△ABM≌△FGE（SAS）， ∴AM＝EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小， 此时EM+AF＝AH， ∴EM+AF的最小值为， 故答案为：． 【考点点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，，关键是通过平移变换确定EM+AF取最小值的位置． 15．（3分）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（5，2），那么另一个交点的坐标为 　（﹣5，2）　 ． 【思路引导】根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称． 【完整解答】解：反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标为（5，2）， ∴它的另一个交点的坐标是（﹣5，2）． 故答案为：（﹣5，2）． 【考点点拨】本题考查反比例函数图象的中心对称性，解题时注意：正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称． 16．（3分）在锐角三角形ABC中，2AB2＝2AC2+BC2，则的值为 　　 ． 【思路引导】根据题意画出示意图，并过点A作AM⊥BC于点M，根据正切的定义表示出，再根据2AB2＝2AC2+BC2得出MC和BM之间的关系即可解决问题． 【完整解答】解：如图所示，过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， AB2＝AM2+BM2． 在Rt△ACM中， AC2＝AM2+MC2． ∵2AB2＝2AC2+BC2， ∴2（AM2+BM2）＝2（AM2+MC2）+（BM+MC）2， 整理得，3MC2+2BM•MC﹣BM2＝0， ∴， 解得， ∴． 在Rt△ABM中， tanB， 在Rt△ACM中， tanC， ∴． 故答案为：． 【考点点拨】本题考查解直角三角形及勾股定理，能根据题意画出示意图并熟知勾股定理及正切的定义是解题的关键． 三．解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 17．（5分）计算：（π﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣||． 【思路引导】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案． 【完整解答】解：原式＝1﹣3+42 ＝1﹣3+22 ＝﹣2． 【考点点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18．（5分）解分式方程：1． 【思路引导】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【完整解答】解：去分母得：6﹣（x2﹣4）＝（1﹣x）（x﹣2） 去括号得：6﹣x2+4＝﹣2+3x﹣x2，即3x＝12， 解得：x＝4， 经检验x＝4是分式方程的解． 【考点点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19．（6分）先化简，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值． 【思路引导】利用分式的运算法则进行化简运算后将x＝0代入运算即可． 【完整解答】解：原式 ＝x， ∵x≠1且x≠﹣1， ∴x＝0时， 原式＝0． 【考点点拨】本题主要考查了分式的化简求值，选择合适的x值是解题的关键． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A（n，n），点B（2n，n﹣2）也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴于点N，交直线y＝ax（a＞0）于点D． （1）求点D的坐标及△AOB的面积； （2）过反比例函数图象上一点P作PE⊥直线y＝ax（a＞0）于点E，过点E作EF⊥x轴点F，过点P作PG⊥EF于点G，记△EOF的面积为S1，△PEG的面积为S2，求S1﹣S2的值． 【思路引导】（1）将点A，B代入反比例函数，求出n的值，进而得出A点坐标，利用待定系数法即可求函数解析式，再根据过点B作y轴的平行线，可得点B、D的横坐标相同，代入正比例函数解析式；过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥BN于点M，根据S△AOB＝S梯形AONM﹣S△ONB﹣S△ABM求解即可； （2）设E（t，t），则OF＝EF＝t，进而证明△OEF是等腰直角三角形，△PEG是等腰直角三角形，设EG＝PG＝k，则P（t+k，t﹣k），将其代入反比例函数，可得t2﹣k2＝16，进而求解即可． 【完整解答】解：（1）∵点A（n，n）反比例函数图象上， ∴16＝n2，解得n＝4， ∴A（4，4），B（8，2）， 将A（4，4）代入y＝ax（a＞0），得a＝1， ∴正比例函数解析式为y＝x， ∵BD∥y轴， 当x＝8时，y＝8， ∴D（8，8）． 过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥BN于点M， ∴； （2）如图，设E（t，t），则OF＝EF＝t， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF＝45°， ∵PG⊥EF， ∴∠PEO＝90°， ∴∠PEG＝90°﹣∠OEF＝45°， ∴△PEG是等腰直角三角形． 设EG＝PG＝k，则P（t+k，t﹣k）， 将其代入反比例函数，得（t+k）（t﹣k）＝16，即t2﹣k2＝16， ∴． 【考点点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题目，涉及求函数解析式，两函数交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 21．（6分）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为60°（即∠ADC＝60°），能识别体温的最小张角为30°（即∠BDC＝30°） （1）当设备安装高度CD＝2米时，求出图中AC的长度；（结果保留根号） （2）为了达到良好的检测效果，该公司要求测温区AB的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度CD是多少？（结果保留1位小数，参考数据：1.73） 【思路引导】（1）根据特殊角的三角函数值解答即可； （2）根据已知条件判断BD＝BA，再解直角三角形BDC即可． 【完整解答】解：（1）由题意可知：∠C＝90°，∠CDA＝60°，DC＝2米， ∴AC＝DC•tan60°＝2米； （2）∵∠C＝90°，∠CDA＝60°， ∴∠A＝30°， 又∵∠CDB＝30°， ∴∠ADB＝∠A， ∴BD＝BA＝3米， 在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，∠CDB＝30°， ∴DC＝DB•cos30°米≈2.595米≈2.6米， 答：最低安装高度为2.6米． 【考点点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握题目中的等量关系． 22．（8分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系； （2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为，求这20盒中混入“HB”铅笔的数量的平均值． 【思路引导】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【完整解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14， 故答案为：m+n＝14； （2）∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为， ∴， ∴m＝5，n＝9， ∴这20盒中混入“HB”铅笔的数量的平均值为1.15． 【考点点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 23．（8分）如图，已知▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长到与BC的延长线相交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AC＝DF； （2）若AC⊥BF，cosB，AC＝4，求AF的值． 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质和全三角形的判定方法可以得到△AED≌△FEC，然后即可得到AE＝FE，再根据DE＝CE，即可判断四边形ACFD的形状，从而可以得到结论成立； （2）根据（1）中得到的四边形ACFD的形状和矩形的判定方法，可以得到四边形ACFD是矩形，从而可以得到AF＝DC，再根据cosB，AC＝4，可以得到AB的长，然后平行四边形的性质可以得到AB＝CD，然后即可得到AF的长． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵点D为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（ASA）， ∴AE＝FE， 又∵DE＝CE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC＝DF； （2）解：由（1）知：四边形ACFD是平行四边形， ∵AC⊥BF， ∴∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形， ∴AF＝DC， ∵cosB，∠ACB＝90°， 设AB＝5x，则BCx，AC＝4， ∴（x）2+42＝（5x）2， 解得x， ∴AB＝5x＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴AF＝2， 即AF的值是2． 【考点点拨】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 24．（8分）已知，如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10，点E是射线BA上的动点，点D是边BC的动点，且BD＝DE，射线DE交射线CA于点F． （1）求证：△ABC∽△DBE； （2）连接AD，如果△AED是以AE为腰的等腰三角形，求线段BD的长． 【思路引导】（1）由等边对等角，可得∠B＝∠BED，∠BED＝∠C，从而得出结论； （2）分为三种情况进行讨论：当点E在AB上时，设BD＝DE＝t，则BE＝6﹣t，根据△ABC∽△DBE可得，即，从而求出BD的长；当点E在BA的延长线上，且AD＝AE时，先证△ADE∽△DEB，得到，设AE＝AD＝3x，则BD＝DE＝5x，根据得出，进而求出BD的长；当AE＝DE时，设BD＝DE＝AE＝m，由得出，求得m的值，进一步求出BD的长． 【完整解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵BD＝DE， ∴∠B＝∠BED， ∴∠BED＝∠C， ∴△ABC∽△DBE； （2）解：如图1，当点E在AB上时，设BD＝DE＝t， ∵△AED是以AE为腰的三角形， ∴AE＝DE＝t， ∴BE＝6﹣t， 由（1）得：△ABC∽△DBE； ∴， ∴， 解得：t， ∴BD， 如图2，当点E在BA的延长线上，当AD＝AE时， ∴∠AED＝∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△DEB， ∴， 设AE＝AD＝3x，则BD＝DE＝5x， ∴， 解得：x， ∴BD＝5x， 如图3，当AE＝DE时，设BD＝DE＝AE＝y， 由得， ， 解得：y＝9， ∴BD＝9， 综上所述：BD或或9． 【考点点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确进行分类讨论，求出所有可能的情况． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． （1）点A坐标是（ 　　 ，　0　 ）、点B坐标是（ 　0　 ，　﹣1　 ）； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【思路引导】（1）由y＝﹣2x﹣1，分别令x＝0，y＝0，即可求解； （2）过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝1，EF＝OA，求得F（，），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，利用待定系数法即可得到结论； （3）分当BC是对角线时；当BC是边，四边形BMNC为菱形时；当BC是边，四边形BCMN为菱形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案． 【完整解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x， ∴A（，0），B（0，﹣1）， 故答案为：，0，0，﹣1； （2）过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝1，EF＝OA， ∴OE＝OA+AE， ∴F（，）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为：yx﹣1； （3）存在． ①如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形． ∴BM∥CN，BN＝CN， ∵直线BM为y＝2x﹣1， ∴设直线CN的函数表达式为y＝2x+c， ∵直线BC的函数表达式为：yx﹣1， ∴C（3，0）， ∴6+c＝0，解得c＝﹣6， ∴直线CN的函数表达式为y＝2x﹣6， 设N（n，2n﹣6）， ∵BN＝CN，B（0，﹣1）， ∴BN2＝CN2， ∴n2+（﹣1﹣2n+6）2＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝2， ∴点N的坐标为（2，﹣2）； ②如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时． ∴BM∥CN，BC＝CN， ∵直线BM为y＝2x﹣1， ∴设直线CN的函数表达式为y＝2x+c， ∵直线BC的函数表达式为：yx﹣1， ∴C（3，0）， ∴6+c＝0，解得c＝﹣6， ∴直线CN的函数表达式为y＝2x﹣6， 设N（n，2n﹣6）， ∵BC＝CN，B（0，﹣1）， ∴BC2＝CN2， ∴12+32＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝3或3（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（3，2）； ③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时． ∴BC＝CM， 设M（m，2m﹣1）， ∵BC＝CM，B（0，﹣1）， ∴BC2＝CM2， ∴12+32＝（3﹣m）2+（2m﹣1）2，解得m＝2或0（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为（2，3）， ∵B（0，﹣1），C（3，0）， ∴点N的坐标为（﹣1，2）． 综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，﹣2）或（3，2）或（﹣1，2）． 【考点点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 26．（10分）抛物线C1：y＝x2+6x+5交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称． （1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式； （2）已知抛物线C1经过点（m，n），将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值； （3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为﹣6．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式． 【思路引导】（1）将x＝0代入y＝x2+6x+5，求出点M的坐标，将（﹣x，y）代入y＝x2+6x+5求出C2的函数关系式； （2）先求出点（m，n）平移后的点的坐标，再分别将这两点代入两个二次函数关系中，再求出m，n的值； （3）设直线l1的函数关系式为y＝kx+b，求出它与二次函数只有一个交点时的关系式，再设平移直线l1后的函数关系式为：y＝6x﹣31+t，再与二次函数联立方程组，运用根与系数关系解决． 【完整解答】解：在函数y＝x2+6x+5中，令x＝0，得y＝5， ∴M （0，5）， ∵抛物线C1：y＝x2+6x+5与抛物线C2关于y轴对称， ∴将（﹣x，y）代入y＝x2+6x+5得： y＝x2﹣6x+5， ∴物线C2的解析式为：y＝x2﹣6x+5； （2）∵将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标为（m+3，n+3），且点（m，n）在C1上，（m+3，n+3）在C2上， ∴， ∴m2+6m+5＝（m+3）2﹣6（m+3）+5﹣3， 解得：m＝﹣2，n＝4﹣12+5＝﹣3， ∴m＝﹣2，n＝﹣3； （3）∵点A在抛物线C1上横坐标为﹣6， ∴将x＝﹣6代入y＝x2+6x+5得：y＝5， ∴A（﹣6，5）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（6，5）， 设直线l1的函数关系式为y＝kxtb，将B（6，5）代入得， 6k+b＝5，得：b＝5﹣6k， ∴直线l1的函数关系式为：y＝kx+5﹣6k， ∵直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点， ∴kx+5﹣6k＝x2﹣6x+5， 即x2﹣（k+6）x+6k＝0中Δ＝0， ∴[﹣（k+6）]2﹣4×6k＝0， 解得：k＝6， ∴直线l1的函数关系式为y＝6x﹣31， 设平移直线，l1后的函数关系式为：y＝6x﹣31+t， ∵C，D两点在直线l1上， ∴设C（x1，6x1﹣31+t），D（x2，6x2﹣31+t）， ∵直线CH过M（0，5）， ∴设直线CH函数关系式为：y＝px+5，将C（x1，6x1﹣31+t）代入得： p， ∵直线CH过M（0，5）， ∴设直线MD的函数关系式为y＝qx+5，将D（x2，6x2﹣31+t）代入得： q， ∵平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点， ∴6x﹣31+t＝x2﹣6x+5， 整理得：x2﹣12x+36﹣t＝0， ∴x1+x﹣2＝12，x1x2＝36﹣t， ∴p+q， 将x1+x2＝12，x1x2＝36﹣t代入得： p+q0， ∴直线CH与直线DM关于y轴对称， ∴点H与点E关于y轴对称， ∴e+h＝0． 【考点点拨】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质．二次函数的解析式和性质，一次函数的平移及一次函数与二次函数的交点等知识点，其中要注意用待定系数法来确定函数关系式 27．（10分）问题探究 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，沿EF折叠△AEF，点A落在点A′处，求点A′到BC边距离的最小值． 问题解决 （2）如图②，某公园一角有一块四边形ABCD空地，其中AD∥BC，∠ADC＝120°，∠ABC＝90°，AD＝160米，CD＝200米，在边AD中点M处有一地下水源．现计划在四边形ABCD内寻找一个合适位置N建蓄水池，要求∠AND＝60°，同时在水流通道MN中点P处安装一喷灌装置，并计划在△PAD及△PBC区域内种植花卉．为了节约用水，求种植花卉区域面积的最小值（即△PAD及△PBC面积和的最小值） 【思路引导】（1）先得到点A′在以E为圆心，3为半径的圆上（矩形ABCD内部），推出当点E，A′，G′三点共线时，A′G′取最小值为A′′G．再求出A''G即可； （2）过点D作DF⊥BC于点F，求出CF，得到BC，作PL⊥AD于点L，PK⊥BC于点K，推出S△ADP+S△BCP＝1300050PL，得到要使S△ADP+S△BCP最小，只需PL取最大值即可．作△ADN的外接圆⊙O，则点N在优弧AD上，求出OA，连接OM，求出OM，取OM中点Q，得到MQ，连接PQ，求出PQ，得到点P在以Q为圆心，QP长为半径的圆上．延长MO交BC于点E，交⊙Q于点P′，求出PL的最小值，从而解决问题． 【完整解答】解：（1）∵AD＝6，点E为AD中点， ∴， 由折叠知EA′＝EA＝3， 则点A′在以E为圆心，3为半径的圆上（矩形ABCD内部）， 过点E作EG⊥BC于点G，交AD于点A′′，过点A′作A′G′⊥BC于点G′， 则A′′G＝EG﹣EA′′≤EA′+AG′﹣EA′＝AG′， ∴当点E，A′，G′三点共线时，A′G′取最小值为A′′G． ∵四边形ABCD为矩形，AB＝5， ∴EG＝AB＝5， ∴A′′G＝EG﹣EA′′＝5﹣3＝2， 即点A′到BC边距离的最小值为2． （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， 又∵∠ADC＝120°， ∴∠BCD＝60° 在Rt△DFC中， ， CF＝CD•cos60°＝100． 易知四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝160， ∴BC＝BF+CF＝260， 作PL⊥AD于点L，PK⊥BC于点K， 则L、P、K三点共线，， 则S△ADP+S△BCPAD•PLBC•（LK﹣PL） 160•PL260×（100PL） ＝80PL+13000﹣130PL ＝1300050PL， ∴要使S△ADP+S△BCP最小，只需PL取最大值即可． 作△ADN的外接圆⊙O，则点N在优弧AD上， ∵∠AND＝60°， 则∠AOD＝120°， ∴， 连接OM， ∵M为AD中点，OA＝OD， ∴OM⊥AD， ∴， 取OM中点Q， 则， 连接PQ， 则， ∴点P在以Q为圆心，QP长为半径的圆上． 延长MO交BC于点E，交⊙Q于点P′， 则QM⊥AD， ∴， ∴S△ADP+S△BCP取最小值为， 即种植花卉区域的最小面积为． 【考点点拨】本题考查矩形的性质，点与圆周上一点连线的最小值，圆的基本性质，本题综合性较强，能够利用辅助圆解决问题是解题的关键 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟检测卷（苏州专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 班级： 姓名： 学号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C D B C C 第二部分 非选择题（共106分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上 9．（3分）87°． 10．（3分）10． 11．（3分）． 12．（3分）2． 13．（3分）＜． 14．（3分）． 15．（3分）（﹣5，2）． 16．（3分）． 三．解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 17．（5分）解：原式＝1﹣3+42 ＝1﹣3+22 ＝﹣2． 18．（5分）解：去分母得：6﹣（x2﹣4）＝（1﹣x）（x﹣2） 去括号得：6﹣x2+4＝﹣2+3x﹣x2，即3x＝12， 解得：x＝4， 经检验x＝4是分式方程的解． 19．（6分）解：原式 ＝x， ∵x≠1且x≠﹣1， ∴x＝0时， 原式＝0． 20．（6分）解：（1）∵点A（n，n）反比例函数图象上， ∴16＝n2，解得n＝4， ∴A（4，4），B（8，2）， 将A（4，4）代入y＝ax（a＞0），得a＝1， ∴正比例函数解析式为y＝x， ∵BD∥y轴， 当x＝8时，y＝8， ∴D（8，8）． 过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥BN于点M， ∴； （2）如图，设E（t，t），则OF＝EF＝t， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF＝45°， ∵PG⊥EF， ∴∠PEO＝90°， ∴∠PEG＝90°﹣∠OEF＝45°， ∴△PEG是等腰直角三角形． 设EG＝PG＝k，则P（t+k，t﹣k）， 将其代入反比例函数，得（t+k）（t﹣k）＝16，即t2﹣k2＝16， ∴． 21．（6分）解：（1）由题意可知：∠C＝90°，∠CDA＝60°，DC＝2米， ∴AC＝DC•tan60°＝2米； （2）∵∠C＝90°，∠CDA＝60°， ∴∠A＝30°， 又∵∠CDB＝30°， ∴∠ADB＝∠A， ∴BD＝BA＝3米， 在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，∠CDB＝30°， ∴DC＝DB•cos30°米≈2.595米≈2.6米， 答：最低安装高度为2.6米． 22．（8分）解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14， 故答案为：m+n＝14； （2）∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为， ∴， ∴m＝5，n＝9， ∴这20盒中混入“HB”铅笔的数量的平均值为1.15． 23．（8分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵点D为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（ASA）， ∴AE＝FE， 又∵DE＝CE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC＝DF； （2）解：由（1）知：四边形ACFD是平行四边形， ∵AC⊥BF， ∴∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形， ∴AF＝DC， ∵cosB，∠ACB＝90°， 设AB＝5x，则BCx，AC＝4， ∴（x）2+42＝（5x）2， 解得x， ∴AB＝5x＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴AF＝2， 即AF的值是2． 24．（8分）（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵BD＝DE， ∴∠B＝∠BED， ∴∠BED＝∠C， ∴△ABC∽△DBE； （2）解：如图1，当点E在AB上时，设BD＝DE＝t， ∵△AED是以AE为腰的三角形， ∴AE＝DE＝t， ∴BE＝6﹣t， 由（1）得：△ABC∽△DBE； ∴， ∴， 解得：t， ∴BD， 如图2，当点E在BA的延长线上，当AD＝AE时， ∴∠AED＝∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△DEB， ∴， 设AE＝AD＝3x，则BD＝DE＝5x， ∴， 解得：x， ∴BD＝5x， 如图3，当AE＝DE时，设BD＝DE＝AE＝y， 由得， ， 解得：y＝9， ∴BD＝9， 综上所述：BD或或9． 25．（10分）解：（1）∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x， ∴A（，0），B（0，﹣1）， 故答案为：，0，0，﹣1； （2）过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝1，EF＝OA， ∴OE＝OA+AE， ∴F（，）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为：yx﹣1； （3）存在． ①如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形． ∴BM∥CN，BN＝CN， ∵直线BM为y＝2x﹣1， ∴设直线CN的函数表达式为y＝2x+c， ∵直线BC的函数表达式为：yx﹣1， ∴C（3，0）， ∴6+c＝0，解得c＝﹣6， ∴直线CN的函数表达式为y＝2x﹣6， 设N（n，2n﹣6）， ∵BN＝CN，B（0，﹣1）， ∴BN2＝CN2， ∴n2+（﹣1﹣2n+6）2＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝2， ∴点N的坐标为（2，﹣2）； ②如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时． ∴BM∥CN，BC＝CN， ∵直线BM为y＝2x﹣1， ∴设直线CN的函数表达式为y＝2x+c， ∵直线BC的函数表达式为：yx﹣1， ∴C（3，0）， ∴6+c＝0，解得c＝﹣6， ∴直线CN的函数表达式为y＝2x﹣6， 设N（n，2n﹣6）， ∵BC＝CN，B（0，﹣1）， ∴BC2＝CN2， ∴12+32＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝3或3（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（3，2）； ③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时． ∴BC＝CM， 设M（m，2m﹣1）， ∵BC＝CM，B（0，﹣1）， ∴BC2＝CM2， ∴12+32＝（3﹣m）2+（2m﹣1）2，解得m＝2或0（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为（2，3）， ∵B（0，﹣1），C（3，0）， ∴点N的坐标为（﹣1，2）． 综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，﹣2）或（3，2）或（﹣1，2）． 26．（10分）解：在函数y＝x2+6x+5中，令x＝0，得y＝5， ∴M （0，5）， ∵抛物线C1：y＝x2+6x+5与抛物线C2关于y轴对称， ∴将（﹣x，y）代入y＝x2+6x+5得： y＝x2﹣6x+5， ∴物线C2的解析式为：y＝x2﹣6x+5； （2）∵将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标为（m+3，n+3），且点（m，n）在C1上，（m+3，n+3）在C2上， ∴， ∴m2+6m+5＝（m+3）2﹣6（m+3）+5﹣3， 解得：m＝﹣2，n＝4﹣12+5＝﹣3， ∴m＝﹣2，n＝﹣3； （3）∵点A在抛物线C1上横坐标为﹣6， ∴将x＝﹣6代入y＝x2+6x+5得：y＝5， ∴A（﹣6，5）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（6，5）， 设直线l1的函数关系式为y＝kxtb，将B（6，5）代入得， 6k+b＝5，得：b＝5﹣6k， ∴直线l1的函数关系式为：y＝kx+5﹣6k， ∵直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点， ∴kx+5﹣6k＝x2﹣6x+5， 即x2﹣（k+6）x+6k＝0中Δ＝0， ∴[﹣（k+6）]2﹣4×6k＝0， 解得：k＝6， ∴直线l1的函数关系式为y＝6x﹣31， 设平移直线，l1后的函数关系式为：y＝6x﹣31+t， ∵C，D两点在直线l1上， ∴设C（x1，6x1﹣31+t），D（x2，6x2﹣31+t）， ∵直线CH过M（0，5）， ∴设直线CH函数关系式为：y＝px+5，将C（x1，6x1﹣31+t）代入得： p， ∵直线CH过M（0，5）， ∴设直线MD的函数关系式为y＝qx+5，将D（x2，6x2﹣31+t）代入得： q， ∵平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点， ∴6x﹣31+t＝x2﹣6x+5， 整理得：x2﹣12x+36﹣t＝0， ∴x1+x﹣2＝12，x1x2＝36﹣t， ∴p+q， 将x1+x2＝12，x1x2＝36﹣t代入得： p+q0， ∴直线CH与直线DM关于y轴对称， ∴点H与点E关于y轴对称， ∴e+h＝0． 27．（10分）解：（1）∵AD＝6，点E为AD中点， ∴， 由折叠知EA′＝EA＝3， 则点A′在以E为圆心，3为半径的圆上（矩形ABCD内部）， 过点E作EG⊥BC于点G，交AD于点A′′，过点A′作A′G′⊥BC于点G′， 则A′′G＝EG﹣EA′′≤EA′+AG′﹣EA′＝AG′， ∴当点E，A′，G′三点共线时，A′G′取最小值为A′′G． ∵四边形ABCD为矩形，AB＝5， ∴EG＝AB＝5， ∴A′′G＝EG﹣EA′′＝5﹣3＝2， 即点A′到BC边距离的最小值为2． （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， 又∵∠ADC＝120°， ∴∠BCD＝60° 在Rt△DFC中， ， CF＝CD•cos60°＝100． 易知四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝160， ∴BC＝BF+CF＝260， 作PL⊥AD于点L，PK⊥BC于点K， 则L、P、K三点共线，， 则S△ADP+S△BCPAD•PLBC•（LK﹣PL） 160•PL260×（100PL） ＝80PL+13000﹣130PL ＝1300050PL， ∴要使S△ADP+S△BCP最小，只需PL取最大值即可． 作△ADN的外接圆⊙O，则点N在优弧AD上， ∵∠AND＝60°， 则∠AOD＝120°， ∴， 连接OM， ∵M为AD中点，OA＝OD， ∴OM⊥AD， ∴， 取OM中点Q， 则， 连接PQ， 则， ∴点P在以Q为圆心，QP长为半径的圆上． 延长MO交BC于点E，交⊙Q于点P′， 则QM⊥AD， ∴， ∴S△ADP+S△BCP取最小值为， 即种植花卉区域的最小面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$