期末押题卷（一）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

期末押题卷（北京版）（一） 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024北京版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·安徽滁州·一模）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故此选项运算不正确，不符合题意； B、，故此选项运算正确，符合题意；C、，故此选项运算不正确，不符合题意； D、，故此选项运算不正确，不符合题意；故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意；     B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意；     C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意；         D． 若，则，故该选项正确，符合题意．故选D． 4．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A．若，，则，利用了平行的传递性，故此项不符合题意； B．若，则，利用了内错角相等，两直线平行，故此项不符合题意； C．若，则，不能判断，故此项符合题意；D．若，则，先利用对顶角相等，再利用同旁内角互补，两直线平行，故此项不符合题意．故选C． 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）某图书商场今年1—5月份的销售总额一共是万元，图1、图2分别是商场图书销售总额统计图和文学类图书销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（    ） ①商场4月份销售总额为万元；②对比上一个月，4月份文学类图书销售额下降幅度最大； ③2月份和5月份文学类图书销售总额相同；④文学类图书在5月份的销售额比4月份的销售额增加了． A．①③ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【详解】解：①商场4月份销售总额为：（万元），故①正确； ②比上一个月，4月份文学类图书销售额上升了，故②错误； ③2月份文学类图书销售总额：（万元），5月份文学类图书销售总额：（万元）， 2月份和5月份文学类图书销售总额不相同，故③错误； ④5月份文学类图书销售总额为万元，4月份的文学类图书销售额为（万元），，故④正确；故选：D． 6．（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设人数为人，车数为辆，由题意得，，故选：． 7．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，，， ，，，， ，，．故选：A． 8．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 【答案】C 【详解】解：如图，过作，，， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 设，， ，， 四边形中，，即，① 又，，② 由①②可得，，解得，故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（2025七年级下·北京·专题练习）一家电脑生产厂在某市三个经销本厂产品的大商场进行调查，发现本厂产品的销售量占这三个大商场同类产品销售量的．由此在广告中宣传，他们产品的销售量占国内同类产品销售量的．请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠： ．理由是 ． 【答案】 不可靠 样本的选取不具有代表性 【详解】解：该广告宣传中的数据不可靠，理由是：抽样时要注意样本的代表性和广泛性，所以由于选择的样本在一个市，太片面，所以不具有广泛性．数据不可靠．理由是调查不具有代表性． 故答案为：不可靠；调查不具有代表性． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：原式．故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】18 【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：18． 12．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【答案】5 【详解】解：∵二元一次方程组的解是，∴，解得，故答案为：5． 13．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】6 【详解】解：当时，左边右边，∴，∴两边同除以a，得， ∴，∴，即，∴，故答案为：6． 14．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：，，如图，过点作，过点作， ，，，，， ，，，， ，故答案为：． 15．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁 1或2或3 【详解】解：（1）∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功，故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚，故答案为：1或2或3． 16．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间）如图所示，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，现将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，在自动刹车前汽车以速度（米秒）匀速运动，通过大数据统计分析得到如表一信息（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 表一 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在 米秒以下． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴报警距离， ∵汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米， 即对于任意，均要求，∴恒成立，即恒成立， ∵，∴，化简整理，得，解得：，故答案为：． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解有0，1，2，3 【详解】解：， 解不等式①，得，解不等式②，得， 该不等式组的解集为，该不等式组的非负整数解有0，1，2，3． 19．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程（组）：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 将①代入②得：，解得， 将代入①得：，故； （2）解：， 得：解得：， 将代入①，得，，故． 20．（24-25八年级上·吉林长春·期中）把下列多项式分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 21．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷， 由题意可得，，解得， 答：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 22．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：，解得：， 为整数，取最大值为12，答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 22．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，，求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 23．（23-24七年级下·北京丰台·期末）3月14日是国际数学日，也称“日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）： 根据以上信息，完成下列问题． (1)下列抽取样本的方式中，最合理的是 （填写序号）： ①从七年级的学生中抽取名男生； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． (2)写出的值，并补全频数分布直方图；(3)这一组对应的扇形的圆心角度数是 ； (4)这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数． 【答案】(1)③(2)40，见解析(3)(4)120人 【详解】（1）解：①从七年级的学生中抽取名男生不具有代表性和普遍性，故①不符合题意； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生，不具有代表性和普遍性，故②不符合题意； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生，具有代表性和普遍性，故③符合题意． 故答案为：③； （2）解：， 的人数为，补全频数分布直方图，如图所示： （3）解：这一组对应的扇形的圆心角度数为：． （4）解：这一组的学生积分达到90分或90分以上的人数为7人， 估计七年级学生获得“日”徽章的人数为：（人）． 24．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 【答案】（）；；（）或． 【详解】（）解：原式， 当，∴原式； （）解：，解不等式得：，解不等式得：， ∴， ∵所有整数解的和为，∴不等式组的整数解为，，，或，，，，，，， ∴或，∴或， ∵为整数，∴或． 25．（2025·安徽·七年级专题练习）观察一下等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：，………………… 按照以上规律，解决下列问题： （1） ； （2）写出第五个式子： ； （3）用含的式子表示一般规律： ； （4）计算（要求写出过程）： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）由题意可得：，故答案为：； （2）第五个式子为：； （3）由题意可得：； （4）=== 27．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③(2)(3)或 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时；故答案为：②③； （2）解：，由得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴，∴，解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组，∴， 联立得：，解得：或，把代入得： ，∴，∵m为任意有理数， ∴，解得：，∴； 把代入得：，∴， ∵m为任意有理数，∴，解得：，∴；综上所述，得值为或． 28．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）【材料阅读】 材料一；如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点，交于点．请判断与有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】（3）如图⑤，平分，且，求的度数． 【答案】（1）选择明明同学，过程见解析；（2）的度数为；（3）的度数为 【详解】（1）解：选择明明同学，过程如下：在点F处作， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴，即； 选择欣欣同学，过程如下：过点Q作，交于点M， ∴，，∵，∴， ∵，∴，∴， 即； （2）解：过点P作， ∵，∴，∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，即的度数为； （3）解：过点P作，过点N作延长交于点A， ∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ，即， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，即的度数为． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（北京版）（一） 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024北京版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·安徽滁州·一模）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）某图书商场今年1—5月份的销售总额一共是万元，图1、图2分别是商场图书销售总额统计图和文学类图书销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（    ） ①商场4月份销售总额为万元；②对比上一个月，4月份文学类图书销售额下降幅度最大； ③2月份和5月份文学类图书销售总额相同；④文学类图书在5月份的销售额比4月份的销售额增加了． A．①③ B．①②③ C．②④ D．①④ 6．（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 8．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（2025七年级下·北京·专题练习）一家电脑生产厂在某市三个经销本厂产品的大商场进行调查，发现本厂产品的销售量占这三个大商场同类产品销售量的．由此在广告中宣传，他们产品的销售量占国内同类产品销售量的．请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠： ．理由是 ． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）分解因式： ． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，则的值为 ． 12．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 13．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 14．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 15．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 16．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间）如图所示，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，现将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，在自动刹车前汽车以速度（米秒）匀速运动，通过大数据统计分析得到如表一信息（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 表一 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在 米秒以下． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 18．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式组，并写出它的非负整数解． 19．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程（组）：(1) (2) 20．（24-25八年级上·吉林长春·期中）把下列多项式分解因式： (1) (2)． 21．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 22．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 22．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 23．（23-24七年级下·北京丰台·期末）3月14日是国际数学日，也称“日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）： 根据以上信息，完成下列问题．(1)下列抽取样本的方式中，最合理的是 （填写序号）： ①从七年级的学生中抽取名男生；②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． (2)写出的值，并补全频数分布直方图；(3)这一组对应的扇形的圆心角度数是 ； (4)这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数． 24．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 25．（2025·安徽·七年级专题练习）观察一下等式： 第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：，………………… 按照以上规律，解决下列问题： （1） ；（2）写出第五个式子： ； （3）用含的式子表示一般规律： ； （4）计算（要求写出过程）： 27．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 28．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）【材料阅读】 材料一；如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点，交于点．请判断与有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】（3）如图⑤，平分，且，求的度数． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$