6.3用关系式表示变量之间的关系 课件 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

6.3 用关系式表示的 变量间关系 1.能根据具体情景，用关系式表示变量间的关系，根据关系式解决相关问题;（重点） 2.并会根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系;（重点） 3.通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题的能力.（难点） 学习目标 D B C A 想一想：决定一个三角形的面积的因素有哪些？ 如图，三角形ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？ （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果三角形的底边长为 x（cm） ，那么三角形的面积 y（cm2 ）可以表示为 ． （3）当底边长从12cm 变化到3cm 时，三角形的面积从 cm2变化到 cm2 ． y=3x表示了图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式． 自变量x 关系式 y=3x 因变量y 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，(如y=3x)，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值． 关系式是描述自变量、因变量之间关系的另一种较准确的方式，它不如表格直观，但比表格全面。我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值. x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y … 当△ABC的底边BC上的高是6cm时 ， （1）设三角形的底边长为x（单位：cm），三角形的面积为y（单位：cm2），请填表： （2）你能用含x的式子表示y吗？ 利用表格验证 例 △ABC的底边BC=10 cm，当BC边上的高线AD从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. (1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ (2)△ABC的面积S(cm2)与高h(cm)之间的关系式是什么？ (3)用表格表示当h由4cm变到10cm时(每次增加1cm)，S的相应值. (4)当h每增加1cm时，S如何变化？ 解：(1)因为△ABC的面积随着高的变化而变化，所以高AD是自变量，△ABC的面积是因变量. (2)根据三角形的面积公式就可得：S= = =5h,即S与h之间的关系式是S=5h. (3)当h由4cm变到10cm时，对应的S值如图所示： (4)根据图表就可以得到当h每增加1cm时，S增加5cm2. h/cm 4 5 6 7 8 9 10 S/cm2 20 25 30 35 40 45 50 你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ 其中的字母表示什么？ r h 思考 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． 4cm （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是 什么？ （2）如果圆锥底面半径为r （cm） ，那么圆 锥的体积 V（cm 3 ）与r的关系式为 ． （3）当底面半径由 1 cm 变化到10 cm 时，圆锥 的体积由 cm 3 变化到 cm 3 ． 自变量:圆锥底面半径, 因变量:圆锥的体积 你知道什么是“低碳生活吗”？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。 （1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为_____________。 其中的字母表示________________ （2）在上述关系式中随着用电量的增加，二氧化碳的 排放量是如何变化的． （3）当用电量为100 kW·h时， 二氧化碳的排放量为多少？ 你知道什么是“低碳生活吗”？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。 （4）在上述关系式中，耗电量每增加 1kW·h，二氧化碳排放量增加 ．当耗电量从1kW · h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从 增加到 ． （5）小明家本月用电大约110kW·h、 天然气20m3 、自来水5t、耗油75L， 请你计算一下小明家这几项的二氧 化碳排放量． 求变量之间关系式的“三途径” 1.根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的关系式. 2.利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等. 3.结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如 销量×(售价－进价)=利润等. 课堂小结 当堂检测 1.变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2 时，因变量y的值是( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 2.一块长为5米，宽为2米的长方形木板，现要在长边上截取一边长为x米的一小长方形(如图)，则剩余木板的面积y(平方米)与x(米)之间的关系式为( ) A.y=2x B.y=10－2x C.y=5x D.y=10－5x 3．某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，邮箱中的汽油大约消耗了 ，如果加满后汽车的行驶路程为x千米，邮箱中剩余油量为y升，则y与x之间的关系式是（       ） A．y=0.12x B．y=60+0.12x C．y=-60+0.12x D．y=60-0.12x 4.已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的关系式是（　　） A．y＝4x（x≥0） B．y＝4x﹣3（x≥0） C．y＝3﹣4x（x≥0） D．y＝3﹣4x（0≤x≤0.75） 5.在半径为4的圆中，挖去一个边长为x的正方形，剩下部分面积为y，则关于y与x之间的关系式为( ) A.y=πx2-4y B.y=16π-x2 C.y=16-x2 D.y=x2-4y 6.长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm(其中x＞0)，面积为y cm2，则在这样的长方形中，y与x的关系式可以写为( ) A.y=x2 B.y=(12-x2) C.y=(12-x)x D.y=2(12-x) 7．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费6元，超过3千米后，每超1千米就加收1元．若某人乘出租车行驶的距离为x(x＞3）千米，则需付费用为y元与x（千米）之间的关系式是（    ） A．y=6+x B．y=3+x C．y=6-x D．y=9+x 8.某地海拔高度 h与温度 T 的关系可用 T=21-6h 来表示（其中温度单位为 ℃，海拔高度单位为 km），则该地区某海拔高度为 2 000 m 的山顶上的温度为（ ） A.15 ℃ B.9 ℃ C.3 ℃ D.7 ℃ B 9．已知△BAC的底边BC上的高为8cm，当底边BC从16 cm变化到5 cm时，△BAC的面积(     ) A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2 C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2 10.小明现已存款500元，为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的关系式是（    ） A．Y=20x B．Y=500x C．y=500+20x D．Y=500-20x 11.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为____. 12.在关系式S=40t中,当t=1.5时,S=____. 2 60 13.某公司现年产量为100万件，计划以后每年增加2万件，则年产量y(万件)与年数(x)之间的关系是____________；自变量是____，因变量是____；常量是______. y=2x+100 x y 100 14.（1）若三角形的底边长为x cm，底边上的高为1 cm，则三角形的面积y（cm2）可以表示为　 　；    （2）小彬用40元钱购买5元/件的某种商品，他剩余的钱数为y元，购买的商品件数为x件，y随x的变化而变化.在这个问题中，　　为自变量，　 　为因变量，y随x变化的关系式为　 　.  15. （1）如果一个长方体底面积是20 cm2，高为h cm，那么体积V（cm3）与h（cm）的关系式为　 　；当h=5 cm时，体积V=　 　cm3；   （2）如图所示的程序，当输入x=3时，输出的结果y=　 　.  C 16.张老师带领 x 名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则 y = . 17．三角形的底边是12厘米，当底边上的高h（厘米）变化时，三角形的面积S（平方厘米）也随着高的变化而变化，可用式子表示为： 18．校园里栽下一棵小树高1.8m，以后每年长0.4m，则n年后的树高L与年数n之间的关系式为: 5x+10 S=6h L=0.4n+1.8 19．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：①每户每月的用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；②超过10立方米时，超出部分按每立方米3.8元收费，该市每户居民6月份用水X立方米(X＞10），应交水费y元，则y与x的关系式为; y=3.8X-16 20.某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内所挂的物体的重量x 每增加1 kg ，弹簧长度y增加0.5cm。 x/kg 1 2 3 4 5 …… y/cm 3.5 4 4.5 5 5.5 …… （1）依据上表数据，写出y与x之间的关系式。 y = 3+0.5x （2）当物体的质量为6kg时，根据（1）的关 系式求出弹簧的长度。 21.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为.8cm． （1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4 5 链条的长度/cm       （2）如果x节链条的长度是y，那么y与x之间的关系式是什么？ （3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？ 22. 0.40将长为40 cm、宽为15 cm的长方形白纸，按如图方法黏合起来，黏合部分宽为5 cm. （1）根据上图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度/cm 40 110 145 … （2）设x张白纸黏合后的总长度为y cm，则y与x之间的关系式是什么？ （3）你认为白纸黏合起来总长度可能为2 025 cm吗？为什么？ 23.实验人员为了解某型号汽车的耗油量，在公路上做试验并记录如下： （1）上述问题中，自变量是　 　，因变量是　 ；（2）汽车出发时油箱共有油　 　L，当汽车行驶5 h后，油箱的剩余油量是　 　L；  汽车行驶时间t（h） 0 1 2 3 4 … 油箱剩余油量Q（L） 50 44 38 32 26 … （3）油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式是　 　；  （4）当剩余油量为2 L时，汽车将自动提示加油，则行驶　　小时后汽车将出现该提示.  24.声音在空气中的传播速度v（m/s）与温度t（℃）的关系如下表： （1）写出速度v（m/s）与温度t（℃）间的关系式； t（℃） 1 2 3 4 5 v（m/s） 331+0.6 331+1.2 331+1.8 331+2.4 331+3.0 （2）当t=2.5 ℃时，求声音的传播速度. 25 $$