专题01 二次根式（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式的涵义 题型02二次根式的性质应用 题型03二次根式的乘除运算 题型04最简、同类二次根式 题型05 二次根式混合运算 题型06 二次根式化简求值 题型07 二次根式应用 ( 题型01 )二次根式的涵义 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）若，则 ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若代数式 有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东汕·期末）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 ． 6．（23-24八年级下·广东·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． ( 题型0 2 )二次根式的性质应用 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）化简：（   ） A．25 B． C．5 D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．9 D．15 3．（23-24八年级下·广东·期末）先化简，再求值：已知：，求的值． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）下列算式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东·期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． ( 题型0 3 )二次根式的乘除运算 1．（23-24八年级下·广东湛江·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算： ． 3．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东·期末）已知，，那么与的关系为（     ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东中山·期末）计算 则□中的数是（   ） A．4 B． C．2 D． 7．（23-24八年级下·广东·期末）已知（a﹣）2+＝0，则＝ ． 8．（23-24八年级下·广东·期末）计算：． 9．（23-24八年级下·广东·期末）计算下列各题（1） （2） ( 题型0 4 )最简、同类二次根式 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列各式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 6．（23-24八年级下·广东·期末）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 9．（23-24八年级下·广东湛江·期末）先化简，再求值：，其中． 10．（23-24八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中． 11．（23-24八年级下·广东茂名·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简：． ( 题型0 5 )二次根式混合运算 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（23-24八年级下·广东潮州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东汕头·期末）计算：． 6．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（    ） A． B． C． D．2 7．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算：． 9．（23-24八年级下·广东河源·期末）计算：． 10．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）（1）计算：； （2）． 11．（23-24八年级下·广东·期末）计算： ． 12．（23-24八年级下·广东·期末）已知，，则 ． 13．（23-24八年级下·广东汕头·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D．1 ( 题型0 6 )二次根式化简求值 1．（23-24八年级下·广东阳江·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 2．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·广东·期末）已知 ． (1)求的值； (2)化简并求值：． 4．（23-24八年级下·广东·期末）在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，则 ． ( 题型0 7 )二次根式应用 1．（23-24八年级下·广东茂名·期末）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 ． 2．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期末）一个矩形的长为，宽为． (1)该矩形的面积＝______，周长＝______； (2)求的值． 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2) 如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于3，求的取值范围； (3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，分别是的整数部分和小数部分． (1)分别写出，的值； (2)求的值． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为 ． 5．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 6．（23-24八年级下·广东·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） ． 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)已知是的三条边长，且满足，请判断形状，并说明理由． (2)已知，求多项式的值． 7．（23-24八年级下·广东·期末）【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：______； （2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 【拓展应用】 （4）求的最大值． 8．（23-24八年级下·广东·期末）小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ． 9．（23-24八年级下·广东·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； (3)化简，请直接写出结果． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式的涵义 题型02二次根式的性质应用 题型03二次根式的乘除运算 题型04最简、同类二次根式 题型05 二次根式混合运算 题型06 二次根式化简求值 题型07 二次根式应用 ( 题型01 )二次根式的涵义 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，正确得出的值是解题关键． 直接利用二次根式有意义，则根号下部分不小于零，进而解不等式组得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故， 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若代数式 有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，根据二次根式的意义得出，从而可得答案； 【详解】解：要使代数式有意义， ∴， 解得：． 故选D． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 5．（23-24八年级下·广东汕·期末）已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 ． 【答案】3（小于4的实数都可） 【分析】本题主要考查了二次根式无意义的条件，根据二次根式无意义的条件是被开方数小于0就行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内没有意义， ∴，即， ∴符合题意的x值可以为3， 故答案为：3（小于4的实数都可）， 6．（23-24八年级下·广东·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可． 【详解】∵式子有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：． ( 题型0 2 )二次根式的性质应用 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）化简：（   ） A．25 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据二次根式的性质开根即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴当时，，即为整数， 故选：B ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】 【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）下列算式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质、及立方根的意义，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不能合并，原计算错误，不符合题意； B．，计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24八年级下·广东·期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ( 题型0 3 )二次根式的乘除运算 1．（23-24八年级下·广东湛江·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法，先求得的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，， ∴ ． 故答案为：9． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质，平方差公式，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根的乘法运算．先对二次根式进行化简，再根据乘法分配律利用二次根式乘法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东·期末）已知，，那么与的关系为（     ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根 【答案】B 【分析】求出ab的值，利用倒数定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴a与b的关系是互为倒数． 故选：B． 【点睛】此题考查了倒数的定义、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简和除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的性质和除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 6．（23-24八年级下·广东中山·期末）计算 则□中的数是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法．熟练掌握二次根式的除法运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知 ，， 故选：C． 7．（23-24八年级下·广东·期末）已知（a﹣）2+＝0，则＝ ． 【答案】- 【分析】观察可以看出，两个未知数的值都没有给出，而是隐含在已知条件中，根据已知等式和算术平方根与平方的非负性.我们可以得出各个加数均为零，从而求出各个未知数的值，代入即可求出所求代数式的值. 【详解】∵， ∴a＝ 、b＝﹣1， 则， 故答案为 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、平方具有非负性的知识点的运用. 8．（23-24八年级下·广东·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了立方根及二次根式的乘除运算．根据立方根的定义，二次根式的乘除法则先化简，再进行合并即可得到结果． 【详解】解： ． 9．（23-24八年级下·广东·期末）计算下列各题（1） （2） 【答案】（1）8；（2）-10 【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求解； （2）根据平方差公式即可求解. 【详解】解： (1)原式＝－1＋9＝8；   (2)原式＝2－12＝－10 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则. ( 题型0 4 )最简、同类二次根式 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：．，则不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，则不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列各式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键．根据最简二次根式的定义进行作答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把各选项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、与不是同类二次根式； D、，与不是同类二次根式， 故选：B． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类二次根式．熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 根据是同类二次根式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为：1． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，根据定义建立方程求解即可． 【详解】解： 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：2． 6．（23-24八年级下·广东·期末）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键． 化简至最简二次根式，比较被开方数是否一样即可． 【详解】解：A、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； B、，不可以与进行合并，故本选项符合题意； C、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； D、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（23-24八年级下·广东·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 8．（23-24八年级下·广东·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】将各个选项化简为最简二次根式即可进行解答． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故B不符合题意； C．，与是同类二次根式，故C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． 9．（23-24八年级下·广东湛江·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．（23-24八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，先对括号内的分式通分，再计算括号外的除法，化简之后将x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 11．（23-24八年级下·广东茂名·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意进行求解即可． 【详解】解； ． ( 题型0 5 )二次根式混合运算 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算即可． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算计算即可； （2）先运用平方差公式展开，分式的除法运算得到，最后再根据实数的混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据二次根式的除法、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （3）先化简每个二次根式，再合并同类项二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（23-24八年级下·广东潮州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选B． 5．（23-24八年级下·广东汕头·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式性质，先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加法，根据矩形周长公式，即可解答． 【详解】解： 矩形周长为：， 需铁丝的长度为． 故选：C． 7．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法，减法，乘法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式、二次根式的乘法法则进行计算，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 9．（23-24八年级下·广东河源·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据立方根定义，二次根式混合运算法则，分母有理化方法，进行解答即可． 【详解】解： ． 10．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）（1）计算：； （2）． 【答案】（1）2；（2）1 【分析】本题考查了实数的混合运算．熟练掌握立方根的意义，二次根式性质，平方差公式，实数的加减，是解题的关键． （1）根据立方根意义，二次根式性质化简，再加减，即得； （2）根据平方差公式展开，乘方后相减，即得． 【详解】（1） ； （2） ． 11．（23-24八年级下·广东·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，用完全平方公式把括号里面的展开，再用和平方差公式即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12．（23-24八年级下·广东·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·广东汕头·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． ( 题型0 6 )二次根式化简求值 1．（23-24八年级下·广东阳江·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算与化简求值： （1）原式先把括号内的二次根式进行化简，然后再进行乘法运算即可； （2）原式先计算，再把变形为，然后再整体代入计算即可 【详解】解：（1） ． （2）由题意得， ． 2．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 3．（23-24八年级下·广东·期末）已知 ． (1)求的值； (2)化简并求值：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、分式的化简求值、二次根式的分母有理化； （1）先将a化简，然后通过配方法将原式化简，最后代入a求值． （2）将原式先化简，然后代入a的值求解． 【详解】（1）解： ， ； （2）， ， ， ， ， 将代入得：原式 ． 4．（23-24八年级下·广东·期末）在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 【详解】（1）原式 ； （2） ． ． 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据、的值，可以求得、和的值，然后将所求式子变形，再将、和的值代入计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． ( 题型0 7 )二次根式应用 1．（23-24八年级下·广东茂名·期末）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键明确长方形的面积长宽．根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案； （2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 由海伦公式，得； （2）解：∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式，得． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期末）一个矩形的长为，宽为． (1)该矩形的面积＝______，周长＝______； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可； （2）先求出和的值，再利用完全平方公式将原式变形为：，然后将和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积：， 矩形的周长：． 故答案为：；． （2）由（1）得：，， ． ． ∴的值是22． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，考查了完全平方公式和平方差公式等知识．正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键． 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， （2）矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． （3）当时 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2) 如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于3，求的取值范围； (3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) (3)当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时， 【分析】（1）由非负性可求，的值，由三角形的面积公式可求点坐标； （2）由平移得出，求出，根据，结合，得出，求出，根据，结合的面积大于3，得出，求出m的范围即可； （3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， 点坐标为； （2）解：如图，连接， 将线段平移到，点的坐标为，， ∴线段向左平移5个单位， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∵ ， ∵的面积大于3， ∴， 解得：， ∵为线段上一点， ∴ ∴． （3）解：如图，当点在点的下方时，延长交于， 将线段平移到， ，， ， ， ， ， ； 如图，当点在的上方、的延长线与轴的交点下方时，延长交于点， 将线段平移到， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线与轴的交点上方时， ， 又， ， 由对顶角得， ， ， ， 综上所述：当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，坐标与图形，平行线的性质，三角形外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，分别是的整数部分和小数部分． (1)分别写出，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）先求出范围，即可求出、； （）把的值代入求出即可； 本题考查了估算无理数的大小和二次根式的混合运算，正确估算及掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴， ∴，； （2）由（）得：，， ∴原式 ， ． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是将所求式子利用完全平方公式分解，再整体代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 5．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． （2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 6．（23-24八年级下·广东·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） ． 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)已知是的三条边长，且满足，请判断形状，并说明理由． (2)已知，求多项式的值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析； (2)2 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，平方差公式以及二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法，完全平方公式，平方差公式的运用是解题的关键． （1）对因式分解得，由此得到，是等腰三角形； （2）先利用完全平方公式和平方差公式对多项式进行因式分解，然后代入求值即可； 【详解】（1） ， 由于是的三条边长，且满足， ， ， 是等腰三角形． （2） ， 原式 7．（23-24八年级下·广东·期末）【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：______； （2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 【拓展应用】 （4）求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）最大值是 【分析】本题考查了分母有理化运算、二次根式的非负性及解不等式组． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）把分子分母同乘以即可解决； （4）先求出，把化为形式，确定最大值即可． 【详解】解：（1） 的有理化因式是， 故答案为：； （2）：， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）由题意得：， 解得：， ， 当时，值最大，即值最大， 此时， 的最大值是． 8．（23-24八年级下·广东·期末）小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ． 【答案】39 【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·广东·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； (3)化简，请直接写出结果． 【答案】(1)， (2)13或7 (3) 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； （3）令，m，n均为正整数，仿照（2）中作法求出m和n的值，再利用二次根式性质化简得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； （3）解：令，m，n均为正整数， ， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，，与矛盾，不合题意， 当，时，，符合题意， ， ． 29 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$