专题03 平行四边形（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质——求角、边 题型02平行四边形的性质——求证 题型03平行四边形的判定 题型04平行四边形性质与判定综合 题型05中位线的应用 题型06矩形的性质 题型07矩形的判定 题型08折叠问题 题型09菱形的性质与判定 题型10正方形的性质与判定 题型11动点问题 SHAPE \* MERGEFORMAT 平行四边形的性质——求角、边 1．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片 中， ，将纸片沿对角线 对折至 ，交 边于点E，此时 恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得 为等边三角形，再由四边形 为平行四边形，且 ，从而知道 ，A，B三点在同一条直线上，再由 是对称轴，所以 垂直且平分 ， ，求 边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵ 恰为等边三角形， ∴ ∴ 为等边三角形， 由四边形 为平行四边形，且 ， ∴ ，所以 ， ， ∴ ，A，B三点在同一条直线上， ∵ 是对折线， ∴ 垂直且平分 ， ∴ ， 过点C作 ， 则有 ， ∴ ， ∴ ， ∴折叠重合部分的面积是 ． 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简 的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，二次根式的乘除法，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理，二次根式的性质． 由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得 ，因此 ， ，即可化简 ． 【详解】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得： ， ， ， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形 中， ，若 ， ，则 的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得 ， ，再由勾股定理求出 的长即可得解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， ，点E是 中点，作 于点F，已知 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算 、 的长度，利用三角形面积公式求得 ，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接 ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 是 中点， ， ， ， ， 即 ， ∴ ， 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·广东潮州·期末）如图， 在平行四边形 中， ， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选A． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平行四边形 中， ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得 ，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 7．（23-24八年级下·广东汕头·期末）在平行四边形 中， ， ，延长 至 ，延长 至 ，连接 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理．熟练掌握平行四边形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理是解题的关键． 由平行四边形 ，可得 ，则 ，根据 ，计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 8．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在 中，已知 ， 平分 交 边于点E，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得到 是等腰三角形，进而求出 ，再求得 的长即可． 【详解】解：在 中， ， ∴ ， ∵ 平分 交 边于点E， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 9．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在 中， 于点E， 于点F．若 ，且 的周长为40，则 的面积为（    ） A．48 B．36 C．40 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得 ，再由平行四边形的面积公式可得 ，可求出 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ 的周长为40， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 故选：A 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意； B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意； D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意； 故选：D SHAPE \* MERGEFORMAT 平行四边形的性质——求证 1．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 EMBED Equation.DSMT4 中，已知 ． (1)实践与操作：作 的平分线交 于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的画法、平行四边形的性质等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交 、 于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接交点与点A交 于点E，AE即为所求； （2）先根据平行四边形的性质得出 ，得出 ，由角平分线的性质得出 ，所以 ，即可证明． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）相等，证明如下： ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图， 、 为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证： ． 【答案】(1) （答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由题意添加条件即可； （2）由平行四边形的性质得 ，则 ，再证明 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件： ， 故答案为： （答案不唯一）； （2）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形．熟知平行四边形的性质是解题的关键．平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等． 根据平行四边形性质逐一判断，即得． 【详解】A． ； ∵ 中， ， ∴A选项不正确； B． ； ∵ 中， ， ∴B选项正确； C． ； ∵ 中， ， ∴ ， ∴C选项不正确； D． ； ∵ 中， ， ∴D选项不正确． 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形 中，点H是边 上一点，连接 ． (1)尺规作图：请作出 的角平分线，分别交 于点G、E，交 的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段 的中点，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD、CD于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于∠ADC内部一点，连接此点与点D，分别交 于点G、E，交 的延长线于点F． （2）利用平行四边形的性质得到AB=CD，∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG，证明△FGH≌△DGC，得到FH=CD=AB，由此得到结论． 【详解】（1）解：如图，DF即为所求； （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG， ∵G是CH的中点， ∴HG=CG， ∴△FGH≌△DGC， ∴FH=CD=AB， ∴FB+BH=AH+BH， ∴BF=AH． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，作角的平分线，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东东莞·期末）如图，在▱ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，若∠BCN＝∠DAM．求证：BN＝DM． 【答案】详见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，BC＝DA，然后利用ASA即可证出 ≌ ,从而证出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，BC＝DA， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ASA）， ∴BN＝DM． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质,掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形 ，下列条件能判定四边形 为平行四边形的是（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形 为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形 中， 交 于点O，O为 中点，下列条件能判断四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵O为 的中点， ∴ ， ∵ ∴四边形 是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形 是平行四边形， 故选：A 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）在四边形 中， ，要使四边形 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】根据题意，作图如下； A、平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意； B、 EMBED Equation.DSMT4 ， ，四边形 为平行四边形； C、无法判定四边形 为平行四边形，故选项错误； D、 EMBED Equation.DSMT4 ，与题干重复，无法判定四边形 为平行四边形，选项错误； 故选：B 4．（23-24八年级下·广东·期末）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、 ， 四边形不是平行四边形，不符合题意； B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意； C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意； D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段 与 相交于点 ，分别过点 ， 作 的垂线，垂足分别为 ， ，且 ， ，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形 为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．先用 证明 得 ， ．再根据 得出 ，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】证明： ， ， ． 在 与 中， ， ． ， ． 又 ， ． ． 又 ， 四边形 是平行四边形． 6．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是 内一点，连接 ，并将 的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形 ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)如果 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 的长是 ． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是 的中点，根据三角形中位线定理得 ，且 ，即可证明四边形 是平行四边形； （2）作 于点G，因为 ，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得 ， ，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是 的中点， ∴ ，且 ， ，且 ， ∴ ，且 ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：作 于点G，则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长是 ． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，点 是 内一点，连接 、 ，线段 、 、 、 的中点分别为 、 、 、 ． (1)判断四边形 的形状，并说明理由； (2)若 为 的中点， ， 和 互余，求线段 的长． 【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质； （1）根据三角形中位线定理得到 , 进而推出 , 最后根据平行四边形的判定证明四边形 是平行四边形； （2）根据互余的性质得 , 再根据三角形内角和等于 得到 的度数，再根据直角三角形斜边上的中线定理可求得 ，最后即可求出 的长度． 【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由为： ∵ 分别为线段 的中点， ， ∵ 分别为 的中点， ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：∵ 和 互余， ∴ ， 则在 中， ∴ ， 在 中， ∵ 为 的中点, ， ∴ ， ∴ ． 8．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， ， ，以线段 为边在 上方作等边 ，点F是线段 的中点，连接 ． (1)若 ，求 的长； (2)求证：四边形 是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设 ，则 ，然后根据勾股定理求出x的值即可求解； （2）由等边三角形的性质得出 ， ，得出 ，然后证明 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：设 在 中， ， ， ∴ ∴ ∴ 解得 ， （舍去） ∴ ∴ ∵ 是等边三角形 ∴ （2）∵ 是等边三角形 ∴ ， ∵点F是线段AD的中点 ∴ 在 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴四边形 是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明 是本题的关键． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图， 在四边形 中， 对角线 与 相交于点 O， 垂足分别为E，F， ． (1)求证： 四边形 是平行四边形． (2)若 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定分别进行判断即可； （2）由平行四边形的性质和勾股定理求出 的长，即可解决问题． 【详解】（1） ， ， ， 在 和 中， ， ， ∴ ， 四边形 是平行四边形； （2） 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 平行四边形性质与判定综合 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形 中， 是 的中点，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则平行四边形 的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质得出 ， ， ， ，根据 ，得出 ，即可判断②正确；取 的中点N，连接 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，证明 ，根据等腰三角形的性质得出 ， ，求出 ，即可判断①正确；根据平行线的性质得出 ，根据 ，得出 ，证明 ，即可判断③正确；求出 ，根据平行四边形的性质得出 ，判断④错误． 【详解】解：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ ，故②正确； 取 的中点N，连接 ，如图所示： 则 ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故①正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ，故③正确； ∵ ， ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行四边形的判定和性质． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图， 四边形 中， ， ， ， ， ， 则 的长为（       ）    A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长 ，过点C作 ，交 于点E，证明四边形 为平行四边形，得出 ， ，证明 ，根据勾股定理得出 ，即可得出结果． 【详解】解：延长 ，过点C作 ，交 于点E，如图所示：    ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴根据勾股定理得： ， ∴ ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 如图，在 中，点E，F是对角线 所在直线上的两个不同的点（不在线段 上）， 与 相交于点O．    (1)下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形 是平行四边形的条件，并写出证明过程； (2)若四边形 是平行四边形， 且 ， 的面积为5， 求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）选定一个条件，然后运用平行线的判定与性质即可解答； （2）根据平行线的性质可得及已知条件可得 ，然后根据三角形中线的性质即可解答． 【详解】（1）解：方法1：我选①，证明如下： ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ，即 ∴ ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形． 方法2：我选③.证明如下： ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形． （2）解：∵四边形 和四边形 都是平行四边形， ∴ ， ∴ ，即 . 又∵ ， ∴ . EMBED Equation.DSMT4 ． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是 对角线 上的两点．      (1)若 ，求证：四边形 是平行四边形； (2)若 ， ，垂足分别为E、F， ，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 交 于O，根据 ，得 ， ，继可证得 ，即可由平行四边形的判定定理得出结论． （2）先由 ， ，得出 ， ，再证 ，得 ，从而证得四边形 是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得 ． 【详解】（1）证明：连接 交 于O，      ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形． （2）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形 ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 中，点E、F在对角线 上，且 ． 求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．连接 交 于 ，则可知 ， ，又 ，所以 ，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：连接 交 于 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 即 ． ∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 6．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，在 中， ，E，F分别是 的中点，延长 到点D，使得 ，连接 ， 交 于点O． (1)证明： 与 互相平分； (2)如果 ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) ． 【分析】本题考查勾股定理及三角形中位线定理和平行四边形的判断与性质． （1）根据题意利用三角形中位线定理：三角形得中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即 ，且 ， 平行且相等 ，根据平行四边形的判定即可得出证明． （2）由（1）可知 为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，及勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ 与 互相平分． （2）解：在 中， ， ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ． 7．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，已知 分别是 的边 上的点，且 ． 求证： (1)四边形 是平行四边形； (2) ． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（ ）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证； （ ）利用 即可证明 ； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ． SHAPE \* MERGEFORMAT 中位线的应用 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 是边 中点，连接 ． 若 的长为6， 的周长为10，则 的周长是（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的中位线的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到 是 的中点，进而得到 为 的中位线，再进一步即可得解． 【详解】解：∵ 的对角线 相交于点O， ∴ ， ， ， ， ∵点E是 中点， ∴ ， ∵ 的周长 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长 ； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形中位线的应用，平行线的性质．根据三角形内角和是 求出 ，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边可得 ，根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵点 、 分别是边 、 的中点， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图， 中， ， ，点 是 的中点，若 平分 ，求线段 的值． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，延长 交 于 ，证明 ，得出 ， ，计算出 ，再由三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：如图，延长 交 于 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点 是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ． 4．（23-24八年级下·广东东莞·期末）如图， 分别是 的边 的中点． (1)写出 与 的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)作图与证明：添加辅助线作图并证明（1）中的结论（可选用但不限于以下辅助线的作法“延长 至点 ，使得 ，连接 ”）． 【答案】(1) ， ； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出 是 的中位线，即可得解； （2）延长 至点 ，使得 ，连接 ．证明四边形 是平行四边形，得出 ，再证明四边形 是平行四边形．得出 ．即可得证． 【详解】（1）解：∵ 分别是 的边 的中点 ∴ 是 的中位线， ∴ ， ； （2）证明：如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ． ， ∵ 分别是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ． ∴ ． ∴四边形 是平行四边形． ∴ ． 又： ， ∴ ，且 ． 5．（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， ， ， 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 ，连接 ，证明：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为 ， 分别是边 ， 的中点，根据中位线的性质得出，得出 ， ，同理得出 ， ，从而得出 ，由平行公理的推论得出 ，即可得出结论． 【详解】解： ， 分别是边 ， 的中点， ∴ ， ， ∵ ， 分别是边 ， 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接到达A、B的点C，连接 ，分别在线段 上取中点D、E，连接 ，测得 ，则可得A、B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质的应用，根据三角形中位线的性质得到 即可求解即可． 【详解】解：根据题意，点D、E分别是线段 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：C． 7．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点间的距离，同学们在 外选择一点C， 测得 ， ， ， 两边中点的距离 ， 则A， B两点间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，理解并熟练运用中位线定理是解题关键． 【详解】解：∵点D，E是 ， 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， 故选C． SHAPE \* MERGEFORMAT 矩形的性质 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图， 为长方形 的对角线， 平分 ，若 ，则 °． 【答案】 【分析】根据长方形的性质得 ， ，则 ，根据 得 ，根据 平分 ，得 ，根据三角形的内角和定理得 ． 【详解】解：∵四边形 是长方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了长方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角和定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 2．（23-24八年级下·广东·期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：矩形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分且相等；四个角都相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角相等； 故矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在矩形 中， 相交于点O， 平分 交 于点E，若 ，则 的度数为 ． 【答案】 /75度 【分析】本题考查了矩形的综合题，根据矩形的性质和角平分线得 是等腰三角形，根据角之间的关系得 是等边三角形，根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形 中， 分别是 上的点， 分别是 的中点， ， ，则线段 的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接 ，利用勾股定理解得 的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接 ，如下图， ∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ， ， ∴在 中， ， ∵ 分别是 的中点， ∴ ． 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·广东东莞·期末）如图，在矩形 中，对角线 交于点 ， 分别为 的中点．若 ，则 的长为 ．    【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，由三角形中位线定理得出 ，再由矩形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵ 分别为 的中点 ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 6．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图，在矩形 中，E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ，且G，H分别是 ， 的中点，已知 ，则 的长为（      ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质． 根据矩形的性质得到 ， ，从而根据勾股定理得到 ， ，即 ，最后根据三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：连接 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∵E，F分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∵且G，H分别是 ， 的中点， ∴ ． 故选：B 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）若矩形的面积为12，长和宽的比为 ，则矩形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及求平方根，熟练求解平方根是解题的关键，设这个矩形的长为 ，宽为 ，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个矩形的长为 ，宽为 ，由题意可得： ，即 ， 解得： ， ∵ ， ∴ ， ∴该矩形的长为： ，宽为： ． ∴该矩形的周长为 故答案为： ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ，且 平分 ． (1)连接 ， ，求证 ； (2)尺规作图：作 的平分线 交 于点G，连接 ． ①求证 ； ②若 ， ，求 和 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析，证明见解析；② 【分析】（1）先根据矩形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ， ，从而可得 ，然后证出 ，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据角平分线的尺规作图的方法作 的平分线 ，再交 于点G，连接 即可；先证出 ，再证出 ，从而可得 ，然后证出 是等腰直角三角形，由此即可得证； ②先利用勾股定理求出 ，再延长 ，交于点 ，证出 是等腰三角形，然后利用等腰三角形的三线合一可得 ，利用直角三角形的性质即可得 的长，利用 的面积公式即可得 的长． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ， ∵四边形 和四边形 都是矩形， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：①尺规作图如下： 由（1）已证： ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 和四边形 都是矩形， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． ②设 ， 则 ， 解得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 如图，延长 ，交于点 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，点 是 的中点， 则在 中， ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 的坐标分别为 ， ， ，则点 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，可证 ，得到 ， ，进而由点 的坐标得到 ， ，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，则 ， ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵点 的坐标分别为 ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴点 的坐标为 ， 故选：C． 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中， ，点 是 的中点， ，则 的度数为 ． 【答案】 /35度 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 三角形内角和定理，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出 ， 根据等边对等角可得出 ， 根据三角形内角和可得出 ，最后再利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：∵在 中， ， 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， 故答案为： 11．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在 中， ， ， 是 的中点，则 的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由勾股定理得， ，由 ， 是 的中点，可得 ． 【详解】解：由勾股定理得， ， ∵ ， 是 的中点， ∴ ， 故选：C． 12．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在如图网格中，每个小正方形的边长为1， 的三个顶点都在格点上． (1)请判断 的形状，并说明理由； (2)若点 为 的中点，则线段 的长为__________． 【答案】(1) 为直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及其逆定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理和网格的特点求出三边长，然后根据勾股定理逆定理判断三角形形状即可； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】（1）解： 为直角三角形；理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形； （2）解：∵ ， 为直角三角形，点 为 的中点， ∴ ． SHAPE \* MERGEFORMAT 矩形的判定 1．（23-24八年级下·广东·期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是关键． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选C． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末） 的对角线交于点O，若添加一个条件，不能判断四边形 是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定方法．根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：A、添加 ，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能判断四边形 是矩形，故本选项符合题意； B、添加 ，由于 ，则 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判断四边形 是矩形，故本选项不符合题意； C、添加 ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能判断四边形 是矩形，故本选项不符合题意； D、添加 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判断四边形 是矩形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平行四边形 中， 平分 ， 平分 ． (1)求证： ； (2)若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形 是矩形，见解析 【分析】（1）由平行四边形 ， 平分 ， 平分 ，可得 ， ， ， ， ，则 ， ，进而可证 ； （2）由 ，可得 ， ，由平行四边形 ，可得 ，则 ，证明四边形 是平行四边形，由 ， 平分 ，可得 ，即 ，进而可得四边形 是矩形． 【详解】（1）证明：∵平行四边形 ， 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ； （2）解：四边形 是矩形，理由如下； ∵ ， ∴ ， ， ∵平行四边形 ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， 平分 ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点O，已知O是 的中点， ， ． (1)求证： ； (2)当 时，证明四边形 是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定以及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出 ， ，再利用 即可得证； （2）根据全等三角形的性质和中点的定义可得出 ， ，再根据对角线相等且互相平分的四边形为矩形即可得证． 【详解】（1）证明： EMBED Equation.DSMT4 ， 在 和 中 ； （2） EMBED Equation.DSMT4 O是 的中点 EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是矩形． 5．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在 中， 是 边上的中点，过点 作一条直线，交 的平分线于点 ，交外角 的平分线于点 ．当 时，四边形 的形状是 ． 【答案】矩形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形 为平行四边形和 ． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形 为平行四边形，再证明 ，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵ 是 边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形 是平行四边形， 平分 ， 同理， ， 四边形 是矩形． 故答案为：矩形． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平行四边形 中，过点 作 交 边于点 ，点 在边 上，且 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 平分 ，且 ， ，求线段 的长． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】（ ）首先证明 ， ，推出四边形 是平行四边形，再证明 即可解决问题； （ ）分别在 ， 中，利用勾股定理求出 即可； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ，即有 ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形． （2）解：∵ 平分 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ． 7．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形 中，已知 ，点 为 边的中点，点 为 边的中点，延长 交于点 ． (1)求证：四边形 为矩形； (2)若 ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据 判定四边形 为平行四边形， ，结合 ，得到 ，继而得证四边形 为矩形． （2）先证明 ，得到 ，结合点 为 边的中点，可以得到 ，继而得到 ，结合 ， ， ，可证 ，继而得到 ，利用勾股定理，得 ，根据矩形的面积公式计算四边形 的面积即可． 【详解】（1）∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为矩形． （2）∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ， ∴ ； ∵点 为 边的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 为 边的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 的面积 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和勾股定理是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 折叠问题 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，已知矩形 沿着直线 折叠，使点C落在 处， 交 于E， ，则 的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设 ，则 ．先根据折叠的性质和平行线的性质，得 ，则 ，然后在直角三角形 中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设 ，则 ． 根据折叠的性质，得 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在直角三角形 中，根据勾股定理，得 ， 解得 ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在矩形 中， ， ，将 沿 折叠，点B对应点为点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠问题．熟记矩形及折叠的性质是解题关键．根据折叠及矩形的性质可证 ，得 ；设 ，则 ，在 中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠及矩形的性质可知： ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中： ， ， 解得： ， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．若 与 交点为 ， ，则 （   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出 ，得到 ，进而证明 ，得 即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， 由折叠可知：直线 是线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ 对折至 ，折痕为 ， ∴ ， ∴ ， 故选： ． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠前后对应边相等，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 由折叠可知， ， ，根据勾股定理得出 ，进而得出 ，设 ，则 ，根据勾股定理可得： ，列出方程求出x的值即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， 由折叠可知， ， ， ∴在 中， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理可得： ， 即 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：3． 5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，四边形 是矩形，E是边 上一动点，将 沿直线 折叠，点A落在点 处，连接 并延长，交边 于点F， ， 的面积是 ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形面积公式，由矩形的性质结合轴对称的性质得出 ，推出 ，得到 ，由轴对称的性质，得 ， ， ．设 ，则 ，求出 ，再由三角形面积公式计算即可得出答案，灵活利用矩形的性质、轴对称的性质和直角三角形的性质解决问题是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ． ∴ ． 由轴对称的性质，得 ， ∴ ． ∴ ． ∴ ， 由轴对称的性质，得 ， ， ． 设 ，则 ． ∵ ， ∴ ． 由勾股定理，得 ． ∵ 的面积是 ， ∴ ，即 ， 解得 负值舍去． ∴ ． 故答案为： ． 6．（23-24八年级下·广东潮州·期末）在矩形 中， ，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落在点 处，当点 落在矩形对角线 上时，则 的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理．熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质得出 ， ， ，得出 ， ，设 ，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵矩形 ∴ 在 中，由勾股定理得： ， 由折叠的性质得： ， ， ， ， ， 设 ， 则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 即： ， 解得： ， 的长为3． 故答案为：3． SHAPE \* MERGEFORMAT 菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广东·期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为 ，则它的两条对边的距离应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键．设最外层菱形为菱形 ，它的对角线 、 相交于点 ， ， ，由 ，得 ，而 ， ，所以 ，设菱形 两条对边的距离 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ，解方程求出 的值即得到问题的答案． 【详解】解：如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， 设菱形 两条对边的距离 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 解得 ， 它的两条对边的距离应为 ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，四边形 是菱形， ， ， 于点E，则 的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 由菱形的性质和勾股定理求出 ，再由菱形的面积求出 即可． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∵ ， ∴菱形 的面积 ，即： ， ∴ ； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图在四边形 中， ， ，过点A作 ，垂足为E，连接 ， 平分 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)过点D作 的垂线，分别交 于点F、G，若 ， ，求菱形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明 是平行四边形，再证明 ，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到 ， ，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得 、 、 即可求解． 【详解】（1）证明：∵在四边形 中， ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴菱形 的面积为 ． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 4．（23-24八年级下·广东·期末）下列命题正确的是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形 中， ，则 的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解： 在菱形 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：D． 6．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图，在菱形 中，对角线 交于点O，若 ，若 ，则 的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质以及已知条件可判定 等边三角形，即得出 ，进而根据菱形的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形 中，对角线 交于点O，若 ， ∴ ， ， ， ， ∴ 等边三角形， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 7．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ，过点 作 ，过点 作 交 于点 ，则四边形 的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角是解题的关键．先证明四边形 是平行四边形，再根据菱形性质得出 ， ， ，然后证明四边形 是矩形，最后根据矩形的面积公式求出结果即可． 【详解】解： ， ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ∴四边形 的面积为 ． 故选：B． 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形 中， 分别是边 上的动点，连接 ， ， 分别为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，根据垂线段最短，得出当 时， 最小，求出 的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接 ，如图所示： 四边形 是菱形， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 是 的中位线， ， 当 时， 最小， 得到最小值， 则此时 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ，（负值舍去） ∴ ， 即 的最小值为 ， 故选：D． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，菱形 的顶点 坐标为 ，顶点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，根据菱形的性质，可得 ，进而即可求得顶点 的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【详解】解：∵菱形 的顶点 坐标为 ， ∴ ， ∴顶点 的坐标为 ． 故选：A． 10．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两直线相交于点 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ，则菱形 的面积是________（直接写答案）． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质以及菱形面积的计算，属于常考题型，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得 ，即 ，根据 ， 可得四边形 是平行四边形，进一步即可推出结论； （2）根据菱形的性质可得 ， ，根据矩形的性质可得 ， ，于是可得 和 的长，再根据菱形面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形， ∴ ，即 ． ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是矩形； （2）解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∵四边形 矩形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴菱形 的面积 ． 故答案为：4． 11．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中， ， 为 的中点， ， ． (1)判断四边形 的形状、并说明理由； (2)若 ， ，求四边形 的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形 是平行四边形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得出 ，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出四边形 是菱形； （2）根据 ， ，得出 并计算，根据菱形的性质，得出 ，根据四边形 的面积 ，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵在 中， ， 为 的中点， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）解：∵在 中， ， 为 的中点， ， ， ∴ ， ， ∴ 和 等底同高， ∴ ， ∵由（1）得四边形 是菱形， ∴ ， ∴四边形 的面积 ． 12．（23-24八年级下·广东潮州·期末）下列选项中，菱形一定具有的性质是（   ） A．四个内角都相等 B．对角线互相垂直 C．至少有一个内角是 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，进行判断即可． 【详解】解：菱形的对角相等，对角线互相垂直且平分，四条边都相等； 故选B． 13．（23-24八年级下·广东惠州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解： 矩形和菱形是平行四边形， 矩形和菱形都具有对角线互相平分，对角相等， ∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等， ∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质． 故选：A． 14．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，下列条件能使平行四边形 是菱形的为（       ） ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可． 【详解】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形 是菱形，①满足题意； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形 是矩形，②不满足题意； ③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形 是菱形，③满足题意； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形 是矩形，④不满足题意； 故满足题意的有①③； 故选：A． 15．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形 是平行四边形， 是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形 是矩形的是 （   ） A． B． C． D． 平分 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 四边形 是平行四边形， ，能判定四边形 是矩形，故选项符合题意； B. 四边形 是平行四边形， ，能判定四边形 是菱形，故选项不符合题意； C. 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形，选项不符合题意； D. 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 四边形 是菱形，故选项不符合题意； 故选：A． 16．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形 是平行四边形． (1)尺规作图：在线段 上作点 ，使 ；作 的角平分线，交 于点 ，连接 ； (2)求证：四边形 是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以 为圆心 为半径画弧交 于 ，作 的角平分线交 于点 ，连接 即可； （2）由四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，由 是 的平分线，可得 ，则 ，证明四边形 是平行四边形，由 ，可证四边形 是菱形． 【详解】（1）解：作图如下； （2）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形． 【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定是解题的关键． 17．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，点O为平行四边形 的对称中心，经过点O的直线交边 于点M，交 的延长线于点E，交边 于点N，交 的延长线于点F． (1)若 ， ， ，求 的长； (2)连接 、 ，判断四边形 的形状，并证明； (3)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出 ，根据勾股定理得出 ，根据中心对称的性质得出 ； （2）证明 ，得出 ，证明四边形 为平行四边形，得出 垂直平分 ，证明四边形 为菱形； （3）证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵点O为平行四边形 的对称中心， ∴ ； （2）解：四边形 为菱形，理由如下： ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为菱形； （3）证明：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 根据解析（2）可知： ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中， ，D为边 的中点， ， ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ， ，求四边形 的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出四边形 是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得 的长，从而可得 的长，再根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵在 中， ， 为边 的中点， ∴ ， ∴四边形 是菱形． （2）解：∵在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∵ 为边 的中点， ∴ ， 则四边形 的周长为 ． 19．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形 中， ，动点P从点A出发，沿 以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿 以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为 ． (1)若P，Q两点同时出发，当四边形 是矩形时，求t的值； (2)若点P先出发 ，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形 为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 秒 (2)存在 秒，使得四边形 为菱形 【分析】该题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形 是矩形，即可得出 ，表示出 ， ，当四边形 是矩形时，列出方程求解即可； （2）当点Q的运动 时，表示出 ，当 时，解出 秒，此时得出 ，即可得四边形 为菱形，故存在 ，使得四边形 为菱形． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， 当点Q的运动 时， ， 则 ， 当四边形 是矩形时，则 ， 即 ， 解得： 秒； （2）解：当点Q的运动 时， ， 当 时， 即 ，解得： 秒， 此时 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， 又 ， ∴四边形 为菱形， 故存在 秒，使得四边形 为菱形． 20．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图， ， 平分 ，且交 于点C， 平分 ，且交 于点D，连接 ． (1)求证：四边形 是菱形． (2)若 ， ，求 ， 的长． 【答案】(1)见解析 (2) ， 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定、含 度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线定义得出 ，证出 ，同理： ，得出 ，证出四边形 是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出 ， ，再由勾股定理即可得出 和 的长． 【详解】（1）证明: ， ∴ . 又∵ 平分 ， ， ， 同理 ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又 ， ∴ 四边形 是菱形. （2）解:∵ 四边形 是菱形, ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ． SHAPE \* MERGEFORMAT 正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，分别以直角三角形的直角边 为边长向外作正方形，面积分别为16和9，以斜边 为边长向外作矩形 ，则矩形 的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理、算术平方根、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据正方形的性质、算术平方根可得 、 ，即 ；再根据勾股定理及算术平方根可得 ，最后根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵分别以直角三角形的直角边 为边长向外作正方形，面积分别为16和9， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴矩形 的面积为 ． 故答案为：15． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在正方形 外侧，作等边三角形 ， 、 相交于点 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形 ，等边三角形 ，可得 ， ，则 ， ，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形 ，等边三角形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，正方形 和正方形 中，点 在 上， ， ， 是 的中点，那么 的长是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．根据正方形的四条边相等，四个角都是直角可得 ， ， ，延长 交 于 ，连接 、 ，求得 ， ， ，根据正方形的对角线平分对角可得 ，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出 的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵正方形 和正方形 中，点 在 上， ， ， ∴ ， ， ， 延长 交 于 ，连接 、 ，如图： 则 ， ， ， ∵四边形 和四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∵在 中， 为 的中点， ∴ ． 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，垂足为 ．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．连接 ，由 是 的垂直平分线，可得 ，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即 ，求出a的值，最后根据勾股定理求出 即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ， ， 设 ，则 ， 由勾股定理得， ，即 ， 解得， ， ∴ ， 在 中，根据勾股定理得： ， 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的两个顶点 、 是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段 长的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】如图，记 的中点为 ，连接 ，则 ，由正方形 ，勾股定理得， ，由题意知， ，即 ，然后作答即可． 【详解】解：如图，记 的中点为 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵正方形 ， ∴由勾股定理得， ， 由题意知， ，即 ， ∴线段 长的最大值是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图，E，F是正方形 的对角线 上的两点，且 ．若正方形 边长为 ， ，菱形 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，连接 ，交 于 ，则根据勾股定理求得正方形 的对角线 ，进而 ， ， ，由勾股定理得， ，即可求出四边形 的周长． 【详解】解：如图，连接 ，交 于 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴在正方形 中， ， ， ， ∵ ∴ ， ∴在 中， ， ∴ ． 故答案为： ． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点 作 交直线 于点 ，作 的平分线 交直线 于点 ，连接 ． (1)如图1，若点 在线段 延长线上，点 在线段 上． ①求证： ； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索 之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和 之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② ； (2)当点E在线段 的延长线上时， ；当点E在线段 的上时， ． 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）①利用同角的余角相等即可得到结论；②在 上截取点G，使得 ，连接 ，证明 ，则 ，得到 ，则 ，得到 ，证明 ，则 ，即可得到 ； （2）当点E在线段 的延长线上时，证明 ，则 ，证明 ，则 ，得到 ；当点E在线段 的上时，证明 ，则 ，证明 ，则 ，即可得到 ． 【详解】（1）①证明：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② ，证明如下；在 上截取点G，使得 ，连接 ，如图， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的平分线 交直线 于点 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ； （2）当点E在线段 的延长线上时，如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当点E在线段 的上时，如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 综上可知，当点E在线段 的延长线上时， ；当点E在线段 的上时， ． 8．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平行四边形 中，添加的下列条件中，能判定平行四边形 是正方形的是（    ） A． B． C． 平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定方法逐一判断即可求解，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， 添加 ，可得平行四边形 是矩形，再由 可得平行四边形 是正方形，故 选项符合题意； 添加 ，可得平行四边形 是矩形，得不到是正方形，故 选项不合题意； 添加 平分 ，可得平行四边形 是菱形，得不到是正方形，故 选项不合题意； 添加 ，可得平行四边形 是菱形，得不到是正方形，故 选项不合题意； 故选： ． 9．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在 中， ，过点 的直线 ， 为 边上一点． (1)请过点 作 ，交直线 于 ，垂足为 ，（保留作图痕迹，不要求写作法），则 与 的数量关系为 　　； (2)当 在 中点时，连接 和 ，判断四边形 的形状，并说明理由； (3)若 为 中点，则当 为多少度时，四边形 是正方形？ 【答案】(1)见解析， (2)四边形 是菱形，理由见解析过程 (3)当 时，四边形 是正方形，理由见解析过程 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证四边形 是平行四边形，可得 ； （2）先证四边形 是平行四边形，由直角三角形的性质可得 ，可证四边形 是菱形； （3）通过证明 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得 ，可证菱形 是正方形． 【详解】（1）如图所示： 为所求， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 故答案为： ； （2）四边形 是菱形，理由如下： 由（1）知，四边形 是平行四边形， ， 为 中点， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 为 中点， ， 四边形 是菱形． （3）当 时，四边形 是正方形， 理由如下： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 为 中点， ， 菱形 是正方形． 10．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图， 已知四边形 中， ， (1)尺规作图∶ 过点D作 ， 交 于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； (2)若 ， 当 满足什么条件时，（1）中作出的四边形 为正方形？ 并证明你的结论． 【答案】(1)作图见解析； (2)当 时，四边形 为正方形，证明见解析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，过点作直线的垂线即可； （2）先证明四边形 为矩形，再证明 ，即可证得四边形 为正方形． 【详解】（1）解：在 的下方任取一点 ，以 为圆心， 的长度为半径画圆，交 于点 ，再分别以 为圆心， 的长度为半径画圆，交于点 ，连接 ，交 于点 ，则 ， 即为所求，如图： （2）解：当 时，四边形 为正方形，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为正方形． 11．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合实践 如图1，点E为正方形 内一点， ，点 为正方形 外一点，且 ， ，延长 交 于点F，连接 ．    (1)试判断四边形 的形状，并说明理由； (2)如图2，若 ，请猜想线段 与 的数量关系，并加以证明； (3)如图1，若 ， ，请求出 的长． 【答案】(1)四边形 是正方形，理由见解析 (2) ，证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明 得到 ， ，进而得到 ，则四边形 是矩形，然后根据正方形的判定可得结论； （2）过D作 于H，证明 得到 ，根据等腰三角形的三线合一性质得到 ，然后利用正方形和全等三角形的性质得到 ， 即可求解； （3）过D作 于H，先由勾股定理求得 ，再根据全等三角形的性质得到 ， ，进而在 中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形 是正方形，理由： ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形，又 ， ∴四边形 是正方形； （2）解：如图2，过D作 于H，则 ，    ∴ ，又 ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ， ∴ ，即 ； （3）解：如图1，过D作 于H，    在 中， ， ， ∴ ， 由（2）知， ， ∴ ， ， 在 中， ， ∴ ． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 动点问题 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知， 中，一动点P在边 上，以每秒 的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，求 的面积； (3)如图③，另一动点Q在 边上，以每秒 的速度从点C出发，在 间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若 ，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 或 或 ． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明 是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得 ， ，从而得到 ，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点C作 于点K，则 ， ∴ ， ； （3）解：如图③所示： ， 当 时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当 时， ， ， ，解得： ； ②当 时， ， ， ，解得： ； ③当 时， ， ， ，解得： ； ④当 时， ， ， ，解得： ； EMBED Equation.DSMT4 或 或 或 时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，正方形 的对角线交于点O，点E是直线 上一动点．若 ，则 的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点 ，再连接 ，运用两点之间线段最短得到 为所求最小值，再运用勾股定理求线段 的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，其与BC的交点即为点E，再作 交AB于点F， ∵A与 关于BC对称， ∴ ， ，当且仅当 ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时 ， ∵正方形 ，点O为对角线的交点， ∴ ， ∵对称， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 故选：D． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据题意在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，可得O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4． 【详解】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点， 过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH， ∵PD∥CQ， ∴∠PDC=∠DCQ， ∴∠ADP=∠QCH， 又∵PD=CQ， 在Rt△ADP与Rt△HCQ中， ∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）， ∴AD=HC， ∵AD=1，BC=3， ∴BH=4， ∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查梯形的中位线的性质，注意掌握梯形的中位线等于两底和的一半且平行于两底． 1．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形 中， 为 中点，过点 的直线分别与 交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．若 ，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ① ；②四边形 是菱形；③ ；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明 ，再证明 是等边三角形，即可判断①选项；由 和 是等边三角形，可得 ，即可判断②选项；由含 角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明 ，再由 ， ，得到 ，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵O为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ， 在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分 ， ， ， 垂直平分 ， 如图，连接 ， AI 在矩形 中， 为 的中点， ， ， 三点在同一直线上， 在线段 的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得 和 是等边三角形， ， 四边形 是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得 ， ∴ 故③符合题意； 在 和 中， ， ， ， ， ， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形 中， ， 为平行四边形对角线 上一点，F为 边上一点，且 ，连接 ，则 的最小值为 ． 【答案】7 【分析】作 ，在 上取 ，过点 分别作 于点 ，作 于点 ，连接 ，先根据矩形的判定与性质可得 ， ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 的最小值为 的长，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出 的长，最后在 中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作 ，在 上取 ，过点 分别作 于点 ，作 于点 ，连接 ， 则四边形 是矩形， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为 的长， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴在 中， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴在 中， ， ∴ 的最小值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在正方形 中， ，点 为正方形 的对角线 上一动点，    (1)如图①，过点 作 交边 于点 ．当点 在边 上时，求证： ； (2)如图②，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为点 ，在点 的运动过程中， 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由． (3)如图③，若点 是射线 上的一个动点，且始终满足 ，设 ，请直接写出 的最小值． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)点 在运动过程中， 的长度不变，值为 (3) 的最小值为 【分析】（1）连接 ，证 ，得 ，再证 ，则 ，即可得出结论； （2）连接 ，如图2．首先证得 ，则有 ，只需求出 的长即可得解； （3）过点 作 ，使 ，连接 ，过点 作 ，交 延长线于 ，证 是等腰直角三角形，得 ，再证 ，得 ，则 三点共线时， 最短，即 最短，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接 ，如图1所示：    ∵四边形 是正方形， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： 的长度不变．理由如下： 连接 ，与 相交于点 ，如图2．    ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ ，即 ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ， ∵四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ∴点 在运动过程中， 的长度不变，值为 ； （3）解：过点 作 ，使 ，连接 ，过点 作 ，交 延长线于 ，如图3所示：    ∵四边形 是正方形， ∴ 是等腰直角三角形， ， 在 和 中， ∴ ， ∴ 三点共线时， 最短，即 最短， 此时， ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 4．（23-24八年级下·广东汕头·期末）综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片 先沿 折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点 与点 重合，点 的对应点记为 ，折痕与边 分别交于点 ．四边形 的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点 为 的中点， ，延长 交 于点 ．试证明： ； 【深入探究】 （3）如图3，若 ，连接 ，当点 为 的三等分点时，直接写出 的值． 【答案】（1）菱形，理由见详解；（2） ，理由见详解；（3） 或 ． 【分析】本题考查折叠的性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）先由矩形的性质得 ，则 ，再由折叠的性质证明四边形 是平行四边形，即可得出其为菱形； （2）连接 ，先证明 ，再证明 即可； （3）分两种情况：若 和若 ，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：（1）四边形 为菱形，理由如下： 四边形 是矩形 由折叠知， ， 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 故答案为：菱形； （2）数量关系为： ，理由如下： 如图，连接 ， 为 的中点 四边形 是矩形 由折叠知， ， 在 和 中 EMBED Equation.DSMT4 ； （3）分两种情况： 如图，若 ， 四边形 是矩形 过点 作 于 ，则四边形 为矩形 由折叠知， ； 如图，若 ，则 ， 过点 作 于 ，则 ， 同理可得 由折叠知， ， ． 综上， 的值为 或 ． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点 转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）． ① ；② ：③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，总有 ． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在 中， ，直角 的顶点 在边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 相交于点 可绕着点 旋转，当 时，求线段 的长度． 【答案】（1）①②③④；（2） ，理由见解析；（3） 或 【分析】（1）证明 ，可得结论；（2）猜想： ，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，再利用勾股定理证明即可；（3）设 分两种情形：①当点E在线段 上时，②当点E在 延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：（1）如图1中，连接 ． ∵四边形 是正方形， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故①正确， ∴ O故②正确， ∴ ，故③正确， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故④正确， 故答案为：①②③④； （2） ，理由如下： 连接 ， ∵O为矩形中心， ∴ ， 延长 交 于 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵矩形 ， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∵在 中 ， ∴ ； （3）设 ， ①当E在 之间时， ， ， 在 中， ， ， 又由（2）易知 ， ， ， 解得： ， ； ②当E在 延长线上时， 同理可论： ， 设 ，则 ， 即： ， 解得： ， ∴ ， 综上所述： 或 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 6．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在 中，动点P在 边上，以每秒 的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数． (2)在（1）的条件下，若 ，求 的面积． (3)如图2，另一动点Q在 边上，以每秒 的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若 ，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)9.6秒或16秒或19.2秒 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义可得 ，则可得 ，再结合 可得 是等边三角形，进而可得 ． （2）作 于H点，由平行四边形的性质可得 ，再根据等边三角形面积公式计算即可． （3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形 是平行四边形可得 ，因此 ．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则 ，设运动时间为t秒，分4种情况讨论：① ，② ，③ ，④ ，根据 列方程，即可求出t的值． 【详解】（1）∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ∵ 平分 ， ， ， ， 又 ， ， ∴ 是等边三角形， ， ． （2）如图，作 于H点， ∵四边形 是平行四边形， ， ∵ 是等边三角形， ， ， ， ． （3）由题知P点从A点运动到D点需要 ，Q点从C点运动到B点需要 ，因此P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次． ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， 若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则 ． 设运动时间为t秒， ①当 时， ， ， ， 此方程无解； ②当 时， ， ， ， 解得 ； ③当 时， ， ， ， 解得 ； ④当 时， ， ， ， 解得 ． 综上，当运动时间为9.6秒或16秒或19.2秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图， 中，对角线 ， 相交于O， ，E，F，G分别是 ， ， 的中点， 下列结论① ；②四边形 是平行四边形；③ ；④ 平分 其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和“等腰三角形三线合一”可得 ，故①正确；根据平行四边形的性质和三角形中位线的性质可得 ， ，则可得四边形 是平行四边形，故②正确；根据平行四边形的性质可得 ，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得 ，由此可得 ，故③正确；由平行四边形的性质可得 ，若 平分 则可得四边形 是菱形，进一步可得 是等边三角形，但是已知条件无法得到 是等边三角形，故 平分 不成立，故④错误． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，     ， ， ， ， ， ∵E点是 的中点， ， 即 ， 故结论①正确； ∵E、F分别是 ， 的中点， ∴ 是 的中位线， ，且 ， ， ， ， ， ∵G点是 的中点， ， ， ， ∴四边形 是平行四边形； 故结论②正确； ， ， ∵G点是 的中点， ， ， ， 故结论③正确； ∵四边形 是平行四边形， ， ， 若 平分 ， 则 ， 则 ， 则 ， 则四边形 是菱形， 则 ， ∵ ， 是等边三角形， 显然 不一定是等边三角形， ∴ 平分 不成立． 故结论④错误． 综上正确的结论为：①②③． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质以及“直角三角形斜边中线等于斜边一半”．熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）用四根一样长的木棍搭成菱形 ，P是线段 上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线 上取一点M，连接 ，使 ． （1）如图1，调整菱形 ，使 ，当点M在菱形 外时，在射线 上取一点N，使 ，连接 ，则 ______ ， ______； 操作探究二 （2）如图2，调整菱形 ，使 ，当点M在菱形 外时，在射线 上取一点N，使 ，连接 ，求证： ； 拓展迁移 （3）在菱形 中， ， ．若点P在射线 上，点M在射线 上，且当 时，请直接写出 的长． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明 得到 ， ，从而得到 ，推出 为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明 得到 ， ，从而得到 ，作 交 于 ，则 ， ，根据含 角的性质及勾股定理得出 ，从而得到 ； （3）当 时，过点 作 于点 ，证明 为等腰直角三角形，得到 ，在 中， ， ，则 ，可得 ，解得 ，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵在菱形 ， ∴四边形 是正方形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为： ， ； （2） 四边形 是菱形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 如图2，作 交 于 ，则 ， ， 在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （3）当 时， 如图3，当点 在线段 的延长线时，过点 作 于点 ，连接 ， 在射线 上取一点N，使 ，连接 ，如图所示， 同理可证明 ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，不符合题意， ∴此时点M与点N重合，即如下图所示： 设 ， ， ， 为等腰直角三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， 由菱形的对称性及 可得 ， 在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理、菱形的性质、正方形的性质与判定、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知邻边长分别为 ， （ ）的平行四边形纸片，如图 对折，剪下一个边长等于 的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图 对折，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则 的值是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可，解题的关键是熟练掌握菱形的性质. 【详解】解： 如图，经历三次折叠后，四边形 为菱形， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为菱形， ∴ ，即 ， 解得： ； 如图，经历三次折叠后，四边形 为菱形， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ∵四边形 ， ， 都为菱形， ∴ ， ∴ ， 解得： ； 如图，经历三次折叠后， 四边形 为菱形， ∵四边形 ， 为菱形， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 ， 都为菱形， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去）； 如图，经历三次折叠后， 四边形 为菱形， ∵四边形 ， ， ， 都为菱形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 解得： （舍去）， 综上： 的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 10．（23-24八年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系 中，点 ，如图构造矩形 ，点D为 ，动点P从点D出发，沿 以每秒1个单位长度的速度运动，作 ， 交边 或边 于点 ，当点 与点 重合时，点 停止运动．连接 ，设运动时间为 秒 ．      (1)如图1，当点 运动到O处时，线段 长为____________；如图2，当点 与点B重合时，点P坐标为____________，线段 长为____________， (2)如图3，当点 在边 上运动时，求证： 是等腰直角三角形， (3)将 沿直线 翻折，形成四边形 ，当四边形 与矩形 重叠部分是轴对称图形时，请直接写出 的取值范围． 【答案】(1) ； ； (2)见解析 (3) 或 或 【分析】（1）当点 运动到O处时，直接利用勾股定理求解即可；当点 与点B重合时，设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，得出关于x的方程，解方程即可求解； （2）过P作 于H，利用 证明 ，得出 ，即可得证； （3）分①当P在 上时，②P在 上，当F、A重合；③P在 上，F、B重合时，此时Q与C重合，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解： 当点 运动到O处时， ， ∵点D为 ， ∴ ， ∵ ，矩形 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ； 当点 与点B重合时， 设 ，则 ， 在 中， ， ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴P的坐标为 ， ， 故答案为： ； ； ； （2）证明：过P作 于H，    则四边形 是矩形， ∴ ， 又 ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形； （3）解：①当P在 上时，当D的对应点F在 上，    ∵四边形 与矩形 重叠部分是轴对称图形， ∴ ， 又 ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， 解得 ， 当 时，F在矩形内部，符合题意， ∴当 时，四边形 与矩形 重叠部分是轴对称图形； ②当P在 上，当F、A重合时，符合题意，如图    则 ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ； ③当P在 上，F、B重合时，此时Q与C重合，符合题意，如图，    则四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上，当 或 或 时，四边形 与矩形 重叠部分是轴对称图形． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 11．（23-24八年级下·广东东莞·期末）综合与实践 (1)操作判断：没有作图工具时，可以采用图1的方法得到 的角． 步骤一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平； 步骤二：再次折叠纸片，使点 落在 上的点 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，把纸片展平， 交 于点 ，连接 ． 根据以上操作，图1中度数为 的角是 （只需写一个）； 请你证明 中的结论． (2)迁移探究：如图2，将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点 ，连接 ．若正方形 的边长为 ，求 的长（结果保留小数点后一位，参考数据： (3)拓展应用：参照（2）的方式操作，如图3，将正方形纸片 沿着平行于 的折痕 折叠，使点 分别落在边 上，其余步骤不变．若 ，请直接写出 的值为 ． 【答案】(1)① （答案不唯一）；②证明见解析； (2)0.5； (3) ． 【分析】（1）①根据题意即可得出答案； ②连接 ，由第一次对折可得 ，由第二次折叠可得 ， ，证明 为等边三角形，由等边三角形的性质即可得解； （2）由(1) 可得 ，由正方形的性质可得 ， ，设 ，则 ，由勾股定理得出 ，从而得出 ，由第二次折叠可得 ， ， ，证明 ，得出 ， 设 ，则 ， ，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设 ，则 ，由正方形的性质得出 ， ，由第一次折叠可得： ，从而得出 ，由第二次折叠可得： ， ， ， ，从而得到 ， ， ，推出 ，证明 ，得到 ，设 ，则 ， ， ，由勾股定理得出 ，即可得解． 【详解】（1）解：①根据以上操作，图1中度数为 的角是 (答案不唯一)； ②证明：如图，连接 ， 由第一次对折可得， 垂直平分 ， ∴ ，                                                       由第二次折叠可得 ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ . ∴ ； （2）解：正方形是特殊的矩形, 由(1) 可得 ， ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， 解得 ， ∴ ， 由第二次折叠可得 ， ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴设 ，则 ， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ， 由第一次折叠可得： ， ∴ ， 由第二次折叠可得： ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ， 由勾股定理得： ， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【材料背景】 如图1，在 中，以边 为底边向外作等腰 ，其中 ，且 ，那么点D就被称为边 的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上， ，点C为 的中点． （1）连接 、 、 ，请分别作边 、 的“外展等直点”P和Q，连接 、 和 ，则 的形状为 ； （2）如图3，点E、F在格点上，请在线段 上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接 、 ，分别作 的边 和边 的“外展等直点”G、H，连接 、 和 ，请判断 的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知 ，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 【答案】（1）等腰直角三角形，作图见详解；（2）等腰直角三角形，理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“外展等直点”的定义作图即可； （2）根据“外展等直点”的定义作出 、 即为所求，证明 ，即可证明 为等腰直角三角形． （3）假设点 为平面内 的两条边的“外展等直点”，分为两种情况①当点 是边 的“外展等直点”，当点 是边 的“外展等直点”时，和②当点 是边 的“外展等直点”，当点 是边 的“外展等直点”时， 根据全等三角形的性质和判定求解即可； 【详解】解：（1）如图， 、 即为所求； 则 的形状为等腰直角三角形； （2）解：选取点 如图所示， 、 即为所求， 形状为等腰直角三角形， 理由如下： 如图， ， ， ∴ ， ∴ ，且 ， ∴ 为等腰直角三角形． （3）解：假设点 为平面内 的两条边的“外展等直点”， ①当点 是边 的“外展等直点”，当点 是边 的“外展等直点”时， 如图：分别取 边中点 ，连接 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ， 则 ， ∴ ， 根据“外展等直点”的定义可得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 则 ，解得 ， 则 ； ②当点 是边 的“外展等直点”，当点 是边 的“外展等直点”时， 如图：根据“外展等直点”的定义可得： 分别取 边中点 ，连接 ，过点K作x轴垂线，过点M，N作y轴垂线交于 ， ， 则 ， ∴ ， ， 根据“外展等直点”的定义可得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 则 ，解得 ， 则 ； 综上， ． 【点睛】该题主要考查了复杂作图，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确做出图形． 13．（23-24八年级下·广东汕头·期末）正方形 中， 为射线 上一点（不与 重合），以 为边，在正方形 的异侧作正方形 ，连接 ， ，直线 与 交于点 ． (1)如图1，若 在 的延长线上，求证： ， ； (2)如图2，若 移到边 上． ①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明） ②连接 ，若 ，且正方形 的边长为1，试求正方形 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)① 成立，见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质得出条件，根据 证明 ，由全等三角形的性质及角的互余关系可得结论； （2）①结论仍成立；②设正方形 的边长为x，则 ，由勾股定理求得 的长，再用含x的式子表示出 ，然后根据 得出关于x的方程，解得x的值，再乘以4即可． 【详解】（1）证明： 四边形 与四边形 都是正方形， ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：① 成立，理由如下： 四边形 与四边形 都是正方形， ， ， ， 在 和 中 ， ． ， ． ， ， ， ； ② 设正方形 的边长为 ，则 ， ， 正方形 的边长为1， ． ， ， ， ， 正方形 的周长为 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及一元一次方程在几何图形问题中的应用，解题的关键是明确相关性质及定理． 14．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用 如图1，点E是矩形 的边 上一点，连接 ，把 沿 折叠得到 ，点 在矩形 的内部，延长 交射线 于点F，连接 ，已知 ． (1)当E是 的中点时，求 ． (2)如图2，当 时， 与 相交于点G，求 的长； (3)如图3，当 时，求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明 可得 、 ，然后再根据勾股定理列方程求解即可； （2）先证明 可得 ，设 则 ，运用勾股定理列方程求解可得 ，进而得到 ；设 ，则 ，再运用勾股定理列方程求y的值即可； （3）根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得 ，如图：过F作 交 延长线于H，则 ；由勾股定理可得 、 ,设 则 ，由勾股定理可得 、 ，进而得到 解得 ，即 ，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形 中， ， ∴ ， , ∵E是 的中点， ∴ , ∵把 沿 折叠得到 ， ∴ ， ∴ , ∵ ， ∴ , ∴ , ∴ , ∵ ， ∴ ，解得： ． （2）解：∵把 沿 折叠得到 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ , ∴ , 设 则 ， ∵ , ∴ ，解得： ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ , ∴ ，解得： ， ∴ ． （3）解：∵把 沿 折叠得到 ， ∴ ， ∵ ， ∴ , 如图：过F作 交 延长线于H，则 , ∴ , ∴ , 设 则 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ，解得： ， ∴ ， ∴ 的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌熟练运用相关判定和性质定理成为解题的关键． 15．（23-24八年级下·广东惠州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形 是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形 的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角 的两边 ， 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连接 ， ， ．求证：四边形 是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形 是“中方四边形”， ， 分别是 ， 的中点， （1）试探索 与 的数量关系，并说明理由． （2）若 ，则 的最小值是 ． 【答案】性质探究： ， ；问题解决：证明见详解；拓展应用：（1） ，理由见详解；（2） 【分析】性质探究：由四边形 是“中方四边形”，可得 是正方形且 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形 各边中点分别为 、 、 、 并顺次连接成四边形 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，利用三角形中位线定理可证得四边形 是平行四边形，再证得 ，推出 是菱形，再由 ，可得菱形 是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作 、 的中点 、 并顺次连接 、 、 、 ，可得四边形 是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作 、 的中点 、 并顺次连接 、 、 、 ，连接 交 于 ，连接 、 ，当点 在 上（即 、 、 共线）时， 最小，最小值为 的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】性质探究：① ，② ； 理由如下：如图1， 四边形 是“中方四边形”， 是正方形且 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； 问题解决：如图2，取四边形 各边中点分别为 、 、 、 并顺次连接成四边形 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ， 四边形 各边中点分别为 、 、 、 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 四边形 和四边形 都是正方形， ， ， ， 又 ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 ， ， ， 是菱形， ， ． 又 ， ， ， ， 又 ， ， ， 菱形 是正方形，即原四边形 是“中方四边形”； 拓展应用：（1） ，理由如下： 如图3，分别作 、 的中点 、 并顺次连接 、 、 、 ， 四边形 是“中方四边形”， ， 分别是 ， 的中点， 四边形 是正方形， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， ， ； （2）如图4，分别作 、 的中点 、 并顺次连接 、 、 、 ， 连接 交 于 ，连接 、 ， 当点 在 上（即 、 、 共线）时， 最小，最小值为 的长， ， 由性质探究②知： ， 又 ， 分别是 ， 的中点， ， ， ， ， 由拓展应用（1）知： ； 又 ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 140 / 140 _1808$$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质——求角、边 题型02平行四边形的性质——求证 题型03平行四边形的判定 题型04平行四边形性质与判定综合 题型05中位线的应用 题型06矩形的性质 题型07矩形的判定 题型08折叠问题 题型09菱形的性质与判定 题型10正方形的性质与判定 题型11动点问题 ( 题型01 )平行四边形的性质——求角、边 1．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·广东潮州·期末）如图， 在平行四边形中， ， 则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平行四边形 中，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东汕头·期末）在平行四边形中，，，延长至，延长至，连接，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，已知，平分交边于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（    ） A．48 B．36 C．40 D．24 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线垂直 ( 题型0 2 )平行四边形的性质——求证 1．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． (1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段的中点，求证：． 5．（23-24八年级下·广东东莞·期末）如图，在▱ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，若∠BCN＝∠DAM．求证：BN＝DM． ( 题型0 3 )平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）在四边形中，，要使四边形 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东·期末）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 6．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，点是内一点，连接、，线段、、、的中点分别为、、、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为的中点，，和互余，求线段的长． 8．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O， 垂足分别为E，F，． (1)求证： 四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． ( 题型0 4 )平行四边形性质与判定综合 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（       ）    A．8 B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O．    (1)下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； (2)若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 5．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． (1)证明：与互相平分； (2)如果，求的长． 7．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，已知分别是的边上的点，且． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． ( 题型0 5 )中位线的应用 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 是边 中点，连接． 若 的长为6，的周长为10，则 的周长是（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，求线段的值． 4．（23-24八年级下·广东东莞·期末）如图，分别是的边的中点． (1)写出与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)作图与证明：添加辅助线作图并证明（1）中的结论（可选用但不限于以下辅助线的作法“延长至点，使得，连接”）． 5．（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接到达A、B的点C，连接，分别在线段上取中点D、E，连接，测得，则可得A、B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点间的距离，同学们在外选择一点C， 测得， ， ， 两边中点的距离， 则A， B两点间的距离是（     ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )矩形的性质 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，为长方形的对角线，平分，若，则 °． 2．（23-24八年级下·广东·期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 5．（23-24八年级下·广东东莞·期末）如图，在矩形中，对角线交于点，分别为的中点．若，则的长为 ．    6．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图，在矩形中，E，F分别是，的中点，连接，，且G，H分别是，的中点，已知，则的长为（      ） A．4 B．5 C．8 D．10 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为 ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图是以为对角线的矩形和矩形，且平分． (1)连接，，求证； (2)尺规作图：作的平分线交于点G，连接． ①求证； ②若，，求和的长． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，点 是 的中点，，则 的度数为 ． 11．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在中，，，是的中点，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 12．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在如图网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若点为的中点，则线段的长为__________． ( 题型0 7 )矩形的判定 1．（23-24八年级下·广东·期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）的对角线交于点O，若添加一个条件，不能判断四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平行四边形中，平分，平分． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，交于点O，已知O是的中点，，． (1)求证：； (2)当时，证明四边形是矩形． 5．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是 ． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，，求线段的长． 7．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形中，已知，点为边的中点，点为边的中点，延长交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． ( 题型0 8 )折叠问题 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在矩形中，，，将沿折叠，点B对应点为点E，则 ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则 ．    5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，四边形是矩形，E是边上一动点，将沿直线折叠，点A落在点处，连接并延长，交边于点F，，的面积是，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·广东潮州·期末）在矩形中，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处，当点落在矩形对角线上时，则的长为 ． ( 题型0 9 )菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广东·期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 4．（23-24八年级下·广东·期末）下列命题正确的是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 5．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，若，若，则的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 7．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，过点作，过点作交于点，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，，分别为的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则菱形的面积是________（直接写答案）． 11．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，为的中点，，． (1)判断四边形的形状、并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 12．（23-24八年级下·广东潮州·期末）下列选项中，菱形一定具有的性质是（   ） A．四个内角都相等 B．对角线互相垂直 C．至少有一个内角是 D．对角线相等 13．（23-24八年级下·广东惠州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 14．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（       ） ①； ②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 15．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形，是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形是矩形的是 （   ） A． B． C． D．平分 16．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：在线段上作点，使；作的角平分线，交于点，连接； (2)求证：四边形是菱形． 17．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，，，求的长； (2)连接、，判断四边形的形状，并证明； (3)求证：． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，D为边的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 19．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． (1)若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求，的长． ( 题型 10 )正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，分别以直角三角形的直角边为边长向外作正方形，面积分别为16和9，以斜边为边长向外作矩形，则矩形的面积为 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（　　） A． B． C．2 D． 4．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是 ． 6．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．若正方形边长为，，菱形的周长为 ． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 8．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平行四边形中，添加的下列条件中，能判定平行四边形是正方形的是（    ） A． B． C．平分 D． 9．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点． (1)请过点作，交直线于，垂足为，（保留作图痕迹，不要求写作法），则与的数量关系为 　　； (2)当在中点时，连接和，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若为中点，则当为多少度时，四边形是正方形？ 10．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图， 已知四边形中，， (1)尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； (2)若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 11．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合实践 如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图1，若，，请求出的长． ( 题型 11 )动点问题 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 ． 1．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点，    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 4．（23-24八年级下·广东汕头·期末）综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．试证明：； 【深入探究】 （3）如图3，若，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）． ①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度． 6．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，中，对角线， 相交于O，，E，F，G分别是，，的中点， 下列结论①；②四边形是平行四边形；③；④平分其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）用四根一样长的木棍搭成菱形，P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，求证：； 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点P在射线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知邻边长分别为，（）的平行四边形纸片，如图对折，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图对折，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值是 ． 10．（23-24八年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒．      (1)如图1，当点运动到O处时，线段长为____________；如图2，当点与点B重合时，点P坐标为____________，线段长为____________， (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 11．（23-24八年级下·广东东莞·期末）综合与实践 (1)操作判断：没有作图工具时，可以采用图1的方法得到的角． 步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤二：再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，交于点，连接． 根据以上操作，图1中度数为的角是 （只需写一个）； 请你证明中的结论． (2)迁移探究：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．若正方形的边长为，求的长（结果保留小数点后一位，参考数据： (3)拓展应用：参照（2）的方式操作，如图3，将正方形纸片沿着平行于的折痕折叠，使点分别落在边上，其余步骤不变．若，请直接写出的值为 ． 12．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ； （2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 13．（23-24八年级下·广东汕头·期末）正方形中，为射线上一点（不与重合），以为边，在正方形的异侧作正方形，连接，，直线与交于点． (1)如图1，若在的延长线上，求证：，； (2)如图2，若移到边上． ①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明） ②连接，若，且正方形的边长为1，试求正方形的周长． 14．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求． (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 15．（23-24八年级下·广东惠州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 20 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$