第十八章 回归教材专题(二) 中点四边形问题-【名师学案】2024-2025学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

回归教材专题（二）中点四边形问题 教材P68复习题T9的变式与拓展 解题技巧 顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形 叫做中点四边形，中点四边形的形状只与原四边形的 对角线的位置和长度有关，与原四边形的形状无关 通常情况下，判定中，点四边形的形状要抓住两个关键 点：①三角形中位线定理的应用；②原四边形两条对 类型二由中点四边形的形状确定原四边形的形状 角线的数量关系和位置关系，若原四边形的对角线相 等，则中点四边形是菱形：若原四边形对角线互相垂 3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得 直，则中点四边形是矩形，反之，亦成立 到四边形EFGH,要使四边形EFGH是矩 形，应添加条件 类型一确定中点四边形的形状 A.AB∥CD B.AC=BD 1.如图，点E,F,G,H分别是 C.AC⊥BD D.AB=DC 四边形ABCD边AB,BC, G CD,DA的中点.则下列 说法： B ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形： 第3题图 第4题图 ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与 4.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 BD互相平分： BC,AC,AD,BD的中点，要使四边形EFGH ④若AC与BD互相垂直且相等，则四边形 是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足 EFGH是正方形.其中正确的是 () 的条件是 A.③ B.④ C.①② D.②④ 类型三运用中点四边形解决问题 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8, 于O,且AC=BD,点E,F,G,H分别是AB, 点E,F,G,H分别是各边中点，则四边形 BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是 EFGH的面积是 正方形 第5题图 第6题图 6.如图，矩形ABCD的对角线长为8，E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四边 形EFGH的周长等于 61 八年级数学·下册 方法技巧专题（二）特殊平行四边形中的折叠问题 教材P64数学活动1的变式与应用 解题技巧 类型三把一个顶点折叠到另一个顶点上 折叠问题的本质就是轴对称，此类问题可以涵盖 4.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重 三角形的全等、勾股定理、图形变换等很多知识，通常 合，折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE= 从以下三个方面思考： 3,BF=1,则AC的长为 () 1.折痕可以看成折叠中互相重合的两，点连线的 垂直平分线. 2.利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线 段、对应角分别相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相 等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起） 3.利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以 A.2√6 B.2√2 C.6 D.46 将已知、未知结合在一起列方程来求解（方程思想）. 类型四把一个顶点折叠到图形外部或内部 类型一把一个顶点折叠到一边上 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=8,点E 1.如图，在矩形ABCD中，E为 为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B DC边上一点，把△ADE沿AE 落在点F处，连接CF,则CF的长为 翻折，使点D恰好落在BC边上 的点F处，AB=2√3，AD=4,则EC的长为 () A.23 3 B.1 cg D.3 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10, 2.(中考·鞍山)如图，在平面 将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处， 直角坐标系中，矩形AOBC 若EA'的延长线恰好过点C,则BE的值为 的边OB,OA分别在x轴、y 轴正半轴上，点D在BC边 上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落 在边OB上的点E处，若OA=8,OB=10,则 点D的坐标是 第6题图 第7题图 类型二把一个顶点折叠到对角线上 类型五多次折叠 3.如图，在矩形纸片ABCD D 7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠， 中，已知AD=8,折叠纸片 AE,EF为折痕，AB=√3，∠BAE=30°.折叠 使点B落在对角线AC上 后，点B落在EC1边上的点B处，点C落在 的点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的 AD边上的点C,处，则BC的长为 ( ) 长为 () A.3 B.2 C.3 D.3√2 A.3 B.4 C.5 D.6 助学助散优质高数 62DE=PE-PD=√5-3=4.∴.AE=√AD+DE=√8+4=4√5.PQ =AE=45.3.①②③④4.95.证明：过点F作FH⊥BC,交BC的延长线于点 H.,∠AEF=90°，..∠AEB+∠FEH=90°.，∠ABE=90°，∴.∠AEB+∠BAE 90°.∴.∠BAE=∠FEH.又AE=EF,∠ABE=∠EHF,∴.△ABE≌△EHF. BE=HF,AB=EH=BC..'BC-EC=EH-EC.BE=CH..'HF=CH..' ∠HCF=∠HFC=45°，∠DCF=45°..CF是正方形ABCD外角的平分线.6.(1) BE+DF=EF解：(2)由(I)可得：∠AEB=∠AEG,∠AFE=∠AFD,在△ABE和 ∠ABE=∠AGE=90°， △AGE中，了∠AEB=∠AEG, ,.△ABE≌△AGE(AAS).,.BE=EG.在 LAE-AE. (∠AGF=∠ADF=90°， △AGF和△ADF中，∠AFG=∠AFD, .∴.△AGF2△ADF(AAS)..∴.GF= AF=AF, DF..'.△EFC的周长=EG+GF+EC+CF=BE十EC+DF+CF=BC+DC=8+8 =16. 回归教材专题（二）中点四边形问题 1.B2.证明：设EF交BD于M,EH交AC于N.:AC⊥BD, ∠AOB=∠AOD=90°.：'E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中 点，∴.EF∥AC,EH∥BD,EF=AC=GH,EH=号BD=FG.又 :AC=BD,EF=GH=EH=FG.∴四边形EFGH是菱形. EF∥AC,EH∥BD,.'.∠EMO=∠AOD=90°，∠ENO=∠AOD =90°..∠FEH=360°一90°×3=90°.又菱形EFGH,.菱形 EFGH是正方形.3.C4.AB=CD5.126.16 方法技巧专题（二）特殊平行四边形中的折叠问题 1.A2.(10,3)3.D4.A5.6.46.4/57.C 重点突破专题（二）特殊四边形中线段的最值问题（选用） 1.32.D【例】解：连接BW,连接BM交AC于N',连接DN'. 四边形ABCD是正方形，.点B与点D关于直线AC对称..∴.DN= BN.∴.DN+MN=BN+MN.∴.当B,N,M共线，即N与N'重合 时，DN十MN有最小值，BM的长即为DN十MN的最小值.CD 4,DM=1,.∴.CM=CD-DM=4-1=3.在Rt△BCM中，BM= √BC+CM=√4+3z=5.故DN+MW的最小值是5. 3.D4.13 综合与实践（二)设计校园停车位 解：任务1：图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，理由如下：在 图1中，AB⊥AD,CD⊥AD,.AB∥CD,:AB=CD,.四边形ABCD是平行四边 形，AB⊥AD,∴.∠BAD=90°，∴.平行四边形ABCD是矩形；在图2中，：∠G= 120°，∠H=60°，.∠G+∠H=180°，∴.EG∥FH,.EG=FH,.四边形EFHG是 平行四边形，∴.图1中停车位的形状是矩形，图2中停车位的形状是平行四边形；任 务2：①设置垂直停车位时，.空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米， 通道宽度不小于3.5米，∴.14÷2.5=5.6，即按照车位的宽度来设置停车位可以设置 5个，又32÷(6十3.5)≈3（列），即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列，. 当设置垂直停车位时，最多可以设置5×3一15（个）：②设置倾斜停车 H 位时，过点G作GP⊥FH于P,过点H作HQ⊥EF交EF的延长线 于Q,如图所示：.四边形EFHG为平行四边形，倾斜线长6米，倾斜 线之间的距离为2.5米..HF=GE=6米，GH=EF,GH∥EQ,GP= 2.5米，∴.∠HFQ=∠GHF=60°，在Rt△HFQ中，∠FHQ=90°- ∠HFQ=30°，∴.FQ=7HF=3米，由勾股定理得：HQ=√HF-FQ=33≈3X 1.73=5.19(米)，在Rt△GHP中，∠HGP=90°-∠GHF=30°，∴.GH=2HP,由勾 股定理得：GH-HP=GP,即(2HP)-HP=2.5,HP=53(米).GH= 6 2HP=5yE≈5×1.73≈2.88（米）.每行设置的停车们位是：(32-3)÷2.88≈10 3 ≈3 (个)，.5.19+3.5+5.19=13.8814..可以设置两行倾斜停车位，共有10×2=20 (个).答：学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位. 第十八章核心素养专练 1.32.解：赞成小洁的说法.补充条件：OA=OC.证明如下：.OA=O℃，OB=OD, ∴.四边形ABCD是平行四边形.又：AC⊥BD,四边形ABCD是菱形.（补充条件 不唯一，正确即可)3.5W5cm4.(1)30cm(2)6 第十八章大单元整合与素养提升 1.B2.B3.C4.证明：(1)，点D,E分别为AB,AC的中点，.AE=CE,AD= BD.,∠AED=∠CEF,DE=EF,∴.△CEF≌△AED(SAS):(2)由(1)证得△CEF ≌△AED,.∠A=∠FCE,AD=CF.∴.BD∥CF.又.BD=AD=CF,∴.四边形 -185