专题02 勾股定理（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理解直角三角形 题型02勾股定理在坐标系中的应用 题型03勾股定理与网格 题型04求图形的面积 题型05弦图的应用 题型06勾股定理与无理数 题型07勾股定理的实际应用 题型08直角三角形的判定 题型09勾股定理逆定理与网格 题型10解三角形 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 ( 题型01 )勾股定理解直角三角形 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（23-24八年级下·广东·期末）若直角三角形的两边长为和，则第三边长为 ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的高为 ． 4．（23-24八年级下·广东肇·期末）在直角三角形中，． (1)若，求． (2)若，求． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中，，，以点 A为圆心，长为半径画弧交于点 ，求的长． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在中，，点在上，．求的长．    8．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和．求这个直角三角形的斜边长和面积． 9．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在中，已知，，是的角平分线，，垂足为E，，则 ． 10．（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． ( 题型0 2 )勾股定理在坐标系中的应用 1．（23-24八年级下·广东·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，两点和之间的距离 ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是 ．    4．（23-24八年级下·广东·期末）已知在如图所示的平面直角坐标系中． （1）直接写出三个顶点的坐标：A（________），B（________），C（________） （2）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点、、，在图中描出点、、，并画出； （3）边上的高为_______． ( 题型0 3 )勾股定理与网格 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是 ． 4．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（     ） A．△ABC的三边都是有理数 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC的面积为6.5 D．△ABC是直角三角形 ( 题型0 4 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和S，则S为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A．36 B．4 C．64 D．8 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（    ） A．140 B． C． D．24 4．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，分别以直角三角形的各边为一边向三角形的外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为34和9，则正方形A的边长为 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，．若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（    ） A．80 B．100 C．200 D．无法确定 6．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在直线上依次摆放着九个正方形，已知斜放置的四个正方形的面积分别是，正放置的五个正方形的面积依次是，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． ( 题型0 5 )弦图的应用 1．（23-24八年级下·广东·期末）国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（    ） A．无理数的发现 B．圆周率的估算 C．勾股定理的证明 D．黄金分割比 2．（23-24八年级下·广东·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于 ． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形的面积为121，四边形的面积为49，若用、表示直角三角形的两直角边．下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③ ( 题型0 6 )勾股定理与无理数 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图， 数轴上的点A 表示的数是， 点B 表示的数是2， 于点B， 且，以点 A为圆心，为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是 （   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在数轴上点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为 . ( 题型0 7 )勾股定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米，将梯子的底端向方向挪动1米，如图2，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 5．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为 米． 7．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，有一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的处，那么此时轮船与灯塔的距离为 海里（结果用含根号的式子表示）． 9．（23-24八年级下·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（   ） A． B． C． D．3 ( 题型0 8 )直角三角形的判定 1．（23-24八年级下·广东·期末）若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．， C． D．，， 2．（23-24八年级下·广东·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 3．（23-24八年级下·广东·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（  ） A．6，8，10 B．，2， C．4，5，6 D．1，2，3 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，，，求证是直角三角形． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期末）已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值； (2)判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）若的三边为，，，且满足，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在五边形中，.已知. (1)求证：是直角三角形； (2)求五边形的面积. 9．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在四边形中，已知，，，，．求证：是直角三角形． ( 题型0 9 )勾股定理逆定理与网格 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在的正方形网格中， ． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小格的顶点叫做格点，四边形以格点为顶点． (1)求四边形的周长； (2)证明：． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． (1)求线段的长度； (2)试判断的形状，并说明理由． 5．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，网格每个小正方形的边长均为1，顶点都是网格线的交点．求证：是直角三角形． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在的正方形网格中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段的端点、都在格点上． (1)在所给的的正方形网格中，不限方法画出一个以为直角边的直角； (2)试计算所画的的面积． ( 题型 10 )解三角形 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．    (1)求证：； (2)求的面积． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求的度数． (2)求的长． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，D是上一点，且，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 4．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．    (1)求的长； (2)四边形的面积． 5．（23-24八年级下·广东河源·期末）（1）如图1，在中，，，，，求的面积； （2）如图2，在中，，，，求的面积． ( 题型 11 )勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，，，．求需要绿化部分的面积．    3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在一条东西走向公路的一侧有一小区，公路旁原有两个汽车充电站，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该小区为方便居民充电，决定在公路旁新建一个汽车充电站（在同一直线上），并新建一条路，测得． (1)是不是从小区到公路最近的路？通过计算加以说明； (2)求新路比原路短多少千米． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由．     1．（23-24八年级下·广东·期末）在平面直角坐标系内，已知，，且满足． (1)如图1，　　； (2)如图2，点是线段上一点，点在第一象限，连接、、，若交于点．满足，，，，求点到的距离； (3)如图3，若，点，点在射线上运动，连接，以为斜边向下作等腰直角△，当点运动的过程中，求的最小值． 2．（23-24八年级下·广东·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … (1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； (2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； (3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 3．（23-24八年级下·广东·期末）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题． 如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记为，，，．点在线段上，将沿着直线翻折，点落在点处，交于点． 【操作一】 如图1，小组成员甲将纸片折叠，使，观察发现的形状是______，此时为______； 【操作二】 如图2，小组成员乙将纸片折叠，使与重叠，观察图形，请帮他求出的面积； 【操作三】 如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段和上添加两个动点、，连接、，你能判断在、的运动过程中是否存在最小值吗？如存在请求出的最小值． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 7．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 8．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于 ． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 11．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等边中，，，则的长为 ． 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理解直角三角形 题型02勾股定理在坐标系中的应用 题型03勾股定理与网格 题型04求图形的面积 题型05弦图的应用 题型06勾股定理与无理数 题型07勾股定理的实际应用 题型08直角三角形的判定 题型09勾股定理逆定理与网格 题型10解三角形 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 ( 题型01 )勾股定理解直角三角形 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：是的平分线， ， 在中，， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东·期末）若直角三角形的两边长为和，则第三边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理，分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是． 【详解】解：分两种情况： ①当6和8为直角边时，第三边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，第三边长为． 故答案为：10或． 3．（23-24八年级下·广东·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用和与三角形高有关的计算，先根据勾股定理求出该直角三角形的斜边长，再用等面积法求解即可． 【详解】由题意得：该直角三角形的斜边长为 设斜边上的高为h ∴，解得： 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广东肇·期末）在直角三角形中，． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1)9 (2)61 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，， ∴； （2）解：∵在直角三角形中，， ∴． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中，，，以点 A为圆心，长为半径画弧交于点 ，求的长． 【答案】的长为4 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到，根据即可算出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了七巧板拼图，勾股定理．先结合图得出长方形的长是正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：由图可知，长方形的长等于正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为， 根据勾股定理可得：． 故选：B． 7．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在中，，点在上，．求的长．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键．根据勾股定理可得，根据，利用等角对等边，得，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ， ， 在中， ， 故的长为． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和．求这个直角三角形的斜边长和面积． 【答案】斜边长为，面积为 【分析】本题考查了二次根式混合运算，勾股定理，由勾股定理得，由面积得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得 斜边为： ， 面积为： ； 故这个直角三角形的斜边长为，面积为． 9．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在中，已知，，是的角平分线，，垂足为E，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理和角平分线的性质， 首先证明出是等腰直角三角形，得到，然后得到，然后利用勾股定理求出，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，，是的角平分线， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【答案】61． 【分析】本题考查了新定义以及勾股定理的应用，根据“垂美”四边形的定义得，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， 则 ∵ ∴． ( 题型0 2 )勾股定理在坐标系中的应用 1．（23-24八年级下·广东·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理，点的坐标．根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴，， ∴点到原点的距离是：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，两点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点和， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是 ．    【答案】(8，0) 【分析】利用勾股定理求出AB即可解决问题． 【详解】∵， ∴， ∵∠AOB=90°， ∴AB==5， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，正确得出AB′的长是解题关键． 4．（23-24八年级下·广东·期末）已知在如图所示的平面直角坐标系中． （1）直接写出三个顶点的坐标：A（________），B（________），C（________） （2）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点、、，在图中描出点、、，并画出； （3）边上的高为_______． 【答案】（1）、，；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）直接根据各点在坐标系中的位置写出A、B、C三点的坐标即可； （2）在图中描出点，，，并画出△； （3）先根据勾股定理求出AC边长，利用矩形法求出的面积，再根据三角形面积公式即可求出高． 【详解】解：（1）由图可知，、，． 故答案为：、，； （2）如图，△即为所求； （3）， ， 设边上的高为h， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理的应用，利用勾股定理求出AC边长是解答此题的关键． ( 题型0 3 )勾股定理与网格 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先判定是直角三角形，再进一步判断即可； 【详解】解：根据题意可得：，， A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等． B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． D．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与全等． 故答案为：D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（     ） A．△ABC的三边都是有理数 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC的面积为6.5 D．△ABC是直角三角形 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再求出的结果和三角形的面积判断即可 【详解】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝， A、AB和BC边为无理数，AC边为有理数，故本选项不符合题意； B、AB、AC、BC都不相等，不是等腰三角形，故本选项不符合题意； C、△ABC面积为4×4−×3×4−×1×4−×1×3＝6.5，故本选项符合题意； D、AB2＋BC2≠AC2，不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和勾股定理，能根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键． ( 题型0 4 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和S，则S为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的三边分别为a，b，c． 根据勾股定理可知，根据两个直角边对应的半圆面积可得出，，进而可得出，进而再求S即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为a，b，c． 根据勾股定理可知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 2．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A．36 B．4 C．64 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理可得出的值即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，字母A所表示的正方形的面积为，， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（    ） A．140 B． C． D．24 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理．由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积,再根据勾股定理得小正方形的面积为． 【详解】解：由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积, 根据勾股定理得小正方形的面积为． 故选：D． 4．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，分别以直角三角形的各边为一边向三角形的外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为34和9，则正方形A的边长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．利用勾股定理可得出正方形的面积等于另外两个正方形的面积差（大的减小的），即可求出结论． 【详解】解：依题意得：正方形的面积． 则正方形A的边长为5， 故答案为：5 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，．若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（    ） A．80 B．100 C．200 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵，， ∴正方形和正方形的面积和为， 故选B． 6．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在直线上依次摆放着九个正方形，已知斜放置的四个正方形的面积分别是，正放置的五个正方形的面积依次是，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，勾股定理的运用是解题额关键． 如图所示，根据正方形的性质可得，可得，即，同理可得，由此进行等量代换即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形，四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在中，，即， ∵，，， ∴， 同理，， ∴，则， ∴，则， ∴，则， ∴， 故选：B ． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积， 故答案为：14． ( 题型0 5 )弦图的应用 1．（23-24八年级下·广东·期末）国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（    ） A．无理数的发现 B．圆周率的估算 C．勾股定理的证明 D．黄金分割比 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理的证明． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理的证明， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于 ． 【答案】1 【分析】此题考查勾股定理．根据勾股定理求得，进而求得的值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、、和是四个全等的直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形的面积为121，四边形的面积为49，若用、表示直角三角形的两直角边．下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的边的关系．根据直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：根据题意得：四边形，四边形均为正方形， ∵四边形的面积为121，四边形的面积为49， ∴正方形的边长为11，正方形的边长为7， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①正确； 由图可知，，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即，即；故④正确； ∴①， 又∵②， 由得，， 即，故③错误． ∴正确结论有①②④． 故选：C ( 题型0 6 )勾股定理与无理数 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示的数等知识点，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键． 根据勾股定理以及数轴上的点表示的数即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴点A所表示的数为． 故选C． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图， 数轴上的点A 表示的数是， 点B 表示的数是2， 于点B， 且，以点 A为圆心，为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键．先求出，再由勾股定理可求得， 再由，即可得点D表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是：， 故选：C． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在数轴上点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 如图，， ， 在原点左边， 表示的数为． 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为 . 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数； 利用勾股定理求出，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为：． ( 题型0 7 )勾股定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理，可得另一直角边长为， 则需购买红地毯的长为， 又因为红地毯的宽，即台阶的宽为， 所以共需购买红地毯． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，    则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长=， ∴彩带长至少是， 故选：． 【点睛】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得： 解得：x=12 故选：C. 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键. 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米，将梯子的底端向方向挪动1米，如图2，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 【答案】梯子的顶端向上移动了1米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得米，在中由勾股定理可得的长，即而可得答案． 【详解】解：由题意可得，米，米，米， 在中，， ， ∴ 米， 答：梯子的顶端向上移动了1米． 5．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）风筝沿方向再上升米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升米，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴他应该再放出8米线． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为 米． 【答案】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．此题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的运算是解题的关键． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， ∴在中，， ∴， ∴的取值范围为：， 故选：C ． 8．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，有一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的处，那么此时轮船与灯塔的距离为 海里（结果用含根号的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是与方向角有关的计算题、含角的直角三角形特征、勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． 先根据方向角的知识得出、，再结合含角的直角三角形特征及勾股定理即可得解． 【详解】解：依题得，，海里， 中海里， 海里， 即此时轮船与灯塔的距离为海里． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断． 【详解】解：如图，中， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键． 10．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，考查了侧面展开图，勾股定理，两点之间线段最短等知识点．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的侧面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图，展开后可知： ，，， ∴在中， ， ∴蚂蚁所爬行的最短路线的长是． 故选：C． ( 题型0 8 )直角三角形的判定 1．（23-24八年级下·广东·期末）若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．， C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“”判定三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符题意； C、设，则，能构成直角三角形，不符题意； D、，能构成直角三角形，不符题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、设，，， ∵，，故，不是直角三角形，选项A符合题意； B、由三角形内角和定理可知，结合，得到， ∴，故为直角三角形，选项B不符合题意； C、对等式左边使用平方差公式得到：，再由勾股定理逆定理可知为直角三角形，C选项不符合题意； D、，由勾股定理逆定理可知为直角三角形，D选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（  ） A．6，8，10 B．，2， C．4，5，6 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理好三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判断四个选项即可． 【详解】A、∵， ∴最大角 ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． B、∵， ∴ ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． C、∵， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 故选项符合题意． D、∵， ∴是等腰三角形，不一定是直角三角形， 故选项不符合题意． 故选C． 5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，，，求证是直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，进而得到，即可求证，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】证明：，，， ， ， ， ， 是直角三角形． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期末）已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值； (2)判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，直角三角形， 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由二次根式、绝对值和平方的非负数的性质可求出a，b，c的值； （2）根据三角形三条边的关系可判断能否构成三角形，根据勾股定理逆定理可判断三角形的形状，根据三角形的面积公式可求出三角形的面积． 【详解】（1）∵a、b、c满足 ∴，，． 解得：，，； （2）∵，，， ∵， ∴ ， ∴以a、b、c为边能构成三角形， ∵，， ∵ ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为． 7．（23-24八年级下·广东广州·期末）若的三边为，，，且满足，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理和等腰三角形的定义．根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定确定三角形形状即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在五边形中，.已知. (1)求证：是直角三角形； (2)求五边形的面积. 【答案】(1)见解析 (2)174 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，得到是解答的关键． （1）先利用勾股定理求出，，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形； （2）五边形的面积，利用三角形面积公式可解． 【详解】（1）证明：，， ， 同理，，， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：五边形的面积 ． 9．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在四边形中，已知，，，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，先根据直角三角形的性质求出的长，再由勾股定理求出的长；再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】证明：，，， ， ，，， ， 是直角三角形． ( 题型0 9 )勾股定理逆定理与网格 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在的正方形网格中， ． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小格的顶点叫做格点，四边形以格点为顶点． (1)求四边形的周长； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析。 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，二次根式的加减，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形． （1）先求出、、和的长，然后利用二次根式的加减法求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴四边形的周长为； （2）证明：连接， ∵， ， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴ 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． (1)求线段的长度； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； 【详解】（1）解：每个小正方形的边长均为1， 根据勾股定理得，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 根据勾股定理得，，，， ， 为等腰直角三角形． 5．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，网格每个小正方形的边长均为1，顶点都是网格线的交点．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理和网格特点求得，，，然后利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】证明：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在的正方形网格中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段的端点、都在格点上． (1)在所给的的正方形网格中，不限方法画出一个以为直角边的直角； (2)试计算所画的的面积． 【答案】(1)画图见解析；（画出三个中的一个即可） (2)图和图中两直角面积都是，图中直角面积是． 【分析】（）根据网格特点及勾股定理逆定理画图即可； （）根据（）中所作的图形，利用割补法求出三角形面积即可； 本题考查了利用网格和勾股定理逆定理画直角三角形，利用割补法三角形面积，利用网格正确画出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所求，即为所求；（画出三个中的一个即可） （2）解：当所画的直角三角形是图时，； 当所画的直角三角形是图时，； 当所画的直角三角形是图时，． ( 题型 10 )解三角形 1．（23-24八年级下·广东·期末）如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．    (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，垂线定义，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明即可得证； （2）设，则，，在中，由勾股定理得，，从而利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）解：，，， ， ， ． （2）解：设，则，， 在中， ∵， ∴即， ， 2．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． （1）根据勾股定理的逆定理得到； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 由勾股定理得：， 即的长是． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，D是上一点，且，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， 熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设先求出长，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明:∵，，， ∴， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．    (1)求的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用． （1）利用勾股定理直接计算即可解题； （2）先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形且， ∴． 5．（23-24八年级下·广东河源·期末）（1）如图1，在中，，，，，求的面积； （2）如图2，在中，，，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求出，，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据勾股定理求出，求出，再求出的面积即可； （2）过点作，交的延长线于点．设，则，根据勾股定理得出，代入求出，再求出，最后求出的面积即可； 【详解】解：（1），，， ，， ， ， ， 由勾股定理得， ， ． （2）如图，过点作，交的延长线于点．设，则， 在和中，由勾股定理得，， ， ， 解得，即， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． ( 题型 11 )勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，，，．求需要绿化部分的面积．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 中，； ∵， ∴， ∴． 答：需要绿化部分的面积为． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在一条东西走向公路的一侧有一小区，公路旁原有两个汽车充电站，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该小区为方便居民充电，决定在公路旁新建一个汽车充电站（在同一直线上），并新建一条路，测得． (1)是不是从小区到公路最近的路？通过计算加以说明； (2)求新路比原路短多少千米． 【答案】(1)是最近的路，理由见详解 (2)新路比原路短 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，点到直线垂线最短等知识的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合点到直线垂线段最短即可求解； （2）由（1）可得是直角三角形，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是最近的路，理由如下， ∵，则， ∴， ∴是直角三角形，即， 根据点到直线垂线段最短可得，是小区到公路最近的路； （2）解：设，则， 由（1）可得，，即， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴新路比原路短了． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由．     【答案】，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据题意求得的长，勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可求解． 【详解】解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24八年级下·广东·期末）在平面直角坐标系内，已知，，且满足． (1)如图1，　　； (2)如图2，点是线段上一点，点在第一象限，连接、、，若交于点．满足，，，，求点到的距离； (3)如图3，若，点，点在射线上运动，连接，以为斜边向下作等腰直角△，当点运动的过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为2 【分析】（1）利用非负数的性质求得、的值，即可得出答案； （2）过点做于点，根据证明得，再证明即可得出结论； （3）分、在的同侧和异侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：． ， ， ，， ， ， ， 故答案为：45； （2）解：过点做于点，如图1， ∵， ∴， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ∵，， ∴， ，， 又∵， ∴，， ∴， ； （3）解：点在左侧时，分别过、点作轴，轴交轴于点，过点作交直线于点， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 设， ∵， ∴平分， ∴点P到坐标轴的距离相等， ∴设，， ， 解得， ∵， ∴， ∴， 点在垂直轴的直线上运动， ， 如图，点在右侧时，作出同上辅助线，如图： 同理可得：， 解得， ∴， 点在垂直轴的直线上运动， ∵点在射线上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的最小值为2． 【点睛】本题考查了坐标与平面，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，垂线段最短，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形． 2．（23-24八年级下·广东·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … (1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； (2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； (3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），，证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）观察所给数据，找出规律求解即可； （2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再逐一讨论即可； （3）猜想：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证． 【详解】（1）解：观察数据我们发现： 中，， 中，， 中，， 中，， 中，， ∴当时，； （2）解：∵为基本勾股数组， ∴，即， ∴， 已知，则， 设为正整数，且， 则， 解得， 又 ∵，且为正整数，与互素， 对 64 进行因数分解． ①当时，（舍去， 2 不是正整数）； ②当时，， ∵和 15 互素， ∴符合题意； ③当时，， ∵和 8 有公约数，不互素， ∴，不符合题意； ④当时，（舍去，不是正整数）； 综上，； （3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），． 证明：∵， ∴互素， ， ， 则 ， ， ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．某校八年级一数学学习兴趣小组准备参加区数学创新能力大赛，他们尝试用一张直角三角形纸片探究折纸中的几何问题． 如图，他们准备了一张直角三角形纸片，记为，，，．点在线段上，将沿着直线翻折，点落在点处，交于点． 【操作一】 如图1，小组成员甲将纸片折叠，使，观察发现的形状是______，此时为______； 【操作二】 如图2，小组成员乙将纸片折叠，使与重叠，观察图形，请帮他求出的面积； 【操作三】 如图3，小组成员丙在图2的基础上，尝试在线段和上添加两个动点、，连接、，你能判断在、的运动过程中是否存在最小值吗？如存在请求出的最小值． 【答案】[操作一]等腰直角三角形，[操作二][操作二]的最小值为 【分析】[操作一]设，则，根据得，，求得的值，进一步得出结果； [操作二]由折叠得，，从而得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，进一步得出结果； [操作三]作点关于的对称点，作于，交于，则最小值为，可求得，及的值，根据，求出的值即可得解． 【详解】[操作一] 解：由折叠得，， ， ， 设，则， 由得，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：等腰直角三角形，； [操作二] ，，， 由勾股定理得， 由折叠得，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ， ， ； [操作三] 存在最小值，理由如下， 如图，作点关于的对称点，作于，交于， ， ， 由“两点之间线段最短”知，此时是最小值， ， ， ， ， 如上图，连接，由得，， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，最短距离等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，角平分线的定义质，勾股定理，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∴， ∵是是的平分线， ∴在上，， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 7．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明， （1）根据证明，可得答案； （2）根据，可得答案． 【详解】（1）解：． 理由如下： 如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ； （2）证明：， ， ， ． 8．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于 ． 【答案】74 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．由“”可证，可得，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，过点作作于，过点作于， ， ， ， ， ，， ， 正方形的面积等于74， 故答案为：74． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；延长交的延长线于，由直角三角形的特质及余角的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，，由，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 10．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米；（2）①60米；②不符合，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键． （1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出； ②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求； （3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，， ， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分， ， ， 当A、Q、E三点共线时有最小值， 即米 ∵， 即， ∴四边形和四边形均为长方形， 米，， ∴米 ∴在中，即米， 米， ②， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 11．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等边中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点D作，证明，可得，在中，根据直角三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理可 ，即可求解． 【详解】解：过点D作， ∵为等边三角形 ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为： 49 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $$