精品解析：云南省昆明市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

昆明市第一中学2024—2025下学期期中考试 高二数学 命题：李露 审题：王在方 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ） A. 和是函数的两个零点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 D. 函数的最大值为，最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由的正负性可以确定函数的单调性以及极值点，可判断B C；但因无具体的解析式，故无法确定具体的函数值，故AD无法确定. 【详解】由图象可知，或时，，时，， 则在和上单调递减，在上单调递增， 则当时取极小值，当时取极大值，故B错误，C正确， 由图只能确定函数的单调性以及极值点，无法确定具体的函数值，故A D无法确定. 故选：C 3. 已知首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 4. 从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ） A. 0.8 B. 0.675 C. 0.74 D. 0.82 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可. 【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人， 从乙队中抽取人， 这人答对题目的平均数为， 所以这人答对题目的方差为. 故选：D. 5. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列定义及其通项可判断公差，得出数列中各项的符号可得B正确，再由等差数列性质可判断C正确，由等差数列前项和公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 对于B，由题意可知数列为递减数列，且当时，，当时，； 所以可得时，取得最大值，B正确； 对于C，由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； 对于D，易知，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：D． 6. 函数是（ ） A. 偶函数，且最小值为－2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 周期函数，且在上单调递增 D. 非周期函数，且在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D. 【详解】定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，又， 令，，， 当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确； 因为，所以为周期函数， 因为在上单调递减，在上单调递减， 当，，令，，，在单调递减，在单调递增， 当，，令，，，在单调递减， 由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增； 故C，D错误， 故选：B. 7. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求导判断函数单调性，结合有3个不同的零点，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数，则，令得或， 令，解得：或；令，解得： ； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使有3个不同的零点，则， 解得：. 故选：C 8. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式； ②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围； ③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，由等比数列定义知，一定为等比数列，A是； 对于B，当时，成立，不成等比数列，B不是； 对于C，由，得，不成等比数列，C不是； 对于D，由，得，是公比为1的等比数列，D是. 故选：AD 10. 已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ） A. 圆O与直线l相离 B. 存在最小值 C. 存在最大值 D. 存在点P使得为直角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得，借助的范围求解判断C；根据为直角三角形求得，根据圆心到直线的最小距离即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，正确； 对于C，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号， 所以不存在最大值，错误； 对于D，由A可知，，若为直角三角形，则， 从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误. 故选：AB 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的最大值为2 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：转化已知条件求得，结合，从而求得；对B：利用正弦定理和角度关系，求得关于的函数关系，结合的范围，求其值域即可；对C：利用余弦定理，求得的齐次式，结合基本不等式，即可求解；对D：将转化为关于的函数，结合的范围，求其值域即可. 【详解】对A：，即，， 所以，故，又为锐角三角形，，故，A正确； 对B：由A可知，，故，由正弦定理，可得， 故可得，又，故，则； 由为锐角三角形可得：，解得，故， 则，则，故B错误； 对C：由余弦定理可得， 等式两边同除可得：，所以，解得， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对D：，故， 故； 由B可知，又，故，，， 也即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法给赋值0和1即可求解. 【详解】令，则， 令，则， ； 故答案为： 13. 若方程在上的解为，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由正弦函数的对称性得到 ，即可求解. 【详解】由于，所以， 由于，所以， 根据正弦函数的性质可知， 所以， ， 故答案为：. 14. 现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为_____；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为_____. 【答案】 ①. ##0.3 ②. 10 【解析】 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为数列的前项和，且满足：. （1）设，证明是等比数列； （2）求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列的定义推理作答. （2）利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解作答. 【小问1详解】 因为，，则， 两式相减得：，整理可得，即， 于是，， 所以数列是等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，，又，则 所以. 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，D为棱上一点，平面． （1）求证：D为中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形为平行四边形，根据边长关系即可求证； （2）根据勾股定理得到，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D为坐标原点，为z轴，为x轴，为y轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值. 【小问1详解】 ⸪平面，平面，平面平面， ⸫，又因为， ⸫四边形为平行四边形，且因为为的中点， ⸫， ⸫ D为中点. 【小问2详解】 根据勾股定理可知，，且， 再根据勾股定理可得，故， 又因为，，平面， 所以平面， 如图建立以D为坐标原点，为z轴，为x轴，为y轴的空间直角坐标系， ，，， ，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）时，的单调递减区间为，无单调递增区间；时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）当，对求导，求出，在由导数的几何意义求解即可； （2）先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可. 【小问1详解】 ，，， 当时，， 切点坐标为， 又，切线斜率为， 曲线在处切线方程为：. 【小问2详解】 ，， ，， ，， ①当时，成立， 的单调递减区间为，无单调递增区间. ②当时，令， 所以当时，，在上单调递减 时，，在上单调递增 综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 18. 某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8. （1）计算王同学第二天去餐厅用餐的概率； （2）王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值. 【答案】（1）0.7 （2）或10时，有最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可； （2）利用超几何分布表示出，列出不等式即可求最大值. 【小问1详解】 设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”， “第二天去A餐厅用餐”， 根据题意得， 由全概率公式，得：， 所以，王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7. 【小问2详解】 由题意，的可能取值有：0，1，2，3， 由超几何分布可知， 令，若最大，则， 即，解得， 又∵， 所以， 易知当和时，的值相等， 所以当或10时，有最大值为， 即当的值为9或10时，使得最大. 19. 已知椭圆的焦点分别别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点， （1）求椭圆的方程； （2）已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据结合椭圆的特征得出，在应用弦长公式计算可得椭圆方程； （2）设点应用点差法，消元可得定点. 【小问1详解】 设，则，所以. 设椭圆的方程为，即， ， 为正三角形， 过且垂直于的直线与交于两点，为线段的垂直平分线， 直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程， 整理化简得到：， 判别式， . ，所以. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设因为， 所以，即①， 又因为点均在椭圆上，所以， 两式整理，可得，②， 由②除以①可得，消元可得， 同理可得， 所以直线的方程为， 又， 所以直线的方程为，故直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2024—2025下学期期中考试 高二数学 命题：李露 审题：王在方 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ） A. 和是函数的两个零点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 D. 函数的最大值为，最小值为 3. 已知首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ） A. 0.8 B. 0.675 C. 0.74 D. 0.82 5. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 6. 函数是（ ） A. 偶函数，且最小值为－2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 周期函数，且在上单调递增 D. 非周期函数，且在上单调递减 7. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ） A. 圆O与直线l相离 B. 存在最小值 C. 存在最大值 D. 存在点P使得为直角三角形 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的最大值为2 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 若方程在上的解为，则__________． 14. 现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为_____；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为数列的前项和，且满足：. （1）设，证明是等比数列； （2）求. 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，D为棱上一点，平面． （1）求证：D为中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性. 18. 某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8. （1）计算王同学第二天去餐厅用餐的概率； （2）王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值. 19. 已知椭圆的焦点分别别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点， （1）求椭圆的方程； （2）已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $