精品解析：2025年湖北省九年级G20五月联考数学试卷

2025届湖北省九年级G20五月联考 数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在( ) A. 点的左边 B. 线段上 C. 点的右边 D. 数轴的任意位置 5. 如图，由个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体可能是（ ） A. ①或②或③ B. ①或② C. ③ D. ④ 6. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 7. 化简的结果为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 9. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列的方程或方程组， 甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：． 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算的结果等于______． 12. 一组数据3，5，1，，7的平均数是，则这组数据的中位数为______． 13. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 14. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 15. 如图，和都是等边三角形，点在内，直线与直线交于点．则______°；若，，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 18. 如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上 （1）求m，k的值； （2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣； （3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（） 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 （1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度； （2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________； （3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人； （4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 21. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 23. “折纸”是同学们经常做的手工活动． 【活动一】 如图1，有一张长方形纸片，，，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点落在纸片的内部，折痕与边交于点E，第2次折叠，在边上取一点F，将沿进行折叠，使得点D落在射线上． （1）如图1，在第1次折叠中，若点恰好落在对角线上，则　 　； （2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出的最大值． 【活动二】 （3）如图3，有一张四边形纸片，已知，，，，小明认为他可以用一张边长为的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湖北省九年级G20五月联考 数学试卷 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在( ) A. 点的左边 B. 线段上 C. 点的右边 D. 数轴的任意位置 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边． 【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1， 解得x＜1； -x＞-1． -x+2＞-1+2， 解得-x+2＞1． 所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边； 作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1， 由x＜1，得：-x＞-1， -x+1＞0， -2x+3-（-x+2）＞0， ∴-2x+3＞-x+2， 所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式． 5. 如图，由个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体可能是（ ） A. ①或②或③ B. ①或② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由几何体可知，取走小正方体①或②或③，余下的几何体与原几何体的左视图相同， 故选：． 6. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：画树状图得： 所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=． 故选：C． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 化简的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，关键是掌握分式加减的运算法则． 先通分，再化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 9. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列的方程或方程组， 甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：． 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变列式；根据人数不变列式即可求解． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变可得， ∴， 根据人数不变得到， ∴甲、丙同学正确， 故选：B ． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一组数据3，5，1，，7的平均数是，则这组数据的中位数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平均数“一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数”、求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记平均数的公式和中位数的定义是解题关键．先根据平均数的计算公式求出的值，再根据中位数的定义求解即可得． 【详解】解：∵一组数据3，5，1，，7的平均数是， ∴， 解得， ∴这组数据按小到大排序为1，3，4，5，7， ∴这组数据的中位数是4． 故答案为：4． 13. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根据方程解得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2025． 14. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 15. 如图，和都是等边三角形，点在内，直线与直线交于点．则______°；若，，则线段长度的最小值是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】证明，则有，由三角形内角和定理即可求得结果； 作，当最小时，最小，也有最小值，此时最大，则，即与相切，连接，如图， 然后根据勾股定理，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； ∵是等边三角形， ∴，， 作，当最小时，最小，也有最小值， 此时，最大，则，即与相切，连接，如图， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 由得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值，首先背熟特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值的定义把算式各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点， ∴，． ∵， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明． 18. 如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上 （1）求m，k的值； （2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣； （3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) k=﹣5，m=5；(2) x＜﹣1或0＜x＜5时，﹣x+4＞﹣；(3) P（0，12）或（0，﹣4）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象直线y=﹣x+4的图象在反比例函数y=的图象的上方时，对应的自变量的取值范围就是不等式的解集； （3）构建方程即可解决问题； 【详解】(1)点A（﹣1，5）和点B（m，1）均在反比例函数图象上， ∴k=﹣5，m=5； (2)∵A（﹣1，5），B（5，﹣1）是直线y=﹣x+4与反比例函数y=的交点， 观察图象可知：x＜﹣1或0＜x＜5时，﹣x+4＞﹣； (3)设P（0，m）， ∵直线AB交y轴于（0，4）， ∴×|m﹣4|×6=2××4×6， 解得m=12或﹣4， ∴P（0，12）或（0，﹣4）； 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（） 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 （1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度； （2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________； （3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人； （4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）5，144 （2）40 ，40 （3）估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求众数与中位数，用样本估计总体，树状图法求概率，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用总数减去其他组的人数求出的值，360度乘以B组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：5，144 【小问2详解】 解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40； 故众数为40； 将数据排序后，第10个和第11个数据均为40， ∴中位数为：； 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种； （一名男生和一名女生）． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 21. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． 22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）；6m （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【小问1详解】 解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点，∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为6m； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴，解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则 ， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 23. “折纸”是同学们经常做的手工活动． 【活动一】 如图1，有一张长方形纸片，，，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点落在纸片的内部，折痕与边交于点E，第2次折叠，在边上取一点F，将沿进行折叠，使得点D落在射线上． （1）如图1，在第1次折叠中，若点恰好落在对角线上，则　 　； （2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出的最大值． 【活动二】 （3）如图3，有一张四边形纸片，已知，，，，小明认为他可以用一张边长为的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）如图2， ； （3）小明的想法不对，理由如下： 如图，连接， ∵，，，， ∴，， ∴， 根据题意，可能的折法有以下两种： 折法一：如图3，可得一边长为45， ∵，不符合题意； 折法二：如图4，将所得的四边形纸片展开的正方形， 同理可得：， ∴， ∴两个三角形的相似比为， 设，则，，， ∴， 解得， ∴， ∵，不符合题意； 综上所述：小明的想法不正确． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，再结合轴对称的性质与勾股定理可得答案； （2）如图2，作的角平分线，交于点F即可，证明，可得，设，，则，再建立二次函数，利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，连接，先求解，根据题意，可能的折法有以下两种：折法一：如图3，可得一边长为45，则不符合题意；折法二：如图4，将所得的四边形纸片展开的正方形，证明，可得，设，则，，，求解，可得，从而可得结论． 【详解】解：（1）由折叠可知，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， （2）作的角平分线，交于点F， 由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， 整理得，， ∴当时，y有最大值， ∴的最大值为； （3）略 【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作角平分线，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2）或 （3）① ②当时，点P的个数有两个；当时，点P的个数有三个；当时，点P的个数有四个 【解析】 【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式； （2）作轴交直线于，如图， 利用待定系数法求出直线的解析式为设 则，然后求出长，根据求出，代入数值即可解方程求得点P的坐标； （3）根据（2）得到时的解析式，当或时， 如图， 同理可得 ； （4）画出关于x的函数图象，然后根据函数的图象分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则； 【小问2详解】 作轴交直线于， 如图， 设直线的解析式为， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 ， 设，则， 当时， 如图，， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 ①由（2）得当时，； 当 或时， 如图， ， ∴； 综上所述：； ②当时， ， 关于x的函数图象如图所示， ∴当时，点P的个数有两个； 当时，点P的个数有三个； 当时，点P的个数有四个． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质； 会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式； 理解坐标与图形的性质； 会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $