5.2 简单的轴对称图形课时1 等腰三角形的性质课件-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第五章 生活中的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 课时1 等腰三角形的性质 学习目标 1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.（重点） 2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.（难点） 新课讲解 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. A B C 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不在同一个三角形中不能使用. 新课讲解 （1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法，这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便. （2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论. 新课讲解 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD. ②∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. 你能不能证明①②③的结论？ B C D A 新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC . 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中 AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）. ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC. B C D A 新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC . 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）. ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC. B C D A 新课讲解 B C D A 证明：∵AD是底边BC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC， AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD . 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：∠BAD=∠CAD ，BD=CD. 新课讲解 （1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直. （2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才能互相重合. 新课讲解 （1）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. （2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. （3）等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一点到两腰的距离相等. 等腰三角形的其他性质： 课堂小结 等腰三角形 性质 等边对等角 定义 有两边相等的三角形 三线合一 当堂小练 如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A.50° B.60° C.65° D.70° A 解：∵AB//CD，∠1=65°, ∴∠ACD=∠1=65°. ∵AD=CD， ∴∠DCA=∠DAC=65°. ∴∠2的度数为：180°- 65°-65°=50°. 当堂小练 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. D B A C 解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= （180°-26°）=77°. ∵AD=CD， ∴∠C=∠DAC. ∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC， ∴∠C的度数为 ∠ADB=38.5°. B 当堂小练 如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC. 证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF. ∵AD⊥BC，∴EF⊥BC. 拓展与延伸 已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？ 解：因为等腰三角形的两个底角相等， 所以这个已知的角只能是顶角， 则两个底角的度数都是（180°-130°）=25°, 所以另外两个内角的度数分别为25°，25°. 拓展与延伸 （2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？ 解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角. 则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°, 所以另外两个内角的度数分别为70°，70°. ②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角， 一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°. 拓展与延伸 （3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个等腰三角形的周长最大是多少？ 分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论： ①12厘米，8厘米 ②12厘米，18厘米 还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边. 1.下列各图中，已知AB=AC，求图中的x. （1） 解：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠C=65°. 所以∠A=180°-∠B-∠C=50°， 即x=50. （2） 解： （2）因为AB=AC，所以∠C=∠B. 又因为∠A=90°， 所以∠C=∠B=（180°-∠A）÷2=45°， 即x=45. 课后练习 2.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2=36°，BD=2，求∠BAC，∠B的度数及BC的长. 解：因为AD为∠BAC的平分线，∠2=36°， 所以∠1=∠2=36°，∠BAC=2∠2=72°. 又因为AB=AC，所以AD⊥BC，BD=CD， 所以∠B=90°-∠1=90°-36°=54°， BC=2BD=4. 3.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A.1条　　　　　 B.2条 C.1条或3条　　 D.不确定 C 4.【例1】等腰三角形的一个内角等于50°，则它的底角的度数是 （ ） A.70°或40° B.65°或70° C.50°或65° D.50° C 5.【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，CD∥AB，则∠BCD=　 　.  65° 6.【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，求∠ADE的度数. 解：因为AB=AC，∠BAC=120°， 所以∠B=∠C=30°. 因为BD=BE，所以∠BDE=∠BED = （180°-30°）=75°. 因为AB=AC，AD是BC边上的中线， 所以AD⊥BC，即∠ADB=90°. 所以∠ADE=90°-75°=15°. 7. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC. （1）若△ABC的面积是20，BC=4，求AD的长； 解：（1）因为AD是△ABC的中线，AB=AC， 所以AD⊥BC，因为△ABC的面积是20， 且BC=4，所以 ×4×AD=20， 所以AD=10. （2）若∠CAD=20°，求∠ACE的度数. 解：（2）因为AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， 所以AD平分∠BAC， 所以∠CAB=2∠CAD=40°， 所以∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°. 因为CE是△ABC的角平分线， 所以∠ACE= ∠ACB=35°. 8.（1）（2024长沙）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　 　；  （2）等腰三角形两内角度数之比为1∶2，则它的顶角度数为　 　.  100° 36°或90° 9.（2024兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（ ） A.100° B.115° C.130° D.145° B 10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，求AD的长. 解：因为AB=AC，AD是∠BAC的平分线，所以BD=CD. 因为△ABC的周长为16， 所以AB+BD= ×16=8. 因为△ABD的周长为12， 所以AD=12-8=4. 布置作业 请完成课本对应习题 感谢大家欣赏 $$