专题04 因式分解（考题猜想，八大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

专题04 因式分解（八大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 判断是否是因式分解 · 题型二 已知因式分解的结果求参数 · 题型三 提公因式 · 题型四 运用公式法因式分解（重点） · 题型五 提公因式与公式法分解因式（高频） · 题型六 十字相乘法分解因式（易错） · 题型七 分组分解法分解因式 · 题型八 因式分解的应用（重点） 【题型1】判断是否是因式分解 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】已知因式分解的结果求参数 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 7．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 8．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【题型3】提公因式 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．70 B．60 C．35 D．24 13．（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 14．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4】运用公式法分解因式 15．（24-25八年级上·福建泉州·期末）对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）分解因式： ． 17．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 18．（2013·江苏泰州·二模）分解因式： ． 19．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 20．（22-23七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 21．（24-25八年级上·江苏南通·期末）分解因式__________． 【题型5】提公因式与公式法分解因式 22．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）因式分解： ． 23．（23-24九年级下·浙江·期末）因式分解： ． 24．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式： ． 25．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）因式分解 ． 26．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式： ． 27．（24-25八年级上·河南商丘·期末）分解因式： (1) (2) 28．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）因式分解： (1)； (2)． 29．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 【题型6】十字相乘法分解因式 30．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 31．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解： ． 32．（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 33．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 34．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7】分组分解法分解因式 35．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 36．（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 37．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 38．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【题型8】因式分解的应用 39．（24-25八年级上·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以 但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式． 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以 所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①；② (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中的值． 40．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 41．（24-25八年级上·河北保定·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： ②求的最小值． ． ， ， 即的最小值为． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． (1)用配方法分解因式：； (2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ $$专题04 因式分解（八大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 判断是否是因式分解 · 题型二 已知因式分解的结果求参数 · 题型三 提公因式 · 题型四 运用公式法因式分解（重点） · 题型五 提公因式与公式法分解因式（高频） · 题型六 十字相乘法分解因式（易错） · 题型七 分组分解法分解因式 · 题型八 因式分解的应用（重点） 【题型1】判断是否是因式分解 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式，根据定义即可判断． 【详解】解：A．，故原因式分解不正确，不符合题意； B．，故原因式分解正确，符合题意； C．，故原因式分解不正确，不符合题意； D．不是因式分解，故不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解．根据因式分解的概念“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； B、，是整式的乘法运算，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、符合因式分解的定义，原选项符合题意； 、是乘法运算，原选项不符合题意； 、中等号右边不是积的形式，原选项不符合题意； 、中是单项式，原选项不符合题意； 故选：． 【题型2】已知因式分解的结果求参数 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，将展开，利用对应项相同，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 8．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 【题型3】提公因式 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．70 B．60 C．35 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和整体代入的数学思想． 利用矩形的面积和周长公式求出代数式和的值，对原式进行因式分解，然后整体代入即可求出结果． 【详解】解：根据矩形的周长为14得：，所以， 根据矩形的面积为10得：， ∴ 将，代入上式得 原式 故选：A． 13．（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案． 【详解】解：∵， ∴； 故选：D 【题型4】运用公式法分解因式 15．（24-25八年级上·福建泉州·期末）对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解﹣运用公式法，涉及完全平方差公式，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， A、不是因式分解，不符合题意； B、因式分解错误，不符合题意； C、因式分解错误，不符合题意； D、因式分解正确，符合题意； 故选：D． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，根据提取公因式进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 17．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法分解因式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（2013·江苏泰州·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．直接利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式分解因式，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（22-23七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式进行分解因式是解题的关键． 利用平方差公式和已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 21．（24-25八年级上·江苏南通·期末）分解因式__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型5】提公因式与公式法分解因式 22．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式y，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．（23-24九年级下·浙江·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）因式分解 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 27．（24-25八年级上·河南商丘·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 28．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解． （1）提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取负号，然后根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】解∶原式 故答案为∶． 【题型6】十字相乘法分解因式 30．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 31．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 32．（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 33．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 34．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （2）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （3）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （4）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； 弄清阅读材料中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 【题型7】分组分解法分解因式 35．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 36．（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 37．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键． （1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解； （2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解． 【详解】（1）解 ； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下． 或 或 是等腰三角形或直角三角形． 38．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 【题型8】因式分解的应用 39．（24-25八年级上·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以 但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式． 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以 所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①；② (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中的值． 【答案】(1)①；② (2)当时，多项式有最大值，最大值为11 (3) 【分析】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，平方的非负性，掌握配方法是解题的关键． （1）先利用配方法，然后再利用平方差公式进行计算即可； （2）先对式子进行配方法，然后利用平方的非负性解题即可； （3）先对方程左边的式子运用完全平方公式进行变形，然后利用平方的非负性得到关于a，b的方程进而可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意得， ， ， ， 当时，多项式有最大值11． （3）解：， ∴， 配方得， 解得：． 40．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 【答案】(1) (2)①见解析； ② 3，1，4 ；③ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）按长方形面积公式长×宽”计算得出； （2）①根据题意画出相应图形；②根据拼图即可得到A，B，C三种纸片各用了多少张；③根据长方形的面积分解因式即可． 【详解】（1）解：通过面积计算可以发现， ， 故答案为：； （2） ①解：如图； ②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片； 故答案为：3,1,4； ③根据拼图过程和长方形面积公式可得； 故答案为：． 41．（24-25八年级上·河北保定·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： ②求的最小值． ． ， ， 即的最小值为． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． (1)用配方法分解因式：； (2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当时，的值最大，最大值是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据材料，先凑完全平方，再利用平方差公式因式分解即可； （2）①根据题意，得到，分别表示，由，根据三角形面积公式即可解答；②利用材料中方法配方即可解答； 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴的面积为；． ②由①知， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是． $$