专题20 一次函数的实际应用问题四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题20 一次函数的实际应用问题四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 6 类型三、一次函数的应用之行程问题 10 类型四、一次函数的应用之几何问题 17 压轴能力测评（15题） 25 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 3．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（2025·河南驻马店·二模）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）“传承红色基因，赓续红色血脉”，某中学九年级357名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金1000元，型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级371人，租用5辆型客车和3辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级364人，租用4辆型客车和4辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排8辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，一件型丝绸进价比一件型丝绸进价多元． (1)求一件 型，型丝绸的进价分别为多少元? (2)若销售商购进型，型丝绸共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． ①求的取值范围； ②已知型的售价是元/件，型的售价为元/件．则该商家应如何安排进货，才能使销售总利润最大，最大利润为多少？ 3．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（2025·浙江绍兴·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题． (1)当乙出发后几小时甲追上了乙? (2)设甲、乙两人相距的路程为， ①如图2，补全其图象； ②当时，求对应t的值． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)对比图1，图2可知：__________，__________，__________； (3)甲、乙相遇前，乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出的值） 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 2．（2025·浙江温州·二模）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（    ） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 3．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 4．（2025·江西景德镇·一模）漏壶是一种古代计时器，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通．液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．用表示漏水时间，表示圆柱容器的液面高度．下列图象中，适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·山东济南·二模）甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 ，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 ，甲乙两车与甲车出发点的距离与行驶时间的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 s 可与乙车相遇． 6．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗 棵时才能获得最大利润，最大利润是 元． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底 ． 三、解答题 9．（2025·湖北恩施·一模）某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元 (1)求与的函数关系式 (2)某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？ (3)若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 10．（24-25八年级下·上海松江·期中）某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图像，回答下列问题： (1)系统维护的固定成本是________元． (2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且． ①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本． ②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？ 11．（北京市通州区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）欢欢一家前往某地“一日游”，计划租用汽车自驾出游．根据所给信息，解答下列问题： 甲公司：按日收取固定租金90元，另外再按租车时间（小时）计费； 乙公司：无固定租金，直接以租车时间（小时）计费，每小时租金30元． 方案一：选择甲公司； 方案二：选择乙公司． 选择哪个方案合理呢？ (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式； (2)欢欢选择哪一家租车公司更划算． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示，为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_______________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)已知该超市有120辆购物车需要从1楼转运到2楼，若每次使用扶手电梯转运24辆，每次使用直立电梯转运数量为第（2）问所求结果，使用手扶电梯和直立电梯两种方式总次数为6次（两种转运方式必须都使用），则有几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 13．（　重庆市开州初中教育集团九2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题）如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为． (1)请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 14．（24-25九年级下·吉林松原·期中）大疆公司的某车间为我市环保部门生产一批红外线摄像头，用于对我市区域内工厂的排放情况进行日常观察．该车间甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同生产摄像头．设甲组工作的时间为（小时），甲组生产摄像头的数量为（个），乙组生产摄像头的数量为（个），其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的值，并说明的实际意义； (3)请直接写出当甲组工作多长时间时，甲、乙两组生产摄像头的总数为480个． 15．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，于点D．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒的速度沿线段运动．点F以每秒的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，EF的长度记为． (1)请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值． x 0 2 4 y 6 0 6 16．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小明家汽车油箱可容纳的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：）随行驶路程x（单位）的增加而减少．为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量），小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量． 行驶路程 0 100 200 300 400 500 剩余油量 45 37 29 21 13 5 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的．尝试根据上述背景信息解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象； (2)该车的耗油量为________，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式________，其中自变量x的取值范围是________； (3)已知该汽车在油箱中剩余油量低于时，将自动报警．周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家？________．（填“能”或“不能”） 17．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 18．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表： 销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售 售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克 若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半． (1)当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 一次函数的实际应用问题四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 6 类型三、一次函数的应用之行程问题 10 类型四、一次函数的应用之几何问题 17 压轴能力测评（15题） 25 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)①，② (2)当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； ②当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ； 故答案为：①，②． （2）解：购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元 (2)《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元， 根据题意，得： 解得， 答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元． （2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套， 根据题意得， 解得． 设所需费用为W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最小值为（元） 此时，（套）． 答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 3．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； (2)；购买33棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； 购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克， 根据题意得：， 解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； （2）解:购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 杨树的棵数不超过冷杉的一半， ， ， ， 随的增大而增大， 当整数时，的值最大， 此时（棵）， 答：购买棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（2025·河南驻马店·二模）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)型利润80元/台，型利润160元/台 (2)型4台，型6台，总利润最大 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台 ， 答：型利润80元/台，型利润160元/台； （2）解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， ， 随增大而减小 当时，， 答：型4台，型6台，总利润最大． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）“传承红色基因，赓续红色血脉”，某中学九年级357名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金1000元，型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级371人，租用5辆型客车和3辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级364人，租用4辆型客车和4辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排8辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 【答案】(1)每辆型客车载客人数为49人，每辆型客车坐满后的载客人数为42人 (2)租A种客车3辆，B种客车5辆，租金最低，最低租金为7000元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设每辆型客车载客人数为x人，每辆型客车坐满后的载客人数为y人，根据小强和小国的对话信息列方程组求解即可； （2）设租A种客车m辆，根据九年级每位师生都有座位列出不等式，求出m的取值范围，设租金为w元，可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车载客人数为x人，每辆型客车坐满后的载客人数为y人， 根据题意，得， 解得， 答：每辆型客车载客人数为49人，每辆型客车坐满后的载客人数为42人； （2）解：设租A种客车m辆，则组B种客车辆， 根据题意，得， 解得， 设租金为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最小值为， 此时， 即租A种客车3辆，B种客车5辆，租金最低，最低租金为7000元． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，一件型丝绸进价比一件型丝绸进价多元． (1)求一件 型，型丝绸的进价分别为多少元? (2)若销售商购进型，型丝绸共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． ①求的取值范围； ②已知型的售价是元/件，型的售价为元/件．则该商家应如何安排进货，才能使销售总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元 (2)①；②购进型丝绸件，型丝绸件时，销售总利润最大，最大利润为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元，根据题意列出方程即可求解； （）①根据题意列出不等式组解答即可求解；②设销售这批丝绸的利润为元，根据题意求出与之间的一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，为原方程的解， ∴ ， 答：一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元； （2）解：①由题意得，， 解得， ∴的取值范围为； ②设销售这批丝绸的利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当，即购进型丝绸件，型丝绸件时，销售总利润最大， 此时最大利润元． 3．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． (2)超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（2025·浙江绍兴·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【答案】(1)42 (2)100 (3)乙车在该区间测速路段超速了 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意可得：甲车的平均速度为105千米/小时,行驶的时间为小时,据此可求出行驶的路程m； （2）先利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而可求得C点的坐标为，由（1）得，由此可得直线经过，再利用待定系数法求得直线的解析式为，由此可得； （3）由可得时，，进而可得乙车在该路段上的总用时间，再求出乙车的平均速度，然后与120作比较即可得解． 【详解】（1）解：（1）由题意可得，当时，． （2）解：设直线的解析式为：， 由题意可得，它经过点，代入可得， ∴所以直线的解析式为：， ∴点横坐标， 当时，， ∴点的坐标为． 由（1）可得，， ∴直线经过点． 设直线的解析式为：， 则解得， ∴， ∴． （3）解：当时，， 解得， ∴乙车在该路段上的总用时为（小时）， 乙车的平均速度为：， ∴乙车在该区间测速路段超速了． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题． (1)当乙出发后几小时甲追上了乙? (2)设甲、乙两人相距的路程为， ①如图2，补全其图象； ②当时，求对应t的值． 【答案】(1)1.8小时 (2)①见解析；② 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、画一次函数图象、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画一次函数的图象，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，分别求出关于时间的函数解析式，令，可求解； （2）①当时，；当时，，据此求出对应的函数解析式，即可补全图象；②根据①中求出的函数解析式解答即可． 【详解】（1）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为， 设， 代入得： 解得：， ∴， 设，代入得， 解得：， ∴ 当时，， 解得， ∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙； （2）①当时，； 当时，； 补全图象如图， ②解：当时，； 解得，， 当时，； 解得 ∴对应t的值为． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 【答案】(1)，小明，； (2)，； (3)见解析； (4)在时或时，小明和小亮相距． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）利用待定系数法分别求出解析式即可； （）图中，交点坐标为，即小明和小亮相遇，从而可判断的实际意义； （）分当小明与小亮相遇前和当小明与小亮相遇后进行分析即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，表示小亮行驶的路程与小明行驶时间的关系，表示小明行驶的路程与行驶时间的关系， ∴小亮先骑了，小明先到达目的地， 故答案为：，小明，； （2）解：设直线函数表达式是，根据图象可知，直线过点， ，解得：， ∴直线函数表达式是， 设直线函数表达式是，把和代入， 得， 解得：， ∴直线函数表达式是； （3）解：∵图中，交点坐标为， ∴的实际意义小明出发后小时追上小亮（或小明在追上小亮或小明小亮两个人在相遇）； （4）解：当小明与小亮相遇前， ∴， 解得：， ∴时小明和小亮相距； 当小明与小亮相遇后， ∴， 解得：， ∴， ∴时小明和小亮相距； 综上可知：在时或时，小明和小亮相距． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)对比图1，图2可知：__________，__________，__________； (3)甲、乙相遇前，乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出的值） 【答案】(1)； (2)12；；24 (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信息是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出当时，和，然后作差即可求出a；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出c； （3）根据题意分2种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设 将，代入得， 解得 ∴； 设 将代入得， 解得 ∴； （2）解：当时，， ∴； 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇 ∴联立得， 解得 ∴； 当时，， ∴； （3）解：根据题意得， 当甲还没出发时，， 解得：； 当甲出发后，追上乙前，， 解得， 综上所述，甲、乙相遇前，乙出发或小时，甲、乙两人相距． 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小； (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等． （1）运动路程为，结合图形即可求解； （2）先作出函数图象，根据图象即可解答； （3）先求出时x的值，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，， 当时，， ∴； （2）如图所示， 当时，y随x的增大而减小； （3）解，令，则或， ∴当时，自变量的取值范围为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； （2）解：当时，点在上， ， 此时， ∴， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大； （4）解：由图象可得：当时的取值范围为：． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用； （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．    当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处． ，由勾股定理可得， 当时，关于的函数解析式为． 当，两点都在上运动时，， 令，解得， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为． （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 当时，． 如图2，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． （3）当时，分别代入函数，中， 得或， 解得或． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 2．（2025·浙江温州·二模）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（    ） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数图象．熟练掌握行程问题的s—v图象数据，路程与速度和时间的计算，是解题的关键． 由两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为2.5分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值． 【详解】解：由图象可得， 小鹿的速度为（千米/分钟）， 小鹿行完全程的时间为（分钟）， 在休息点休息的时间为（分钟）， 小鹿与小晨的速度差为（千米/分钟）， 小晨的速度为（千米/分钟）， 小晨行完全程的时间为（分钟）， 图书馆到休息点的路程为（千米）， 小晨从休息点到公园的时间为（分钟）， ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，由时，，可判断；由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， 可判断，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵时，， ∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意； 由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， ∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意； ∵景点离家， ∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意； ∵轿车每行驶，耗油， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 4．（2025·江西景德镇·一模）漏壶是一种古代计时器，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通．液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．用表示漏水时间，表示圆柱容器的液面高度．下列图象中，适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、判断一次函数的图象 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意是解题关键． 根据题意设漏水的速度为v（定值），圆柱容器底面积为s（定值），确定，再由实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，即可得出结果． 【详解】解：∵液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中， ∴设漏水的速度为v（定值），圆柱容器底面积为s（定值）， ∴， ∴， ∵实验开始时圆柱容器中已有一部分液体， ∴当时，， ∴为一次函数， 故选：A． 二、填空题 5．（2025·山东济南·二模）甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 ，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 ，甲乙两车与甲车出发点的距离与行驶时间的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 s 可与乙车相遇． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，读懂题意，从图象中获取到有用信息是解题的关键． 根据函数图象，得出甲车从出发点到红灯处距离为，从出发点到等完红灯用时40秒，即可求得甲车的速度为，由图可知：乙车从出发点到红灯处距离为，行驶时间为，即可求得乙车的速度为，再求出甲车等完红灯后，甲乙两车相距的距离为，用距离差除以速度差等于追及的时间可求解． 【详解】解：由图可知：甲车从出发到红灯处距离为，从出发到等完红灯用时40秒，而等红灯用时20秒， 则甲车从出发点到红灯处用时(秒)， ∴甲车的速度为， 由图可知：乙车从出发到红灯处距离为，时间为， ∴乙车的速度为， 甲车等完红灯后，此时甲乙两车相距的距离为， ∴甲车通过前方路口后，乙车相遇要再行驶的时间为：， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗 棵时才能获得最大利润，最大利润是 元． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，先利用待定系数法求出的解析式，然后把代入函数解析式，求出此时铁块下降的高度，再求出铁块底面距离杯底的距离即可． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ． 三、解答题 9．（2025·湖北恩施·一模）某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元 (1)求与的函数关系式 (2)某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？ (3)若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)不存在，见解析； (3)购进商品甲件、商品乙33件能获得最大利润，最大利润是元 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． 根据总利润与单件利润之间的关系，可得与的函数关系式； 当时，可得：，解方程可得：，因为，所以这种方案不存在； 根购据进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，可得又因为是整数，所以可知当时，值最大，最大值是元． 【详解】（1）解：， 整理得： 与的函数关系式为； （2）解：这种方案不存在， 理由如下： 当时， 可得：， 解得：， ， 这种方案不存在； （3）解：根据题意，得， 解得：， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，值最大， ，（件）， 答：购进商品甲件、商品乙件能获得最大利润，最大利润是元． 10．（24-25八年级下·上海松江·期中）某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图像，回答下列问题： (1)系统维护的固定成本是________元． (2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且． ①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本． ②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？ 【答案】(1)2000 (2)①6元；②5750人 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数解决实际问题，读懂题意是解题的关键． （1）由图像与y轴的交点的坐标即可解答； （2）①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，得到，，根据得到方程，求解即可； ②先求出当时，；当时，．判断当时，，因此得到，求解即可． 【详解】（1）解：由图像可得，当时，， ∴系统维护的固定成本是2000元． 故答案为：2000； （2）解：①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，则当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为元， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元． ②由①可知：当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元；当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为4元． ∴当时，； 当时，． ∴当时，， ∴当时，， ∴， 解得． ∴该公司至少服务客户5750人． 11．（北京市通州区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）欢欢一家前往某地“一日游”，计划租用汽车自驾出游．根据所给信息，解答下列问题： 甲公司：按日收取固定租金90元，另外再按租车时间（小时）计费； 乙公司：无固定租金，直接以租车时间（小时）计费，每小时租金30元． 方案一：选择甲公司； 方案二：选择乙公司． 选择哪个方案合理呢？ (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式； (2)欢欢选择哪一家租车公司更划算． 【答案】(1)， (2)欢欢选择甲公司更划算 【知识点】正比例函数的图象、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，读懂函数图象和熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据函数图象，求出函数经过的点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出时，，再结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：设， 由题意和图象可知，函数图象经过点和，代入得：， 解得， 所以； 设， 由函数图象可知，图象经过点，代入得：， 所以． （2）解：当时，则，解得， 所以结合函数图象可知，当时，，则选择乙公司更划算， 当时，，则选择甲、乙公司一样， 当时，，则选择甲公司更划算， ∵欢欢一家前往某地“一日游”， ∴， ∴欢欢选择甲公司更划算． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示，为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_______________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)已知该超市有120辆购物车需要从1楼转运到2楼，若每次使用扶手电梯转运24辆，每次使用直立电梯转运数量为第（2）问所求结果，使用手扶电梯和直立电梯两种方式总次数为6次（两种转运方式必须都使用），则有几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】(1) (2)16辆 (3)共有3种运输方案，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式． （1）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （2）把代入解析式，求出的值即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 车身总长与购物车辆数的表达式为； 故答案为：； （2）解：当时，， 解得，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 根据题意得：， 解得， 为正整数，且， ， 共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输3次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输1次． 13．（　重庆市开州初中教育集团九2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题）如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为． (1)请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)函数图像见解析：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、动点问题的函数图象 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算，函数的图象和性质，动点问题的函数图象，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，当时，当时，根据三角形的面积公式得到；根据题意得到； （2）根据题意画出函数图象，由函数图象得到函数的性质即可； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 当时，则， ； 当时，则， ， 综上所述，； ， ， 即； （2）解：函数图象如图所示； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：由函数图象得，当时，的取值范围为． 14．（24-25九年级下·吉林松原·期中）大疆公司的某车间为我市环保部门生产一批红外线摄像头，用于对我市区域内工厂的排放情况进行日常观察．该车间甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同生产摄像头．设甲组工作的时间为（小时），甲组生产摄像头的数量为（个），乙组生产摄像头的数量为（个），其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的值，并说明的实际意义； (3)请直接写出当甲组工作多长时间时，甲、乙两组生产摄像头的总数为480个． 【答案】(1)； (2)，当甲组工人工作8小时时共生产280个摄像头； (3)当甲组工作7个小时时，甲、乙两组生产摄像头的总数为480个． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次方程的解法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）计算出甲组工人每小时生产摄像头的数量，从而计算8小时时生产的摄像头的数量，即的值，进而写出的实际意义即可； （3）设甲组工作小时，甲、乙两组生产摄像头的总数为480个，根据“生产摄像头的总数甲组生产摄像头的数量乙组生产摄像头的数量”列关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式与的取值范围为． （2）解：甲组工人每小时生产（个摄像头， 甲组停产检修机器用时（小时）， 则甲组工人工作8小时时共生产（个摄像头， ，其实际意义表示甲组工人工作8小时时共生产280个摄像头． （3）解：设甲组工作小时，甲、乙两组生产摄像头的总数为480个． 根据图象，得， 解得． 答：甲组工作7个小时，甲、乙两组生产摄像头的总数为480个． 15．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，于点D．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒的速度沿线段运动．点F以每秒的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，EF的长度记为． (1)请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值． 【答案】(1) (2)见解析，该函数图象在自变量取值范围内是轴对称图形，对称轴是直线 (3)或 【知识点】画一次函数图象、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解； （2）描点，画出图象，即可求解； （3）结合图象求出的解析式，联立方程组可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述：； （2）解：列表，描点，连线得： x 0 2 4 y 6 0 6 性质：该函数图象在自变量取值范围内是轴对称图形，对称轴是直线 （3）解：由图象可得：当时，；当时，， ∵ ∴当时，， ∴； 当时，， ∴． 16．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小明家汽车油箱可容纳的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：）随行驶路程x（单位）的增加而减少．为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量），小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量． 行驶路程 0 100 200 300 400 500 剩余油量 45 37 29 21 13 5 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的．尝试根据上述背景信息解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象； (2)该车的耗油量为________，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式________，其中自变量x的取值范围是________； (3)已知该汽车在油箱中剩余油量低于时，将自动报警．周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家？________．（填“能”或“不能”） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)能 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法及一元一次方程的解法是解题的关键． （1）运用描点、连线的步骤作图即可； （2）根据每千米的耗油量、耗油量、行驶里程即可计算该车的耗油量，由“出发时油箱的油量消耗的油量”写出y关于行驶路程x的函数解析式，令列关于x的方程并求解，即x的最大值，从而得到x的取值范围即可解答； （3）求出一个往返后油箱剩余油量并与3L比较大小即可得出结论即可． 【详解】（1）解：描点、连线可得如图所示： （2）解：该车的耗油量为， y关于行驶路程x的函数解析式为， 当时，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：，，． （3）解：， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 故答案为：能． 17．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． （2）解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元． 购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表： 销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售 售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克 若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半． (1)当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润． 【答案】(1) (2)该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据利润售价进价，列出函数解析式即可； （2）先根据最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理求出，再根据一次函数的最值求出结果即可． 【详解】（1）解：当批发量超过2000千克时， ； （2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为： （元）， 即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$