专题21 一次函数与几何图形综合的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题21 一次函数与几何图形综合的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数与三角形的综合 2 类型二、一次函数与平行四边形的综合 11 类型三、一次函数与矩形的综合 19 类型四、一次函数与菱形的综合 27 类型五、一次函数与正方形的综合 36 压轴能力测评（10题） 47 解题知识必备 一、一次函数基础 1.表达式： 一般式：y = kx + b（ k ≠ 0 ）， k为斜率，b为截距。 两点式：已知两点 (x1, y1)、(x2, y2) ，斜率 k = 。 2.图象性质： k>0时，图象过一、三象限； k < 0 时，过二、四象限。b 决定与y轴交点：(0, b) 。 3. 两直线位置关系： 平行：斜率相等（ k1 = k2 ）。 垂直：斜率乘积为 -1（ k1 * k2 = -1 ）。 二、几何图形核心知识 1. 坐标系中的点与距离 点坐标： x轴上点：(a, 0) ；y 轴上点：(0, b) 。 对称点：点 (x, y)关于x轴对称(x, -y) ，关于y轴对称(-x, y) ，关于原点对称(-x, -y) 。 2. 三角形相关 面积计算： 底乘高法：找水平/竖直边为底，对应高易求。 分割法：用坐标轴或直线将三角形分成易算部分。 公式法：已知三点坐标，用行列式或 shoelace 公式。 特殊三角形： 等腰三角形：两边相等（需分类讨论顶点位置）。 直角三角形：两直角边斜率乘积为 -1，或用勾股定理。 3. 四边形相关 平行四边形：对边平行且相等（坐标满足中点重合：对角线中点相同）。 矩形/菱形/正方形：在平行四边形基础上，结合边长、斜率或对角线垂直/相等判定。 三、综合解题关键技能 1.设点坐标：用含未知数的坐标表示动点（如 (t, kt + b) ）。 2.方程思想：通过几何条件（如距离、面积、角度）列方程求解未知数。 3.分类讨论：动点位置不确定时，分情况讨论（如在直线某侧、线段内外）。 4.数形结合：画草图分析函数图象与图形的位置关系，标注关键点坐标。 四、常见题型与思路 求图形面积：用函数解析式表示边长或高，代入面积公式。 存在性问题（如等腰三角形、平行四边形）： 设定动点坐标，根据几何性质列等式（如距离相等、斜率关系）。 解方程并验证是否符合题意。 核心逻辑：用代数方法（坐标、方程）解决几何问题，结合图形性质简化计算。． 压轴题型讲练 类型一、一次函数与三角形的综合 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期末）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点的坐标为，求点的坐标； (2)如图3，直线分别交轴、轴于点、，直线过点交轴于点，且．求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若点是直线上且位于第三象限的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交x轴于点D，则，进一步得到，即可证明，则和，结合点A的坐标即可求得点B的坐标； （2）根据题意得点，结合等腰三角形的性质得，则点，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）根据直线求得点A和点C坐标，即可知，则，设点，点，分、和三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交x轴于点D，如图， 则， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则点的坐标； （2）解：∵直线分别交轴、轴于点、， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∴点， 设直线的表达式，则 ，解得， 则直线的表达式； （3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ①当时，（点M在x轴上方），如图，    分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 同理可得：， ∴，， 即：，， 解得：，； 故点； 同理当点M在x轴下方时， ∴，，解得：（舍去）； ②当时，如图，    同理可得：，， 解得：，， ∴； ③当时，如上图， 同理可得：，， 解得：，， ∴； 综上，或． 【点睛】本题属于一次函数和三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在中，，，，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A，C关于y轴对称． (1)判断是什么特殊三角形，并说明理由． (2)如图2，若点D为x轴下方平面内一动点，且，连接，求线段的最大值． (3)如图2，若点D坐标为，过点D的直线，将四边形分成面积相等的两部分时，请直接写出b的值． 【答案】(1)是等边三角形； (2)线段的最大值为； (3)． 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、一次函数与几何综合、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据轴对称图形的性质求得，，根据等边三角形的判定即可得到是等边三角形； （2）当共线时，线段有最大值，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）过点作轴于点，求得是等边三角形，，再求得四边形的面积，设过点的直线交于点，由题意得的面积，求得点坐标为，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵，点A，C关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：连接， ∵，点A，C关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴当共线时，线段有最大值， ∴线段的最大值为； （3）解：过点作轴于点， ∵点D坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴四边形的面积， 设过点的直线交于点， 由题意得的面积的面积， ∴，即， 解得， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴点坐标为， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，点为y轴正半轴上一点，且． (1)三角形是否为等边三角形 （填：是或否）；若点M为中点，点P为y轴上一点，当三角形周长最小时，周长的最小值为 ；此时点P的坐标为 ；（后两空均用含m的代数式来表示） (2)在（1）的基础上，延长至点E；使点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在上，且交于点N． ①求证：三角形是等边三角形； ②求证：； ③点P在运动过程中，的值是否为定值，若是请求出此值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是；； (2)①见解析②见解析③的值是定值，为4． 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键，难点在于根据边的长度相等得到相等的边． （1）由两点间距离公式求出，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，由直角三角形两锐角互余得出，可判断出是等边三角形，由中点坐标公式求出，连接，得的最小值为，求出，，从而可求出的周长最小值，运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出，可得点P的坐标； （2）①由（1）知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再求出，从而得到，可得，结合即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，即可得证； ③由是等边三角形可得，然后求出，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； ∵，，为的中点， ∴，即， 连接交轴于点，则， 根据两点间距离最短得的最小值为，即， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为； 设直线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，求出， ∴点的坐标为； 故答案为：是；；； （2）解：①证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； ②证明：由三角形的外角性质得，，， 所以，； ③∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故的值是定值，为4． 类型二、一次函数与平行四边形的综合 例题：（24-25九年级上·重庆万州·期末）已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：时，y随t的增大而减小；时，y随t的增大而增大 (3) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、动点问题的函数图象 【分析】对于（1），分两段讨论：当时，先表示出即可得出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例表示；当时，表示，再根据得出关系式即可； 对于（2），根据关系式画出图象，再写出性质； 对于（3），观察图象得出交点坐标，再根据图象在上方的函数值大可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． 当时，根据题意可知 ∴． ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：； （2）解：如图所示： 当时，y随着t的增大而减小；当时，y随着t的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：观察图象可知当或时，， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，根据两直线的交点解不等式，理解根据函数图象的位置判断函数值的大小是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动． 如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________________； (2)探究迁移：若点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)； (2)矩形，理由见解析； (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了一次函数，待定系数法，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定，利用分类讨论思想，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设经过时间， ，，， ，， 点在直线：上，点在直线：上， 且轴，轴， ，， ， 又 轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时且在原点右侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． 当点在左侧时，且在原点左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点左侧时， 经过时间，则，，， ，与前一种情况一样． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点． (1)点B的坐标为 　 ；点C的坐标为 　 ； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点P在上，过点P作y轴的平行线，过点G作x轴的平行线，它们相交于点M，将沿直线翻折，点M的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点关于坐标轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，求点的坐标即可； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）当点P在边上时，设，且，若点P关于x轴的对称点在直线上，得，若点P关于y轴的对称点在直线上，得，即可得出答案； （4）根据题意可知点M的对称点落在y轴上，再由，可求． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点A的坐标为， ∴，， ∵点D的坐标为， ∴， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴； （3）解：当点P在边上时， ∵直线的解析式为， 设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时， 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴， 解得， 此时， 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：如图， ∵轴，轴， ∴点M的对称点落在y轴上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型三、一次函数与矩形的综合 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1)①；②， (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（Ⅰ）①根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； ②在上取点，使，连接，，则，证明，得出，证明，得出，可求出，根据两点间距离公式求出，，由，则当E、M、共线时，，最小值为，故周长的最小值为，进而可求出M的坐标； （2）作于H，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）解：①∵矩形，，， ∴，，，，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式，过点、点， ∴，解得：， ∴直线的解析式； ②∵， ∴， ∵， ∴， 在上取点，使，连接，，则， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当E、M、共线时，，最小值为， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴轴，， ∴M的纵坐标为1， 把代入，得， 解得， ∴． （2）解：如图，作于H， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴，， 又，   ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，两点之间线段最短．灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求b的值； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题； （3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 点的坐标为， ，， ， 把代入中得：， 解得：； （2）解：由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ， 设点的横坐标为，则， 解得：， 把代入中得：， ； （3）解：如图所示，过点作轴交于点， ， ， ， 作点关于一次函数的对称点，且与直线交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ， ，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，直角三角形的性质以及勾股定理，属于中考压轴题． 2．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图．       (1)已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； (2)已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、一次函数与几何综合、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）根据“率矩形”定义，把将点坐标代入，即可求出k的值，再利用矩形的性质即可求出点坐标，最后利用勾股定理即可求出的长； （2）设和交点为，①根据矩形为“矩形”，直线平分该矩形的面积，联立两直线解析式可得出矩形的对角线的交点坐标为，根据与轴垂直，可得，即可得答案；②根据矩形为“矩形”可知解析式为，与轴正半轴的夹角为，由轴及点A的坐标，即可得出，过点作于，可用表示出、、的长，进而表示出矩形的面积，矩形的面积大于列不等式即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∴； ∵“矩形”，点，在直线上， ∴， ∴， ∴，则，解得：， ∴， ∴； （2）设和交点为， ①∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴直线必经过矩形的对角线的交点， 联立两直线解析式得：， 解得：， ∴， ∵、两点连线与轴平行，即垂直轴， ∴， ∴． ②∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∴与轴正半轴的夹角为， ∵对角线与轴垂直，且， 令，解得：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∵矩形的面积大于， ∴ ∴， 当，即时，则， 解得：， 当，即时，则， 解得：， ∴当或时矩形的面积大于． 【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数与几何综合、求一次函数解析式及解一元一次不等式，正确表示出矩形的面积，解题关键． 类型四、一次函数与菱形的综合 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点，动点从出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，设的面积为 (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出一次函数的图象与（2）中的函数图象有两个交点时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析；当时，随增大而增大 (3)，且 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，菱形的性质，利用三角形面积公式列出函数表达式是解题的关键． （1）利用菱形的性质表达出各边的长度，再利用三角形面积公式列出函数表达式即可； （2）根据函数表达式作图，再由图象分析出性质即可； （3）利用函数图象分析出的图象范围即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴在中，边上的高， ∵点的运动速度为每秒个单位长度， 当在上移动时，则 ∴， 当在上移动时，则，， ∴， ∴综上 （2）解：把代入可得：， ∴函数过点； 把代入可得： ∴函数过点； ∴由此可作图象为： 由图象可得：当时，随增大而增大． （3）解：函数， ∴此函数必过定点， ∴当直线在如图所示直线之间时符合题意， ∴把代入可得：；把代入可得：； ∴的取值范围为：，且． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读与思考：在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和四边形，给出如下定义：点关于直线的对称点落在四边形所围成的图形上及其内部，则称点是四边形关于直线的可触碰点．已知点，，，． (1)四边形是 （填：平行四边形、菱形、矩形或正方形）；是四边形关于直线的可触碰点，则的取值范围是 ． (2)已知点是直线上的一动点，当是四边形关于直线的可触碰点时，求满足条件的所有点组成的几何图形的面积． 【答案】(1)菱形， (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】（1）由勾股定理求出，即可判断四边形的形状，求出关于直线的对称点为，结合可触碰点的定义得出，计算即可得解； （2）由题意可得，四边形关于直线对称的图形为，其中，，，，结合可触碰点的定义得出在四边形内部及其边框上，直线代表的是直线及其下方的所有平行直线，点恰好在直线上，设该直线与直线的交点为点，从而可得点的所有点组成的图形为四边形，求出直线的解析式为，联立得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵是四边形关于直线的可触碰点， ∴关于直线的对称点为， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得，四边形关于直线对称的图形为，其中，，，， ， ∵是四边形关于直线的可触碰点， ∴在四边形内部及其边框上， 直线代表的是直线及其下方的所有平行直线，点恰好在直线上，设该直线与直线的交点为点， ∴点的所有点组成的图形为四边形， 设直线的解析式为， 将，代入直线得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称的性质、菱形的判定定理、勾股定理、一次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知菱形的边在x轴的正半轴上，对角线相交于点P，直线交y轴于点D，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)点Q是线段上一点（不与点O、D重合），连接，在第一象限内将沿翻折得到，点O的对应点为点E．若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若有一动点． ①若点T在内部（不包括边），求a的取值范围； ②在平面直角坐标系内是否存在点T，使最大？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)①，② 【知识点】利用菱形的性质求线段长、一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】（1）如图1：过点B作轴于点F，由菱形的性质得到，设，在中，根据勾股定理求出，得到，设直线的解析式的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）由翻折得：，，根据菱形的性质得到，如图2：过点P作，垂足分别为M，N，证明，四边形是矩形得到，即可求出线段的长； （3）①由点T坐标得到点T是直线上的一点，当时，，求出直线的解析式，得到直线与直线的交点坐标为，由此得到若点T在内部（不包括边），则a的取值范围是；②做Q或者E关于直线的对称点，再根据三点共线列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图1：过点B作轴于点F， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设，在中，， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式的解析式为， ∴，解得∶， ∴直线的解析式的解析式为． （2）解：由翻折得，， ∵菱形的对角线相交于点P，点B的坐标为． ∴， 如图2：过点P作，垂足分别为M，N， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：①如图3： ∵点， ∴点T是直线上的一点， ∵， ∴当时，， 设直线的解析式为， ∴，解得∶， ∴， 解方程组，得∶ ∴直线与直线的交点坐标为， ∴若点T在内部（不包括边），则a的取值范围是． ②存在，如图4∶ 由点T是直线上的一点，则， 如图：作直线交y轴于N，交于M，连接 设直线∶，由（1）可知，点， 则：，解得：， ∴， 与联立可得： ，解得：， ∴， ∵， ∴M为的中点， ∵， ∴，即轴， ∴， 由（2）可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵轴， ∴即， ∴， ∴当三点共线时，在中，由三角形的两边之和大于第三边可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴当点Q，T，E共线时， 如图：延长交直线于点，此时：，即有最大值， ∴当T取位置时，取最大值． 设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵为直线与直线的交点， ∴，解得：，即， ∴， ∴存在点T，坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合、待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理、两条直线的交点坐标、菱形的性质、三角形三边关系的应用等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 类型五、一次函数与正方形的综合 例题：（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点D是的中点，以为边，在x轴上方作正方形．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动时间为t秒，三角形的面积为S（），解答下列问题． (1)点B的坐标为______；当点P在线段上时，的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)当时，三角形的面积为______； (3)求点P运动过程中三角形的面积S和运动时间t之间的数量关系（用含t的代数式表示S）； (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)；； (2)2； (3)； (4)1或或2 【知识点】坐标与图形综合、用关系式表示变量间的关系、等腰三角形的定义、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，列函数关系式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用三角形面积计算公式解题即可； （3）分为，和时，点P的位置计算即可； （4）分点P运动到B、D两点，运动到中点三种情况，分别求出对应的路程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴点B的坐标为； 当点在线段上时，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时，点在线段上， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，点P在上， ； 当时，点P在上， ； 当时，点P在上，， ； 综上所述，； （4）解：当点P运动到点D时，此时有，满足是等腰三角形， ∴此时； 当点P运动到点B时，此时有，满足是等腰三角形， ∴此时； 如图所示，当点P运动到的中点时，则， 又∵， ∴， ∴，即此时满足是等腰三角形， ∴此时， 综上所述，t的值为1或或2． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、正比例函数的性质 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，证明，得出，即可求解． （2）①过点作交于点，交于点，根据题意可得，得出四边形是矩形，，证明，再证明，得出，即可得，，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理可得． ②根据，得出，根据四边形是矩形，得出，表示出，，得出，根据，得出，结合，根据勾股定理得出，即可得． （3）如图，连接，过点作轴，根据题意得出轴，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出，故点C在直线上运动，作点D关于直线的对称点，则，故，当点三点共线时，最小，即最小，过点A作轴于点H，则，根据勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：①过点作交于点，交于点， 根据题意可得， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作轴， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴轴，， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故点C在直线上运动， 作点D关于直线的对称点， 则， 故， 当点三点共线时，最小，即最小， 过点A作轴于点H， 则， ∴， 即的最小值为． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以为边在y轴的右侧作正方形，且． (1)求直线l的解析式； (2)如图1，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． ①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式__________； ②当最小时，求E点的坐标； ③如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，求出点H的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据正方形的性质求出，结合求出，得到，，再利用待定系数法求解即可； （2）①如图，轴于，证明，得出，，设，则，，结合，即可得解；②过C作C关于的对称点，连接，与的交点即为E点，此时最小，令交轴于，求出，待定系数法求出，联立求解即可；③由①得一线三垂直，，，则，分两种情况：当H在直线下方时；当H在直线上方时，设与交点为M，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ，， 将点A点B代入得：， 解得， ； （2）解：①如图，轴于， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴ ②过C作C关于的对称点，连接，与的交点即为E点，此时最小，令交轴于， 当时，，即， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ， ∵E为与交点， ， 解得：， 代入得：， ； ③当D为中点， ∴， 由①得一线三垂直，，， ， 当H在直线下方时， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 故此时E与H重合，； 当H在直线上方时，设与交点为M， 将沿折叠至上方，即， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， ， 当时，，即， ∴， ∴， 延长交于， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴ ∵H为和交点， ， 解得： ； 综上或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、坐标与图形、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（   ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、二次根式的除法、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，求出，，可得，求解平行四边形的面积为，过作于，再利用等面积法列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∴平行四边形的面积， 如图所示，过作于， 由平行四边形的性质可得， ∴， 解得：， ∴直线和直线的距离是为； 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线： 交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， 如图，取的中点， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ， ． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．     故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、两点之间线段最短 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短，能确定当最短时，点P的位置是解题的关键．连接，连接交于点，推出当最短时，点P位于，再利用待定系数法求出直线的解析式，并联立求出点的坐标即可． 【详解】解：连接，连接交于点， 四边形是菱形， 点C与点A关于对称， 最短时，点位 于点处， 四边形是菱形，, 设直线的解析式为, 解得 直线的解析式为, 设的解析式为, 直线的解析式为, 联立 解得， 故选：B. 二、填空题 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，，，、两点分别在、边上，且，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、一次函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图： 则， ∴， ∴ 在矩形中，， ∴ ∴四边形为矩形 ∴，， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则， 设直线解析式为 ∵，， ∴ ∴，代入得，，解得， 又∵点在直线上， ∴ 解得，即 ∴ ∴点坐标为 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、点坐标规律探索、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，点坐标规律探索，根据题意推导一般性规律是解题关键． 先找到直线与轴的交点，根据正方形的性质确定的坐标，以此类推，得出、的坐标，根据点的坐标变化总结出的坐标规律，即可求解． 【详解】解：令，解得：， ， 四边形是正方形， ； 当时，， ； 当时，， ， …… 观察规律发现，，，，……，， 的横坐标是． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】先求出直线得解析式，可得到点B的坐标，然后分两种情况：当四边形为菱形时，当四边形为菱形时，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ，解得：， ∴直线得解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 如图，当四边形为菱形时， ∴垂直平分， ∴点M，N的纵坐标均为，且点M，N关于y轴对称， 把代入得： ，解得：， ∴点M的坐标为， 此时点N的坐标为； 如图，当四边形为菱形时，延长交x轴于点P，此时，轴， 设点M的坐标为，则， ∵轴， ∴轴， ∴点N的坐标为，即 在中，， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 三、解答题 7．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）首先求出，，然后根据中心对称的性质求出，然后根据平行四边形的性质求出； （2）如图所示，点E为的中点，连接，，首先得出，然后分两种情况讨论，分别根据题意求出点F和点G的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况讨论，当点Q在y轴左边时，求出，得到所在直线表达式为，然后求出；当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点，根据对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点 ∴当时， ∴； 当时， 解得 ∴ ∵点关于点的对称点为点， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为16 ∴； （2）解：如图所示，点E为的中点，连接，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点E为的中点 ∴ ∴ ∵直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点F ∴当时， ∴ ∴ ∵， ∴点F的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 设表达式为 根据题意得， 解得 ∴的表达式为； ∴当时，如图交于点G ∴ ∵， ∴点G的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 同理利用待定系数法求出表达式为 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：如图所示， ∵直线与轴交于点（当点在点的下方）， ∴点M为直线直线与y轴的交点 ∴当时， ∴ 当点Q在y轴左边时， ∵， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴； 当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【知识点】一次函数与几何综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形中的翻折变换及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，再根据余角和含度角的直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理求出的值，即可得出答案； （2）过作轴于F，根据矩形的性质及勾股定理得出，再根据折叠的性质和勾股定理即可得出点的坐标，设，则，再次利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1），四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）过作轴于F，如图： ，四边形OABC是矩形， ，， ， ， 点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点， ，， ，， ，， ， ， ； 设，则， ， ， 解得， ， 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知矩形的顶点A，C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段，的长度满足等式，直线分别与x轴，y轴交于M，两点，将沿直线折叠，C恰好落在直线上的点D处． (1)求点B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)将直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线扫过矩形的面积S关于运动的时间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、矩形与折叠问题、写出直角坐标系中点的坐标、一次函数图象平移问题 【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标； （2）利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）设直线平移后交y轴于点，交于点，当点在x轴上方时，可知S即为的面积，当在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由，可分别得到S与t的函数关系式． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：把、的坐标代入可得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：设直线平移后交y轴于点，交于点， 当点在x轴上方，即时，如图1， 由题意可知四边形为平行四边形，且， ∴； 当点在y轴负半轴上，即时，设直线交x轴于点G，如图2， ∵， ∴可设直线解析式为， 令，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上可知S与t的函数关系式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、待定系数法、矩形的性质、折叠的性质、平移的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）学会利用待定系数法确定函数关系式是解题的关键，在（3）中确定出扫过的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，如果一个点运动所形成的图象是一条直线，那么这条直线叫做这个点的“踪线”．特别的，当形成的图象是线段时，我们把这条线段的长叫做这个点的“踪线长”．例如：点的踪线为直线，直线是点的踪线，点的踪线为直线． (1)试判断点的踪线是否为，并说明理由； (2)若点，求O到点B踪线的距离； (3)如图，正方形的边长为4，点M从点O出发向点C运动，同时点N从点C出发向点D运动，在整个运动过程中，始终保持，连接，设的中点为G，求点G的踪线长． 【答案】(1)是；理由见解析 (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）令，，得，即得点的踪线为； （2）令，，得，得点的踪线为，与坐标轴的交点为，，作，根据，由的面积公式可得点O到点B踪线的距离是． （3）设，，得，，得中点G为，得 踪线为，得点G的踪线两端点的坐标为和，得点G的踪线长为． 【详解】（1）解：点的踪线是， 理由如下： 令，， 则， 即， 点的踪线为； （2）解：令，， 则， 即， 点的踪线为， 则点O到点B踪线的距离即为点O到直线的距离， 如图，直线与坐标轴的交点为， 作， ， 由的面积公式可知：， ， 点O到点B踪线的距离是． （3）解：设， 则，，， 中点G为， 令，， ， 即点G的踪线为； 当时，，时， 点G的踪线两端点的坐标为和， ∴， 点G的踪线长为． 【点睛】本题考查了新定义——点的踪线．点的踪线长，熟练掌握新定义，求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，面积法求三角形的高，正方形性质，勾股定理，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$