专题21 一次函数与几何图形综合的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题21 一次函数与几何图形综合的五种考法

解题知识必备

一、一次函数基础

1.表达式：

一般式：y = kx + b（ k ≠ 0 ）， k为斜率，b为截距。

两点式：已知两点  (x1, y1)、(x2, y2) ，斜率  k = 。

2.图象性质：

k>0时，图象过一、三象限； k < 0  时，过二、四象限。b 决定与y轴交点：(0, b) 。

3. 两直线位置关系：

平行：斜率相等（ k1 = k2 ）。

垂直：斜率乘积为 -1（  k1 * k2  = -1 ）。

二、几何图形核心知识

1. 坐标系中的点与距离

点坐标：

x轴上点：(a, 0) ；y 轴上点：(0, b) 。

对称点：点 (x, y)关于x轴对称(x, -y) ，关于y轴对称(-x, y) ，关于原点对称(-x, -y) 。

2. 三角形相关

面积计算：

底乘高法：找水平/竖直边为底，对应高易求。

分割法：用坐标轴或直线将三角形分成易算部分。

公式法：已知三点坐标，用行列式或 shoelace 公式。

特殊三角形：

等腰三角形：两边相等（需分类讨论顶点位置）。

直角三角形：两直角边斜率乘积为 -1，或用勾股定理。

3. 四边形相关

平行四边形：对边平行且相等（坐标满足中点重合：对角线中点相同）。

矩形/菱形/正方形：在平行四边形基础上，结合边长、斜率或对角线垂直/相等判定。

三、综合解题关键技能

1.设点坐标：用含未知数的坐标表示动点（如  (t, kt + b) ）。

2.方程思想：通过几何条件（如距离、面积、角度）列方程求解未知数。

3.分类讨论：动点位置不确定时，分情况讨论（如在直线某侧、线段内外）。

4.数形结合：画草图分析函数图象与图形的位置关系，标注关键点坐标。

四、常见题型与思路

求图形面积：用函数解析式表示边长或高，代入面积公式。

存在性问题（如等腰三角形、平行四边形）：

设定动点坐标，根据几何性质列等式（如距离相等、斜率关系）。

解方程并验证是否符合题意。

核心逻辑：用代数方法（坐标、方程）解决几何问题，结合图形性质简化计算。．

压轴题型讲练

类型一、一次函数与三角形的综合

例题：（24-25八年级上·河南郑州·期末）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．

(1)如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点的坐标为，求点的坐标；

(2)如图3，直线分别交轴、轴于点、，直线过点交轴于点，且．求

直线的表达式；

(3)在（2）的条件下，若点是直线上且位于第三象限的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合、求一次函数解析式

【分析】（1）过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交x轴于点D，则，进一步得到，即可证明，则和，结合点A的坐标即可求得点B的坐标；

（2）根据题意得点，结合等腰三角形的性质得，则点，利用待定系数法即可求得直线的表达式；

（3）根据直线求得点A和点C坐标，即可知，则，设点，点，分、和三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可．

【详解】（1）解：过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交x轴于点D，如图，

则，

∵是等腰直角三角形，，，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

在和中