专题4.7 一次函数的应用（1）一次函数与方程、不等式（专项练习）（夯实基础）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.7 一次函数的应用（1）一次函数与方程、不等式（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图像．如图，二元一次方程组（为常数）中的两个二元一次方程的图像交于点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（   ） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 1 5 9 ．．． A．y的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．不等式的解集为 D．关于的方程的解是 5．（21-22九年级下·浙江·期末）已知两直线和的交点为，则过两点、的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点．若是一次函数图象上的一点，且，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，函数与交于点，下面说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 9．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若的面积为，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知直线过点和点，那么关于的方程的解是 ． 12．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图．根据图象问题：当 时，． 13．（24-25八年级上·上海·单元测试）如果点在函数的图象上，点的坐标是，且为原点），的面积是4，那么 ． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 15．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是 ． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）若方程的解为，函数和的图象相交于点，m= ． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ，k的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 20．（本小题满分8分）（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． （1）填空：不等式的解集是________． （2）若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 22．（本小题满分10分）（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． （1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； （2）连接，若，求t的值； （3）P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南漯河·期中）直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． （1）求交点的坐标； （2）直接写出当取何值时． （3）在轴上取点使得，求的面积． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山东青岛·期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________，不等式的解是________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.7 一次函数的应用（1）一次函数与方程、不等式（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图像．如图，二元一次方程组（为常数）中的两个二元一次方程的图像交于点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是将坐标代入中，看等式是否成立． 解：A．将代入得，，解得，即，故错误，不符合题意； B．将代入得，，故错误，不符合题意； C．将代入得，，故错误，不符合题意； D．将代入得，，并且为常数，故正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（   ） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 1 5 9 ．．． A．y的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．不等式的解集为 D．关于的方程的解是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式和一元一次方程之间的关系，一次函数图象与其系数的关系，由表格数据可得增减性，进而可得，由当时，，得到，据此可判断A、B、C；再由当时，函数值为5，不是0可判断D． 解：由表格中的数据可知，y的值随值的增大而增大，故A说法错误，不符合题意 ∴， ∵当时，， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故B说法错误，不符合题意； ∵当时，，y的值随值的增大而增大， ∴不等式的解集为，故C说法正确，符合题意； ∵当时，函数值为5，不是0， ∴关于的方程的解不是，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（21-22九年级下·浙江·期末）已知两直线和的交点为，则过两点、的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求直线方程．把代入直线方程可得，即可求解． 解：∵两直线和的交点为， ∴， ∴点、满足的直线方程， 即过两点、的直线方程是． 故选：C． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点．若是一次函数图象上的一点，且，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形面积等知识，根据待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 由待定系数法求出一次函数的解析式为，得，则，再设点的坐标是，分两种情况， 当点在轴的左侧时，当点在轴的右侧时，然后由三角形面积关系分别求出点的坐标即可． 解：如图， 设一次函数的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设点的坐标是， 当点在轴的左侧时， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 当点在轴的右侧时， ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标是或， 故选：． 7．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，函数与交于点，下面说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 解：A、因为正比例函数过二四象限，所以，故选项不符合题意； B、因为正比例函数过二四象限，所以，因为直线与轴交于正半轴，而交点坐标为，所以，故，故选项不符合题意； C、由图可知当时，，故选项不符合题意； D、由图可知当时，，故选项符合题意． 故选：D． 9．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若的面积为，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 解：一次函数与坐标轴交于两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ， 故选：C． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是数形结合思想的应用． 求出直线过，可知当时，一次函数图象在直线的上方，观察图象可得答案． 解：当时，， 直线过， 不等式的解集是， 当时，一次函数图象在直线的上方， 观察各选项图象可知，符合条件的为， 故选：C． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知直线过点和点，那么关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，准确分析计算是解题的关键． 根据直线过点得到当时，即可求解． 解：∵直线过点 ∴当时 ∴的解为 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图．根据图象问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查的是利用函数图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键，根据图象再直线的下方可得答案． 解：根据函数图象可得： 当时，； 故答案为： 13．（24-25八年级上·上海·单元测试）如果点在函数的图象上，点的坐标是，且为原点），的面积是4，那么 ． 【答案】/90度 【分析】根据题意画出图形，由的面积是4，可得，求出，，根据勾股定理的逆定理即可求解．本题考查一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，数形结合求出是解题的关键． 解：如图，过点作于， 点的坐标是， ， ， ， 的面积是4， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 解：将代入得，解得：， 所以A点坐标为， 所以方程组的解是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、解一元一次不等式等知识．根据题意得，，继而解得，此时点C的横坐标为，由点在正方形内部，可得，且，据此解得的取值范围即可． 解：当轴，点是轴正半轴上的一个动点， ，， 点C的横坐标为， 点在正方形内部， ，且， 解得， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）若方程的解为，函数和的图象相交于点，m= ． 【答案】-2 【解析】略 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】先求出点，根据两点间距离公式求出，设点的坐标为，点P的坐标为，根据折叠的性质求出，，根据两点间距离公式求出，求出或，得出或，再根据两点间距离公式求出结果即可． 解：联立， 解得：， ∴， 则， 设点F的对应点为，设点的坐标为，点P的坐标为， 根据折叠可知：，， ∴， 即， 解得：或， ∴或， 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 综上分析可知，点P的横坐标为1或7． 故答案为：1或7． 【点拨】本题主要考查了一次函数的几何综合，折叠的性质，两点间距离公式，求两条直线的交点坐标，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式，准确计算． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ，k的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 利用直线的表达式求得A、B的坐标，进一步求得点C的坐标，求得直线分别过B、C时k的值，即可得到结论． 解：直线函数表达式为，其中点，点， ， ， ，， ∵点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点， ， ∵一次函数的图象过点， ， ， ∴一次函数为， 当经过点B时，则，解得， 当经过点C时，则，解得， 故k的最小值为，k的最大值为2， 故答案为：，2． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了求两直线的交点坐标，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）求出一次函数与轴和轴的交点坐标即可解决问题． 解：（1）解：把点代入函数得， ， 则函数解析式为：； 把点代入函数得， 则函数解析式为：； （2）解：令中的，则， ∴与轴的交点为， 令中的，则， ∴与轴的交点为， ∴三角形面积为：． 20．（本小题满分8分）（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意， 或者，当与x轴的夹角大于直线与x轴的夹角也符合题意， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． （1）填空：不等式的解集是________． （2）若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）①由函数图象可知，找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案； ②利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 解：（1）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①由函数图象可知，当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； ②∵一次函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． （1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； （2）连接，若，求t的值； （3）P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，一元一次方程，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． （1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得t的值； （3）过点D作轴于H，设，则可证明，即可得出，分情况讨论m的值，求解即可． 解：（1）解：∵直线：分别交y轴，x轴于点A，B， 令，则， 故点A的坐标为， 令，则， 故点B的坐标为， ∵直线：分别交x轴，直线于点C，D． 令，则， 解得：， ∴点C的坐标为， 联立，解得， 故点D的坐标为； 综上，； （2）解：连接， 则，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：过点D作轴于H， 设， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得或（A，D重合舍去）， 当时，， 解得或（舍）， 综上，或． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南漯河·期中）直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． （1）求交点的坐标； （2）直接写出当取何值时． （3）在轴上取点使得，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）联立方程组，可求解； （2）结合图象可求解； （3）先求出点P坐标，由三角形的面积公式可求解． 解：（1）解：联立方程组可得∶ 解得 点的坐标为． （2）解：如图，当时，． （3）解：直线交x轴于点，交轴于点， 点，点． 在轴上取点使得， ． 点或． 或 ． 或． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山东青岛·期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________，不等式的解是________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）通过观察图象求解即可． 解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，，； （3）联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$