精品解析：江苏省南通市2024-2025学年下学期七年级数学期中试题

2024~2025学年度第二学期期中学业质量监测试卷七年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若点在y轴上，那么点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组中，解是的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上的任意一点，则线段长度的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 11 D. 16 6. 若整数满足，则等于（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 已知关于的方程组，若，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ） A. 60 B. 48 C. 36 D. 24 9. 对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（ ） A. 13 B. C. 11 D. 10. 如图，一只电子蚂蚁，在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即，…，按照这样的运动规律，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. ____．（填“＞”、“＜”或“=”） 12. 一个正数的两个不同的平方根为和，则a为_______． 13. 若点到x轴的距离是7，且点P在第四象限，则点P的坐标是_______． 14. 如图，直线，如果，那么等于_______． 15. 如图，在长方形中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少，则小长方形的长为_______． 16. 甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 17. 如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为_______． 18. 在平面直角坐标系中，点，点，动点C的纵坐标为，，则三角形的面积为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 解方程组： （1）； （2）． 21. 在平面直角坐标系中，将三角形向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形，其中，如图所示． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）求出三角形的面积． 22. 一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 23. 如图，已知为上一点，连接交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，，求的度数． 24. 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可以概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ，即， 的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； （2）利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； （3）已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 25. 已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． （1）比较：_______（填“>”“<”或“=”）； （2）如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 26. 阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： （1）已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． （2）对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中学业质量监测试卷七年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数的三种形式：1、开方开不尽的数，2、无限不循环小数，3、含有的数．根据无限不循环小数为无理数即可求解． 【详解】解：，，0都是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 如图，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质和垂线的定义．先结合垂线的定义可求解的度数，再根据平行线的性质可求解． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 3. 若点在y轴上，那么点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标．根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ， 点A的坐标为． 故选：A． 4. 下列方程组中，解是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，若等号左右两边的值相等，即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，不符合题意； C、把代入方程组得：，符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上的任意一点，则线段长度的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 11 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，垂线段最短，解题的关键是掌握点的坐标的几何意义． 利用点的坐标的几何意义和垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据点的坐标的几何意义可得，点到轴的距离为点的横坐标的绝对值， 根据垂线段最短可得，线段长度的最小值是11． 故选：C． 6. 若整数满足，则等于（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法． 分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，即， ，即， ，即， ∴，即 ∴， 故选：B． 7. 已知关于的方程组，若，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 8. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ） A. 60 B. 48 C. 36 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 9. 对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（ ） A. 13 B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 10. 如图，一只电子蚂蚁，在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即，…，按照这样的运动规律，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，平移的性质，寻找点的坐标的规律等，解题的关键是熟练掌握平移的性质，善于发现规律． 将两次运动看作一个周期，每两次运动向右平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度，即可求解． 【详解】解：根据电子蚂蚁的运动轨迹可以将两次运动看作一个周期，即每两次运动向右平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度， ∴点可以看作是第50个周期运动的点， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. ____．（填“＞”、“＜”或“=”） 【答案】＞． 【解析】 【详解】∵5＞4， ∴＞2． ∴﹣1＞2﹣1，即﹣1＞1． ∴． 故答案为：＞． 12. 一个正数的两个不同的平方根为和，则a为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义和解一元一次方程，解题关键是明确一个正数的两个不同的平方根互为相反数，根据题意列出方程．利用平方根的意义列出方程求解即可． 【详解】解：根据平方根的定义可得， ， 解得，， 故答案为：3． 13. 若点到x轴的距离是7，且点P在第四象限，则点P的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限的点坐标的特征，化简绝对值．根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点到轴的距离为横坐标的绝对值，以及第四象限点坐标的横坐标为正数、纵坐标均负数，运算求解即可． 【详解】解：∵到x轴的距离是7，且点P在第四象限， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：． 14. 如图，直线，如果，那么等于_______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．根据平角的性质可求，再根据可知． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：80． 15. 如图，在长方形中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少，则小长方形的长为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设小长方形宽为，则长为，根据长方形的长列方程，解方程得到x的值，即可求出小长方形的长和宽． 【详解】解：设小长方形宽为，则长为， 根据题意得：， 解得， 则， 故答案为：7． 16. 甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组求解的步骤． 将代入②可求的值，将代入①可求的值，然后求解即可． 【详解】解： 将代入得， 解得， 将代入①得， 解得， ， 故答案为：4． 17. 如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查坐标与图形的平移，关键是根据坐标与图形的平移特点解答．根据坐标得出轴，轴，进而利用两点的距离得出方程解答． 【详解】解；正方形四个顶点的坐标分别是，，，， 轴，轴， 设， 线段平移之后得到线段，点的对应点为， ， ， ， 点到的距离等于点到的距离， ， ， 故答案为：， 18. 在平面直角坐标系中，点，点，动点C的纵坐标为，，则三角形的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，三角形的面积公式，绝对值的意义．先根据得，据此可得线段与轴平行，，且到轴的距离为，再求得动点C到线段的距离，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 点的坐标为， 又点的坐标为， 线段平行于轴，到轴的距离为：， ， 动点C的纵坐标为， 动点C到线段的距离为， 三角形的面积为， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的绝对值，乘方运算，解一元二次方程等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行乘方运算和求一个数的绝对值，然后再利用有理数的加减即可求解； （2）利用完全平方式和平方根即可求出方程的解． 【详解】解：（1） ； （2） 或 或． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解是； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解是． 21. 在平面直角坐标系中，将三角形向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形，其中，如图所示． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）求出三角形的面积． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移求出点的坐标，求网格中三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）根据平移的性质找到逆向平移后的对应点，连接对应点即可画出图形； （2）根据平移的性质求出点的坐标即可； （3）沿的顶点作正方形，利用割补法即可求出三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由经过向上平移3个单位长度，向左平移4个单位长度，根据平移的性质可得， ； 【小问3详解】 解：如图，沿的顶点作正方形， ． 22. 一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数字问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，表示出新数和原来的数，根据两个数的关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， ∴该数为，新数为， 根据题意得， 解得， ∴原来的两位数为． 23. 如图，已知为上一点，连接交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用平行线的性质及等量代换得出，根据同位角相等两直线平行即可得出结果； （2）根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，再利用平行线的性质即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ， ， ， 又， ∴的度数为． 24. 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可以概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ，即， 的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； （2）利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； （3）已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）先估算出，再根据材料二中的方法计算即可； （3）先估算出，，求得的算术平方根为，再根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ，即， 的整数部分为5，的小数部分为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ，， 代入公式得． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，且， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为， ，， ，， 代入公式得． 25. 已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． （1）比较：_______（填“>”“<”或“=”）； （2）如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【小问1详解】 解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； 【小问3详解】 解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 26. 阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： （1）已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． （2）对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①点的坐标为或；②2；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． （1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形周长为32计算即可； （2）由题意，分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点，点， ∵有动点，使得， ∴分类讨论， ①当时，，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $