湖南省湘潭市第一中学2024-2025学年高二下学期学科竞赛数学试题

 

2024-2025年湖南省湘潭市第一中学高二下学期学科竞赛

数学试题

 

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(-1，-1)，则 =

A.   B.    C. +    D. +

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

 4．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ）

A． B． C． D．

5．设是数列的前项和，且，，则　　

A． B． C． D．

 

6．已知向量，，且与的夹角为，则（   ）

A． B． C． D．

  7．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

 8．设集合，若是的子集，把中的所有数的和称为的“容量”(规定空集的容量为0)，若的容量为奇(偶)数，则称为的奇(偶)子集，命题①：的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（    ）

A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

9．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(    )

A．x1x2＝1  B．kPQ＝－

C．|PQ|＝  D．l1与l2之间的距离为4

10．下列结论中正确的是（　　）

A．已知曲线（，不全为0），则曲线C的周长为

B．若直线的方程，则直线l的倾斜角为

C．若直线与直线垂直，则

D．圆与圆的公切线条数为2

11．已知中，，．下列说法中正确的是（    ）

A．若是钝角三角形，则

B．若是锐角三角形，则

C．的最大值是

D．的最小值是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为        .

13．已知，则         ．

      

14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为          .

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：

	男学生	女学生	合计
喜欢跳绳	35	35	70
不喜欢跳绳	10	20	30
合计	45	55	100

(1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？

(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.

附：，其中.

	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

若，则，.

16．已知中，内角所对的边分别为，且满足.

(1)若，求；

(2)求的取值范围.

17．如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，，

（i）求二面角的正弦值；

（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.