专题04 中考易选择题填空题押轴分类汇编-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

专题04 中考易选择题填空题押轴分类汇编 一．实数的运算（共1小题） 1．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．i 二．规律型：数字的变化类（共1小题） 2．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　） A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 三．规律型：图形的变化类（共2小题） 3．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 4．如图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是　 　 ． 四．配方法的应用（共1小题） 5．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 　 　 ． 五．分式方程的增根（共1小题） 6．若关于x的方程2有增根，则m的值是 　 　 ． 六．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 7．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 七．坐标确定位置（共1小题） 8．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（　　） A．（11，3） B．（3，11） C．（11，9） D．（9，11） 八．动点问题的函数图象（共1小题） 9．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE；③当0＜t≤5时，yt2；④当t秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是 　 　 （填序号）． 九．一次函数的图象（共1小题） 10．函数y1＝|x|，．当y1＞y2时，x的范围是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x＞2 一十．反比例函数系数k的几何意义（共2小题） 11．如图，A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 12．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　 ． 一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题） 13．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k 14．如图，点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y上运动，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 一十二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 15．如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为 　 　 ． 一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题） 16．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 17．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 18．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y＝x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　） A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 19．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　） A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2 一十四．反比例函数综合题（共2小题） 20．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 21．已知点A，B分别在反比例函数y（x＞0），y（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（　　） A． B． C． D． 一十五．二次函数的图象（共2小题） 22．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 23．如图所示，当b＜0时，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 一十六．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十七．抛物线与x轴的交点（共1小题） 25．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m B．﹣3＜m C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m 一十八．二次函数综合题（共2小题） 26．如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为（　　） A． B．2 C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（　 　 ）． 一十九．线段的性质：两点之间线段最短（共1小题） 28．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 二十．勾股定理（共2小题） 29．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 30．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 　 　 ． 二十一．勾股定理的证明（共1小题） 31．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　） A．90 B．100 C．110 D．121 二十二．平面展开-最短路径问题（共1小题） 32．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　 　 尺． 二十三．三角形中位线定理（共1小题） 33．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　 ． 二十四．平行四边形的性质（共1小题） 34．则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 二十五．矩形的性质（共1小题） 35．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　） A．12 B．24 C．12 D．16 二十六．正方形的性质（共1小题） 36．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AMMF．其中正确结论的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二十七．四边形综合题（共1小题） 37．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的是 　 　 ． ①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP；④S四边形ECFG＝2S△BGE． 二十八．圆周角定理（共1小题） 38．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　） A．45° B．30° C．75° D．60° 二十九．切线的性质（共3小题） 39．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B． C． D．2 40．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　） A．3 B． C． D．4 41．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　） A． B． C． D． 三十．弧长的计算（共2小题） 42．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 43．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　 　 cm． 三十一．扇形面积的计算（共2小题） 44．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为 　 　 ． 45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 三十二．圆锥的计算（共1小题） 46．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为　 　 ． 三十三．圆的综合题（共2小题） 47．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 48．如图，已知直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　） A．8 B．12 C． D． 三十四．轴对称-最短路线问题（共4小题） 49．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 50．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　 　 ． 51．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　 　 ． 52．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 　 　 ． 三十五．相似三角形的判定与性质（共7小题） 53．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A． B． C． D． 54．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 55．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD；⑤S四边形CDEFS△ABF，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 56．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2，c3，则c1+c2+c3的值是（　　） A．6 B． C．12 D． 58．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 　 　 ． 59．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　 ． 三十六．相似三角形的应用（共1小题） 60．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为　 　 米． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 中考易选择题填空题押轴分类汇编 一．实数的运算（共1小题） 1．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．i 【答案】D 【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， ∵503…1， ∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013＝i． 故选：D． 二．规律型：数字的变化类（共1小题） 2．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　） A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 【答案】D 【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012， 则5S＝5+52+53+…+52012+52013， 5S﹣S＝﹣1+52013， 4S＝52013﹣1， 则S． 故选：D． 三．规律型：图形的变化类（共2小题） 3．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以10÷3＝3…1．所以是第1次变换后的图形． 故选：B． 4．如图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是　2n+1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形周长变化规律可知，第n个图形的周长是2n+1． 故答案为：2n+1． 四．配方法的应用（共1小题） 5．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1， ∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12， 则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4． 故答案为：4． 五．分式方程的增根（共1小题） 6．若关于x的方程2有增根，则m的值是 　0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得， 2﹣x﹣m＝2（x﹣2）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2＝0， 解得x＝2， ∴2﹣2﹣m＝2（2﹣2）， 解得m＝0． 故答案为：0． 六．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 7．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 【答案】C 【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21， 因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17． 所以可以得到16≤2﹣3a＜17， 解得﹣5＜a． 故选：C． 七．坐标确定位置（共1小题） 8．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（　　） A．（11，3） B．（3，11） C．（11，9） D．（9，11） 【答案】A 【解答】解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数． 故选：A． 八．动点问题的函数图象（共1小题） 9．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE；③当0＜t≤5时，yt2；④当t秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是 　①③④　 （填序号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝BE＝5，故①正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED＝2， ∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3， 在Rt△ABE中，AB4， ∴cos∠ABE，故②错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBF， ∴sin∠PBF＝sin∠AEB， ∴PF＝PBsin∠PBFt， ∴当0＜t≤5时，yBQ•PFt•tt2，故③正确； 当t秒时，点P在CD上，此时，PDBE﹣ED5﹣2， PQ＝CD﹣PD＝4， ∵，， ∴， 又∵∠A＝∠Q＝90°， ∴△ABE∽△QBP，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 九．一次函数的图象（共1小题） 10．函数y1＝|x|，．当y1＞y2时，x的范围是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x＞2 【答案】C 【解答】解：由图象可知：在（﹣1，1）左边，（2，2）的右边，y1＞y2， ∴x＜﹣1或x＞2． 故选：C． 一十．反比例函数系数k的几何意义（共2小题） 11．如图，A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点，DC∥BE， ∴OC＝CE， ∴CD是△OBE的中位线，即CDBE． 设A（x，），则B（2x，），CD，AD， ∵△ADO的面积为1， ∴AD•OC＝1，（）•x＝1，解得k， 故选：B． 12．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线， 可得k＝﹣6， 即双曲线解析式为y， ∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y， y＝1， 即点C坐标为（﹣6，1）， ∴AC＝3， 又∵OB＝6， ∴S△AOCAC×OB＝9． 故答案为：9． 一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题） 13．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k 【答案】A 【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A， ∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y， ∴k≥2． 随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7， ，得x2﹣7x+k＝0 根据△≥0，得k 综上可知2≤k． 故选：A． 14．如图，点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y上运动，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°， ∴CO⊥AB，∠CAB＝30°， 则∠AOD+∠COE＝90°， ∵∠DAO+∠AOD＝90°， ∴∠DAO＝∠COE， 又∵∠ADO＝∠CEO＝90°， ∴△AOD∽△OCE， ∴tan60°，则3， ∵点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点， ∴|xy|AD•DO6＝3， ∴kEC×EO＝1， 则EC×EO＝2． 故选：B． 一十二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 15．如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一：∵OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E， ∴AO•NO＝AB•AM， ∴△ABE和四边形EMON的面积相等为2， ∵MG∥AB ∴， ∴， ∴， ∴S△AEM， ∴△ABM面积为2.5， ∴矩形ABCO面积为：4×2.5＝10， ∵反比例函数图象位于第2象限，则xy＝﹣10， 那么经过B的双曲线的解析式就是y． 方法二：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F 设EF＝h，OM＝a， 那么由题意可知：AM＝OM＝a，ON＝NC＝2a，AB＝OC＝4a，BC＝AO＝2a △AON中，MG∥ON，AM＝OM，∴MGON＝a， ∵MG∥AB ∴ ∴BE＝4EM ∵EF⊥AB ∴EF∥AM ∴． ∴FEAM，即h ∵S△ABM＝4a×a÷2＝2a2 S△AON＝2a×2a÷2＝2a2 ∴S△ABM＝S△AON ∴S△AEB＝S四边形EMON＝2 S△AEB＝AB×EF÷2＝4a×h÷2＝2 ah＝1，又有h，a（长度为正数） ∴OA，OC＝2 因此B的坐标为（﹣2，） 那么经过B的双曲线的解析式就是y． 一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题） 16．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2的图象相交于A，B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为﹣2， ∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1＝k1x的图象在y2的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 故选：D． 17．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 【答案】C 【解答】解：∵正方形的顶点A（m，2）， ∴正方形的边长为2， ∴BC＝2， 而点E（n，）， ∴n＝2+m，即E点坐标为（2+m，）， ∴k＝2•m（2+m），解得m＝1， ∴E点坐标为（3，）， 设直线GF的解析式为y＝ax+b， 把E（3，），G（0，﹣2）代入得，解得， ∴直线GF的解析式为yx﹣2， 当y＝0时，x﹣2＝0，解得x， ∴点F的坐标为（，0）． 故选：C． 18．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y＝x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　） A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C 【解答】解：点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，则把x＝1代入y＝x解得y＝1，则A的坐标是（1，1）， ∵AB＝BC＝3， ∴C点的坐标是（4，4）， ∴当双曲线y经过点（1，1）时，k＝1； 当双曲线y经过点（4，4）时，k＝16， 因而1≤k≤16． 故选：C． 19．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　） A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2 【答案】C 【解答】解：由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点， 根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点， 故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2， 故选：C． 一十四．反比例函数综合题（共2小题） 20．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】A 【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴， ∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5， 当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4， ∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5）， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小， 设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大， 则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， ∵1≤x≤4， ∴当x＝3时，k值最大， 此时交点坐标为（3，3）， 因此，k的取值范围是2≤k≤9． 故选：A． 21．已知点A，B分别在反比例函数y（x＞0），y（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：法一： 设点A的坐标为（x1，），点B的坐标为（x2，）， 设线段OA所在的直线的解析式为：y＝k1x，线段OB所在的直线的解析式为：y＝k2x， 则k1，k2， ∵OA⊥OB， ∴k1k2•（）＝﹣1 整理得：（x1x2）2＝16， ∴tanB． 法二：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°， ∴∠AOM+∠PAM＝90°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， ∴△AOM∽△OBN， ∵点A，B分别在反比例函数y（x＞0），y（x＞0）的图象上， ∴S△AOM：S△BON＝1：4， ∴AO：BO＝1：2， ∴tanB． 故选：B． 一十五．二次函数的图象（共2小题） 22．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为yAE•AD＝2x（0≤x≤2）， 当F在AD上运动时，△AEF的面积为yAE•AFx（6﹣x）x2+3x（2＜x≤4）， 图象为： 故选：A． 23．如图所示，当b＜0时，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 b＞0，二次函数对称轴x0，错误； B、由一次函数的图象可知a＞0 b＜0，二次函数对称轴x0，正确； C、由一次函数的图象可知a＞0 b＜0，由二次函数的图象可知a＜0，错误； D、由一次函数的图象可知a＜0 b＞0，由二次函数的图象可知a＞0，错误； 故选：B． 一十六．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点， ∴c＝0， ∴abc＝0 ∴①正确； ∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②不正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴是直线x， ∴，b＜0， ∴b＝3a， 又∵a＜0，b＜0， ∴a＞b， ∴③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， ∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0， ∴④正确； 综上，可得 正确结论有3个：①③④． 故选：C． 一十七．抛物线与x轴的交点（共1小题） 25．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m B．﹣3＜m C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m 【答案】D 【解答】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0， 即x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或3， 则点A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当y＝x+m1与C2相切时， 令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2， 即2x2﹣15x+30+m1＝0， Δ＝﹣8m1﹣15＝0， 解得m1， 当y＝x+m2过点B时， 即0＝3+m2， m2＝﹣3， 当﹣3＜m时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选：D． 一十八．二次函数综合题（共2小题） 26．如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意得：AiBix2﹣（x）x（x+1）， ∴2（）， ∴2（1）． 故选：A． 27．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（　55，　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0）， ∵A（﹣3，0），B（0，1）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+1， ∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55， ∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）． 一十九．线段的性质：两点之间线段最短（共1小题） 28．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选：D． 二十．勾股定理（共2小题） 29．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm， 而ECBC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2， 整理得16x＝48，所以x＝3． 故选：A． 30．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 　2或2或2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当∠APB＝90°时， 情况一：（如图1）， ∵AO＝BO， ∴PO＝BO， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOP＝60°， ∴△BOP为等边三角形， ∵AB＝BC＝4， ∴AP＝AB•sin60°＝42； 情况二：如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°， ∴PO＝AO， ∵∠AOC＝60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP＝AO＝2， ②当∠ABP＝90°时（如图2）， ∵∠AOC＝∠BOP＝60°， ∴∠BPO＝30°， ∴BP2， 在直角三角形ABP中， AP2， 故答案为：2或2或2． 二十一．勾股定理的证明（共1小题） 31．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　） A．90 B．100 C．110 D．121 【答案】C 【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 易得△CAB≌△BOF≌△FLG， ∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4， ∴OA＝OL＝3+4＝7， ∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO＝AB+AC＝3+4＝7， 所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110． 故选：C． 二十二．平面展开-最短路径问题（共1小题） 32．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　25　 尺． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3＝15（尺）， 因此葛藤长为25（尺）． 故答案为：25． 二十三．三角形中位线定理（共1小题） 33．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN， ∴EFDN， ∴DN最大时，EF最大， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN＝DB6， ∴EF的最大值为3． 故答案为3． 二十四．平行四边形的性质（共1小题） 34．则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【解答】解：延长AB、FG交于H，连接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形AHFD为平行四边形， ∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°， ∴△DAF为等腰三角形， ∴AD＝DF， ∴平行四边形AHFD为菱形， ∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形， ∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°， ∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH， ∴BH＝GF， 在△BHD和△GFD中， ， ∴△BHD≌△GFD（SAS）， ∴∠BDH＝∠GDF， ∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°． 故选：C． 二十五．矩形的性质（共1小题） 35．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　） A．12 B．24 C．12 D．16 【答案】D 【解答】解：在矩形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠B′EF＝∠EFB＝60°， 由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°， ∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°． 在Rt△A′EB′中， ∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°， ∴B′E＝2A′E，而A′E＝2， ∴B′E＝4， ∴A′B′＝2，即AB＝2， ∵AE＝2，DE＝6， ∴AD＝AE+DE＝2+6＝8， ∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝28＝16． 故选：D． 二十六．正方形的性质（共1小题） 36．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AMMF．其中正确结论的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵E、F分别为边AB，BC的中点， ∴AE＝BFBC， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠BAF＝∠ADE， ∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确； ∵DE是△ABD的中线， ∴∠ADE≠∠EDB， ∴∠BAF≠∠EDB，故②错误； ∵∠BAD＝90°，AM⊥DE， ∴△AED∽△MAD∽△MEA， ∴2， ∴AM＝2EM，MD＝2AM， ∴MD＝2AM＝4EM，故④正确； 设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a， 在Rt△ABF中，AFa， ∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°， ∴△AME∽△ABF， ∴， 即， 解得AMa， ∴MF＝AF﹣AMaaa， ∴AMMF，故⑤正确； 如图，过点M作MN⊥AB于N， 则， 即， 解得MNa，ANa， ∴NB＝AB﹣AN＝2aaa， 根据勾股定理，BMa， 过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K， 则OK＝aaa，MKa﹣aa， 在Rt△MKO中，MOa， 根据正方形的性质，BO＝2aa， ∵BM2+MO2＝（a）2+（a）2＝2a2， BO2＝（a）2＝2a2， ∴BM2+MO2＝BO2， ∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个． 故选：B． 二十七．四边形综合题（共1小题） 37．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的是 　①②③　 ． ①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP；④S四边形ECFG＝2S△BGE． 【答案】①②③． 【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴CF＝BE， 在△ABE和△BCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确； ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF，故②正确； 由翻折可知：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90° ∵CD∥AB， ∴∠CFB＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠PFB， ∴QF＝QB， ∵PF＝1， 则PB＝2， 在Rt△BPQ中，设QB＝x， ∴x2＝（x﹣1）2+4， ∴x， ∴sin∠BQP，故③正确； ∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF， ∴△BGE∽△BCF， ∵BEBC，BFBC， ∴BE：BF＝1：， ∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5， ∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故④错误． 综上所述，结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 二十八．圆周角定理（共1小题） 38．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　） A．45° B．30° C．75° D．60° 【答案】D 【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD＝CD， ∴ODOCOA， ∴∠OAD＝30°， 又OA＝OB， ∴∠OBA＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠APB∠AOB＝60°． 故选：D． 二十九．切线的性质（共3小题） 39．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴AF＝BF＝AE＝BG＝2， ∴DE＝3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN＝DE＝3，MN＝MG， ∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN， 在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2， ∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42， ∴NM， ∴DM＝3， 故选：A． 40．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大． 连接AC， ∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC， ∴AD＝AO＝2， 连接CD，设EF＝x， ∵CF＝1， ∴DE， ∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°， ∴△CDE∽△AOE， ∴， 即， 解得x， S△ABE． 故选：B． 41．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F． ∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝3r， ∴PA＝PB． 在Rt△PBF和Rt△OAF中， ， ∴Rt△PBF∽Rt△OAF． ∴， ∴AFFB， 在Rt△FBP中， ∵PF2﹣PB2＝FB2 ∴（PA+AF）2﹣PB2＝FB2 ∴（rBF）2﹣（）2＝BF2， 解得BFr， ∴tan∠APB， 故选：B． 三十．弧长的计算（共2小题） 42．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N， ∴四边形ONPM是矩形， 又∵点Q为MN的中点， ∴点Q为OP的中点， 则OQ＝1， 点Q走过的路径长． 故选：A． 43．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　（）　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40） （cm）． 故答案为：（）． 三十一．扇形面积的计算（共2小题） 44．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为 　π　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BH、BH1， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴AC2， 在Rt△BHC中，CHAC，BC＝2， 根据勾股定理可得：BH； ∴S扫＝S扇形BHH1﹣S扇形BOO1 π． 45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1， ∴AB， ∴S扇形ABD． 又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD． 故答案为：． 三十二．圆锥的计算（共1小题） 46．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为　18°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：20π 解得：n＝90°， ∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108° ∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°． 剪去的扇形纸片的圆心角为18°． 故答案为18°． 三十三．圆的综合题（共2小题） 47．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AC，AO， ∵AB⊥CD， ∴G为AB的中点，即AG＝BGAB， ∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点， ∴OG＝2， ∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG2， 又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6， ∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC4， ∵CF⊥AE， ∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆， 当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合， ∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长， 在Rt△ACG中，tan∠ACG， ∴∠ACG＝30°， ∴所对圆心角的度数为60°， ∵直径AC＝4， ∴的长为π， 则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π． 故选：C． 48．如图，已知直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12＝0， 即OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5， 过C作CM⊥AB于M，连接AC， 则由三角形面积公式得：AB×CMOA×OCOA×OB， ∴5×CM＝4×1+3×4， ∴CM， ∴圆C上点到直线yx﹣3的最大距离是1， ∴△PAB面积的最大值是5， 故选：C． 三十四．轴对称-最短路线问题（共4小题） 49．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解答】解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD， ∵点B与D关于AC对称， ∴P′D＝P′B， ∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度； ∵正方形ABCD的面积为12， ∴AB＝2． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝2． 故所求最小值为2． 故选：A． 50．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接AA′，延长CD交AA′于点N，连接BD，DA′， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∵∠BDC＝∠ADB＝60°， ∴∠ADN＝60°， ∴∠A′DN＝60°， ∴∠ADB+∠ADA′＝180°， ∴A′，D，B在一条直线上， 由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小， ∵菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD＝3， ∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1， ∴PE＝1，PF＝2， ∴PE+PF的最小值是3． 故答案为：3． 51．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N， ∴MN＝ME， ∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为15，AB＝10， ∴10•CE＝15， ∴CE＝3． 即CM+MN的最小值为3． 故答案为3． 52．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作DD′⊥AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD＝∠AFD′， ∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′＝45°， ∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16， ∵AP′＝P′D'， 2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16， ∴P′D′＝2， 即DQ+PQ的最小值为2， 故答案为：2． 三十五．相似三角形的判定与性质（共7小题） 53．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设AD＝k，则DB＝2k， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°， ∴∠EDA+∠FDB＝120°， 又∵∠EDA+∠AED＝120°， ∴∠FDB＝∠AED， ∴△AED∽△BDF， ∴， 设CE＝x，则ED＝x，AE＝3k﹣x， 设CF＝y，则DF＝y，FB＝3k﹣y， ∴， ∴， ∴， ∴CE：CF＝4：5． 故选：B． 解法二：解：设AD＝k，则DB＝2k， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°， ∴∠EDA+∠FDB＝120°， 又∵∠EDA+∠AED＝120°， ∴∠FDB＝∠AED， ∴△AED∽△BDF，由折叠，得 CE＝DE，CF＝DF ∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k， ∴△AED与△BDF的相似比为4：5 ∴CE：CF＝DE：DF＝4：5． 故选：B． 54．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， 故①正确； ②延长BG交DE于点H， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠CBG＝∠CDE， 又∵∠CBG+∠BGC＝90°， ∴∠CDE+∠DGH＝90°， ∴∠DHG＝90°， ∴BH⊥DE； ∴BG⊥DE． 故②正确； ③∵四边形GCEF是正方形， ∴GF∥CE， ∴， ∴是错误的． 故③错误； ④∵DC∥EF， ∴∠GDO＝∠OEF， ∵∠GOD＝∠FOE， ∴△OGD∽△OFE， ∴（）2＝（）2， ∴（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO． 故④正确； 故选：B． 55．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD；⑤S四边形CDEFS△ABF，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵AEADBC， ∴， ∴CF＝2AF，故②正确， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DEBC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF＝DC，故③正确； 设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有， ∴， ∴， ∵tan∠CAD， ∴tan∠CAD，故④错误； ∵△AEF∽△CBF， ∴， ∴S△AEFS△ABF，S△ABFS矩形ABCD ∴S△AEFS矩形ABCD， 又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEFS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD， ∴S四边形CDEFS△ABF，故⑤正确； 故选：B． 56．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2， 在直角三角形ABG中∠1与∠G互余， ∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余， ∴∠5＝∠G， ∴EC＝EG． 在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G， ∴∠3＝∠4， ∴EC＝EF， 从而得出EG＝EF，即E为FG的中点． ∴①正确． ③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DFA， ∵AB＝BP， ∴∠1＝∠BPA， ∵∠DPF＝∠APB， ∵EF＝CE， ∴∠3＝∠4， ∴∠4＝∠DPE， ∴D、P、C、E四点共圆， ∴∠DEA＝∠DCP， ∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°， ∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA， ∴AD＝DE， ∴③正确， ②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证）， ∴△CEF∽△CDE， ∴，即CE2＝CF•CD， ∵∠3＝∠4， ∴CE＝EF， ∵E为FG的中点． ∴FG＝2CE，即CEFG， ∴CF•CD， 即FG2＝4CF•CD， ∴②正确． ④∵四边形ABCD是正方形， ∴△PDF∽△PBA， ∴， ∴， ∴， 即CFDF， ∴④错误， 综上所述，正确的由①②③． 故选：C． 57．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2，c3，则c1+c2+c3的值是（　　） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，BC＝2， ∴BD＝CDBC＝1，∠B＝∠C， ∴AD2， ∵四边形P1Q1M1N1是矩形， ∴P1Q1＝M1N1，N1P1＝M1Q1，N1P1⊥BC， ∴N1P1∥AD， ∴△BN1P1∽△BAD， ∴BP1：BD＝N1P1：AD， ∴N1P1＝2BP1， 在△BP1N1和△CQ1M1中， ∵， ∴△BP1N1≌△CQ1M1（AAS）， ∴BP1＝CQ1， ∴c1＝N1P1+P1Q1+M1Q1+M1N1＝2BP1+2P1Q1+2BP1＝2（BP1+P1Q1+BP1）＝2（BP1+P1Q1+CQ1）＝2BC＝2×2＝4， 同理：c2＝c3＝c1＝4． ∴c1+c2+c3＝12． 故选：C． 58．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 　21　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD， ∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°， ∴CP＝2CD， ∴2， ∴△COP∽△CED， ∴2， 即EDOP＝1（定长）， ∵点E是定点，DE是定长， ∴点D在半径为1的⊙E上， ∵OD≤OE+DE＝21， ∴OD的最大值为21， 故答案为． 59．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′， ∴则PQ的最小值为2OP′， 方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC•AB＝BC•OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用． 故答案为：． 三十六．相似三角形的应用（共1小题） 60．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为　4.2　 米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法1、如图，设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米． 则有，解得x＝3． ∴树高是3+1.2＝4.2（米）， 故答案为4.2． 方法2、将落在墙上的影子看作物体，此时它的影子设为a米， 根据题意得，， ∴a＝0.96， 所以大树的影子全部落在地面上的影子长为2.4+0.96＝3.36米， 设树的高度为y米，根据题意得，， ∴y＝4.2米 故答案为：4.2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/14 11:18:32；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$