专题05 中考易错题分类汇编（四十四大题型）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

专题05 中考易错题分类汇编 一．平方根（共1小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 二．代数式求值（共1小题） 2．已知x﹣2y＝3，则代数式6﹣2x+4y的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3 三．整式的加减（共1小题） 3．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（　　） A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 四．同底数幂的乘法（共1小题） 4．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 五．幂的乘方与积的乘方（共3小题） 5．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 6．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 7．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 六．完全平方公式（共1小题） 8．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 七．分式的基本性质（共1小题） 9．若2，则 　 　 ． 八．分式的化简求值（共1小题） 10．先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 九．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题） 11．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 一十．解一元二次方程-配方法（共1小题） 12．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 一十一．根的判别式（共1小题） 13．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠1 C． D．且k≠1 一十二．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 14．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 一十三．分式方程的解（共2小题） 15．若关于x的分式方程1无解，则m的值　 　 ． 16．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ． 一十四．解分式方程（共1小题） 17．解方程2． 一十五．不等式的性质（共1小题） 18．如果x＜y，那么下列结论错误的是（　　） A．x+3＜y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＜﹣3y D．3x＜3y 一十六．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 19．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 一十七．规律型：点的坐标（共1小题） 20．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（　　） A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0） 一十八．动点问题的函数图象（共1小题） 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 一十九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 22．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线yx+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 二十．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 23．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 24．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 25．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ． 二十一．一次函数的应用（共1小题） 26．数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，y＝y1+y2，弹簧A拉力y1（N）与长度x（cm）之间有关系式y1＝1.4x﹣7；测得弹簧B拉力y2（N）与长度x（cm）的数据如下表： 弹簧长度x/cm 10 15 20 25 拉力y2/N 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为30cm．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与y2的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力． 二十二．反比例函数的图象（共1小题） 27．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 二十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 　 　 ． 二十四．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 29．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 30．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 31．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1xb的解集是　 　 ． 32．如图，直线y1＝﹣x+4，y2x+b都与双曲线y交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 33．在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：yb与图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围． 二十五．二次函数的图象（共2小题） 34．函数y与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 二十六．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 36．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 37．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　 ．（填写正确结论的序号） 二十七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 38．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 二十八．二次函数的最值（共2小题） 39．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 40．当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是　 　 ． 二十九．抛物线与x轴的交点（共1小题） 41．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 三十．二次函数的应用（共1小题） 42．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 三十一．二次函数综合题（共3小题） 43．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 44．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 45．如图，抛物线yx2x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　 　 ，　 　 ，　 　 ． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 三十二．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 46．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 47．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　 cm． 三十三．三角形的外角性质（共1小题） 48．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　 °． 三十四．全等三角形的判定（共1小题） 49．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 三十五．勾股定理（共1小题） 50．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 三十六．矩形的性质（共1小题） 51．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 三十七．正方形的性质（共1小题） 52．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　 ． 三十八．点与圆的位置关系（共1小题） 53．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 三十九．作图—基本作图（共1小题） 54．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A．（1，2） B．（，2） C．（3，2） D．（2，2） 四十．轴对称-最短路线问题（共1小题） 55．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 四十一．旋转的性质（共1小题） 56．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 四十二．平行线分线段成比例（共1小题） 57．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 四十三．相似三角形的判定（共1小题） 58．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 四十四．相似三角形的判定与性质（共2小题） 59．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 60．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA． （1）求证：BC＝CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD，求DF的长． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 中考易错题分类汇编 一．平方根（共1小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【答案】A 【解答】解：∵， 9的平方根是±3， 故选：A． 二．代数式求值（共1小题） 2．已知x﹣2y＝3，则代数式6﹣2x+4y的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解答】解：∵x﹣2y＝3， ∴6﹣2x+4y＝6﹣2（x﹣2y）＝6﹣2×3＝6﹣6＝0 故选：A． 三．整式的加减（共1小题） 3．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（　　） A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 【答案】B 【解答】解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]＝4a﹣8b． 故选：B． 四．同底数幂的乘法（共1小题） 4．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 【答案】D 【解答】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴2y•2x＝2x+y＝23＝8， 故选：D． 五．幂的乘方与积的乘方（共3小题） 5．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【答案】A 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 6．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 【答案】B 【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15， ∴a3mb3n＝a9b15， ∴3m＝9，3n＝15， ∴m＝3，n＝5， 故选：B． 7．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4， ∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12． 故选：D． 六．完全平方公式（共1小题） 8．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 【答案】C 【解答】解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5， 两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1， ∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 故选：C． 七．分式的基本性质（共1小题） 9．若2，则 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 八．分式的化简求值（共1小题） 10．先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： • • ， ∵x+3≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣3，x≠1， ∴当x＝2时，原式2． 九．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题） 11．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6， 所以根据时间列的方程为：3， 故选：C． 一十．解一元二次方程-配方法（共1小题） 12．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x， 则x2+2x+1，即（x+1）2， ∴a＝1，b， ∴a+b． 故选：B． 一十一．根的判别式（共1小题） 13．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠1 C． D．且k≠1 【答案】B 【解答】解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意； ②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0， 解得：k且k≠1． 故选：B． 一十二．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 14．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 一十三．分式方程的解（共2小题） 15．若关于x的分式方程1无解，则m的值　或　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3） （2m+1）x＝﹣6 x， 当2m+1＝0，方程无解，解得m． x＝3时，m， x＝0时，m无解． 故答案为：或． 16．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：， 解①得，x＜5； 解②得， ∴不等式组的解集为； ∵不等式有且只有四个整数解， ∴， 解得，﹣2＜a≤2； 解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）； ∵方程的解为非负数， ∴2﹣a≥0即a≤2且a≠1 综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1， ∵a是整数， ∴a＝﹣1，0，2； ∴﹣1+0+2＝1， 故答案为：1． 一十四．解分式方程（共1小题） 17．解方程2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原分式方程的增根，原分式方程无解． 一十五．不等式的性质（共1小题） 18．如果x＜y，那么下列结论错误的是（　　） A．x+3＜y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．﹣3x＜﹣3y D．3x＜3y 【答案】C 【解答】解：A、如果x＜y，那么x+3＜y+3，故本选项结论正确，不符合题意； B、如果x＜y，那么x﹣3＜y﹣3，故本选项结论正确，不符合题意； C、如果x＜y，那么﹣3x＞﹣3y，故本选项结论错误，符合题意； D、如果x＜y，那么3x＜3y，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 一十六．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 19．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 一十七．规律型：点的坐标（共1小题） 20．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（　　） A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0） 【答案】B 【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P1秒走个半圆， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0）， …， ∵2015÷4＝503…3 ∴P2015的坐标是（2015，﹣1）， 故选：B． 一十八．动点问题的函数图象（共1小题） 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝4，∠A＝45°， ∵CD⊥AB于点D， ∴AD＝BD＝2， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴四边形CEPF是矩形， ∴CE＝PF，PE＝CF， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时， 即0＜x＜2时， AP＝x， 则AE＝PE＝x•sin45°x， ∴CE＝AC﹣AE＝2x， ∵四边形CEPF的面积为y， y＝PE•CE x（2x） x2+2x （x﹣2）2+2， ∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下； 当点P沿D→C路径运动时， 即2≤x＜4时， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴PE＝PF， ∴四边形CEPF是正方形， ∵AD＝2，PD＝x﹣2， ∴CP＝4﹣x， y（4﹣x）2（x﹣4）2． ∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A． 故选：A． 一十九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 22．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线yx+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 【答案】A 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小． ∵﹣4＜2， ∴y1＞y2． 故选：A． 二十．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 23．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 故选：B． 24．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2． 故选：A． 25．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 　x＜﹣1或x＞2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点， ∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1或x＞2． 二十一．一次函数的应用（共1小题） 26．数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，y＝y1+y2，弹簧A拉力y1（N）与长度x（cm）之间有关系式y1＝1.4x﹣7；测得弹簧B拉力y2（N）与长度x（cm）的数据如下表： 弹簧长度x/cm 10 15 20 25 拉力y2/N 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为30cm．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与y2的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】（1）描点并连线见解答，是； （2）y2＝x﹣5，25N； （3）购买A弹簧3根、B弹簧7根，280N． 【解答】解：（1）描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由（1）可知，y2与x之间是一次函数关系， 设y2关于x的函数表达式为y2＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标（10，5）和（15，10）分别代入y2＝kx+b， 得， 解得， ∴y2关于x的函数表达式为y2＝x﹣5， 当x＝30时，y2＝30﹣5＝25， ∴弹簧B在弹性限度内的最大拉力是25N． （3）设购买A弹簧m根，则购买B弹簧（10﹣m）根， 根据题意，得6m+3（10﹣m）≤40， 解得m≤3， 当x＝30时，y1＝1.4×30﹣7＝35， y＝35m+25（10﹣m）＝10m+250， ∵10＞0， ∴y随m的增大而增大， ∵m≤3且m为非负整数， ∴当m＝3时y值最大，y最大＝10×3+250＝280， 10﹣3＝7（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为280N． 二十二．反比例函数的图象（共1小题） 27．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况： （1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 二十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N， 则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， ∴△AOM≌△BAN， ∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k， ∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1 ∴B（1+k，k﹣1）， ∵双曲线y（x＞0）经过点B， ∴（1+k）•（k﹣1）＝k， 整理得：k2﹣k﹣1＝0， 解得：k（负值已舍去）， 故答案为：． 二十四．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 29．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接BP， 由对称性得：OA＝OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQBP， ∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为2＝3， 如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP＝1， ∴BC＝2， ∵B在直线y＝2x上， 设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， ∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2， t＝0（舍）或， ∴B（，）， ∵点B在反比例函数y（k＞0）的图象上， ∴k； 故选：C． 30．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【答案】A 【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上， ∴k＝6． 又B（m，﹣2）在反比例函数上， ∴m＝﹣3． ∴B（﹣3，﹣2）． 结合图象， ∴当ax+b时，﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：A． 31．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1xb的解集是　﹣5＜x＜﹣1或x＞0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由k1xb，得，k1x﹣b， 所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到， 直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为﹣1，交点B′的横坐标为﹣5， 当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方， 所以，不等式k1xb的解集是﹣5＜x＜﹣1或x＞0． 故答案为：﹣5＜x＜﹣1或x＞0． 32．如图，直线y1＝﹣x+4，y2x+b都与双曲线y交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入双曲线y，可得k＝1×3＝3， ∴y与x之间的函数关系式为：y； （2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式x+b的解集为：x＞1； （3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2x+b，可得3b， ∴b， ∴y2x， 令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC＝7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CPBC，或BPBC， ∴OP＝3，或OP＝4， ∴P（，0）或（，0）． 33．在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：yb与图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（4，1）代入y得k＝4×1＝4； （2）①当b＝﹣1时，直线解析式为yx﹣1， 解方程x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，）， 而C（0，﹣1）， 如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个； ②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：yb过（1，﹣1）时，b， 且经过（5，0）， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是b＜﹣1． 如图3，直线l在OA的上方时， ∵点（2，2）在函数y（x＞0）的图象G， 当直线l：yb过（1，2）时，b， 当直线l：yb过（1，3）时，b， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是b． 综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是b＜﹣1或b． 二十五．二次函数的图象（共2小题） 34．函数y与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误． 解法二： ①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意； ②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意； 故选：B． 35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 二十六．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 36．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 37．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　①③⑤　 ．（填写正确结论的序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确； 直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以1，可得b＝2a， a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 当x时，y＝0，即， 整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确； ∵b＝2a， ∴25a﹣20a+4c＝0， ∴5a+4c＝0，即ca； ∵b＝2a，a+b+c＜0， ∴， 即3b+2c＜0，故④错误； 由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值， ∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c， 整理得，a﹣b≥m（am﹣b）； 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 二十七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 38．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【解答】解：y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）， 对称轴是直线x1， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1， 即在对称轴的右侧y随x的增大而减小， A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1）， ∵2＜3＜4， ∴y2＞y1＞y3， 故选：D． 二十八．二次函数的最值（共2小题） 39．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 40．当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是　或　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：对称轴：xk， 分三种情况讨论： ①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时， 此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1， k， ②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1， 对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小， 在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1， k2﹣2k2+2＝0， k2﹣2＝0， k， ∵﹣2≤k≤1， ∴k， ③当﹣k＞2时，即k＜﹣2， 此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y有最小值，y小＝22+2k×2+1＝﹣1， k（舍）， 综上所述，k的值可能是或， 故答案为：或． 二十九．抛物线与x轴的交点（共1小题） 41．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【答案】D 【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 三十．二次函数的应用（共1小题） 42．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 三十一．二次函数综合题（共3小题） 43．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）， ， 解得：a＝﹣1，b＝2． 故抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）存在 将点D代入抛物线解析式得：m＝3， ∴D（2，3）， 令x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝OB， ∴∠OCB＝∠CBO＝45°， 如图， 在y轴上取点G，使GC＝CD＝2， 在△CDB与△CGB中 ∵BC＝BC、∠DCB＝∠BCO、GC＝DC（SAS） ∴△CDB≌△CGB， ∴∠PBC＝∠DBC， ∵点G（0，1）， 设直线BP：y＝kx+1， 代入点B（3，0）， ∴k， ∴直线BP：yx+1， 联立直线BP和二次函数解析式： ， 解得：或（舍）， ∴P（，）． （3）直线BC：y＝﹣x+3，直线BD：y＝﹣3x+9， 当0≤t≤2时，如图： 设直线C′B′：y＝﹣（x﹣t）+3 联立直线BD求得F（，）， S＝S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF 2×3t×t（2﹣t）（3） 整理得：St2+3t（0≤t≤2）． 当2＜t≤3时，如图： H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3） S＝S△HIB[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t） 整理得：S＝t2﹣6t+9（2＜t≤3） 综上所述：S． 44．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图： ①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b， 得k＝﹣1，b＝3， 所以直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD OB•PDm2m （m）2． ∴当m时，S有最大值． 当m时，m2﹣4m+3． ∴P（，）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1），抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点， ∴EN＝CN＝2， ∴EC＝2， 根据菱形的四条边相等， ∴M′E＝EC＝2， ∴M′（2，1﹣2）或（2，1+2）， 当EM＝EN＝2时，CMEN是正方形， ∴M（2，3）， 答：点M的坐标为（2，3）或（2，1﹣2）或（2，1+2）． 45．如图，抛物线yx2x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　 ，　（3，0）　 ，　（0，4）　 ． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）． ②． （3）存在，m． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，则x2x+4＝0， ∴x＝﹣2或x＝3， ∴A（﹣2，0），B（3，0）． 故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）①∵CP∥x轴，C（0，4）， ∴P（1，4）， ∴CP＝1，AB＝5， ∵CP∥x轴， ∴． ②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， ∴直线BC的解析式为：yx+4． 设点P的横坐标为m， 则P（m，m2m+4），Q（m2m，m2m+4）． ∴PQ＝m﹣（m2m）m2m， ∵PQ∥AB， ∴（m）2， ∴当m时，的最大值为． 另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解． （3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M（8，0）， ∴直线CM的解析式为：yx+4， 令x2x+4x+4， 解得x或x＝0（舍）， ∴存在点P满足题意，此时m． 三十二．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 46．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 47．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线， ∴CE＝BE， 又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， 即AC﹣8＝2cm， ∴AC＝10cm， 故答案为：10； 三十三．三角形的外角性质（共1小题） 48．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 三十四．全等三角形的判定（共1小题） 49．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　或3或或　 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P在线段BC上运动的时间为t s， ①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）； ②点P由B向C运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP， ∴3t＝8﹣3t， t， 此时，点Q的运动速度为：5（cm/s）； ③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8， ∵△BPE≌△CQP， ∴BE＝CP＝5， ∴5＝3t﹣8， 解得t， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3（cm/s）； ④点P由C向B运动时， ∵△BPE≌△CPQ， ∴BP＝CP＝4， 3t﹣8＝4， t＝4， ∵BE＝CQ＝5， 此时，点Q的运动速度为5÷4（cm/s）； 综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s； 故答案为：或3或或． 三十五．勾股定理（共1小题） 50．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8， 在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP2． 答：AP的长为2． （2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16， 根据勾股定理，得AB8 若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4； 若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16； 若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5． 答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5． （3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示： 则∠AED＝∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ACB＝90°， ∵DE＝CD，∠ACB＝∠PED＝90°， ∴PD平分∠APC， ∴∠EPD＝∠CPD， ， ∴△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2， 解得：t＝5； ②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示： 同①得：△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2， 解得：t＝11； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD． 三十六．矩形的性质（共1小题） 51．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 三十七．正方形的性质（共1小题） 52．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故答案为：3． 三十八．点与圆的位置关系（共1小题） 53．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD，即OM的最大值为； 故选：B． 三十九．作图—基本作图（共1小题） 54．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A．（1，2） B．（，2） C．（3，2） D．（2，2） 【答案】A 【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH＝1，HO＝2， ∴Rt△AOH中，AO， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG＝∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO＝∠EOG， ∴∠AGO＝∠AOG， ∴AG＝AO， ∴HG1， ∴G（1，2）， 故选：A． 四十．轴对称-最短路线问题（共1小题） 55．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 四十一．旋转的性质（共1小题） 56．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 四十二．平行线分线段成比例（共1小题） 57．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴， 故选：D． 四十三．相似三角形的判定（共1小题） 58．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1， 过E作EF⊥CD于F， ∵AD∥BC，AD＜BC， ∴AB与CD不平行， ∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE， ∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴AE＝EF，EF＝BE， ∴AE＝BEAB； ②当∠CDE＝90°时，如图2， ∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°， ∴∠BCE＝∠DCE＝30°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴BE＝ED＝2AE， ∵AB＝3， ∴AE＝1， 综上，AE的值为或1； 故选：D． 四十四．相似三角形的判定与性质（共2小题） 59．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 60．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA． （1）求证：BC＝CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD，求DF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA， ∴， ∵∠DCE＝∠ACD， ∴△CDE∽△CAD， ∴∠CDB＝∠DAC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC＝CD； （2）解：方法一：如图，连接OC， ∵BC＝CD， ∴∠DAC＝∠CAB， 又∵AO＝CO， ∴∠CAB＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∴， ∵PB＝OB，CD， ∴ ∴PC＝4 又∵PC•PD＝PB•PA ∴4•（42）＝OB•3OB ∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12， 在Rt△ACB中， AC2， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90° ∴∠FDA+∠BDC＝90° ∠CBA+∠CAB＝90° ∵∠BDC＝∠CAB， ∴∠FDA＝∠CBA， 又∵∠AFD＝∠ACB＝90°， ∴△AFD∽△ACB ∴ 在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF， ∴在Rt△APF中有，， 求得DF． 方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD， 易证△PCO∽△PDA，可得， △PGO∽△PFA，可得， 可得，，由方法一中PC＝4代入， 即可得出DF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/14 10:42:47；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$