精品解析：广东省中山市华辰实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2024-2025学年广东中山华辰实验中学高一下学期数学月考（4月） 一、单选题 1. 若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，、，则有（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则 A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若，且，则______. 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 14. 若，，且，则的最小值为________. 四、解答题 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点 （1）求的值； （2）若为锐角，且，求 17. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似的满足函数.其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，后乙车间再投产，求乙车间投产时刻时，该厂两车间总的污水排放量； （3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东中山华辰实验中学高一下学期数学月考（4月） 一、单选题 1. 若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【详解】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，；反之当时，或， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为， 所以原式 . 故选：C. 4. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得，再根据和角公式求解即可. 【详解】解：因为角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，点是角的终边上的点， 所以，， 所以 故选：C 5. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】因为为三角形内角，所以，所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 由二倍角公式有： . 故选：A 6. 设，、，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简，然后由正弦函数的单调性得出结论． 【详解】， ， ， 显然，所以． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系． 7. 函数的部分图象如图所示，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A. 【考点】三角函数的图象与性质 【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 二、多选题 9. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可． 【详解】当，即时，取最小值，故A错误； 当时，，故在上单调递增，故B正确； 当时，，， 则的图象关于点中心对称，故C错误； 当时，， 则当或，即或时，取最小值； 当，即时，取最大值3， 故在上值域为，故D正确． 故选：BD． 11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，转化为图象交点横坐标问题，数形结合得到，，，故A错误，B正确；C选项，数形结合得到，C正确；D选项，在C基础上，由同角三角函数关系得到D正确. 【详解】AB选项，分别令得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 其中，， 作出函数，和在上的图象，如图所示， 因为函数与在上的图象关于对称， 在上单调递减， 所以，，， 所以，故A错误，B正确； C选项，由图象可知，，故，C正确； D选项，由C知，，且，， 所以，即， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：函数零点问题可以转化为两函数图象交点问题，数形结合进行求解，得到，，，进而判断出结论. 三、填空题 12. 若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 14. 若，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式化简可得，再利用平方关系及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，由，得，， 由，得， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用二倍角的正余弦公式变形，把用的正余弦表示是求解问题的关键. 四、解答题 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值. （2）由（1）的信息，利用齐次法求得值. 【小问1详解】 由， 得，所以. 【小问2详解】 . 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点 （1）求的值； （2）若为锐角，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由任意角的三角函数定义求得的值，再利二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式即可求解； （2）先由，终边的位置结合的范围确定是第二象限角，求得，再由利用两角差的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 ∵角的终边经过点，∴ ∴， 所以， ∴ 【小问2详解】 由题意知，又，∴， 若，则，与不符； ∴，即是第二象限角. 于是 所以. 17. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间. （2）将看成整体，解不等式，即可求解. （3）根据的范围确定的范围，由此确定的范围，得到不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. 【小问2详解】 因为，即， 所以，， 解得：，， 所以不等式的解集为：. 【小问3详解】 当时，，此时， 因为不等式恒成立， 所以，解得：. 18. 某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似的满足函数.其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，后乙车间再投产，求乙车间投产时刻时，该厂两车间总的污水排放量； （3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】（1）. （2），. （3）小时. 【解析】 【分析】（1）由图可得，利用周期公式可求出，,代入求出,即可得函数解析式； （2）该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得时刻的排污量量:，化简即可得，.； （3）设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，据题意得，化简可得，借助辅助角可知，化简即可得出，借助图象性质即可得解． 【小问1详解】 由图可得，， ，， 将代入，得， 又，， ， 所求函数的解析式为.； 【小问2详解】 乙车间投产时刻时， 甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故时刻的污水排放量 ，.； 【小问3详解】 设乙车间比甲车间推迟小时投产，因其周期为，故， 故时刻的污水排放量， ， ， 由辅助角公式： 即可，即， 则，， 由，故，结合余弦函数图象得，得， 故为满足环保要求，乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） 根据二倍角公式与和差化积恒等式得： . （2） 左边 ， 右边 . 由，得， 所以. （3） 仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 因此， 即当时，. 所以仅有1个零点. 【解析】 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可. （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明. （3）易得，再证明当时，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $